существует такой вектор X = {А ,}, А,,> О ^А,,. = 1, что критерий —
i
свертка вида А^./Дх), — достигает максимума при х = х* е X
i
Доказательство теоремы (см. [20—23; 39]) опирается на известную теорему отделимости выпуклых множеств.
А л г о р и т м 1. Задать компоненты вектора
Х*=(Х*Д*2,...Д*т ), Х ^ О , £ х * = 1. * - 1, 2,
/=1
2. Составить новый критерий — свертку
т
f(x ,\k) = ^ X kiMx), *= 1,2 ..... /.
/=1
3.Задать значение /.
4.Решить задачу максимизации свертки fix, А.*) для всех к - 1, 2, ..., 1 и установить
совокупности {х*}с X, доставляющие max f(x,X k ). Для этого можно воспользоваться од
ним из методов решения условной экстремальной задачи (см. гл. 6) с учетом свойств функций Дх, X*) и g/x), j = 1
5. Построить приближение множества Парето как объединение альтернатив х'к, к —1,
2..... /.
Построение множества Слейтера с использованием теоремы Гермейера. Эта теорема чрезвычайно полезна для различных задач выбора ре шений по многим критериям.
Теорема Гермейера. Если х* е М0 — оптимальное решение по Парето,
П
Fj(x)> 0, V/ е N, то существуют такие Х„ X > 0, ^ Х , =1, что
1=1
minX, Fj (х) достигает максимума при х = х", где М„ в общем случае невы
пуклый компакт.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть частные критерии непрерывны. Зада дим
1 Х» = п
1
F, ( * ' ) £
*=i Fk(x ')
Так как х* — оптимальное решение, то ему соответствует вектор А0. Тогда для любого х е М0 существует какой-то номер j такой, что Fj(x) < Fj(x'), а иначе х е М0. Теперь запишем неравенство