книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

Вероятность р называется доверительной вероятностью, она характе­

ризует надежность полученной оценки. Интервал / и= а* ±	ер	называется
доверительным интервалом. Границы интервала а'=а*~	8р	и а"=а* +

+ ер называются доверительными границами. Доверительный интервал ПРИ данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероят­ ности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри дове­ рительного интервала: чем больше величина р, тем больше и величина ер (т. е. чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный Результат, тем в большем интервале значений он может находиться).

Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении

Доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала. Обычно на практике фиксируют на определенном уровне значение до­ верительной вероятности (0,9, 0,95 или 0,99) и исходя из этого опреде­ ляют доверительный интервал результата /р. При построении довери­ тельного интервала решается задача об абсолютном отклонении;

Р( | а* —а | < Е р) = /> (Д а< Е э) = F( ) - F (— = j /(*) d x = p .

-•р

(11.46)

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки я*, задача определения доверительного интервала решалась бы просто. Рассмотрим в качестве такого примера построение довери­ тельного интервала для математического ожидания нормально распре­ деленной случайной величины X с известным генеральным стандартом, Равным ах.

Пусть имеется выборка объема п значений этой случайной величины. Наилучшей оценкой для тх является среднее выборки х:

п

—1=1

х= --------

п

Для построения доверительного интервала необходимо знать рас­ пределение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально, можно показать (например, используя свой­ ство линейности нормального распределения), что х также имеет нор­ мальное распределение с математическим ожиданием тх и средним квадратическим отклонением aF = <JX/V~n. Тогда, используя функцию Лапласа согласно (1.68), получим

Я ( | 1 - т ;Г| < с э) = р = 2 Ф ^ | .

(11.47)

Задавшись доверительной вероятностью Р, определим по таблицам функции Лапласа /гр= вр/ ат. Тогда доверительный интервал для математического ожидания будет иметь вид

или

x ~ h “ == < тх < х + к ^	7 ^ .	(11.48).
V п	у п

Из этой оценки видно, что уменьшение доверительного интервала об­ ратно пропорционально корню квадратному из числа наблюдений. Сле­ довательно, если надо уменьшить возможную ошибку в два раза, необ­ ходимо увеличить число наблюдений в четыре раза.

Знание генеральной дисперсии а£ позволяет оценивать математи­ ческое ожидание даже по одному наблюдению. Если для нормально распределенной случайной величины X в результате эксперимента по тучено значение х и то доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0 = 1 -р имеет вид

		— а«1-р/2 < т х < хг + <*их_ р12%		(11.49)
где w, _ jy2“ Квантиль		стандартного	нормального распределения.	Стан­
дартное	нормальное	распределение	симметрично относительно	нуля,
П О Э Т О М У	Up/2 = - U 1—р /2 .

Пример 3. Среднее значение температуры печи, полученное по четырем независимым измерениям оптическим пирометром, 2250°С. Ошибка при этом методе измерения 10°С. Найти с надежностью 95% доверительные границы, внутри которых лежит истинное значение измеряемой температуры.

Р е ш е н и е . Полагая, что ошибка измерения —это известный генеральный стандарт ох —Ю°С и что случайная величина X (температура печи) распределена нормально, по формуле (11.49) имеем

2250—	< 2250 +	•	(II.50)
У 4	н У4
При р —95% /св —1,96 и, следовательно,	истинное значение	измеряемой	температуры

находится с надежностью 95% в следующих доверительных границах:

2240,2 < т л< 2259,8.

Закон распределения оценки а* зависит от закона распределения случайной величины X, в частности от самого параметра а. Чтобы обойти это затруднение, в математической статистике применяют обычно два метода: 1) приближенный —при л >50 заменяют в выражении для ер неизвестные параметры их оценками; 2) от случайной величины а* переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки л и от вида закона распределения величины X. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального распределения случайной величины X. В качестве доверительных границ а' и а" берут обычно симметричные квантили

а(1—Р)/2 ^ а ^ а(1+Р)/2 *

(11.51)

	9. Проверка статистических гипотез.								2L.
	Под статистическими гипотезами пони­						х£
	мается некоторые предположения от­							Л1	7о
							2	2
	носительно распределений генеральной
	совокупности той или иной случайной					Рис. 15. Критическая область гипотезы
	величины. Проверка гипотезы заключа­
	ется в сопоставлении некоторых стати­
	стических показателей, критериев				про­
	верки (критериев значимости), вычисляе­
	мых по выборке, со значениями этих
	показателей,	определенными		в	пред­
	положении,	что проверяемая		гипотеза
	верна. При проверке гипотез подвергает­
	ся испытанию		некоторая гипотеза Я0			Рис.	16. Проверка статистических ги­
	^равнении с альтернативной гипотезой
								потез
	Я, которая формулируется или под­						может	быть	несколько.
	разумевается.		Альтернативных		гипотез

Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, еще до получения выборки задаются уровнем значимости р. Наиболее употребительны уровни значи­ мости 0,05; 0,02; 0,01; 0,10; 0,001. Уровню значимости соответствует довери­ тельная вероятность р = 1 -р. По этой вероятности, используя гипотезу о распределении оценки 0* (критерия значимости), находят квантильные

Доверительные		границы, как правило, симметричные 0р/2 и 0i_ p/2.
Числа	0Р/2 и	Qi-p/ 2	называются критическими значениями гипотезы; зна­
чения	0*, меньшие		0р/2и большие 0j _р/2, образуют критическую область

гипотезы, или область непринятия гипотезы (рис. 15). Если найденное по выборке значение 0Опопадает между 01/2и 0i_p/2, то гипотеза допускает такое значение в качестве случайного, и поэтому нет оснований ее отвергать. Если же найденное значение 0О попадает в критическую область, то по Данной гипотезе оно является практически невозможным. Но так как оно все-таки появилось, то отвергается гипотеза.

При проверке гипотез можно совершать ошибки двух типов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Например, при р=0,05 можно совершить ошибку первого рода в пяти случаях из ста. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимает­ ся, а на самом деле она неверна. Вероятность ошибки второго рода зависит от характера проверяемой гипотезы, от способов проверки и от многих других причин, что сильно усложняет ее оценку.

Эта вероятность тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличивается число отвергаемых гипотез. Одну и ту же статисти­ ческую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев значимости. Если вероятность ошибки второго рода равна а, то 1 —а называют мощностью критерия. На рис. 16 приведены две кривые плот­ ности вероятности случайной величины 0, соответствующие двум конку­ рирующим гипотезам Н(а) и Н(б). Если из опыта получается значение 0 > 0Р, отвергается гипотеза Я и принимается альтернативная гипотеза Я, и наоборот, если 0 < 0Р. Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Я вправо от 0Р, равна уровню

значимости /7, т. е. вероятности ошибки первого рода. Площадь под кривой вероятности, соответствующей справедливости Н влево от равна вероятности ошибки второго рода а, а вправо от дР—мощности критерия. Таким образом, чем больше /7, тем больше 1 - а. Для проверки гипотезы стремятся из всех возможных критериев выбрать тот, у которого при заданном уровне значимости меньше вероятность ошибки второго рода. Например, найдены два значения af и а\ некоторого выборочного пара­ метра. Эти значения можно рассматривать как оценки генеральных пара­ метров л1 и а2. Высказывается гипотеза, что различие между я? и я* слу­ чайное и что генеральные параметры равны между собой, т. е.

Такая гипотеза называется нулевой или нуль-гипотезой по терминологии Р. Фишера. Для проверки этой гипотезы нужно выяснить, значимо ли рас­ хождение между а* и а\ в условиях нулевой гипотезы. Для этого обычно исследуют случайную величину Аа* = а* - а\ и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля. Иногда удобнее рассматривать величину а\ Iа \, сравни­ вая ее с единицей.

Отвергая нулевую гипотезу, тем самым принимают альтернативную. Альтернативная гипотеза распадается на две; > а\ и я* <я£ . Если одно из этих неравенств заведомо невозможно, то альтернативная гипо­ теза называется односторонней и для ее проверки применяются односто­ ронние критерии значимости (в отличие от обычных, двусторонних). При проверке гипотез очень важно учесть априорную информацию о возмож­ ных значениях оцениваемых параметров, выяснить, что один из сравни­ ваемых параметров не может быть больше другого. Иногда этот факт вытекает из постановки задачи. Например, изучая изменение чистоты реактива, заранее знаем, что в связи с разложением на свету чистота его с течением времени может только уменьшиться. Такая информация даст возможность при проверке гипотезы применить односторонний критерий значимости, который имеет меньшую вероятную ошибку второго рода, чем соответствующий двусторонний.

Если известно, что одно из неравенств а^ > а% или я* < а\ заведомо невозможно, то и рассматривать необходимо лишь одну из половин кри­ тической области (см. рис. 15). Например, /7=0,05 при двустороннем кри­

терии соответствуют критические значения 0о,о25 и 60,975, т-е- значимыми (неслучайными) считаются 0*, принявшие значения 0*< 0о,о25 и 6*> > 0о,975• При одностороннем критерии значимости одно из этих нера­ венств (например, 0*<Оо,о25) заведомо невозможно и значимыми будут лишь 0* > 0О,975- Вероятность последнего неравенства равна 0,025, и, следовательно, уровень значимости будет равен 0,025. Таким образом, если при одностороннем критерии значимости использовать те же кри­ тические числа, что и при двустороннем, этим значениям будет со­ ответствовать вдвое меньший уровень значимости. Обычно для одно­ стороннего критерия берут тот же уровень значимости, что и для дву­ стороннего. При этих условиях оба критерия обеспечивают одинаковую ошибку первого рода. Для этого односторонний критерий надо выводить из двустороннего, соответствующего вдвое большему уровню значи­ мости, чем тот, что принят. Чтобы сохранить для одностороннего кри­ терия уровень значимости /7 = 0,05, для двустороннего необходимо взять р = 0,10, что дает критические значения 0о,о5 и 60э5. Из этих критических

значений для одностороннего критерия останется какое-нибудь одно, например О0,95 . Уровень значимости для одностороннего критерия равен при этом 0,05. Этому же уровню значимости для двустороннего критерия соответствует критическое значение 80,975• Но 0О,95< 80,975, значит, при одностороннем критерии большее число гипотез будет отвергнуто и, следовательно, меньше будет ошибка второго рода.

10. Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной сово­ купности (см. гл. И. 8). Генеральную дисперсию аз нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии 52. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки п. На практике эту по­ грешность не учитывают при п >50 и в формуле (11.49) для довери­ тельного интервала генеральный параметр ст* заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение.

При небольших объемах выборок для построения доверительного интервала математического ожидания используют распределение Стьюдента, или /-распределение. Распределение Стьюдента имеет

случайная величина /:
t =		(11.53)
Плотность вероятности ее имеет вид
1	— оо < / < + «>,	(11.54)
*(0 =
V W
где Г(/) —гамма-функция; / —число степеней свободы выборки.
Если дисперсия sg и среднее х	определяются по одной и той же
выборке, т о /= п - 1.

Таким образом, распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы / с которым была определена выборочная дисперсия (рис. 17). На рис. 17 приведены графики плотности /-распределения для /= 1 ,/= 5 и нормальная кривая. Кривые /-распределения по своей форме напоминают нормальную кривую, но при малых /он и медленнее сбли­ жаются с осью абсцисс при I / 1—► При дисперсия выборочная

.52-*а2? поэтому распределение Стьюдента сближается с нормальным; /\=оо соответствует нормальному распределению. Вероятность того, что

случайная величина попадет в некоторый интервал (tp/2 ;	t x_pf2), опре­
деляется выражением
р ( *р12 < 1< h-p/2) = 1—Р = Р-	(И.55)

Распределение Стьюдента симме­ трично относительно нуля, поэтому

*PJ2 ~ *1—Р/2 •

(11.56)

Рис. 17. Плотность распределения Стьюдента

Учитывая симметрию г-распреде- ления, часто пользуются обозначени­ ем tpf, где / —число степеней свободы, а р —вероятность того, что t находится за пределами интервала(tp/2, и_р/2). Подставляя в (11.56) выражение (11.53) для и получим неравенство

-	h - p , 2 <	~ ~ ~	< h - p /2 ,	(П-57)
		X
откуда после преобразований получим
—	S	< r n x < . x +	S	(И.58)
	h - p /2		t x_ m .
у п			У п

Значения квантилей ^_р/2 для различных чисел степеней свободы /

иуровней значимости р приведены в табл. 3 приложения.

Внекоторых задачах требуется найти одностороннюю оценку матема­ тического ожидания, т. е. оценку только сверху или только снизу. При доверительной вероятности (3=1-/? оценка для случайной величины t сверху имеет вид

i <■*i—р >

если

.

.у-я <М-Р»

(11.59)

оценка для t снизу имеет вид

t > - t 1- р »

или

х — т

Гл" > — h-p •

(11.60)

Из неравенств (11.59) и (11.60) получим односторонние доверительные оценки для математического ожидания сверху:

т* < х + ^ =	(и.61)

и снизу:

m> ж — —— t

хV T

Пример 4. Вредной примесью в кормовых фосфатах является фтор. Необходимо найти возможный верхний предел содержания фтора в фосфатах по следующим результатам анализов в 100 кг готового продукта (F, %): 0,18; 0,12; 0,13; 0,15. Доверительная веро ятность р—0,95.

Р е ш е н и е . Обозначим через X результат анализа содержания фтора в 1Q0 KI кормовых фосфатов. Среднее содержание фтора по четырем параллельным определениям равно х —0,15%. Ошибка воспроизводимости sx —0,03%. Число степеней свободы ошибки воспроизводимости равно 3. Для определения возможного верхнего предела содержания фтора в готовом продукте (тх) воспользуемся формулой (11.61). При р—0,95 и / —3 по табл. 3 приложения для 2р —0,10 имеем /о,эб —2,35. Отсюда

тх < 0 ,1 5 + 0,03 - 2,35/4 = 0,1676.

Пример 5. Диаммонийфосфат «ч.д.а.» должен содержать не менее 99% основного вещества. Требуется проверить гипотезу статистической значимости различия между паспортными данными и следующими результатами трех определений содержания диаммонийфосфата в реактиве: 98,3; 97,3; 97,8%.

Р е ш е н и е . Обозначим через X результат анализа. Среднее значение трех парал­ лельных измерений равно х —97,8%. Ошибка воспроизводимости sx равна 0,5%. Число степеней свободы ошибки воспроизводимости / —2. В качестве нулевой гипотезы рас­ смотрим гипотезу_Н°\ тх —99%, т.е. исследуемый реактив доброкачественный. Альтерна­ тивная гипотеза Н: тх + 99%. Используя распределение Стъюдента, определим вначале критическую область при двустороннем критерии. При р —0,95 р —0,05 и квантиль fi-p/2 — = 4,30 при /*■ 2 (табл. 3 приложения). Критические значения нулевой гипотезы согласно (11.58) будут

J < m x-/,_p/2 s j V V ,

7 > m x+ /,_р/2 s j V T .

Физический смысл имеет только первое неравенство:

ж < 99 — 4,30 • 0 ,5/ / з " = 97,76.

Значение х —97,8 не попадает в эту критическую область, следовательно, двусторонний критерий не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и считать реактив недоброкаче­ ственным. По физическому смыслу задачи здесь можно применить односторонний критерий —диаммонийфосфат разлагается при храйении на свету, поэтому выборочную оценку нужно сравнивать только с теми значениями, которые меньше 99%.

При р—0,95 и / —2 по табл. 3 приложения для 2р —0,10 имеем fo.es —2,92. Критиче­ ское значение нулевой гипотезы

*<тх - ti - p S jV T ,

* < 9 9 — 2,92 • 0 , 5 / у Т = 98,16.

Значение х —97,8, меньше критического значения и, следовательно, попадает в крити­ ческую область. Таким образом, односторонний критерий как более точный сумел при тех же исходных данных выявить недоброкачественность реактива.

11. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины.

Дисперсию генеральной совокупности ст| нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки —выборочной дисперсии $2 . Распределение выборочной диспер­ сии можно получить при помощи распределения Пирсона или X2распределения. Если имеется выборка п независимых наблюдений х и х2, х пнад нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма

	ха=	Х( —	х 42			(11.63)
	1=1
имеет распределение	X2 с /= л - 1 степенями свободы.
Плотность X2 распределения зависит только от числа степеней сво­
боды/:		/—2	х*
	I
? (Х*)		. ov 9	9	,	0< х а < °°,	(11.64)
	2f/2r (//2)	(X2)

где Г(/) —гамма-функция.

На рис. 18 приведены кривые плотности вероятности X2-распределе­ ния при некоторых значениях / Кривые асимметричны, степень асим­ метрии уменьшается с увеличением / При доверительной вероятности Р = 1 - р двусторонняя доверительная оценка для X2 имеет вид

	4/2 < Ха < Х?_р/2.		(11.65)
односторонние оценки имеют вид
	x*<xi_„.	г* > 4 -	(11.66)
Квантили Х2_р	при различных р и / приведены в табл. 4приложения.
Так как выборочная дисперсия Q через элементы выборки определяется
по формуле
	£ u - * ) a	j ; ( * , - ! ) ■
2	t = l________	i = 1________________ .
!из (11.63) имеем			(11.67)
	Xs =	fsV 4 •

Подставляя (11.67) в (11.65), получим

аа

Хр/2 <	„а <Х,_р/2.	(11.68)
Решая неравенство относительно	а | , получим доверительные двусто­
ронние границы для генеральной дисперсии сгз :
		fsx
	V 2	(11.69)
	М—р/2	4/2
	Аналогично получаются односторон­
	ние доверительные оценки:
	/4	f4
Рис. 18. Плотность X2-распределе­	Хр	«£> 2
ния		к\—р

Пример 6. Оценить ошибку воспроизводимости определения усвояемой Р2О5 в сложном удобрении сернокислотным методом по результатам трех параллельных опытов: 17,2*

16,3;	15,5.
	Р е ш е н и е . Выборочная оценка для дисперсии воспроизводимости равна
	2	i=I	___

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости / —2. Задавшись довери­ тельной вероятностью р—0,90, по табл. 4 приложения при числе степеней свободы / —2 находим Zо,os —6,0 и Хо,9 5 —0,103. По формуле (11.69) определим двустороннюю доверительную оценку для дисперсии воспроизводимости:

0,73 - 2	2	0,73 . 6
6,0	< а * <	0,103
0,24		14>1-

Извлекая из всех частей неравенств квадратный корень, получим оценку для ошибки воспроизводимости 0,49 < ох < 3,61. В связи с малым числом степеней свободы дове­ рительные границы получились резко асимметричными.

С ростом числа степеней свободы асимметрия кривых распределе­ ния уменьшается, соответственно уменьшается и асимметрия доверитель­ ных границ. Можно показать, что при л >30 выборочный стандарт s распределен приближенно нормально с математическим ожиданием ms = а и среднеквадратичной ошибкой

«, = »*/1/27-

(П.71)

Неизвестный генеральный стандарт в выражении (11.71) при л >30 заме­ няют выборочным:

a*«s Jy/T f . • (11.72)

В соответствии с (11.50) доверительные границы для генерального стан­ дарта определяются неравенством

	S* — V W Ux~ m <			< s* +		“1—Р/2 •	1 -73)
Пример 7. Оценить ошибку воспроизводимости ах для выборки из 31 наблюдения
с выборочным стандартом sx		—0,85. Доверительную вероятность р принять равной 0,9.
Р е ш е н и е .	Построим	доверительный интервал для ошибки воспроизводимости,
используя Х2-распределение. По табл. 4 приложения при						числе степеней свободы / —30
и доверительной вероятности		р—0,9 находим Хо.ов —43,8 и Хо,9б —18,5.
По формуле (11.69) определим двустороннюю доверительную оценку для дисперсии
воспроизводимости:
	0,852 • 30			а	0,852 • 30
	—-------<0		<		—------------ ,
		43,8		х	18,5
'		0,48 <<%< 1,13.
Доверительные границы		для ошибки			воспроизводимости определятся		неравен­
ством 0,69 <	1,05.
Определим доверительные границы для стх, воспользовавшись нормальным распре­
делением. По формуле (11.72) определим			as\-

0,85

= 0 ,11.

Y W V 2 • 30

По табл. 2 приложения для доверительной вероятности р—0,9 находим мо,95 -= 1,64. В соответствии с (11.73) доверительные границы для ошибки воспроизводимости опре­ деляются неравенством

0,85-0,11 • 1,64<сх <0,85 + 0,11 . 1,64;

окончательно 0,67 < 1^03. Полученные с использованием нормального распределения доверительные границы мало отличаются от приведенных выше.

12.Сравнение двух дисперсий. При обработке наблюдений часто возни­

кает необходимость сравнить две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генераль­ ной дисперсии. Рассмотрим две выборки

х \ * х 2 » ’ * * » Xn t »

средние значения которых соответственно равны х}и х2. Выборочные дисперсии

2	2	(*1 ~		2	1	( х\ - **)2
	i= 1	П± 1		2 1=		П2 — 1
Sl_			’	S2_
определяются со степенями свободы
		/1 = ^ —1, /2= п2— 1.

Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии^ и^| значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией

сг 2 5 а	вторая —из генеральной совокупности с дисперсией						сг2 . Прове­
ряется	нулевая	гипотеза		о равенстве		генеральных		дисперсий
# 0 : сг2 =* а 2 .		Чтобы	отвергнуть		эту	гипотезу, нужно		доказать
значимость различия			между	и	52 при выбранном уровне значи­

мости р. В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера. Распределением Фишера (/’-распределение, ^-распределение) называется распределение случайной величины:

f =	( Sl / 0l ) : ( S2/ 02)-			О1-74)
Плотность вероятности / ’-распределения определяется выражением
			F ( f i - 2 ) I 2	(11.75)
	/ * / 2	f f t / 2	(f2+fiF)iU +М/2
Г (/,/2) Г (/2/2)		' 2		*
где Г(/) гамма-функция.
/ ’-Распределение зависит	только	от числа степеней свободы			и