книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Соответствующая этому графу система дифференциальных уравнений имеет вид

^ % L = _X p0(/)

dp]}P~— ~ ~Ь нОР\ (О4- ^Ро(О-

at

Преобразование Лапласа для этих уравнений при отыскании за­

кона распределения величины Г0(ро(0) = 1; P i(0)= 0) запишет­ ся так:

($	Ро(5)~~ \**Pi (5) —55
(5~Ь ^ ~Ь Iх) Р\ (5) 1Ро(5)~

Решая эту систему относительно изображения p\(s), получим

Рi(s )= S2 +	\s	\s
	5 (2Х + (1) +	Х2 (S + a) (s + Ь)
откуда	e - b t_ e-at
px[t)=\		а — b
где
а--	21 + ц — у	4Х<л +

(2.7.4)

^__2Х + [I -Ь \' 4X;J. 4- JJ.2

— 2

корни уравнения х2+ (2Л+ц)х + л2 = 0, взятые с обратным знаком.

Тогда искомая плотность распределения случайной величины Т0 будет

	f о(0= ~ ~ ~ ~ —^Pi	e-bt —e~at	(*> П).
		а — b
	dt

Нетрудно убедиться в том, что условие

j u t ) d t = \

о

выполняется.

Действительно:

81

так как произведение корней равно свободному члену. Найдем математическое ожидание Т0:

-	>-2	^ te~b,dt — ^ te~atdt
M[T0] = t{	а — Л
		м
к-	r j ____i_l=>2 JL+jL— J		I	Л
а — Ь	[ *2	a1- j ' a-b-	>. '	>.2

При отыскании закона распределения случайной величины Т\

начальными условиями будут ро(0)=0; pi(0) = l. В этом случае преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений при­ мет вид

(s-г'-) AjOO-tJ-Pi (s) = 0;

(s -j- >'+!*) PI (s)— Xp0 (s) = s.

Решая эту систему относительно Pi{s), получим

s(s + l)______

Р\ (s) = - s2 + S (2), + jx) + X2

откуда

a— b

где а и b находятся из формул (2.7.4).

Следовательно:

/ i( 0 = x ? ,		l a — b		+ ± z L e-bi]
				b — a		J
Математическое ожидание времени				Tx будет равно
М [7^]—tx— ^ t f x (t) dt = X					oo
			a— b		\ te~atdt 4-
		о			J
					о
+ - — -	^ te~bidt	[ a- ь op-		b — l	J _ l_ J_
b — a	.)			b — a b2 J		X 1 12 *
	о

Сравнивая это выражение с выражением для математического ожидания случайной величины Г0, убеждаемся в том, что для любых К>0 и р > 0 значение ?0>Г Ь

82

Это объясняется тем, что система будет блуждать по состоя­ ниям х0 и Х\ в среднем больше, если она в начальный момент

находится

в

состоянии

х0. На

рис. 2.7.4в показаны

графики

плотностей распределения f0(t)

и f\(t) при Я = р=1.

2.7.5.

Через систему ПВО прорывается группа самолетов,

состоящая из т постановщиков помехи одного бомбардировщика.

Огонь сначала ведется по постановщикам помех, а затем по бом­

бардировщику.

Поток

пусков

ракет

можно

считать

пуассо­

новским

с

интенсивностью Я;

вероятность

поражения

одной

ракетой одного

самолета (лю­

бого)

равна

р.

После пораже­

ния самолета огонь

мгновенно

переносится на следующий са­

молет. Время

нахождения са­

молетов в зоне обстрела ПВО

равно

т. Определить

вероят­

ность того, что за время обстре­

ла т бомбардировщик будет по­

ражен.

Р е ш е н и е .

Группа

налетающих само­

летов может быть в следующих

состояниях: Xi — сбито

i само­

летов

(/ = 0,

1,

2,..., т + 1 ) .

Граф состояний системы по­

казан

на

рис. 2.7.5а.

Величина

/ч

определяется

следующим

образом: К\ = ЯР.

Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом,

изображенным на рис. 2.7.36*

^ 7

I

| ^ 7

\

1

Следовательно:

'V

dpm-t-1 (') h (V)"1

**

.-М

dt

т\

Рис. 2.7.5а

где pm+\(t) — есть вероятность того, что к моменту t бомбарди­

ровщик будет поражен.

Тогда искомую вероятность найдем по формуле

ут-ы	dPт+1(О	d t = \ —R(jn, >ux),
	dt

где R(m, а) — табулированная функция (см. приложение).

83

Лг.пример, при Х=1 ------;			т=16 мин; /7 = 0,5; т = 10 получим
		мин
	(х) =	1—/?( 10,8)==1 —(1 —0, 184)=		0Э184.
2.7.6.	Граф	состояний	системы приведен	на рис. 2.7.6а. Из­

вестна интенсивность пуассоновского потока событий 'k(t), пере­

водящего систему из состояния	х$. Известно		также,			что при
	выходе		системы				из со­
	стояния х0 она					с	веро­
	ятностью				оказывает­
	ся	в С О С Т О Я Н И И				X i	(/= 1,
	2,	...,	п).		Определить
	а)	интенсивность					пуас­
	соновского				потока			со­
Рис. 2.7.6а	бытий,			переводящего
	систему			из	состояния
	х0	в состояние					х\	и

б) вероятность pi(t) того,	что к моменту	t	система	будет в со­
стоянии x it если в момент t = 0 система была в состоянии х0.
О т в е т
	t	-	| X (х) dx
а) >-|(0 = Ч 0 Йо	б)/7,(/)= ( >ч(~)е		0	d-.
	О

При л(/) = \ = const получим:

	a)	\ l= \ql) б)	Pl(i) = q,[ 1— е~и ].
2.7.7.	Граф	состояний	системы имеет вид, показанный на

рис. 2.7.7а. Требуется найти закон распределения времени Г0,1 нахождения системы в состояниях х0, хх в стационарном режиме,

если интенсивности всех потоков равны 1----

сек

Ре ш е н и е

Всоответствии с графом состояний система из группы со­ стояний х0ч Х\ может попасть только в состояние х2. Попав в со­

стояние х2, система с вероятностью 7г перейдет в состояние х0,

либо с вероятностью 72 — в состояние х3 (а оттуда в состояние *i). Следовательно, блуждание в группе состояний х0, Х\ с равной

вероятностью 72 может начаться из состояния х0 или из состоя­

ния Х\ . Граф состояний подсистемы X, с помощью которого мож­ но найти искомый закон распределения времени Г0,1 блуждания по состояниям х0, хи представлен на рис. 2.7.76.

84

Этот граф с точностью до обозначений интенсивностей пото­ ков событий совпадает с графом, изображенным на рис. 2.7.46. Следовательно, и решение с точностью до обозначений будет таким же, как и в примере 2.7.4.

Таким образом, если блуждание начинается из состояния л*0,. то плотность распределения времени Тол будет равна

_ з - УГ t	_ з + /5~	t
m = e- — -—	— -—	( < > о ) .
V 5

Если блуждание начинается из состояния х\, то плотность рас­ пределения времени Тол будет равна

3 + V 5	3 - / 5
	К — Ч - 3- # )
т = -	{t > 0).

Уъ

Сучетом того, что блуждание в состояниях х0\ х{ может с веро­ ятностью 72 начаться из состояния х0 и с вероятностью 7г — из состояния Х\, получим следующее выражение для плотности, распределения времени блуждания в состояниях л:0; Х \ \

	/о,1 (0 = 4" 1/о (*) +			f i	=
	_	_ 3 +	t	_		(t> 0).
= —	( / 5 - 1 ) 6	2	- f ( / 5	+	l)e'
4 У	5 L

8S

График этой функции представлен на рис. 2.7.7в. Математическое ожидание времени пребывания в состояниях

-т0, Xj будет равно

/о,1= \ i/o.i{t)dt=-Y сек.

О

2.7.8. Автомашина при ее эксплуатации может находиться в следующих состояниях:

	— исправна;
	A'I — неисправна, проходит осмотр, ко­
	торый проводится с целью опре­
	деления вида ремонта;
	а'2 — неисправна, проходит капиталь­
	ный ремонт;
	а'з — неисправна, проходит средний ре­
Рис. 2.7.8а	монт;
	лг4 — неисправна, проходит текущий ре­
	монт.

Граф состояний автомашины показан на рис. 2.7.8а. Среднее время межремонтного пробега равно 10. Среднее время осмотра машины равно t\. После осмотра автомашина подвергается капи­ тальному ремонту с вероятностью q2i среднему ремонту с веро­ ятностью <7з и текущему ремонту с вероятностью (<72+<7з4-<74= = 1). Среднее время проведения капитального ремонта равно t2,

среднее время проведения среднего ремонта равно /з, среднее

время проведения текущего ремонта равно /4. Определить веро­ ятность того, что машина будет исправна (для стационарного режима), вероятность того, что время простоя машины будет не более t и среднее время простоя машины.

Р е ш е н и е

Найдем интенсивности потоков, переводящих автомашину из состояния в состояние:

/ OA =	~ Zr ;		<7? .		__	Яз .	\	Я 4 .
		м , 2 =	__	У	/•1,3 =	------- I	Л 1 ,4 =	— ,
	*0		и			/ 1		h
л2,0 =	1		1
	— ;	^‘З . о =	__	У	' • 4 , 0 =	—
	h		h			и

Считая, что все потоки простейшие с выше указанными интенсивностями, найдем вероятность р0 того, что машина будет

исправна для стационарного режима. Решим соответствующую систему однородных алгебраических уравнений:

о = — ^0,1Ро+ *'2,0Р2“Ь ^3.0Pz ^4,0^1>

86

	0 =		— (^1,2+ ^1,3 ~г м,4) Р\ *Т A0,l/V>
	0 =		—>-2,0^2 -Г- ^1.2^1;
	0 — — X3i0/73				h t3Pi\
		0 =	—^4,0^4			,4Р\-
Решение этой системы				уравнений,			удовлетворяющее				нормиро­
вочному условию
имеет	вид [см.	(2.5.10)]			/2=0* = 1 ’
	Ро=----------:-------;------г ------- г--------- ;------									;	(2.7.8)
		+	Л0,1		(	Л1,2	Л1.3	^1.4	\
			-------		1+	----- + ------- + 1----
			2 J		\	/,2,0	Л3.0	4 о	/
			;=2
	' • 0,1		Р6	Pi='				Ро (* =	?,	3,	4).
	/'г
	2 4 ;					4 о 2	h
	7 = 2					J=2
Таким	образом,	вероятность того, что машина							исправна, нами
найдена.
Для отыскания вероятности того, что время простоя машины
будет	не более	t,	требуется			найти
закон	распределения			времени		про­
стоя, т. е. закон		распределения вре­
мени	Г], 2, з,4 пребывания				в состоя­
ниях *1, *2, *3, *4.
Граф подсистемы X, с помощью
которого можно отыскать закон рас­
пределения времени Гь 2, з, 4, показан
на рис. 2.7.86.									Рис. 2.7.86
Соответствующая				этому		графу
состояний система			дифференциаль­
ных уравнений имеет вид
	*?,«>		_
	dt			]=2
	dPi (О		-4оЛ(0 + 4/Л(0					(*= 2,3.4);
	dt
			7= 2

87

Начальные условия для решения этой системы определяются из соотношения

р Л о)= 1 ; л (0 )= о ц ф 1).

Для сокращения записи введем обозначение

4

- __У2 ~Я Уз Я \__ \

С учетом начальных условий к принятого обозначения вероят­ ность p\(t) определится по формуле

РА Я= е - м

Вероятность pi{t) найдем из выражения

P i( t ) = e l 'r -> - uГ\ e	d t _	* \ л	е -'* "1].
о	#i — '«.о
При равенстве Х|Л= а, будем иметь
p i{t) = XxJ e - ^	(i= 2 ,	3,	4).

Вероятность p0(t) найдем, интегрируя последнее дифферен­ циальное уравнение системы:

P o (0 = J y£ h . o P i ( t ) d t = 2		Х,.° J PM)dL
О1=2	/=2	О

В случае, когда >./.0 Ф >ч, имеем

i —2

= £	> . / .
й	M

* LO		1			I
0 [ -	~ e~ Af0< -	^	*	-	l•
L	'-o				J

В случае, когда >.j.o=>-,			(/= 2 ,	3,	4), имеем
	4	t		4
Я	/=2	о	^	■	' Л = £	- ^	Ч 1 - C V + 1
				i = 2
Если для некоторых значений i величина А.,-,0=?ч, а для дру­
гих значений i	и $ ф } . и		то выражение для р0(0			(в соответствии
с правилами	интегрирования			дифференциальных			уравнений)

88

будет представлять линейную комбинацию полученных решений. Например, если ^i,o= Ai, Х2,0=7^1 и Хз,0=7^ 1, то можно записать

следующее выражение для вероятностей po(t):

^ W= H r -	[1 - ( V + 1 ) *"Х,Ч Z Х/-° - Г ^ Т - х
Л1		1=3	—Л1,0
X	1 — е - х/,о*	1 -
	4,0

Таким образом, функция распределения случайной величины Т12,3,4 найдена, так как

Я(Г1,213,4 < 0 = ^1.2.3.4(0=]5о(0-

По условию задачи вероятность того, что простой машины продлится не более времени t, и равна найденной функции рас­ пределения случайной величины Т\у2,з, 4-

Для нахождения среднего времени простоя 11,2, з, 4 можно при­

менить два приема. Первый прием заключается в том, чтобы вос­ пользоваться найденным законом распределения случайной ве­ личины 7^2, 3, 4.'

_	х .	A	t ^
	^1 , 2 , 3 , 4 = ^ t d F 1 , 2 , 3 . 4 (0 = ^ ^ , 0 \ t p t { t ) d t .
	0	i=2	о

Однако если требуется найти только математическое ожида­ ние 2,3, 4, то можно обойтись и без закона распределения, а

воспользоваться эргодическим свойством. В соответствии с гра­ фом состояний, изображенным на рис. 2.7.8а, среднее время пребывания в состоянии х0 равно

/ п = -

Л0,1

С другой стороны, на основании эргодического свойства для стационарного режима работы системы имеет место равенство

Ро==т — *

го ^ Ч, 2, 3, 4

откуда выражение для среднего времени простоя машины будет

1 —р»

1 1 , 2 , з, 4 — ^0

89

где ро определяется из выражения (2.7.8):

Ро=	1
	4
1 +	1 + V

2.7.9. Исследуется процесс чистого размножения, граф кото­ рого приведен на рис. 2.7.9а. Ограничений на число состояний

Рис. 2.7.9а

никаких нет. Плотность потока, переводящего процесс из состоя­

ния хк в состояние xh+x (ft = 0,	1, 2, ...), определяется формулой
лЛг=Х0аЛ(а > 0 )	(ft- 0 , 1, 2 ,...) .

Определить при каких значениях а возможно явление «взры­ ва» и найти выражение для вероятности pk{t) того, что к момен­ ту t процесс будет в состоянии хк, если в момент / = 0 он был в состоянии х0.

Р е ш е н и е Найдем, при каких условиях ряд (2.5.14) расходится:

пп

Последнее выражение имеет конечное					значение	при а> 1 .
Следовательно, для		того чтобы ряд	2	Т~	расходился, нужно
соблюдать	условия	0 < а ^ 1 . Таким	*=о	*		«взрыва»
			образом, явление
возможно	при о > 1 .	«Взрыв» в данном		примере означает, что

имеется конечная вероятность того, что система за любое, даже

малое, время Д^>0 перейдет в состояние со сколь угодно боль­ шим к.

Для отыскания вероятности pk(t) можно воспользоваться

решением задачи 2.7.3. Действительно, граф, изображенный на рис. 2.7.36, до состояния хк совпадает с любым участком графа,

90