книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

Фундаментальные математические основы теории управления

Тогда решение задачи (2) – (4), (6) сведется к отысканию тройки ( , , ), где = ( , ), = ( 1, 2). Приближенное решение задачи (2) – (4), (6) будем искать в виде галеркинских сумм:

1

2

∑1

∑2

~( 1, 2, ) =

1

, 2 ( ) 1, 2 ( 1, 2),

1=1 2=1

∑1

∑2

~( 1, 2, ) =

1, 2 ( ) 1, 2 ( 1, 2),

1=1 2=1

2

(9)

∑1

∑

~( 1, 2, ) =

1

, 2 ( ) 1, 2 ( 1, 2),

1=1 2=1

∑1

∑2

~1( 1, 2, ) =

1 1, 2

( ) 1, 2 ( 1, 2),

1=1 2=1

2

∑1

∑2

~2( 1, 2, ) =

2 1, 2

( ) 1, 2 ( 1, 2),

=1 =1

где 1, 2 ( 1, 2) = sin( 1 1) sin( 2 2).

Далее, будем искать приближенное решение задачи управле-

ния (1) – (4) с помощью метода штрафа, описанного в работе [3].

Рассмотрим эквивалентную задачу управления, где соотношение

(8) для приближенного решения добивается с помощью введения

нового функционала штрафа в виде

(10)

(~, ~) = (

0

0 1 0

(~ − )2 2+

∫

∫

∫

+

0

0

1

0

| ~ − |2 2) +

0

0

1

0

( ~ − )4 2+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+ (1 − )

1

(~ − )4 2 + (1 − )

1

(| ~1|2

∫

∫ 4

∫

∫

∫

∫

0

0

0

∫

0

0

0

+~23 ) 2 +

1

( ~ − ~)4 2,

параметр штрафа =

+∫

∫

+0.

где

1

0

0

0

→

→ ∞

при

122

81

Управление большими системами. Выпуск XX

	Опираясь			на метод Ритца,					будем	искать неизвестные
1	, 2 ( ), 1	,	2	( ), 2		, ( ) в виде
	1				1		2
				1, 2 ( ) =					1, 2, ,
								∑
								=0
							( ) =			,
								∑
					1 1		, 2		1, 2,
								=0
					2 1		( ) =	∑		,
							, 2		1, 2,
								=0
учитывая, что
					1, 2 (0) = 1, 2 (0).

Подставив галеркинские суммы (9) в уравнения (7) и умножив полученное уравнение скалярно в 2( ) на собственные функции 1, 2 ( 1, 2), получим систему алгебро-дифференциальных уравнений:

(11)
−	′′			′′				−		+ ,						=		1,			,
	1 1 −				2 2								1, 2							1, 2
{ ′ − 2 ′′1 1 − 2 ′′2 2 + + + 3, 1, 2 = 2, 1, 2 .
Разрешим		систему								уравнений						(11)				относительно		неиз-
вестные			1		, 2,		,		1, 2,			,			.		Таким				образом,	за-
													1, 2,
дача	оптимального										управления									сводится	к нахож-
дению		минимума									функции					нескольких					переменных
относительно						1, 2,					,		, 2,	,		, 2,			,		=	1.. ,
											1			1						1		1

2 = 1.. 2, = 0.. .

82

123

Фундаментальные математические основы теории управления

Фундаментальные математические основы теории управления

В результате вычислений было найдено приближенное решение задачи (1) – (4):

~( 1, 2, ) =

= 0.32460325 sin( 1) sin(2 2) −2 − 0.26287907 sin( 1) sin(2 2) 3− −0.09637645 sin(2 1) sin(2 2) 5 + 0.10868619 sin(2 1) sin(2 2) 4− −0.29119337 sin(2 1) sin( 2) + 0.65636902 sin( 1) sin( 2)+ +0.42809576 sin(2 1) sin(2 2) − 0.18160210 sin( 1) sin(2 2)+ +0.01036402 sin( 1) sin(2 2) − 0.75184196 sin(2 1) sin(2 2) + +0.05547544 sin(2 1) sin(2 2) 6 + 0.18824866 sin(2 1) sin( 2) 3+ +0.14928118 sin( 1) sin( 2) 3 + 0.53815331 sin( 1) sin( 2) 2+ +0.15323104 sin( 1) sin(2 2) 2 + 0.00947512 sin(2 1) sin( 2) 4− −0.00090807 sin( 1) sin( 2) 5 + 0.18529947 sin( 1) sin(2 2) 4− −0.09692726 sin( 1) sin( 2) 4 + 0.78679539 sin(2 1) sin( 2) 2+ +0.64075712 sin(2 1) sin(2 2) 2 + 0.43937370 sin(2 1) sin( 2) −2 + +0.00183630 sin(2 1) sin( 2) 5 − 0.02995898 sin(2 1) sin( 2) 6+ +0.28726404 sin(2 1) sin( 2) − 0.14960318 sin( 1) sin(2 2) 3− −0.05630735 sin( 1) sin(2 2) 5 − 0.01622395 sin( 1) sin( 2) 6+ +0.02001798 sin( 1) sin(2 2) 6 + 0.97879663 sin( 1) sin( 2)− −0.45421482 sin(2 1) sin(2 2) −2 + 0.13108779 sin( 1) sin( 2) −2 ,

124

83

Управление большими системами. Выпуск XX

~( 1, 2, ) =

= −0.29061195 sin( 1) sin( 2) + 1.2906119 sin( 1) sin( 2)+ +1.250063536 sin(2 1) sin(2 2) − 0.25006353 sin(2 1) sin(2 2)+ +0.03284726 sin( 1) sin(2 2) + 0.072184868 sin(2 1) sin( 2)− −0.00365144 sin( 1) sin( 2) 6 + 0.011567121 sin(2 1) sin(2 2) 6− −0.01187023 sin(2 1) sin(2 2) 5 − 0.01872493 sin(2 1) sin(2 2) 4− −0.083017596 sin(2 1) sin(2 2) 3 + 0.27146516 sin(2 1) sin( 2) 2+ +0.26070104 sin(2 1) sin( 2) − 0.44556011 sin(2 1) sin(2 2) + +0.53091998 sin( 1) sin( 2) 2 − 0.25099702 sin( 1) sin( 2) + +0.00167775 sin( 1) sin(2 2) 6 + 0.04131579 sin( 1) sin(2 2) 4− −0.00691318 sin( 1) sin(2 2) 5 + 0.00352998 sin(2 1) sin( 2) 4− −0.06149780 sin( 1) sin( 2) 4 − 0.00082689 sin( 1) sin( 2) 5+ +0.24086274 sin( 1) sin(2 2) − 0.00957935 sin(2 1) sin( 2) 6−

−0.01735565 sin(2 1) sin( 2) 3 + 0.00112449 sin(2 1) sin( 2) 5− −0.07047050 sin( 1) sin(2 2) 3 + 0.10358340 sin( 1) sin(2 2) 2+

+0.07900896 sin(2 1) sin(2 2) 2 − 0.05512904 sin( 1) sin( 2) 3− −0.07218486 sin(2 1) sin( 2) − 0.032847265 sin( 1) sin(2 2),

~1( 1, 2, ) =

= 0.53236963 sin( 1) sin(2 2) 2 + 0.60706472 sin( 1) sin( 2) 2+ +0.50723020 sin(2 1) sin(2 2) 2 + 1.27199302 sin(2 1) sin( 2) 2− −0.80360338 sin( 1) sin(2 2) + 0.43694503 sin( 1) sin( 2)+ +0.23333849 sin(2 1) sin(2 2) − 0.92083681 sin(2 1) sin( 2) + +0.14300114 sin( 1) sin(2 2) − 0.21254317 sin( 1) sin( 2)− −1.02611905 sin(2 1) sin(2 2) + 0.14818032 sin(2 1) sin( 2),

~2( 1, 2, ) =

= −0.41575648 sin( 1) sin(2 2) 2 + 0.79747415 sin( 1) sin( 2) 2− −0.80282707 sin(2 1) sin(2 2) 2 + 1.32200641 sin(2 1) sin( 2) 2+ +1.15504060 sin( 1) sin(2 2) + 1.97868413 sin( 1) sin( 2)− −1.29303585 sin(2 1) sin(2 2) + 1.71680910 sin(2 1) sin( 2) + +0.30776204 sin( 1) sin(2 2) + 3.37963281 sin( 1) sin( 2)+ [phone] sin(2 1) sin(2 2) + 0.47753377 sin(2 1) sin( 2),

при этом значение функционала = 0.152053088 (с точностью

до 10−8). На рисунке представлен график поверхности прибли-
женного решения в момент времени = 1.
8	125
84

Фундаментальные математические основы теории управления

Графики функций ( 1, 2, 1) при = 1

Графики функций ( 1, 2, 1) при = 1

Литература

1.БОКАРЕВА Т.А., СВИРИДЮК Г.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Математические заметки. - 1994 - Т.55, /No 3. - C. 3-10

2.МАНАКОВА Н.А., ГАВРИЛОВА О.В. Оптимальное управление для одной математической модели рас-

126

85

Управление большими системами. Выпуск XX

Графики функций ( 1, 2, 1) при = 1

пространения нервного импульса // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015 - Т.8, /No 4. - C. 120-126

3.МАНАКОВА Н.А. Метод декомпозиции в задаче оптимального управления для полулинейных моделей соболевского типа // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015 - Т.8, /No 2. - C. 133-136

4.FITZ HUGH R. Mathematical Models of Threshold Phenomena in the Nerve Membrane // Bulletin of Mathematical Biology. - 1955 - Vol. 15, /No 10. - P. 257-278

5.NAGUMO J., ARIMOTO S., YOSHIZAWA S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon // Proceedings of the IRE. - 1962 - Vol. 17, /No 4. - P. 20612070

NUMERICAL SIMULATION OF CONTROL OF NERVE IMPULSE SPREADING IN THE RECTANGULAR MEMBRANE

10	127
86

Фундаментальные математические основы теории управления

Фундаментальные математические основы теории управления

Gavrilova Olga, South Ural State University, Chelyabinsk, student ([e-mail]).

Abstract: The numerical study of the optimal control problem for the Fitz Hugh-Nagumo model in a rectangle is considered. The Fitz Hugh-Nagumo system simulates the process of propagation of a nerve impulse in a membrane. This equation relates to semilinear Sobolev type equations, which constitute a vast area of ??nonclassical equations of mathematical physics. An algorithm for numerical solution Optimal control problems in a rectangle based on the modified Galerkin method and the decomposition method, and The result of a computational experiment.

Keywords: Sobolev type equations,decomposition method, numerical modelling.

128

87

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

УДК 62–50 ББК 30

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ1

Кочетков С.А.2

(Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

В процессе эксплуатации асинхронного электропривода параметры, входящие в описание его математической модели, могут существенно изменяться. Данные процессы связаны с нагревом короткозамкнутой обмотки ротора, насыщением магнитопроводов ротора и статора, а также изменениями приведенного момента инерции. В статье рассмотрена задача слежения за заданным значением угловой скорости вращения электропривода в условиях неопределенности параметров математической модели, описывающей поведение электродвигателя, а также наличия внешних неконтролируемых возмущений. За счет использования нелинейного разрывного закона управления удается обеспечить экспоненциальную сходимость ошибки слежения к нулю.

Ключевые слова: асинхронный электропривод, задача слежения, неизвестный момент нагрузки, релейный закон управления, неопределенность параметров.

Введение

Электроприводы различного типа (электроприводы переменного и постоянного тока) широко используются в качестве исполнительных устройств в подавляющем большинстве электромеха-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента МД–5366.2016.8 и гранта РФФИ №15–08–01543А.

2 Сергей Александрович Кочетков, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник, [e-mail].

88

1

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

нических систем [4]: роботов-манипуляторов, мобильных роботах, электромобилях, токарных станках, прокатных станах и т.д. Основной из задач, которая ставятся перед разработчиками систем управления подобными установками, является задача слежения за заданным сигналом. В наиболее общей постановке данная проблема должна решаться с помощью современных достижений теории управления в условиях неопределенности параметров объекта и внешней среды.

В данной работе рассмотрена задача слежения за заданной скоростью вращения вала асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором. Основные особенности предложенной постановки задачи.

1.Неопределенности в описании математической модели электропривода, связанные:

∙с изменением активного сопротивление ротора из-за нагрева проводников;

∙с нелинейностью характеристики намагничивания магнитопроводов, приводящей к нелинейной зависимости магнитных потоков статора и ротора и их токов намагничивания;

∙с неопределенностью приведенного момента инерции электропривода.

2.Воздействие на систему внешней нагрузки, не поддающейся описанию в виде статических зависимостей или динамических математических моделей. Предполагается, что каналы воздействия нагрузки и каналы управлений не совпадают, что соответствует так называемому случаю несогласованных возмущений [6].

Описанные нюансы предложенной постановки задачи не позволяют воспользоваться существующими подходами к решению поставленной задачи на основе классической теории линейных систем [11, 13], теории адаптивных систем [8], теории скользящих режимов [12], теории наблюдателей состояния [2], и обуславливают необходимость разработки новых нелинейных законов управления [7].

2

89

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

1. Постановка задачи

Рассмотрим стандартную модель асинхронного электродвигателя в двухфазной системе координат, связанной с ротором двигателя ( _ -координатная система) [5, 10]:

_

1

{

}

=

1

− ) =

1

3

( − ) −

(

2

= −

− +

,

_

1

= −

+ +

,

(1)

1 −

{

− (

)

2

_ =

2

+

+

[

] }

+

+

,

)

1

−

{

− (

2

_ =

2

+

+

+

[

− ] }

,

где константы и переменные приведены в таблице 1. Предполагается, что момент неизвестной механической на-

грузки описывается ограниченной функцией с ограниченными двумя первыми производными

(2)	( )( ) 6	, =		0, 2	,
где ( )( ) обозначает -ю производную			от ( ),			= const > 0 –

известные константы; здесь и далее, |·| обозначает модуль числа. Физически, момент нагрузки соответствует внешней нагрузке на вал электродвигателя, связанной с приводимыми в дви-

жение внешними механизмами.

Перепишем уравнения системы (1) в более компактной фор-

ме

= 1 ( − ) = 1 ( 5 T T − ),

(3)_ = − ( ) + 4 ,

_ = 1[ 2 ( ) − 1 + ],

где T = [ ], T = [		], 2 = ,
T = [ ], 1 =		, 4	= , 5 =	3 ,
	2
	−			2
90				3