книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1
.pdfРис. 2.31. Типичное ^-распределение с Ui = 10 и и2= 2 5 степенями своб<иы и заштрихованной критической обла стью, составляющей 5% площади под кривой
сги песчаников Тенслин. Нужно выяснить, одинакова ли дис персия на двух сравниваемых площадях. С этой целью выбе рем уровень значимости 5%. Таким образом, принятие невер ной гипотезы о том, что пористости различны, в то время как они одинаковы, будет происходить в среднем один раз на двад цать исходов. Оценки дисперсий двух выборок можно вычис лить по формуле (2.15). Тогда соответствующее нм F-отноше- нпе вычисляется по формуле
F = S iW , |
(2.36) |
где Sr — большая выборочная дисперсия, a sг2 — меньшая выбо рочная дисперсия.
По этим данным требуется проверить гипотезу
Но : Oi2 = сг22
против множества альтернатив
Hi : CJI2 Ф о22-
Нулевая гипотеза утверждает, что изучаемые совокупности
имеют равные дисперсии; множество |
альтернатив устанавли |
вает, что это не так. Степени свободы |
и v2, отвечающие это |
му критерию, соответственно равны п\—1 и л2—1. Критическое значение F с vi = 9 и v2= 9 степенями свободы и уровнем значи
мости 5% (сс = 0,05) можно найти |
по табл. 2.14. Это значение |
равно 3,18. |
формуле (2.36), попадает в |
Значение F, вычисленное по |
одну из двух областей. Если вычисленное значение F превыша ет 3,18, то нулевая гипотеза отвергается и мы приходим к за ключению, что дисперсии пористости можно считать неодинако выми в двух группах. Если вычисленное значение меньше 3,18, то мы не можем утверждать, что дисперсии различны. В ка честве примера вычислим дисперсию пористое;и двух совокуп ностей песчаников Тенслип и проверим предположение о ра венстве дисперсий при 5%-ном уровне значимости.
В большинстве практических задач мы обычно не знаем ис тинных значений параметров совокупности и можем лишь по выборке вычислить их оценки. При сравнении двух выборок сначала целесообразно установить, являются ли их дисперсии
32
статистически эквивалентными. Если они оказываются равны ми и если выборки были извлечены без смещения ?п изучаемых совокупностей, то мы можем спокойно перейти к использова нию следующих статистических критериев.
В качестве примера рассмотрим такую задачу. Образцы снега и льда, собираемые с участков земли, покрытых много летними льдами, содержат частички пыли, называемые микро частицами. Размеры отдельных таких частиц имеют .пределы от О,Г; до 3,0 мкм; они попадают в атмосферу разными путями: в результате вулканических извержений, пылевых штормов, па дения микрометеоритов. Частицы настолько малы, что могут быть во взвешенном состоянии неограниченное время, но легко поглошаются снегом, так как служат ядрами для кристаллиза ции льда. Существует гипотеза, что перемешивание атмосферы и пути, которыми микрочастицы попадают в снег из воздуха, приводят к равномерной концентрации микрочастиц в снегу на земной поверхности. Если эта гипотеза соответствует деГтгвительпости, то выводы из нее имеют значение для предсказания последствий испытания ядерного оружия в атмосфере. Поэтому были собраны две выборки проб снега в снеговых покровах Гренландии и Антарктики. При тщательном контроле гнет рас плавили и с помощью электрического классификатора опреде лили пиело содержащихся в нем частиц. Концентрация микро частиц в талом снегу приведена в табл, 2.15, Можно ли считать обе выборки извлеченными из одной и той же совокупности и приводят ли результаты испытаний к подтверждению или опро вержению идеи об а I моеферной однородности?
Предполагая, что выборки были взяты без смещения н что распределение микрочастиц подчиняется нормальному закону на всем протяжении снеговых полей, проверим сначала гипоте зу о равенстве дисперсий по двум выборкам. Используя форму лу (2.36), запишем нулевую гипотезу и альтернативу:
На : си2 = |
а22, |
Я , : ,2а ^ |
а 2 2. |
г;ели дисперсии нс сильно отличаются, то следующий шаг про цедуры— проверка гипотезы о рагспстве средних значений. 11гпользуя критерий (2.36), запишем соответствующую нмлетмо ыпютезу п альтернативу:
Н0 : pi = Ра,
Н\ : pi Р2-
Такая нулевая гипотеза соответствует предположению: нет никаких оснований считать, что одна область имеет большее среднее, чем другая. Ясно, что уровень значимости, сошвегствующий этому критерию, не может быть выше, чем уровень зна-
61 |
РЗ |
Критические значения /'-распределения с V, и v2 степенями
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
161,45 |
199,50 |
215,71 |
224,58 |
230,16 |
233,99 |
236,77 |
2 |
18,5! |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,35 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,89 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
5 |
6 , 6 1 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4.21 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,91 |
13 |
4,67 |
3,81 |
3,41 |
3,18 |
3,03 |
2,92 |
2,83 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,76 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,71 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2 , 6 6 |
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,61 |
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2 , 6 6 |
2,58 |
19 |
4,38 |
3,52 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,54 |
2 0 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
2,84 |
2 , 6 8 |
2,57 |
2,49 |
22 |
4,30 |
3,44 |
3,05 |
2,82 |
2 , 6 6 |
2,55 |
2,46 |
23 |
4,28 |
3.42 |
3,03 |
2,80 |
2,64 |
2,53 |
2,44 |
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,42 |
25 |
4,24 |
3,39 |
2.99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,40 |
26 |
4,23 |
3,37 |
2,98 |
2,74 |
2,59 |
2,47 |
2,39 |
27 |
4,21 |
3,35 |
2,95 |
2,73 |
2,57 |
2,40 |
2,37 |
28 |
4,20 |
3,34 |
2,95 |
2,71 |
2,56 |
2,45 |
2,36 |
29 |
4,18 |
3,33 |
2,93 |
2,70 |
2,55 |
2,43 |
2,35 |
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,33 |
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2.34 |
2,25 |
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
2,53 |
2,37 |
2,25 |
2,17 |
120 |
3,92 |
3,07 |
2 , 6 8 |
2.45 |
2,29 |
2,18 |
2,09 |
оо |
3,84 |
3,00 |
2,60 |
2,37 |
2 , 2 1 |
2 , 1 0 |
2,01 |
чимости, использованный при проверке гипотезы о равенстве дисперсий. Если дисперсии и средние окажутся неразличимы ми, т. е. нулевая гипотеза не может быть отклонена на основа нии выборочных данных, то нет и статистических оснований считать, что средние концентрации микрочастиц на двух изу чаемых площадях соответствуют различным совокупностям. С другой стороны, если хотя бы один из двух критериев приво дит к отклонению нулевой гипотезы, то вопрос об атмосферной однородности можно поставить под сомнение. Более того, если критерий (2.36) приведет к отклонению гипотезы о равенстве дисперсий, то и применение критерия (2.33) в нашей задаче те ряет смысл. Приблизительные критерии, аналогичные описан-
34
свободы и 5%-ным уровнем значимости |
(а=0,05) |
[17] |
Т а б л и ц а 2.14а |
||||
|
|
||||||
|
|
|
Vt |
|
|
|
|
в |
9 |
10 |
12 |
15 |
20 |
24 |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
238.88 |
240,54 |
241,88 |
243,91 |
245,95 |
248,01 |
249,05 |
250,10 |
19,37 |
19,38 |
19,40 |
19,41 |
19,43 |
19,45 |
19,45 |
19,46 |
8,85 |
8,81 |
8,79 |
8,74 |
8,70 |
8,66 |
8,64 |
8,62 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,91 |
5,86 |
5,80 |
5,77 |
5,75 |
4,82 |
4,77 |
4,74 |
4,68 |
4,62 |
4,56 |
4,53 |
4,50 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,00 |
3,94 |
3,87 |
3,84 |
3,81 |
3,73 |
3,68 |
3,64 |
3,57 |
3,51 |
3,44 |
3,41 |
3,38 |
3,44 |
3,39 |
3,35 |
3,28 |
3,22 |
3,15 |
3,12 |
3,08 |
3,23 |
3,18 |
3,14 |
3,07 |
3,01 |
2,94 |
2,90 |
2,86 |
3,07 |
3,02 |
2,98 |
2,91 |
2,84 |
2,77 |
2,74 |
2,70 |
2,95 |
2,90 |
2,85 |
2,79 |
2,72 |
2,65 |
2,61 |
2,57 |
2,85 |
2,80 |
2,75 |
2,69 |
2,62 |
2,54 |
2,51 |
2,47 |
2,77 |
2,71 |
2,67 |
2,60 |
2,53 |
2,46 |
2,42 |
2,48 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,53 |
2,46 |
2,39 |
2,35 |
2,31 |
2,64 |
2,59 |
2,54 |
2,48 |
2,40 |
2,33 |
2,29 |
2,25 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,42 |
2,35 |
2,28 |
2,24 |
2,19 |
2,55 |
2,49 |
2,45 |
2,38 |
2,31 |
2,23 |
2,19 |
2,15 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
2,34 |
2,27 |
2,19 |
2,15 |
2,11 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
2,31 |
2,23 |
2,16 |
2,11 |
2,07 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
2,28 |
2,20 |
2,12 |
2,08 |
2,04 |
2,42 |
2,37 |
2,32 |
2,25 |
2,18 |
2,10 |
2,05 |
2,01 |
2,40 |
2,34 |
2,30 |
2,23 |
2,15 |
2,07 |
2,03 |
1,98 |
2,37 |
2,32 |
2,27 |
2 , 2 0 |
2,13 |
2,05 |
2,01 |
1,96 |
2,36 |
2,30 |
2,25 |
2,18 |
2 , 1 1 |
2,03 |
1,98 |
1,04 |
2,34 |
2,28 |
2,24 |
2,16 |
2,09 |
2, 0 1 |
1,96 |
1,92 |
2,32 |
2,27 |
2 , 2 2 |
2,15 |
2,07 |
1,99 |
1,95 |
1,90 |
2,31 |
2,25 |
2 , 2 0 |
2,13 |
2,06 |
1,97 |
1,93 |
1, 88 |
2,29 |
2,24 |
2,19 |
2 , 1 2 |
2,04 |
1,96 |
1,91 |
1,87 |
2,28 |
2,22 |
2,18 |
2 , 1 0 |
2,03 |
1,94 |
1,90 |
1,85 |
2,27 |
2,21 |
2,16 |
2,09 |
2, 01 |
1,93 |
1,89 |
1,84 |
2,18 |
2,12 |
2,08 |
2 , 0 0 |
1,92 |
1,84 |
1,79 |
1,74 |
2 , 1 0 |
2,04 |
1,99 |
1,92 |
1,84 |
1,75 |
1,70 |
1,65 |
2 , 0 2 |
1,96 |
1,91 |
1,83 |
1,75 |
1, 66 |
1,61 |
1,55 |
1,9-1 |
1,88 |
1,83 |
1,75 |
1,67 |
1,57 |
1,52 |
1,46 |
ному в работе Гюнтера |
[14J, применимы для проверки гипотезы |
||||||
о равенстве средних в условиях неравенства дисперсий, но они мало помогают при решении данной задачи.
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
До сих пор мы рассматривали только методы сравнения двух выборок, тогда как существует еще ряд задач, касающих ся групп наблюдений. Предположим, например, что получено пять образцов песчаника с кальцитовым цементом. Каждый из них обладает своими литологическими особенностями: в одном бросается в глаза его крупнозернистость, другой характеризу-
85
Критические значения /•'-распределения с vi и V2 степенями
•Vi
V2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|||||||
1 |
647,79 |
799,50 |
864,16 |
899,58 |
921,85 |
937,11 |
948,22 |
||
2 |
38,51 |
39,00 |
39,17 |
39,25 |
39,30 |
39,33 |
39,36 |
||
3 |
17,44 |
16,04 |
15,44 |
15,10 |
14,88 |
14,73 |
14,62 |
||
4 |
12,22 |
10,65 |
9,98 |
9,60 |
9,36 |
9,20 |
9,07 |
||
5 |
10,01 |
8,43 |
7,76 |
7,39 |
7,15 |
6,98 |
6,85 |
||
6 |
8,81 |
7,26 |
6,60 |
6,23 |
5,99 |
5,82 |
5,70 |
||
7 |
8,07 |
6,54 |
5,89 |
5,52 |
5,29 |
5,12 |
4,99 |
||
8 |
7,57 |
6,06 |
5,42 |
5,05 |
4,82 |
4,65 |
4,53 |
||
9 |
7,21 |
5,71 |
5,08 |
4,72 |
4,48 |
4,32 |
4,20 |
||
10 |
6,94 |
5,46 |
4,83 |
4,47 |
4,24 |
4,07 |
3,95 |
||
11 |
6,72 |
5,26 |
4,63 |
4,28 |
4,04 |
3,88 |
3,76 |
||
12 |
6,55 |
5,10 |
4,47 |
4,12 |
3,89 |
3,73 |
3,61 |
||
13 |
6,41 |
4,97 |
4,35 |
4,00 |
3,77 |
3,60 |
3,48 |
||
14 |
6,30 |
4,86 |
4,24 |
3,89 |
3,60 |
3,50 |
3,38 |
||
15 |
6,20 |
4,77 |
4,15 |
3.80 |
3 |
58 |
3,41 |
3,29 |
|
16 |
6,12 |
4.69 |
4,08 |
3,73 |
3.50 |
3,34 |
3,22 |
||
17 |
6,04 |
4,62 |
4,01 |
3,66 |
3,44 |
3,28 |
3,16 |
||
18 |
5,98 |
4,56 |
3,97; |
3.61 |
3,38 |
3,22 |
3.10 |
||
19 |
5,92 |
4,51 |
3,90 |
З.Г.6 |
3,33 |
3,17 |
8,05 |
||
20 |
5,87 |
4,46 |
3,86 |
3,51 |
3,29 |
3,13 |
З.Щ |
||
21 |
5,83 |
4.42 |
3,82 |
3,48 |
о ,25 |
3,09 |
2,97 |
||
22 |
5,79 |
4,38 |
3,78 |
3,44 |
3,22 |
3,05 |
2.93 |
||
23 |
5,75 |
4 Я;ч |
3,75 |
ЗД1 |
3.18 |
3,02 |
2.90 |
||
24 |
5,72 |
4.32 |
3.72 |
О о| |
3. i8 |
2,99 |
2.87 |
||
С ,1бС |
|||||||||
25 |
5,69 |
4.29 |
3 ,С9 |
3,33 |
3,13 |
2,97 |
2.85 |
||
26 |
5,66 |
4,27 |
5.67 |
Я,33 |
3.10 |
2,94 |
2.82 |
||
27 |
5,63 |
4.24 |
3.65 |
3,3! |
3,08 |
2,92 |
2.80 |
||
28 |
5,61 |
4,22 |
3.63 |
3.29 |
3 .(6 |
2,9п |
2,7а |
||
29 |
5,59 |
4,20 |
3,61 |
О •') •• |
ЗДМ |
2,88 |
2 . 1 6 |
||
30 |
5,57 |
4,18 |
3,59 |
3,25 |
3.03 |
2,87 |
2 ,1 Г) |
||
40 |
5,42 |
4,05 |
3,46 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2 |
62 |
|
60 |
5,29 |
3.93 |
3.34 |
3,01 |
2,79 |
2,63 |
2,51 |
||
120 |
5,15 |
3,80 |
3.23 |
2,89 |
2,67 |
2,62 |
2.39 |
||
оо |
5,02 |
3.69 |
3,12 |
о 7ц |
<> у; |
|
|
|
|
стся наличием глпнисичх частиц, третий слабо ожслезнен п т. ч Мы хотим определить, одинаковы ли в них содержания карбо ната. Для решения этой задачи можно использовать одни из статистических методов, называемый дисперсионным анализом.
В общем виде этот метод основан на разделении общей дис персии изучаемой совокупности на компоненты, соответствую щие источникам изменчивости, а применяемые критерии позво лят одновременно изучить различия как в средних значениях, так и в дисперсиях.
Экспериментальный подход к этой задаче заключается в дроблении образцов на более мелкие части и определении со держания карбоната в каждой из них путем взвешивания после
86
Т а б л и ц а 2.146
свободы и 2,5%-ным уровнем значимости ( а = 0,025)
Vi
8 |
9 |
10 |
12 |
15 |
20 |
24 |
ОО |
|
956,66 |
963,28 |
968,63 |
976,71 |
984,87 |
933,16 |
997,24 |
1001,4 |
|
39,37 |
39,39 |
39,40 |
39,41 |
39,43 |
39,45 |
39,46 |
39,46 |
|
14,54 |
14,47 |
14,42 |
14,34 |
14,25 |
14,17 |
14,12 |
14,08 |
|
8^98 |
8,90 |
8,84 |
8,75 |
8,66 |
8,56 |
8,51 |
8,46 |
|
6,76 |
6,68 |
6,62 |
6,52 |
6,43 |
6,33 |
6,28 |
0,23 |
|
5,60 |
5,52 |
5,46 |
5,37 |
5,27 |
5,17 |
5,12 |
5,07 |
|
4,90 |
4,82 |
4,76 |
4,67 |
4,57 |
4,47 |
4,41 |
4,36 |
|
|
4,36 |
4,30 |
4,20 |
4,10 |
4,00 |
3,95 |
3,89 |
|
4,10 |
4,03 |
3,96 |
3,87 |
3,77 |
3,67 |
3,61 |
о ,56 |
|
3,85 |
3,78 |
3,72 |
3,62 |
3,52 |
3,42 |
3,37 |
3,31 |
|
3^66 |
3,59 |
3,53 |
3,43 |
3,33 |
3,23 |
3,17 |
'6,12 |
|
3,51 |
3,44 |
3,37 |
3,28 |
3,18 |
3,07 |
3,02 |
2,96 |
|
3,39 |
3,31 |
3,25 |
3,15 |
3,05 |
2,95 |
2,89 |
2,84 |
|
3,29 |
3,21 |
3,15 |
3,05 |
2,95 |
2,84 |
2,79 |
2,73 |
|
3,20 |
3,12 |
3,06 |
2,96 |
2,86 |
2.76 |
2,70 |
2,64 |
|
3,12 |
3,05 |
2,99 |
2,89 |
2,79 |
2,68 |
2,63 |
2,57 |
|
3,06 |
2,98 |
2,92 |
2,82 |
2,72 |
2,62 |
2,56 |
2,50 |
|
3,01 |
2,93 |
2,87 |
2,77 |
2,67 |
2,56 |
2,50 |
2,44 |
|
2,96 |
2,88 |
2,82 |
2,72 |
2,62 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
|
2,91 |
2,84 |
2,77 |
2,68 |
2,57 |
2,46 |
2,41 |
2,35 |
|
2,87 |
2,80 |
2,73 |
2,64 |
2,53 |
2,42 |
2,37 |
2,31 |
|
2,84 |
2,76 |
2,70 |
2,60 |
2,50 |
2,39 |
2,33 |
2,27 |
|
2,81 |
2,73 |
2,67 |
2,57 |
2,47 |
2,36 |
2,30 |
2,24 |
|
2,78 |
2,70 |
2,64 |
2,54 |
2,44 |
2,33 |
2,27 |
2,21 |
|
2,73 |
2,68 |
2,61 |
2,51 |
2,41 |
2,30 |
2,24 |
2,18 |
|
оj 73 |
2,65 |
2,59 |
2,49 |
2,39 |
2,28 |
2,22 |
2,17 |
|
2,71 |
2,63 |
2,57 |
2,47 |
2,36 |
2,25 |
2,19 |
2,13 |
|
2,69 |
2,61 |
2,55 |
2,45 |
2,34 |
2,23 |
2,17 |
2,11 |
|
2,67 |
2,59 |
2,53 |
2,43 |
2,32 |
2 |
21 |
2,15 |
2,09 |
2,65 |
2,57 |
2,51 |
2,41 |
2,31 |
2,20 |
2,14 |
2,07 |
|
2,53 |
2,45 |
2,39 |
2,29 |
2,18 |
2,07 |
2,01 |
1,94 |
|
2,41 |
2,33 |
2,27 |
2,17 |
2,06 |
1,94 |
1,88 |
1,82 |
|
2,30 |
2,22 |
2,16 |
2,05 |
1,94 |
1,82 |
1,76 |
1,69 |
|
2,19 |
2,11 |
2,05 |
1,94 |
1,83 |
1,71 |
1,64 |
1,57 |
|
обработки кислотой. Каждая мелкая часть называется повто рением. Цель, которую мы преследуем, разбивая первоначаль ный кусок на части, — определение изменчивости, вызванной по грешностями взвешивания. Очевидно, что если изменчивость между повторными определениями для одногообразца велика по сравнению с различиями между образцами, то последние трудно обнаружить.
Предположим, что мы разбили исходный образец на шесть частей и собираемся проанализировать каждую из них. Наблю даемые изменения возникают по ряду причин: из-за колебаний состава внутри исходного образца, из-за небрежности в полу чении повторных наблюдений (остатки одного травления могут
87
Критические значения /'-распределения с Vi и v2 степенями
Число |
|
|
|
Vi |
|
|
|
. |
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
I |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
|
8 |
V2 |
3 |
7 |
||||||
1 |
4052,2 |
4999,5 |
5403,4 |
5624,6 |
5763,6 |
5859,0 |
5928,4 |
5981,1 |
2 |
98,50 |
99,00 |
99,17 |
99,25 |
99,30 |
99,33 |
99,36 |
99,37 |
3 |
34,12 |
30,82 |
29,46 |
28,71 |
28,24 |
27,91 |
27,67 |
27 40 |
4 |
21,20 |
18,00 |
16,69 |
15,98 |
15,52 |
15,21 |
14,98 |
14,80 |
5 |
16,26 |
13,27 |
12,06 |
11,39 |
10,97 |
10,67 |
10,46 |
10,29 |
б |
13,75 |
10,92 |
9,78 |
9,15 |
8,75 |
8,47 |
8,26 |
8,10 |
7 |
12,25 |
9,55 |
8,45 |
7,85 |
7,46 |
7,19 |
6,99 |
6,84 |
8 |
11,26 |
8,65 |
7.59 |
7,01 |
6,63 |
6,37 |
6,18 |
6,03 |
9 |
10,56 |
8,02 |
6,99 |
6,42 |
6,06 |
5,80 |
5,61 |
5,47 |
10 |
10,04 |
7,56 |
6,55 |
5,99 |
5,64 |
5,39 |
5,20 |
5,06 |
И |
9,65 |
7,21 |
6,22 |
5,67 |
5,32 |
5,07 |
4,89 |
4,74 |
12 |
9,33 |
6,93 |
5,95 |
5,41 |
5,06 |
4,82 |
4,64 |
4,50 |
13 |
9,07 |
6,70 |
5,74 |
5,21 |
4,86 |
4,62 |
4,44 |
4,30 |
14 |
8,86 |
6,51 |
5,56 |
5,04 |
4,69 |
4,46 |
4,28 |
4,14 |
13 |
8,68 |
6,36 |
5,42 |
4,89 |
4,56 |
4,32 |
4,14 |
4,00 |
16 |
8,53 |
6,23 |
5,29 |
4,77 |
4,44 |
4,20 |
4,03 |
3,89 |
17 |
8,40 |
6,11 |
5,18 |
4,67 |
4,34 |
4,10 |
3,93 |
3,79 |
18 |
8,29 |
6,01 |
5,09 |
4,58. |
4,25 |
4,01 |
3,84 |
3,71 |
19 |
8,18 |
5,93 |
5,01 |
4.50 |
4,17 |
3,94 |
3,77 |
3,63 |
20 |
8,10 |
5,85 |
4,94 |
4,43 |
4,10 |
3,87 |
3,70 |
3,56 |
21 |
8,02 |
5,78 |
4,87 |
4,37 |
4,04 |
3,81 |
3,64 |
3,51 |
22 |
7,95 |
5,72 |
4,82 |
4,31 |
3,99 |
3,76 |
3,59 |
3,45 |
23 |
7,88 |
5,66 |
4,76 |
4,26 |
3,94 |
3,71 |
3,54 |
3,41 |
24 |
7,82 |
5,61 |
4,72 |
4,22 |
3,90 |
3,67 |
3,50 |
3,36 |
25 |
7,77 |
5,57 |
4,68 |
4,18 |
3,85 |
3,63 |
3,46 |
3,32 |
26 |
7,72 |
5,53 |
4,64 |
4,14 |
3,82 |
3,59 |
3,42 |
3.29 |
27 |
7,68 |
5,49 |
4,60 |
4,11 |
3,78 |
3,56 |
3,39 |
3,26 |
28 |
7,64 |
5,45 |
4,57 |
4,07 |
3,75 |
3,53 |
3,36 |
3,23 |
29 |
7,60 |
5,42 |
4,54 |
4,04 |
3,73 |
3,50 |
3,33 |
3,20 |
30 |
7,56 |
5,39 |
4,51 |
4,02 |
3,70 |
3,47 |
3,30 |
3,17 |
40 |
7,31 |
5,18 |
4,31 |
3,83 |
3,51 |
3,29 |
3,12 |
2,99 |
60 |
7,08 |
4,98 |
4,13 |
3,85 |
3,34 |
3,12 |
2,95 |
2,82 |
120 |
6,85 |
4,79 |
3,95 |
3,48 |
3,17 |
2,96 |
2,79 |
2,66 |
СО |
6,63 |
4,61 |
3,78 |
3,32 |
3,02 |
2,80 |
2,64 |
2,51 |
быть промыты более тщательно, чем остатки другого), из-за из менения условий взвешивания (повторные образцы могут содер жать различные количества влаги либо на результаты взвеши вания может повлиять зависимость положения нулевой точки на весах от изменений температуры в течение дня и т. д.) и бла годаря влиянию других более тонких факторов. Комбинация всех этих источников изменчивости приводит к возникновению так называемой экспериментальной ошибки или изменчивости, не учитываемой только различиями между образцами.
Для того чтобы избежать возможности появления система тической ошибки в статистическом анализе, повторные наблю-
88
Т а б л и ц а 214в
свободы и 1%-ным уровнем значимости (а=0,01)
|
|
|
|
|
Vi |
|
|
9 |
10 |
|
12 |
15 |
20 |
24 |
ОО |
6022,5 |
6055,8 |
6106,3 |
6157,3 |
6208,7 |
6234,6 |
6260,6 |
|
99.30 |
99,40 |
99,42 |
99,43 |
99,45 |
99,46 |
99,47 |
|
27.35 |
27,23 |
27,05 |
26,87 |
26,69 |
26,60 |
26,50 |
|
14.60 |
1-1,55 |
14,37 |
14,20 |
14,02 |
13,93 |
13,84 |
|
Hi,16 |
10,05 |
9,89 |
9,72 |
9,55 |
9,47 |
9,38 |
|
г>’-л |
7,87 |
7,72 |
7,56 |
7,40 |
7,31 |
7,23 |
|
6,62 |
6,47 |
6,31 |
6,16 |
6.07 |
5,99 |
||
G ; |
5,81 |
5,67 |
5,52 |
5,36 |
5,28 |
5,20 |
|
5.35 |
5,26 |
5,11 |
4,96 |
4,81 |
4,73 |
4,65 |
|
4.94 |
4 |
85 |
4,71 |
4,56 |
4,41 |
4,33 |
4,25 |
4.63 |
4,54 |
4,40 |
4,25 |
4,10 |
4,02 |
3,94 |
|
4.39 |
4,30 |
4,16 |
4,01 |
3,86 |
3,78 |
3,70 |
|
1 ! С) |
4,10 |
3,96 |
3,82 |
3,66 |
3,59 |
3,51 |
|
4.03 |
3,9 4 |
3,80 |
3,66 |
3,51 |
3,43 |
3,35 |
|
3,:-9 |
3,80 |
3,67 |
3,52 |
3,37 |
3,29 |
3,2! |
|
3.78 |
3,69 |
3,55 |
3,41 |
3,26 |
3,18 |
3,10 |
|
3,68 |
3,59 |
3,46 |
3,31 |
3,16 |
3,08 |
3,00 |
|
3,6U |
3,51 |
3,37 |
3,23 |
3,08 |
3.00 |
2,92 |
|
3,52 |
3,43 |
3,30 |
3,15 |
3,00 |
2,92 |
2,84 |
|
3,46 |
3,37 |
3,23 |
3,09 |
2,94 |
2,86 |
2,78 |
|
3.40 |
3,3! |
3,17 |
3,03 |
2,88 |
2,80 |
2,72 |
|
3,35 |
3,26 |
3,12 |
2,98 |
2,83 |
2,75 |
2,67 |
|
3,30 |
3,21 |
3,07 |
2,93 |
2,78 |
2,70 |
2,62 |
|
3,26 |
3,17 |
3,03 |
2,89 |
2,74 |
2,66 |
2,58 |
|
3,22 |
3,13 |
2,99 |
2,85 |
2,70 |
2,62 |
2,54 |
|
3.18 |
3,09 |
2,96 |
2,8! |
2,66 |
2,58 |
2,50 |
|
3,15 |
3,06 |
2,93 |
2,78 |
2,63 |
2,55 |
2,47 |
|
3.12 |
3,03 |
2,90 |
2,75 |
2,60 |
2,52 |
2.44 |
|
3,09 |
3,00 |
2,87 |
2,73 |
2,57 |
2,49 |
2,41 |
|
3,07 |
2,98 |
2,84 |
2,70 |
2,55 |
2,47 |
2,39 |
|
2,89 |
2,80 |
2,66 |
2,52 |
2,37 |
2,29 |
2,20 |
|
2,72 |
2,63 |
2,50 |
2,35 |
2,20 |
2,12 |
2,03 |
|
2,56 |
2,47 |
2,34 |
2,19 |
2,03 |
1,95 |
1,86 |
|
2,41 |
2,32 |
2,18 |
2,04 |
1,88 |
1,79 |
1,70 |
|
дения должны быть отобраны наудачу. Это так называемая рандомизация наблюдений. Необходимость этой процедуры ста нет очевидной, если имеется некоторый фактор, который непре рывно изменяется во время эксперимента, например продол жающееся высыхание проб, ожидающих своей очереди взвеши вания. Если взвесить все шесть проб, полученных из образца 1, а затем все пробы, полученные из образца 2 и т. д., то при по следнем взвешивании могут быть зарегистрированы большие весовые потери лишь по той причине, что пробы высыхали в те чение более продолжительного периода времени. Один из спо собов решения этой задачи — последовательная нумерация каж-
89
Т а б л и ц а 2.15
Концентрация микрочастиц в талой воде, мг/т
Антарктика, |
Л»=!6 |
Гренландия, |
л-18 |
3,7 |
0,6 |
3,7 |
1,6 |
2,0 |
1,4 |
7,8 |
2,4 |
1,3 |
4,4 |
1,9 |
1,3 |
3,9 |
3,2 |
2,0 |
2,6 |
0,2 |
1,7 |
1,1 |
3,7 |
1,4 |
2,1 |
1 ,з |
2,2 |
4,2 |
4,2 |
1,9 |
1,8 |
4,9 |
3,5 |
3,7 |
1,2 |
|
|
3,4 |
0,8 |
дой повторной процедуры и выбор этих номеров в процессе ана лиза по таблице случайных чисел. Действительно, если процесс протекает поэтапно, то целесообразно приписать наудачу номе ра каждому образцу на каждом шаге. Тогда различные источ ники ошибок перемешиваются или совмещаются для всех по вторных проб, а не концентрируются в нескольких из них.
Проверку гипотезы эквивалентности пяти образцов можно провести с помощью процедуры, называемой однофакторным дисперсионным анализом, при котором проверяемая гипотеза н альтернатива имеют следующий вид:
Н 0 ■' Pi = Р2 = Цз = (J-4 = Цб!
До: по крайней мере одно среднее значение отлично от осталь ных.
Для проверки этой гипотезы требуется выполнение некото рых условий, а именно: а) каждое множество повторных проб рассматривается как случайная выборка из соответствующей совокупности; б) каждая исходная совокупность характеризу ется нормальным распределением; в) все исходные совокупно сти имеют равные дисперсии.
Данные для рассматриваемой нами задачи приведены в табл. 2.16. В однофакторном дисперсионном анализе общая дисперсия разбивается на две составляющие: дисперсию внутри каждого множества повторных проб (внутривыборочную дис персию) и дисперсию между сравниваемыми образцами (меж выборочную дисперсию). В математической статистике разра ботана формализованная процедура дисперсионного анализа, которая приведена в таблице ANOVA (Analysis of Varianse). Последняя содержит перечень источников изменчивости, стол бец исправленных сумм квадратов, соответствующих различным источникам, число степенен свободы для каждой из них, стол-
90
Т а б л и ц а 2.16
Содержание карбонатного цемента в пяти образцах песчаника, % (числа в скобках обозначают порядковый номер пробы в процессе анализа)
|
|
|
Номер образца |
|
|
Н О М М ) П О |
|
|
|
|
|
этапной |
1 |
|
3 |
4 |
5 |
пробы |
О |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
19,2(11) |
18,7(04) |
12,5(28) |
20,3(12) |
П,9(21) |
О |
18,7(08) |
14,3(19) |
14,3(16) |
22,5(30) |
24,3(06) |
,3 |
21,3(09) |
20,2(14) |
8,7(20) |
17,6(24) |
11,6(18) |
4 |
16,5(17) |
17,6(07) |
11.4(29) |
18,4(03) |
20,2(22) |
0 |
17,3(26) |
19,3(05) |
9,5(27) |
15,9(13) |
18,4(12) |
с |
22,4(15) |
16,1(251 |
16,5(01) |
19,0(02) |
19,1(10) |
Зец -.редких квадратов, который содержит выборочные оценки дисперсий и значений /'-критерия. Соответствующая нашей за даче 'I .блица приведена ниже:
Источник изменчивости |
Сумма квад- |
Число степе- |
Средний |
/‘-критерий |
|
ратов |
weir свободы |
квадрат |
|||
Между |
выборками |
SSA |
т—1 |
M S A |
Л15 \/MSw |
Внутри |
выборок |
SSvc |
N—m |
JUSw |
|
Общая |
изменчивость |
S S T |
N— 1 |
|
|
Общая изменчивость по всем наблюдениям (по всем повтор ным пробам и по всем образцам) S S T характеризуется фор мулой
ЛШ* *ЗЛ |
'ч '■"Л |
0.37) |
|
i =l |
|||
/=I i=I |
7=1 |
где Л'.. — г'-я повторная проба в /-м образце.
В двойной сумме первая указывает, что суммирован :е про водит:'; по каждому столбцу, содержащему п повторных проб, а затем складываются полученные результаты всех т столбцов. Общее число наблюдений N равно числу повторных проб з вы борке, умноженному на число выборок, т. е. N=nm. Последний член в правой части выражения (2.37) называется поправоч ным. Отметим, что такие же члены имеются и в других анало гичны:: суммах.
Сумму, характеризующуюся межвыборочной изменчивостью,
находят по следующей формуле: |
|
т п |
. ‘ |
|
|
<?<?.. S |
|
|
(2.38) |
||
4}J; |
7 |
ч/=1 /=I |
' |
||
/=1 |
|
|
ЕЕ*- • |
|
|
91