книги / Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах

Приведем иллюстративный пример. Пусть имеются два критерия и две альтернативы: Ai, А2. В табл. 5.6 представлены сравнения, позволяющие вычислить веса критериев.

				Т а б л и ц а 5.6
	Матрица сравнения для критериев
	Критерий	Ci	с 2	Собственный	Вес
				вектор
	Ci	1	3	1,732	0,75
	с 2	0,333	1	0,577	0,25

В табл. 5.7 и 5.8 даны сравнения альтернатив по критериям.

				Т а б л и ц а	5.7
	Сравнение по критерию Ci
	Альтернатива	A I	а 2	Собственный	Вес
				вектор
	Ai	1	3	1,732	0,75
	а 2	0,333	1	0,577	0,25
				Т а б л и ц а	5.8
	Сравнение по критерию Сг
	Альтернатива	Ai	а 2	Собственный	Вес
				вектор
	Ai	1	0,333	0,577	0,25
	А2	3	1	1,732	0,75

Подсчитаем показатели качества альтернатив: V(Al) =0,75 ® 0,75+0,25 ® 0,25=0,625;

V(A2) =0,25 <8>0,75+0,75 ® 0,25=0,375.

Следовательно, Ai -> А2.

Добавим альтернативу Аз, сравнения с которой представле­ ны в табл. 5.9 и 5.10.

121

Табшшщш. 5x9

(Qpammum твтщштщпш^и

	Атпщ^дв^чнщ	Ац	А е	А »	WttWflHjp	Btec
	Ли	И	$	®Щ4		dULS
	A s		1	6 0 1	а д з а	вуюж
	А®	тг	9	И	Ф ЛШ	(Щ Ш
					Д^^ЯД)
					Табшшща 5хЛФ
		^атшитттщршощив)^
		Au	A s	A s	__	Bfec
	Адындяашивт				BtfWIW]p
	Аи	1		3	1	ФДЗ
	A s	3	И	9	3	(Цф®
	A s	938®	(ИДИ	1	оцда	(ЦДЖ

ДДащстшшепвдшвашпштит шшдедншпик:

* а д $ <ш>ш^'шишда ® %$&=%№%

аа,7»ад®@ ® де=<$ж

<8>®*775НН®^Щ® ®да=€дш.

(Сащррвшпташдиу, А®

%.1НЦошпташ(0 В1ш ний111шгата«ш1ит11ншаш1л

ДДбудвтиоцдшаппшншй АШШ°„ тщйд|дптниишй

ВВ (ИШИЩу ПЯИН1ДР> ШГООИЫШШ ДРШ о ствягию ПИШШКЙДИК. В0я>- двдвшге,, ш ш ЛШШР дддадцщишг ошшшштв ((& o s аДваяюшидпр зншвдмищ)) дщ$гк зшдюшхию (ции1вшпадвдщ|щнм) здхшша иицццшиц,

D9) ФВДИЕ ДЦЛИДДП» ДВДВДМИИШПД» ИШВЕШБ a mm illn W H Bi;, ЧШ В а^ШШЕЩПЬ

жшн. з ш ш щ , дцвдодшяаахе ит ццавш*ши&. Ш^-жгндгаа;, пвдтавпдг аяг вафйиттяиг ццвддйямйг всчитглягет дрясиявт притгадудаилв. ид япу- aagffi двиотддвгок пднрЕШШиивдтай д> тгпввдевиит татяиши ттдшгдрнвшшюшшнвк ившяндвзгаюк.

(Ш) ШПСЩШМ) ПШШ1ЯвШИ&. Ш ШИВИОЙИИШЕ® Щ\ Шф&ВВЯВ- <ХЭЭ%, ВШЕС ЧЕНШгаВС ХЩИДхЩШ^) цциштудшг HTHWRgiHMHH д*йвдяс-

тинных физических величин, таких как вес, громкость звука, яркость света и т.д. Результаты экспериментов показывают, что связь между субъективными измерениями двух стимулов и отношениями самих стимулов может быть представлена уни­ версальным степенным законом:

f(Si ) / f(S2 ) =( Si / Sj )*,

где Si, S2 —стимулы; f(S|) —субъективное измерение стимула; Р —положительная постоянная; для звуковых сигналов 1000 Гц она приблизительно равна 0,3.

В качестве одного из примеров Ф. Лутсма приводит изме­ рение громкости звука [6] в децибелах, как это принято в аку­ стике. Пусть So — интенсивность звука, взятая в качестве опорной. Тогда

dB(S) - 10 log(S/So),

где dB(S) —интенсивность звука в децибелах по отношению к базовой интенсивности So.

Разность 10 дБ между интенсивностями звуков Si и S2 мо­ жет быть записана как dB(Si) —dB(S2) = 10. Откуда следует:

S, / S, = 10; f(Si) / f(S2 )=( Si / S j)" » 2.

Иначе говоря, при увеличении интенсивности звука на 10 дБ расстояние на шкале субъективных измерений удваивается.

Ф. Лутсма предлагает аналогичным способом строить шка­ лы для субъективного измерения различных факторов при при­ нятии решений. Так, при покупке автомобиля одним из важ­ ных критериев является цена. Предлагается установить значе­ ния Спйт. и Стах ~ диапазоны цен, реальных для покупателя. Интуитивно мы делим этот диапазон на несколько интервалов, определяющих существенные для человека различия в уровнях цен. Известный в психофизике закон Вебера утверждает, что субъективное расстояние между двумя стимулами пропорцио­ нально величине стимула. Тогда

Cj - Cj.i = k Cj.i , j= l,2 ...,

где Cj , Cj.i —субъективные восприятия различных цен; k —по­ стоянная. Таким образом,

Cj = (l+ k) Cj.i = (l+ k )j Cmin.

123

Итак, мы получили шкалу с геометрической прогрессией, с фактором прогрессии (1+к). Удобно ввести параметр шкалы p=ln(l+k), что позволяет определить деления шкалы как

Cj =exp(pj) Cmin, j=0,l,2...

Можно представить, что для цен на автомобили использу­ ется вербальная шкала следующего вида:

•дешевый; немного более дорогой;

•более дорогой;

•существенно более дорогой.

Кэтим четырем категориям можно добавить промежуточ­ ные и получить шкалу из 6—9 категорий с фактором прогрес­

сии ехр(1 р)=1 +к, равным приблизительно 2 .

В общем случае переход от вербальных сравнений к числам задается шкалой, показанной в табл. 5.11.

			Т а б л и ц а 5.11
	Шкала относительной важности
	Уровень важности		Количественное
			значение
Sj	Намного превосходит	Si	- 6
Sj	Строго превосходит	Si	- 4
Sj	Превосходит	Si	- 2
Sj	Примерно равно	Si	0
Sj	Превосходит	Sj	2
Si	Строго превосходит	Sj	4
Si	Намного превосходит	Sj	6

Итак, мультипликативный метод АНР предлагает выпол­ нение следующих этапов.

1.Первичное измерение с помощью словесной шкалы; осуществление сравнения на всех уровнях иерархий.

2.Перевод результатов в количественный вид с помощью

геометрической шкалы; обозначаем результат измерения 6|j

при сравнении элементов i и j по критерию t.

3. Определение баллов, отражающих сравнительные оцен­ ки важности альтернативы Ai по сравнению с альтернативой Aj по критерию t, с помощью преобразования г-j = ехр(р6у). Та­

ким образом, осуществляется переход от матрицы попарных

124

сравнений, заполненной с использованием геометрической шкалы, к матрице субъективной относительной важности эле­ ментов иерархической схемы.

4. Подсчет коэффициентов важности альтернатив по крите­ рию i. Сначала определяется геометрическое среднее каждой из строк в матрице субъективной относительной важности эле­ ментов иерархической схемы — Wi (Aj) , где j=l,2,...,n. Затем эти показатели нормируются:

i=l

5. Определение аналогичным способом нормированных ве­ сов Wi на другом уровне иерархической схемы.

6. Определение ценности каждой из альтернатив с исполь­ зованием мультипликативной формулы:

v(Aj) = n [ v i(Aj)]“' i-1

Приведем пример расчета ценности альтернатив по муль­ типликативному методу АНР. Имеются те же четыре альтерна­ тивы: А, В, С, D —варианты постройки аэропорта. Пусть пред­ почтения между альтернативами оценены по вербальной шкале с шестью градациями: выбираем р=0,7. Коэффициенты важно­ сти альтернатив по критериям подсчитываются в табл. 5.12 — 5.15.

Т а б л и ц а 5.12

Сравнение по критерию Ci

Альтерна­						Среднее
		А	В	С	D	геометриче­	Вес
тива
						ское
А	0	- 4	- 6	- 8		0,043	0,003
		1	0,06	0,014	0,004
В	4	0	- 2	- 4		0,7	0,05
		16,44	1	0,25	0,06
С	6	2	0	- 2		2,87	0,19
		66,69	4,06	1	0,25
D	8	4	2	0		11,59	0,757
		270,4	16,44	4,06	1

125

						Т а б л и ц а		5.13
			Сравнение по критерию Сг
Альтер­		А	В	С	D	Среднее		Вес
						геометри­
натива
						ческое
А	0	- 8		- 4	- 6	0,043	0,004
		1	0,004	0,06		0,014
В	8	0		2	1,5	7,48		0,65
		270,4	1	4,06		2,85
С	4	- 2		0	-1 ,5	1,1	0,096
		16,44	0,25	1		0,35
D	6	-1 ,5		1,5	0	2,86		0,25
		66,69	0,35	2,85		1
						Т а б л и ц а		5.14
			Сравнение по критерию Сз
Альтер­		А	В	С	D	Среднее	Вес
натива						геометри­
						ческое
А	0	2		4	8	11,59	0,757
		1	4,06	16,44	270,4
В	- 2	0		2	6	2,87	0,19
		0,25	1	4,06	66,69
С	- 4	- 2		0	4	0,7	0,05
		0,06	0,25	1	16,44
D	- 8	- 6		- 4	0	0,043	0,003
		0,004	0,014	0,06		1

В клетках таблиц представлены численное выражение вер­ бальной сравнительной оценки (левый верхний угол) и значе­ ние Гу (правый нижний угол).

			Т а б л и ц а	5.15
Сравнение критериев по важности
Критерий	Ci	с2	Сз	Вес
			критерия
Ci	0	4	2	0,8
с2	- 4	0	2	0,12
Сз	- 2	- 2	0	0,08

126

Аналогичным образом вычисляем веса критериев (табл. 5.15). Определяем ценности альтернатив:

V(A )= (0.003)0'8 +(0.004)°12 +(0.757)°-08 =1.51

V(B) = 1.916; V(C) = 1.807; V(D) = 2.278.

Получаем следующее упорядочение альтернатив по ценности:

D => В => С => А .

Итак, альтернатива D оказалась лучшей. Мультипликативный метод аналитической иерархии реа­

лизован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT [7].

10. Пример практического применения подхода АНР

Один из интересных примеров практического применения подхода АНР приведен в [8], посвященной выработке энерге­ тической политики Финляндии. В начале 80-х годов в парла­ менте Финляндии проходили оживленные дискуссии по про­ блеме выбора стратегического пути развития энергетики. Груп­ па финских ученых предложила новый способ анализа вариан­ тов решений —построение аналитической сети вариантов с об­ ратной связью.

Общая структура задачи представлена на рис. 5.2 в виде четырех уровней иерархической схемы. Особенность анализа состояла в выделении и отдельном рассмотрении трех целей второго уровня иерархии с точки зрения долгосрочных и крат­ косрочных последствий. Обратная связь состояла в предостав­ лении возможности каждому из участников анализа (политиче­ ским деятелям) провести свой личный анализ —назначить веса критериям, определить оценки каждой из альтернатив (боль­ шая электростанция на угле, атомная станция, небольшие электростанции) по критериям. Для агрегации оценок на каж­ дом уровне использовался основной метод АНР.

Анализ показал, что вариант построения большой электро­ станции на угле уступает двум другим и может быть исключен

127

из рассмотрения. Ценный результат анализа состоял в следую­ щем: хотя с точки зрения кратковременных целей построение атомной станции предпочтительнее, с точки зрения стратегиче­ ских, долговременных целей лучше строить небольшие элек­ тростанции.

Рнс.5.2. Иерархическая схема для анализа

Вы воды

1.В настоящее время одним из наиболее популярных методов

принятия решений является метод аналитической иерархии. В журналах опубликованы практические примеры использова­ ния этого метода в различных странах: США, Нидерландах, Финляндия, Индии и т.д.

2.В подходе аналитической иерархии прежде всего можно выде­ лить общую схему структуризации задачи: цели - критерии - альтернативы.

3.На каждом уровне иерархии осуществляется попарное сравне­ ние элементов уровня при помощи вербальной шкалы относи-

128

тельной важности. Результаты сравнения переводятся в числа в соответствии с заданной количественной шкалой.

4.Общая оценка важности альтернативы определяется путем суммирования произведений коэффициентов важности.

5.Метод мультипликативной аналитической иерархии отличается способом перевода вербальных измерений в числа и способом аг­ регации оценок при определении общей важности альтернативы.

6.Метод аналитической иерархии реализован в виде коммерче­ ской системы поддержки принятия решений Expert Choice. Мультипликативный метод аналитической иерархии реализован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT.

Библиографический список

1.Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991.

2.Belton V ., Gear А.Е. On a shortcoming of Saaty’s method of analytical hierarchies / / Omega. 1983, 11.

3.Stam A., Silva A.P. Stochastic judgements in the AHP: the measurement of rank reversal probabilities. Rep.WP-94-101. IIASA. Laxenburg, 1994.

4.Lootsma F.A. Scale sensitivity in the multiplicative AHP and SMART / / J. Multi-Criteria Decision Analysis. 1993. V. 2.

5.Lootsma F.A. Schuijt H. The multiplicative AHP, SMART and ELECTRE in

a common contex / / J. of Multi-Criteria Decision Analysis. 1997. V. 6.

6. Stevens S.S. On the psychophysical law / / Psychological Reviiew. 1957. V. 64.

7.Olson D.L., Fliendner G., Currie K. Comparison of the REMBRANDT system

with analytic hierarchy process / / European J. of Operations Research. 1995.

V. 32.

8.Ham alainen R .P., Seppalainen T.B. The analytic network process in energy analysis //Socio-Econ.Plann.Sci. 1986. V. 20, № 6.

Контрольное задание

Дайте определения следующих ключевых понятий:

Основные этапы подхода аналитической иерархии Построение иерархии Матрицы сравнений

Вычисление коэффициентов важности Лучшая альтернатива Проверка согласованности суждений

Матрицы сравнений при мультипликативном методе

5 Ларичев О.И.

129

Геометрическая шкала измерений Вычисление коэффициентов важности в мультипликативном методе Лучшая альтернатива при мультипликативном методе

Проблема независимости от несвязанных альтернатив при подходе аналитической иерархии