книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfИз лемм 12 и 13 следует, что уравнение (7) всегда имеет, и при том единственный, корень, который мы обозначим через aR (см. рис. 1). Выбор параметра регуляризации а из уравнения (7) будем называть критерием у (принцип квазирешений) .
Т е о р е м а 19. |
Пусть параметр регуляризации otR выбран |
|
по критерию у. Тогда |
|
|
Иш | uR - и | = 0, |
uR = иа . |
(8) |
RvL
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть OL- OLr . Используя экстремаль ное свойство элементов uR , получаем
\\AUR - f \ \ p2 + 0# |
II LuR -g\\% |
+(*R V l2 . |
Следовательно, |
|
|
\\Аиа - f |
+ocR (i>l - R 2), |
|
IILUR -g\\G =R = vL +(R - v L).
Покажем, что значения параметра aR ограничены сверху. Обозна
чим R 0 = (pi |
+ VL )/2, OL0 = OLR q. В силу лемм 12 и 13 при R Е |
||
Е [До, VL ) имеем aR < а 0. Тогда из соотношений (9) |
получаем |
||
Иш \\AUR |
- /I I <liA , |
Иш || £мЛ - £ ||С < ^ |
(10) |
R VL |
R |
VL |
|
и, рассуждая как при доказательстве теоремы 3, из неравенств ( 10) выводим требуемые предельные соотношения (8). Теорема до казана.
4.Итак, выбор параметра регуляризации по одному из крите
риев - р, ^ или у — обеспечивает усиленную сходимость получае мых решений к решению основной задачи. При этом надо апри орно задавать либо требуемый уровень невязки А, либо величи ну R. Нетрудно видеть (см. рис. 1), что задание одной из этих величин, например А, эквивалентно заданию величины
R = R(А) = || ЬиА - g \ \ G>
если элемент й А определен в соответствии с критерием р, или величины
R = Д(А) = || L UA - g ||G ,
если элемент йА определен в соответствии с критерием <р; при этом функциональные зависимости R = R (А) и R =R (А) взаимно однозначны. Аналогичная связь имеет место и между методами выбора параметра по критериям р и <р.
Сформулированные утверждения являются непосредственными следствиями доказанных ранее лемм 12 и 13.
4* |
51 |
З а м е ч а н и е . Пусть аА определен в соответствии с крите рием 0 и А vA. Тогда аналогично теореме 17 доказывается
Те о р е м а 17а. Если параметр аА определен в соответствии
скритерием р, то
lim | иА - и^о | = 0. |
(2а) |
а - VA
Имеют место также теоремы:
Т е о р е м а 18а. Если аА определен в соответствии с крите рием ф, то
lirn |
| йА - Woo |
| = 0. |
(5а) |
|
А VA |
|
|
|
|
Т е о р е м а |
19а. Если параметр OLR |
определен в соответствии |
||
с критерием % то |
|
|
||
lim |
I uR - |
Woo |
| = 0. |
(8a) |
R-+ML
§8 . Метод невязки
иметод квазирешений при точных данных
1.Пусть задано значение А > рА. Определим множество
UA = {wGD: \ \ A u - f ||F <A>.
Условие А > рА обеспечивает непустоту множества UA\ именно, элемент w, решение основной задачи, очевидно, содержится в UA. Более того, множество Uf CUA .
Рассмотрим вариационную задачу: найти элементы иА G UA
такие, что |
|
1»х,(Д)= inf \\Lu —g Нс = II LuA —g Ho. |
(1) |
U e U A |
|
Положим
UA ={UA GUa : VL (A)=\\LUA - g\\G).
Л
Очевидно, UA есть множество всех решений задачи ( 1). Опреде ление элементов иА G UA составляет суть метода невязки.
Т е*о р е м а 20. |
При любом А > цА |
UA Ф ф, т.е. задача ( 1) |
|
разрешима. Более того, |
|
||
а) |
при А = j,iA |
UA = {w}, где и - решение основной задачи; |
|
б) |
при A G (цА, vA) иА G UA, где иА выбран по критерию р; |
||
в) при А > vA |
UA ={ Woo}, где и<» - |
решение вспомогатель |
|
ной задачи (3) § 6. |
|
|
52
Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть А = JJLAI тогда очевидно, что Uа = £//, и задача ( 1) совпадает с основной задачей.
б) Пусть А Е (рл , vA) и элемент ыА определен в соответствии с критерием р. Зададим произвольное е > 0 и пусть ие Е £/д тако во, что || Lu€ - g \\G < J'L (A) + e. Используя экстремальное свой ство элемента иА, получаем
Ф<*д[«д] <Ф<*д К ] < Д 2 +<*дО'/,(Д) + е)2 .
Так как II AUA —f \\F = Д, то из предыдущей оценки следует, что
\\1<ид - ^ ||с < ^ ( Д ) + е.
Л
Таким образом, иа —решение задачи (1), т.е. М дЕ (/д . в) Доказывается аналогично а ).
Установим условия, при которых метод невязки дает един ственное решение. Пусть оператор L обратим, т.е. однородное уравнение Lu = 0 имеет лишь тривиальное решение и = 0. Тогда при любом А > lxа решение метода невязки единственно.
Действительно, множество UAi очевидно, выпукло. Пусть
ии и2 Е Uа . Тогда
т.е. L(ui |
- |
и2) |
= 0 . Следовательно, их = и2 согласно условию. |
|
Из теоремы 20 следует, что метод невязки является вариацион |
||||
ным аналогом метода р. Более того, если UA = и А |
и А Е (рл, vA\ |
|||
то эти методы совпадают. |
|
|||
2. |
Пусть задано R Е [м/,, °°). Это условие |
обеспечивает не- |
||
пустоту множества |
|
|||
UR = {ueD: |
\\Lu-g\\G <R}9 |
|
||
так как |
очевидно, что всегда Моо, решение вспомогательной за |
|||
дачи (3) -§ 6, принадлежит UR . |
|
|||
Рассмотрим еще одну вариационную задачу: найти элементы |
||||
UR Е UR уДЛЯ КОТОРЫХ |
|
|||
цА(Ю = |
inf |
\\A u - f\ \ F = \\AuR - f \ \ F. |
(2) |
|
|
|
и е ,uR |
|
Положим
UR ={uR £ U R : (XA (R)=\\AUR - / | | f >.
53
Очевидно, UR есть множество всех решений задачи (2). Определе-
ние элементов |
П |
Л |
|
решений |
задачи (2 ) составляет суть |
||
и Е |
UR как |
||||||
метода квазирешений. ' |
|
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
21. |
При любом R > pL |
UR Ф ф, т.е. задача (2) |
||||
разрешима. Более того, |
|
|
|
|
|||
а) при R = (iL |
А |
|
|
|
решение вспомогатель |
||
UR ={WOO), где иж - |
|||||||
ной задачи (3) |
§ 6; |
|
|
|
|
|
|
б) при R Е |
(jxL, v i) |
элемент UR Е |
UR , где UR выбран по кри |
||||
терию у; |
|
А |
л |
л |
|
|
|
в) при R > vL |
решение основной задачи. |
||||||
UR = {и}, где а - |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
а) Пусть R = pL . Тогда UR - U L и |
задача (2) совпадает со вспомогательной задачей (3) § 6, решение которой есть элемент иж .
б) Пусть R Е |
(pLi vL ) и элементы uR определены в соответ |
|
ствии с критерием у. Зададим произвольное е > 0 и пусть и€ Е UR |
||
таков, что |
|
|
\\Au€ - f \ \ F < |
piA(R) + e. |
|
Используя экстремальное свойство элемента uR , получаем |
||
Ф<*к WR ] < |
< (Дл(Я) + е)2 +<*дЯ2. |
|
Так как |
|| LuR - |
g \\G = R в силу выбора элемента uRi то из пре |
дыдущего неравенства следует |
||
\ \ A U R |
- / I I р < |
pA(R) + €. |
В силу |
произвольности е и принадлежности uR G UR , получаем, |
|
что UR - |
одно из решений задачи (2). |
в) Случай R > vL рассматривается аналогично случаю а) . Установим условия, при которых метод квазирешений дает
единственное решение. Справедлива Т е о р е м а 22. Если оператор А обратим, т.е. однородное
уравнение Аи = 0 имеет лишь тривиальное решение и = 0, то при любом R > pL квазирешения, доставляемые (2), определяются однозначно.
Доказательство аналогично доказательству единственности ре шений метода невязки.
Из теорем 21 и 22 вытекает, что метод квазирешений являет ся вариационным аналогом метода у. Более того, в условиях теоремы 22 и приR Е (y L , vL ) они просто совпадают.
Заметим, что решения метода невязки при изменении Д в пре делах от р А до + 00 и квазирешений при изменении/? в пределах от P i до + 00 полностью исчерпывают множество регуляризованных решений иа при изменении параметра регуляризации а от О до + °°, включая и его предельные значения мим».
54
§9. Свойства вспомогательных функций
1.Пусть при нахождении приближенного решения основной задачи известны/ Е F и линейные операторы А такие, что
II /- /I IF < 5, \\AU - A U \\F < h \ u \ VwGZ) |
( 1) |
и операторы А и L совокупно замкнуты. Эти условия обеспечи
вают существование и единственность регуляризованных реше ний ыа.
Обозначим
На = inf WAu- f Wp, |
vA = inf \ \ A u - f \ \ F, |
(2) |
u G D |
II G U L |
|
где множество UL определено в п. 2 § 6. Так как предполагалось, что UL Ф 0, то существует, и притом единственный, элемент Woo G UL , для которого
vA = \\А Woo - / I I F .
Это утверждение доказывается аналогично теореме 2 о сущест вовании и единственности решения основной задачи.
Т е о р е м а |
23. |
Пусть а = |
(/?, 5). 7Ъгдя |
lim | Woo - |
Woo |
| = 0. |
(3) |
оО
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем Woo 6 |
, т.е. |
II/.Woo - £ llc |
(4) |
С другой стороны, имеем следующую очевидную цепочку нера венств:
vA < | | |
A Woo |
- / I I F<»A + Л I Woo I |
+ 5 < |
|
< II Aum - f |
Цуг +/? | Woo I + 5 < vA + /z(| Woo I + I Woo I) + 25. |
(5) |
||
При достаточно малых а величины |
| Woo | равномерно ограничены. |
|||
Тогда из цепочки неравенств (5) вытекает, что |
|
|||
lim |
IIAWoo —Л |/г = vA . |
|
(6) |
|
a — О |
|
|
|
|
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3 о сходи мости р.р., убеждаемся в том, что из (4) и (6) следует требуемое предельное соотношение (3).
С л е д с т в и е . Из соотношений (5) вытекает, что
lim |
vA |
= |
vA . |
(7) |
a — О |
|
|
|
|
Так как |
jiA < М м - / |
\\F < V A +й |й | + 5 ,то |
||
lim |
UA |
< |
Ца ■ |
(8) |
о - |
о |
|
|
|
55
Заметим, что (8) имеет место |
равномерно для всех и: \й \ < С |
||||
(где С —заданная постоянная), так как очевидно,что |
|||||
Мл <Мл +hC + 5. |
|
|
(9) |
||
2. Определим вспомогательные функции |
|||||
р(а) = |
|| Аиа - |
/ll/г, |
у (а) = |
|| Lua - g ||G, |
|
5Ка ) = |
Р 2(а) +oty2(ot) |
= Фа [ма], |
a > О, |
||
где йа -р .р ., соответствующее данным / A, g, L. |
|||||
Л е м м а 15. |
При всех а Е |
(0, °°) |
функции р (а ), 7 (a) и <р(а) |
||
непрерывны. |
|
|
|
|
|
Доказательство |
аналогично |
доказательству этого свойства |
для вспомогательных функций при точных исходных данных.
Далее, используя |
теорему |
23, получаем |
аналогично лемме 11 |
||||||||||||
следующие предельные соотношения: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пт |
р (a) = vA , |
|
|
lim |
7 (а) = pL, |
|
|
|
|
|||||
О.'—>оо |
[^(а) - v 2 |
- |
(у |
—►оо |
= 0. |
|
|
( 10) |
|||||||
lim |
|
aju£] |
|
|
|||||||||||
а— >оо |
|
16. Пусть рА < vA. Тогда при |
достаточно малых о |
||||||||||||
Л е м м а |
|||||||||||||||
значения функций |
р(а) |
и |
£ 1/2 (а) |
исчерпывают |
полуинтервал |
||||||||||
[р/4 + НС + 5, |
vА) |
при изменении параметра регуляризации а от |
|||||||||||||
0 do <*>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь | и | < С < |
|
|
|
|
При достаточно малых о |
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|||||||||||||
Мл ^Мл +ЛС + 6 < ^ 4 . |
|
|
|
|
|
(И ) |
|||||||||
Это |
непосредственно |
|
следует из условия р А < v А и доказанных |
||||||||||||
ранее соотношений (7), (9). Далее, так как |
|
|
|
||||||||||||
р2(а )< 1Д(а) = Фа[ма] < Ф ос[й]<(цЛ + hC + 5)2 +av\, |
|
||||||||||||||
то |
при |
достаточно |
малых |
значениях |
параметра а |
функция |
р(а) |
||||||||
(а |
также функция |
|
^ 1/2 (а)) |
принимает значения, |
меньшие, |
чем |
|||||||||
рА + НС + <5. Воспользовавшись соотношениями |
(10) и непре- |
||||||||||||||
рывносгью функций |
|
р(а) |
и <р(а), из сделанного |
замечания |
вы |
||||||||||
водим утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З а м е ч а н и е . |
|
Нетрудно показать, что на самом деле имеют |
|||||||||||||
место более точные соотношения |
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
p(a) |
= |
lim |
0 |
£ 1/2(a) = ДA. |
|
|
( 12) |
||||||
a |
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, |
пусть |
e |
> |
0 — произвольное число. Выберем |
|||||||||||
ис Е D так, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Мл |
< |
\\Аис - /II// |
|
< |
цл |
+е. |
|
|
|
|
56
Используя экстремальное свойство элемента иа9 получаем
UA < Р 2(ог) < ^(а) = Фа [м<у] <
<Фа Ы < (Й4+ е)2 + а || Lue —gWfi.
Всилу произвольности е получаем требуемые соотношения (12).
3.Далее считаем всюду, что выполнено условие цА < vA . Тогда при достаточно малом о справедливо также неравенство
UA <VA .
Аналогично лемме 13 доказывается |
|
||
Л е м м а |
17. Пусть ixA < |
vA и величина о досгаточно мала. |
|
Тогда при всех ос > 0 функции |
р(а) и |
<р(а) строго монотонно |
|
возрастают, а функция у (а) строго монотонно убывает |
|||
Из строгого убывания функции 7 (a) |
при а > 0 следует, что |
||
существует предел (конечный или бесконечный) |
|||
lim 7 (a) |
= 70. |
|
(13) |
а -►О |
|
|
|
Представляет интерес следующее утверждение.
Пусть в соотношении (13) величина у0 < 00. Тогда задача (2) разрешима.
Действительно, из (12) и (13) следует, что величины \иа \ равномерно по ос ограничены при о: -►0. В силу условия дополни тельности равномерно по а ограничены \\иа ||# . Тем самым се мейство {ма } слабо компактно в Н. Будем считать его слабо сходя щимся в Я к некоторому элементу й0 (при необходимости доста точно выделить слабо сходящееся подсемейство), т.е.
сл |
-+ 0. |
|
(14) |
йа и0, ос |
|
||
Из соотношений (12) |
и (13) |
также следует, что семейства {А йа} |
|
и {Ьи^) слабо |
компактны |
в F и G соответственно. Переходя |
при необходимости к подсемействам, считаем, что они слабо схо дятся:
~ |
сл ~ |
сл |
g0. |
(15) |
Аиа |
fo, |
Lua |
||
Из совокупной |
слабой |
замкнутости |
операторов А и L на D сле |
дует, что и0 Е D ;Au0 =/0, Lu0 = #о* Используя свойства слабой полунепрерывности снизу нормы в гильбертовом пространстве, получаем из соотношения ( 12)
\\Au0 - f \ \ p |
< Ит |
\\Айа - П \ Р < Ц А , |
~ |
01 |
0 |
т.е. элемент и0 |
является решением задачи (2). |
|
С л е д с т в и е . |
Из разрешимости задачи (2) при условии |
7о < 00 и из теоремы 3 о сходимости регуляризованных решений
57
вытекает, что элемент й0, построенный при доказательстве лем мы 18, является решением следующей задачи: найти элемент й0 Е U, для которого
vL = |
inf _|| Lu - g \\c |
= \\Lu0 - g \ \ Gi |
(16) |
||||
|
и e и |
|
|
|
|
|
|
где множество U = {и G D: рА |
- \\Аи - |
/1(F ) заведомо непусто. |
|||||
При |
этом, |
очевидно, |
имеет |
место |
предельное |
соотношение |
|
lim |
| йа - |
йо | |
= 0. |
|
|
|
|
а. -*■0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, по существу доказана |
|
|
|||||
Л е м м а |
18. |
Пусть |
lim |
7 (a) = 70 < °°. Тогда задача (16) |
|||
|
|
|
|
а. -+о |
|
|
|
разрешима.
З а м е ч а н и е . Мы не предполагали здесь априори разрешимо сти задачи (2), как это было при формулировке основной задачи, а вывели ее, исходя из поведения р.р. при стремлении параметра регуляризации к нулю. Из сказанного и теоремы сходимости 3 следует
Т е о р е м а 24. Для того чтобы Uf Ф ф, т.е. основная задача
была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы lim 7 (a) < °°. а. -* О
Отметим, однако, что, вообще говоря, элементы и0 не обязаны
|
|
А |
|
|
lim |
^ |
сходиться к решению и основной задачи, даже если |
7 (a) < 00 |
|||||
|
|
^ |
^ |
|
а -►О |
|
при всех допустимых Л и / . |
|
|
|
|||
П р и м е р . |
Пусть |
|
|
|
|
|
Я = F = G = Л2 ={и: м = (мь и2)т}, |
|
|
||||
Lu s |
и, |
Аи = (и ,,0 )г . |
/ = (1 ,0 )т. |
|
|
|
Нетрудно видеть, что общее решение системы уравнений Аи - f |
||||||
записывается |
в виде и = |
(1, О) 7 + г (О, I) 7 ( - 00 < г < |
+ °°). Ре |
|||
шение основной задачи: и = (1, 0) т. Пусть Аи = (и j , h(uх + и2)) 7 . |
||||||
Тогда решение системы Аи - f есть вектор и = |
(1, —1)г , h > 0. |
|||||
Так как |
й0 = м, то й0 - |
и - |
(0, —I) 7 не стремится к |
нулю при |
||
/*-> 0. |
|
|
|
|
|
|
§ 10. Критерии выбора параметра при неточных данных |
||||||
1. |
Снова предполагаем, что ц А < vA - Обозначим через Мс мно |
|||||
жество всех и Е D таких, что |
| и | <С . Предположим, что при не |
котором С решение й основной задачи принадлежит множеству А/с . Построим аналог выбора параметра регуляризации по критерию р.
58
Именно, предположим, что известна оценка сверху меры несовме стности р А, т.е. известна величина цА > рА и задан уровень А:
цА + hC + Ь < А < vA .
Рассмотрим уравнение для определения параметра регуляри зации:
р(а) = Д, р (а) н || Аиа - / | | F . |
(1) |
В силу лемм 16 и 17 уравнение (1) всегда имеет единственный корень аА > 0. Выбор параметра регуляризации из условия (1) будем называть критерием р. Справедлива
Те о р е м а 25. Пусть параметр регуляризации аА выбран
всоответствии с критерием р. Тогда имеет место предельное соотношение
lim |
\иА - и | = 0, йА = йаА. |
(2) |
|||
А — ц Л |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу экстремального свойства эле |
||||
мента иА получаем |
|
|
|||
Ф«д[Ид] < Фа1«]- |
|
(3) |
|||
Так как |
|
|
|
|
|
\ \ A u - f \ \ F < |
II Аи - f\\F +h U? | + 5 < ЦА + АС + 5 < |
А, |
|||
то из оценки (3) следует |
|
|
|||
Д2 + а д || LUA |
< Д 2 + а д ^ , |
|
|||
т.е. |
|
|
|
|
|
II Айд - |
g ||6. |
< |
VJ,. |
|
(4) |
С другой стороны, |
|
|
|||
\\AuA - f \ \ F |
< |
А + А | мд |
| + 5. |
(5) |
|
Из оценок |
(4), |
(5) следует, что при достаточной близости А к р л , |
т.е. достаточной малости А, 6 и £ = рА - р л , величины | иА | равно мерно по этим параметрам ограничены. Следовательно,
lim II ЛйА - f \ \ F < рАч |
lim |
\\LuA ~g\\G < vL. |
A -* ц А |
A - |
H A |
Из этих соотношений, рассуждая как при доказательстве теоре
мы 3 о |
сходимости р.р., выводим требуемое соотношение (2). |
|
З а м е ч а н и е |
1. Если б = А = £ = 0, то критерий р совпадает |
|
с критерием р, рассмотренным ранее. |
||
З а м е ч а н и е |
2. Если априори известно, что мера совмест |
|
ности р,\ |
= 0 ,то |
естественно полагать и р л = 0. В этом случае |
59
уровень невязки А > hC + 5. При h < 5, т.е. когда .погреш ностью аппроксимации оператора А можно пренебречь по сравнению с погрешностью задания элемента / , естественно полагать А = 5.
З а м е ч а н и е 3. В общем случае при применении критерия вы бора р необходимо априорное знание сферы Мс , которой при надлежит искомое решение основной задачи. Это, конечно, затруд няет применение критерия р на практике, если не выполнено усло вие И < 5. В п. 3 будет предложен модифицированный критерий выбора р (обобщенный критерий невязки), свободный от указан ного недостатка (см. также [13]).
2. Построим аналог выбора параметра регуляризации по кри терию ip в случае приближенного задания данных. Будем считать, что рА = 0, vL > 0. Зададим А = \fl{hC + 6) и будем предпола гать h и 5 настолько малыми, что выполняется условие А < vA .
Рассмотрим уравнение для определения параметра регуляри
зации: |
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
= А2. |
|
|
|
|
(6) |
|
В силу лемм |
16 и 17 уравнение |
(6) |
всегда имеет, и притом единст |
||||
венный, корень а А |
> 0. Выбор параметра регуляризации из усло |
||||||
вия (6) будем называть критерием кр. |
|
||||||
Обозначим |
и-д |
= гТд. Используя экстремальное свойство р.р. |
|||||
и решения основной задачи, получаем |
|
||||||
А2 = 4 - |
[йд ] |
< |
|
|
|
||
|
“ д |
|
|
|
|
Д*_ |
|
< |
ф -д [м] < |
(АС + 5)2 +вд * |
2 _ |
|
|||
|
О д Г 2 . |
( 7 ) |
|||||
Из этих неравенств следует оценка |
2 |
|
|||||
|
|
||||||
Лд |
(hC + 5)2 |
Д2 |
|
|
|
||
> |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используя которую, из (7) получаем |
|
|
|||||
\ L t A - g \ \ b |
< |
А2 |
Л |
+*1 = 2р1 |
(8) |
||
+ v\ |
|||||||
|
|
|
|
laA |
|
|
|
Кроме того, так как |
|
|
|
||||
йЛйд - f \ \ F |
< |
у>1/2(ад ) « |
Д, |
|
|
то из неравенства треугольника и условия аппроксимации имеем
\\AHA - f \ \ F < Л | й д 1 + 5 + А. |
|
|
Следовательно, |
|
|
Нт |
\\АйА - f \ \ F = 0. |
(9) |
д |
о |
|
60