книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Рассмотрим прямоугольное се­ чение, которое нагружено изгибаю­ щим моментом Л4ПЛ = сМт, где М т— момент, соответствующий на­ чалу фибровой текучести; с = = f(ep) — коэффициент, зависящий от степени развития пластических деформаций в сечении. Максималь­ ная фактическая пластическая де­ формация в крайней фибре

вр, m ax = Вт ( У (3 — 2с)- 1 ■l) .

Максимальная пластическая де­ формация, определяемая из пер­ вого приближения метода упругих решений (для диаграммы Прандтля)

ер.<тах = Л1п л /(^ ) —8Т= 8Т(С—1) .

Тогда отношение этих деформа­ ций

8р m ax	У (3 —2 c)-i— 1
о* <1>	с— 1
°р max
	(3.13)

пени с исчерпания несущей спо­ собности

Для прямоугольного сечения 1 < с < 1 , 5 . Исследуем, какие значения получает при этом а. При с — 1, раскрывая неопределен­

ность вида 0/0, получим а		= 1; при с >	1 величина а > с > 1,
a при с	1,5, значение а	оо.
Таким образом, получаем, что при с >			1 величина а > с. Из за­

висимости а = f (с) (рис. 3.5) видно, что при значительном развитии пластических деформаций сходимость метода упругих решений мо­ жет быть медленной. Для у л у ч ш е н и я с х о д и м о с т и пластическая деформация, найденная из первого приближения, мо­ жет быть увеличена по крайней мере в с раз. На рис. 3.5 отмечены границы максимальных пластических деформаций: 1) ертах = 0,0006 при с — 1,25, а а = 1,65; 2) spmax = 0,0025 при с = 1,43, а а = 3,9. В вычислениях с принято ат = 320 МПа. На рис. 3.5 показана также функция пластичности А. А. Ильюшина для крайней фибры

сечения со (с) = 1 — У З—2с; при с = 1	значение со = 0 (пласти­
чески деформации отсутствуют), а при с =	1,5 значение со = 1 (плас­

тические деформации в крайней фибре по значению стремятся к бесконечности).

Оценим сходимость метода упругих решений (в трех вариантах) при различных значениях а для некоторого сечения, состоящего из семи сосредоточенных площадей, соединенных между собой абсолют­ но жесткой на сдвиг стенкой нулевой толщины (рис. 3.6). Характе-

ристики	сечения:			J	== 28 см4;
Zmax =	3 CM;		fyttf =		9,3 33 (Тт.
Рассмотрим случаи:				1) aj= 2,8;
Ершах =	ертах^Бт =			0,5; ®шах =
= 1,5; Мпл =^П ,0ат; 2) а = 4,7;
Epmax ~	1 î	Етах “		2;
= 11,33 аТ.			деформирования
Диаграмму
принимаем по Прандтлю. Общие
деформации в точках сечения
	е _	Мпл~гAMi
			£7фН1
	1	Г	z2		dFt АМ1==
при фщ •-= —		\	-------:—
Рис. 3.6. График для оценки сходи­	J	J	1 +Vfîp

мости	метода упругих решении
(А. Ильюшин — v = 0 ,		И. Биргер —		dF.
v ~ l,	автор — 0< v < l )	по деформа­	1 +
	циям и усилиям			V8p
Вычисления проведем для трех случаев: v =			1; v =	0, v = 0,5,

что соответствует методам переменных параметров упругости фи, дополнительных нагрузок AM и комбинированному методу автора

Фш и AM 2. Покажем ход вычислений в первых двух приближениях для а = 4,7; М ил = 113,3^т (в ныотон-саитиметрах).

	Первое	приближение		ер = 0;	Е\ =	Е. Упругие	напряжения
	в точке 3		= Мпл		113,3ргт
		О* U)		2тах —		3 = 1,214сгт
		и 3 шах	J		28
	в остальных точках напряжения не интересны).
	Упругие деформации в точках 3, 2> 1:
		а? <*>
	Е* (1)	и3 max					0,405 ~ .
		=	1 ,2 1 4 - ^ ;		= 0 ,8 0 9 - ^ - ; eî <I >=
	63 шах

Деформации co(1) и е**1) вычислены, исходя из гипотезы плоских сечений.

По деформациям определяем напряжения в упругопластической стадии в первом приближении в точках 5, 2, 1:

Сз1 ) = сгт; сг^ = 0 ,809сгх; о ^ ^ О ^ О б а х .

Пластические деформации первого приближения в точках 3, 2,1

врУ = е з (1) — !Y ~ =0,214aT/£; е^> = 8 ^ ' = 0 .

Изгибающий момент в результате первого приближения (по дан­ ным комбинированного метода).

= 2ат (3.1 + 2‘0,809 +1.0,405) = 10,06<тт .

Во втором приближении на основе пластических деформаций первого приближения вычисляем величины д л я м е т о д о в :

1) переменных параметров упругости (v = 1)

^н2)= ~j~ (T J I T

12)= °-836б;

2) дополнительных нагрузок (v = 0)

дД4(а,= 2ат (0,214• 3) = 1,285сгт;

3) комбинированного (v = 0,5)

M,V = - J

+ 2*+1* ) = 0,9378;

ДМ<2>=2<Тт (1 — 0,5) ~ j2) ^ 3, = 0 '5806(rT •

Упругие напряжения во втором приближении по рассматривае­ мым методам:

	1) а* <*>—£•£*> Мдл2			1	М ддг
			1	+ё),1) ’	:
2) а* ta» = £* fa> Mna+ ^ Ml		) 2 _		1	УИП„+Д/М<2) ■г;
	EJ		1 +~41)
3) а*	<«	г~	-	1	Мпл+Д/ИР	г-
				“(1) '	-----
	'ЙГ		1	+«У'	W

С целью сокращения числа вычислений определим сразу деформа­ ции по каждому методу по формуле е*<2>=0*(2)/£*<2) в точках 3,2, /:

1)е?<а>=3- 11,33 + =1,369<гт/£ ; 28-0,8666 Е

е | <а) =0,9131сгт/Я; EJ ‘«>=0,4563(Ti /£;

2) е* (а>= 3 - П,33+ 1|2— ~—~ = 1,352ат/ Е;
	28	ь
	е | <*> =0,9013crT/£;	ej <2) =0,4507<гт/£ ;
3)	11,33+0 >5806
	eî<*>=3
	28-0,9378
е? (s) = 0,9074<тт/£;		е} <а>= 0 ,4536ат/ £ .

Пластические деформации имеют место только в точке 3 (см. рис. 3.6), которые по рассматриаемым методам можно считать рав­ ными (учитывая, что напряжения в этой точке равны <гт):

1)eJ$>=0,3696<JT/£ ; 2) е£а>=0,3520сгт/£ ;

3)e<V=0,3611aT/£ .

Напряжения в упругопластической стадии во втором приближе­ нии легко определить для диаграммы Прандтля по значению дефор­ мации при ер Ф 0, о == о+ Общие же формулы для напряжений в

		Значения параметров по методам
	И. А. Биргера		А. А. Ильюшина			Автора	(V= Q,5)
	♦ и	—*	Ш	—*	^ n ï	Ш х	R*
		Ер шах		8р шах			вр шах
			П р и	а = 2,8
1	1,0	0,1786	0	0,1786	1,0	0	0,1786	9,925
2	0,9026	0,3058	1,071	0,2934	0,9473	0,4918	0,2997	10,33
3	0,8495	0,3874	1,760	0,3672	0,9162	0,7820	0,3778	10,59
4	0,8205	0,4364	2,203	0,4146	0,8980	0,9533	0,4264	10,75
5	0,8054	0,4646	2,488	0,4451	0,8870	1,054	0,4560	10,85
6	0,7960	0,4805	2,671	0,4647	0,8800	1,114	0,4738	10,91
7	0,7920	0,4893	2,788	0,4773	0,8780	1,149	0,4845	10,95
8	0,7888	0,4941	2,864	0,4854	0,8746	1,170	0,4909	10,97
9	0,7874	0,4968	2,912	0,4906	0,8733	1,182	0,4946	10,98
10	0,7866	0,4982	2,944	0,4939	0,8725	1,190	0,4968	10,99
00	0,7857	0,50	3,00	0,50	0,8714	1,20	0,50	11,00
			П ри	а = 4 ,7
1	1.0	0,2142	0	0,2142	1,0	0	0,2142	10,06
2	0,8866	0,3696	1,285	0,3520	0,9378	0,5806	0,3611	10,55
3	0,8265	0,4692	2,112	0,4406	0,9017	0,9177	0,4558	10,86
4	0,7947	0,5280	2,643	0,4975	0,8807	1,113	0,5142	11,01
5	0,7726	0.5716	2,985	0,5341	0,8672	1,276	0,5580	11,04
6	0,7582	0,6122	3,296	0,5674	0,8544	1,384	0,5949	11,06
7	0,7360	0,6499	3,584	0,5983	0,8439	1,498	0,6292	11,09
8	0,7208	0,6846	3,852	0,6270	0,8344	1,601	0,6628	11,11
9	0,7075	0,7164	4,100	0,6536	0,8250	1,699	0,6920	11,13
0	0,6956	0,7465	4,331	0,6783	0,8176	1,783	0,7189	11,15
сю	0,6080	1,00	7,320	1,00	0,7450	2,572	1,00	11,33
П р и м е ч а н и я :		1. Значение Мцл вычислено только для комбинированного метода.
		2. Значения	Л1Т= 9,333; ДЛ1 и Мцл надо умножить на а т .

упругопластической стадии по рассматриваемым методам имеют вид:

1) о = --------— 7- е* <“>; 2)		(Т=£е*<2)	- < х т 1<2>;
1	+ъу>
3) о=	р* «>-	Е ( 1 -Y )	,
		-------- =—	s ' s >
		1 +увР	р

Подставляя сюда значения деформаций,^ИЙ ПСполучим для точки 3:

1) о ‘*>= Е •1,3696<JT/£ = <JT;

1 + 0,3696 2)а<** = Е • 1,35йат/ Е —<гт*0,352 = (Тт;

3) о<*> = £	1,361	Ст	£ (1 —0,5)	(Tip
	1Н-0,5'0,3611	£	0,3611	От*
			l-bO.5-0,3611

По результатам комбинированного метода изгибающий момент, соответствующий второму приближению:

= 2ат (3.1 + 2.0,9074 + Ь0,4537) = 10,55ат .

В третьем приближении вычисления ведем аналогично, при этом

вкаждый метод подставляем соответствующие (свои) деформации. Анализ результатов расчетов для первых десяти приближений п

(табл. 3.1, рис. 3.6) показывает, что сходимость метода упругих решений существенным образом зависит от величины а. Необходимо отметить, что при значениях а >> 3 допустимый момент увеличива­ ется незначительно: при а = 2,8, М пл = 11,0 ат; при а = 4,7, М пл = = 11,33 ат. Это означает, что несущая способность сечения практи­ чески используется полностью при значениях а < 3. Для изгибаю­ щего момента сходимость более быстрая, чем для пластических де­

формаций. Так при а = 4,7 и п = 10 M£i0) = 0,985 М пл, a7j;<10>=

=0,72 ер. Метод переменных параметров упругости дает более в ы-

со к у ю скорость сходимости, чем методдополнительных нагрузок.

Комбинированный метод занимает п р о м е ж у т о ч н о е поло­ жение между этими методами. При а < 3 все три метода упругих решений дают очень высокую скорость сходимости всех параметров (см. табл. 3.1).

Вопросы сходимости метода упругих решений исследовались с общематематических позиций [151; при этом указано, что сходимость метода переменных параметров упругости доказана для всех значений функций о < 1, а метода дополнительных нагрузок — для со С 0,5. Сходимость комбинированного метода, по-видимому, лежит в промежутке 0,5 < ш < 1 и зависит от величины v. Однако имеются пути улучшения сходимости метода упругих решений, как например, показано выше, путем увеличения ер, найденного из 1-го приближения.4

4. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ КРИТЕРИИ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ СПОСОБНОСТИ ПРОЛЕТНЫХ

СТРОЕНИЙ

4.1. ВИДЫ ДЕФОРМАЦИОННЫХ КРИТЕРИЕВ

Общие требования к мостам коротко можно сформулировать так— обеспечение надежности, удобства эксплуатации, экономичности. Надежность сооружения при проектировании обеспечивается выбором материала и соответствующими методами расчета и конст­ руирования. При этом критерием служит ограниченная повреждае-

мость материала, гарантирующая заданную эксплуатационную проч­ ность. Удобство эксплуатации при движении транспорта по мосту регламентируется нормами жесткости (прогибов) от нормативных (эксплуатационных) и расчетных нагрузок. Экономичность сооруже­ ния зависит от выбора системы конструкции и рациональных ее па­ раметров, приводящих к минимальному расходу материала.

Этим требованиям может удовлетворить система деформацион­ ных критериев эксплуатационной способности, сформулированных на базе строительной механики. Предлагаются следующие три ана­ литических д е ф о р м а ц и о н н ы х к р и т е р и я :

1. Интегральный критерий деформативности системы, за кото­ рый принимают значение дополнительной энергии £/*, совпадающей для упругой области с потенциальной энергией внутренних сил (энергией деформации). Жесткость системы под заданными нагрузка­ ми может характеризоваться величиной J = 1 /£/*

2. Критерий деформаций (перемещений) узлов и элементов сис-

А ди

темы Д* = ^ ; по направлению действия силы жесткость ] =

=Я|/Л*.

3.Местный (физический) критерий интенсивности ограниченной пластической деформации е*р в сечении или точке. Жесткость, на­ пример, сечения В = ЕЛр приф = / (е*р).

Рассмотрим более подробно перечисленные критерии.

И н т е г р а л ь н ы й к р и т е р и й деформативности харак­ теризует поведение системы в целом и связан с энергией системы. Дополнительная энергия

где Од — среднее напряжение в точке; /С0 — объемный модуль упругости.

Наиболее жесткой при заданном объеме материала является сис­ тема, обладающая минимальным значением дополнительной энер­ гии. Реальное использование этого критерия возможно при решении задачи рациональной компоновки конструкции, при сравнении раз­ личных конструкций с целью оценки их общих свойств.

Рассмотрим пример с изгибаемой балкой в упругой области. По­ тенциальная энергия внутренних сил

г	М2 dx	,	Г	Q2 dx
J	2EJ	+	J	2GvF

Оо

где V — коэффициент формы сечения.

Задача определения минимума функционала U при постоянном объеме V материала — изопериметрическая задача вариационного исчисления. Поставим задачу определения минимума U для балки

прямоугольного сечения в зависимости от функции высоты h (х) балки при постоянной ее ширине b:

I	I
U — \(D(x, Л) dx при	[ h (х) = const,
о	6

Уравнение Эйлера для рассматриваемого случая имеет вид:

Л)-ЛАМ] = 6,

где К — постоянный коэффициент, определяемый из условия неизмен­ ности объема материала.

Раскрывая выражение для Ф (xf ft), получим

М*	ÔJ	Q2	OF	или
2EJ *	а/х	2GvF
36Л4а		2(1 + |i)g		/с=о,
~~ 2ЕЫ*		2Evb№
Принимая в рассматриваемом примере критерий текучести в от­
дельных точках M /W =	/?, 3Q/(2bh) = /?т, получим
		1		(4.2)

V

Данная зависимость характеризует связь между предельными допустимыми нормальными и касательными напряжениями в каж­ дом поперечном сечении балки из условия минимума потенциальной энергии внутренних сил всей балки. Такая балка к тому же облада­ ет максимальной жесткостью по сравнению со всеми другими этого типа.

Таким образом, интегральный критерий деформативности харак­ теризует общие свойства системы и тесно связан с критериями не­ сущей способности материала в сечениях или точках системы.

К р и т е р и й д е ф о р м а ц и й (перемещений) узлов и элементов является одновременно интегральным (по отношению к деформациям в сечении, точке) и дифференциальным (по отноше­ нию к энергии) и служит для оценки эксплуатационных качеств со­ оружения. Жесткость в этом случае определяется по заданным на­ правлениям действия сил (в частности, условно приложенных, еди­ ничных).

М е с т н ы й к р и т е р и й интенсивности ограниченной плас­ тической деформации является физическим критерием и характери-г зует, с одной стороны, степень исчерпания несущей способности, а с другой — степень повреждаемости материала при данном наряжен- но-деформированном состоянии. Жесткость в этом случае служит в том числе и функцией пластической деформации и, например, для прямоугольного сечения и диаграммы Прандтля:

B = BJ, V * = E

2=2-1

и

Критерий пластической деформации — дифференциальный по отношению к перемещениям узлов и элементов конструкции. На­ пример, для изгибаемой балки.

d2 w

где EQ — упругая деформация в рассматриваемой точке.

Таким образом, рассмотренные три уровня аналитических де­ формационных критериев всесторонне характеризуют поведение как всей системы, так и отдельных ее элементов, и могут быть использо­ ваны при проектировании сооружений. Эти критерии позволяют также с различных позиций оценивать эксплуатационные свойства сооружения.

4.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИТЕРИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ

Допуская пластические деформации в расчетах сечений элемен­ тов пролетных строений на прочность, целесообразно их форму ос­ тавить о б ы ч н о й , что удобно для практических расчетов. Рас­ смотрим расчет сечения с одной вертикальной осью симметрии при действии изгибающего момента.

Возьмем случай диаграммы деформирования с линейным упроч­ нением (см. рис. 3.1, б). Она может быть использована для сталей вы­ сокой прочности, а также и для обычных в предположении a t = 0. Диаграмма с линейным упрочнением характеризуется следующими параметрами: Е = tg а; £ ' = tg аг; Я = 1 — ЕЧЕ (параметр разу­ прочнения). Функция пластичности Ильюшина для такой диаграм­ мы: ю = Я (1 — ет/е). В пределах упругости зависимость между на­ пряжениями и деформациями: а = Ее. За пределами упругости эта зависимость выразится так:

сг = Яет + £ ' (е—ет) = Е (е—ер) .

Отсюда можно получить выражение для деформации:

етах = вТ+ Врщах/Я.

Для того чтобы выразить изгибающий момент в сечении через пластическую деформацию, необходимо рассмотреть распределение деформаций .и напряжений в сечении (рис. 4.1, а). Учитывая при этом справедливость гипотезы плоских сечений, имеем

^упр	8т	,	,	Зр max	\ 1
Нв	---------- Н	«упр =	KQ «в при	®т	/
	8тах

Распределение напряжений в сечении следует зависимостям:

вупругой зоне <тупр = aTz/ftynp;

впластической зоне оал = <гт [1 + (1 — Я) (z/hynp — 1)].

Рис. 4.1. Эпюры н график для сечений в упругопластической стадии при дей­ ствии нормальных напряжений

Положение	нейтральной оси упл		определяется из условия
J odF = 0 или
|	SE- +	Пуцр	(4.3)
^уПр			7

Здесь от — напряжение, соотвествующее пределу текучести; Synp — статический момент упругой зоны относительно оси уПл*» F jj

— статические моменты (относительно оси упл) и площади верхней и нижней пластических зон.

Решая это уравнение для конкретных типов сечений, можно по­ лучить величину Д (см. рис. 4.1, а), определяющую положение ней­ тральной оси у пл по отношению к центральной оси г/упр. Тогда изги­ бающий момент в сечении

Л1ПЛ= [ а г^ = а т [ г уПр + - ^ (4 S ? + 4 5 ,) + * (s S ÿ + S Î ÿ )]. (4.4)
	F
где	№упр — момент сопротивления упругой зоны относительно оси упл\
^пл	— момент инерции верхней и нижней пластических зон относитель­
но оси упл.

В зависимости от величины Бр т а х и параметров сечения имеет

место односторонняя текучесть при ка ^ ьт 1п~тГа Для слУчая		^”л =
"max “Г**	^	д
= SîLi = Fnn = 0 (см. рис. 41), а двусторонняя при ка <		•

Для практических расчетов удобно изгибающий момент в упруго­ пластической стадии представить в виде:

Млл — сМ? —сатJIЛтах »			(4*5)
при С = [ ^ у п р + - ^ № , + 4 2 ? ) + * № +		s W ) ] l
где МТ — момент, соответствующий	появлению	фибровой	текучести;
J — момент инерции исходного сечения;	Wmin — наименьший		момент со­
противления исходного сечения.

Рассмотрим п р я м о у г о л ь н о е							сечение шириной b и вы­
сотой Н.
Для диаграммы деформирования с упрочнением
Л4пл = 2£У *Я-упр			\ "упр		Ь№		ЬНупр	при Яупр =	ка Н.
							12
Тогда коэффициент
				1—1		1	, .
			с= -§ -	1 . — -		т	Я/с^
			2		*,
При X = 1 (диаграмма без упрочнения) имеем С = 3/2 — 0,5
при ер	оо, ка = 0 и с =			1,5 (пластический шарнир); при ер = 0,
К(у == 1 и	с — 1.	для	к о р о б ч а т ы х				и д в у т а в р о в ы х
Аналогично
сечений получим:
	с	1-Я , л 3 + 6а-к%				при	_2 ^п
		л»	+	2+ 6а			2 ^ст
где S^n, 2 ,FCT — суммарная площадь полок и стенок.
В случае диаграммы Прандтля в полученных формулах необхо­
димо принять X = 1 и
			/С„—(1+ £ 8рт ах/<Ут)				1*
Рассмотрим в		качестве примера			прямоугольное сечение. Пусть				ат =
= 320 МПа; ер т а х = 0,25%				и Я =	0,9.	Производим вычисления:			kQ =

1.= 0,355; С = 1 0,9+0,1/0,355— 0,5-0,9-0,3555=

1+2,1 -105. 0,0025/(0,9*320)

= 1,575. Полагая Я = 1, будем иметь ка = 0,379; с = 3/2 — 0,5*0,3792=

= 1,428.

Из этого следует, что учет упрочнения в размере Е'/Е = 0,1 дает несущую способность при изгибе выше на 10% по сравнению с диаграммой Прандтля. Зависимость коэффициента с от пластической деформации (для диаграммы Прандтля) прямоугольного сечения приведена на рис. 4.1, б.

При действии в сечении неравномерно распределенных касатель­ ных напряжений тоже можно допускать ограниченные пластические деформации. Рассмотрим ч и с т ы й с д в и г при изгибе (рис. 4.2).

Закон изменения деформаций сдвига по высоте сечения принимаем в виде у = Ymax (1 — ôp2) при Ymax = у? + уРmai, P = zlh, где а — отношение статического момента площади половины высоты стенки к статическому моменту половины сечения (в общем случае

О = (Ymax — ŸminVYmax. причем Ymax и Ÿmn определяем для упругой стадии). Пластические деформации

Yp=Ymax(l —“P2)—?т .

где ут — отвечающая пределу текучести угловая деформация при сдвиге.