книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfЗначения k2 и процент А уменьшения величи
ны критической нагрузки за счет отверстия, вычисленные по зависимостям, получающимся при аппроксимации перемещений по (3.31), приведены на рис. 3.3.
3.2. ПЛАСТИНКИ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЫРЕЗАМИ КРУГОВОЙ ФОРМЫ
Не менее распространенным конструктив- |
рис 33 |
ным элементом в сравнении с прямоугольны |
|
ми пластинками, перфорированными прямоугольными вырезами, являются пластинки с вырезами круговой формы. Исследование их устойчивости на основе численных методов связано с еще боль шими трудностями вычислительного характера. Поэтому методом конечных разностей чаще всего исследовались лишь системы с прямоугольными вырезами.
В данном разделе метод, изложенный ранее, модифицируется ч распространяется на пластинки с вырезами круговой формы (рис. 3 .4 ,а ). Смысл модификации заключается в том, что вначале каждый круговой вырез представляется состоящим из бесчислен ного множества прямоугольных (ом. рис. 3 .4 ,6 ). Контурные линия последних предполагаются параллельными соответствующим внеш ним сторонам пластинки. Суммарная площадь прямоугольных вы резов в пределе должна быть равна площади заменяемого круго вого выреза. Поэтому их число подбирается в процессе счета, в за висимости от необходимой точности. Операцию подбора числа пря моугольных вырезов легко осуществить с помощью ЭВМ. Для уп рощения высота сторон прямоугольных вырезов предполагалась
Рис. Зи4
одинаковой. Длина определялась в зависимости от координат места расположения выреза.
После представления круговых вырезов прямоугольными пла стинка заменялась, как и ранее, сплошным аналогом из условного материала.
Рассмотрим конкретный пример. Предположим, что прямоуголь ная пластинка, шарнирно опертая по краям, имеет I вырезов кру говой формы, не закрепленных по контуру. С помощью импульсив ной функции нулевого порядка запишем выражение для параметра жесткости эквивалентной модели. При этом полагаем, что коорди наты центров вырезов — Xi, t/i, а радиуса — Ri. Каждый круговой вырез заменяем при исследовании г .прямоугольными, число кото рых для упрощения подбирается одинаковым независимо от ра диуса. Считаем, что контуры прямоугольных вырезов расположе ны в пределах х ц } < х < х щ ; у щ < у < у щ ', i = I, 2, k\ j = 1, 2 ,.
величину Е определяем, как и ранее, по формуле (2.25) с той разницей, что в данном случае параметр у (х, у) определяется по зависимости вида
|
|
I т |
I |
г |
у(х, |
0 ) = i — |
|
0 - ^ ) 4 - |
|
|
|
|
i- U -1 |
|
|
I |
T |
I T |
|
+ |
2 |
( * — |
У Уъа) 2 2 ^ ° ^ " * |
У Ун})- (3 .3 3 ) |
|
i- 1 |
/ - 1 |
|
|
В се дальнейшие операции проделываем, как и в предыдущих раз делах при аппроксимировании прогиба одним членом. В результа
те получим
/
( N ^ + N J[a ? )^ .= D „ g
X |
|
|
|
|
1 — ^ |
(3 .3 4 ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
g - = (a 2 - f |
a u = |
x |
2 l J - x |
UJ; |
b*i}= y 2lj — yUJ\ |
|
|
Q= |
|
|
H- nhijd’ijO’i |
|
|
||
m V j = |
sin 2 |
a |
x U j — |
sin 2 |
a x 2 ! f , |
(3 .3 5 ) |
|
% ; = s i « 2$yuj — sin Щ |
21]', |
|
|
||||
S — ab ; |
/- i y -i |
L*-i |
l i |
|
|||
|
|
||||||
Где 5 __площадь пластинки, |
ограниченная |
внешним |
контуром; |
||||
S i — площадь круговых вырезов. |
|
|
|
|
Более подробно проведено исследование устойчивости шарнир но опертых прямоугольных пластинок с центральным круговым вы резом. В этом случае из уравнения (3.34) можно получить обыч ное выражение для критической нагрузки в виде
(3 .36)
г
где k r=-- eg {S — S J - с 2 [д-^- (2Q + mlUm2lj) — 2 (1 — p.) afaj ;
i-1
(3 .37)
; |
62 |
|
c = |
я2 |
|
N* |
5 (ct’2 -(- |
Если предположить, что выреза в пластикке нет, то из (3.37) получается выражение коэффициента, \входящего в формулу для критического усилия (-3.36):
и _ |
[(«/а*)3 +д»]2 . |
п* _ _ д |
(3.38) |
|
х |
(те/а*)2 + \н2 ’ |
о |
||
|
Величина критического усилия Nx по зависимости (3.36) опре деляется методом последовательных попыток. Варьируемыми па раметрами являются числа полуволн т и п. Кроме того, перемен ным является число прямоугольников г (см. рис. 3.4, б) , на кото рое разбивается площадь выреза. Координаты вершин прямоуголь ников определяются по формулам
|
y u i = y i — R i + j t y i ; У г ц = У \ ц Л - Ш |
|
Xi,,s u = X i + |
у f S - [ yw+2 !l“ l ~ У , ) г, 7 = 0 , 1, 2 , . . . , г, |
(3.39) |
где |
Дyi=2Rilr. |
(3.40) |
Число разбиений г подбирается таким, чтобы последующий расчет отличался от предыдущего с наперед заданной степенью точности.
По полученным зависимостям были проведены вычисления и построены графики. Так, на рис. 3.5 представлены кривые, харак теризующие изменение коэффициента кх для различных типов на гружения, в зависимости от отношения радиуса кругового выреза i?, расположенного в центре, к ширине квадратной пластинки а. Как видно из рисунка, величина критической нагрузки уменьшает ся с различной интенсивностью, что зависит от соотношения сжи мающих усилий. Вычисления были выполнены с точностью поряд ка 1Cг~7.
Если рассматривать устойчивость пластинок с прямоугольными вырезами, то в зависимостях (3.34) и (3.35) исчезнет сумма по г и процесс вычисления упростится. На рис. 3.6 приведены кривые, характеризующие изменение коэффициента kx для квадратных пла стинок с центральным круговым вырезом (кривые 1 ) и квадрат
Рис. 3.5 |
Рис. 3.6 |
ным (кривые 2 ), Предполагалось, что сторона квадратного выре
за а* равна диаметру кругового. Сплошные кривые относятся к пластинкам, сжатым только с двух сторон, а пунктирные — с че тырех. Критические нагрузки для пластинок с круговыми выреза ми получаются выше, чем с квадратными.
Сравнение экспериментальных и теоретических данных, полу ченных Шлэком и другими исследователями [120], с результатами данной работы приведено на рис. 3.7. Здесь по оси ординат откла дывалась величина, равная отношению критичеокой нагрузки N *■ для квадратной пластинки с центральным круговым вырезом, сж а
той с двух сторон, к критической нагрузке |
пластинки без выреза |
Nx*, а по оси абсцисс — величина, равная |
отношению диаметоа |
кругового выреза к ширине пластинки. |
|
Приведенная на рис. 3.7 оплошная кривая получена по зависи мостям, выведенным Шлэком, а пунктирная — автором на основе
вычислений по формулам (3 .36), |
(3 .37). |
|
|
|
|
|
||||
Из сопоставления видно, что вычисления по полученным в дан |
||||||||||
ном |
разделе |
зависимостям хорошо согласуются |
как |
с опытными |
||||||
|
|
|
|
данными (точки на рис. |
3 .7 ), |
так |
||||
Л', |
<----------- |
i\ |
и с расчетами по зависимостям, |
|||||||
|
выведенным на основе других ме |
|||||||||
|
|
Levy s. |
тодов. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
___ Д |
В табл. 3.3 собраны результа |
||||||
0,8 |
|
|
ты вычислений значения коэффи |
|||||||
|
Кита.1 7 |
Автор |
циента К% для |
пластинок типа |
||||||
|
|
Scfi Lack |
/ |
изображенной на рис. 3.4, а с раз |
||||||
|
|
t\ |
* |
личным числом |
вырезов |
круго |
||||
0,8 |
|
|
XLL \ * . |
|||||||
|
|
вой формы. |
|
Xi/a |
и y ja , |
|
||||
|
|
|
|
Координаты |
где |
|||||
ОЛ О |
|
|
|
i= \ , |
2, 3, |
16, |
определялись |
|||
0,2 |
0,4 |
0,6 IR/a. |
следующим |
способом: |
X {fa=2j |
|||||
|
|
|
|
( / = 1 |
для i = 1, |
5, 9, 13; |
j —2 для |
|||
|
Рис. 3.7 |
|
t= 2 , |
6, 10, |
14; |
/ = 3 |
для |
i = 3, |
7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ylHx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номера отверстий |
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Л, 5, |
6, 9, |
1Ю, И. '13-16 |
|
3,34 |
2,79 |
2,39 |
2,09 |
1,86 |
1,67 |
|||||||||||
1, 6, |
11, |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
3,64 |
3,04 |
2,60 |
2,28 |
2,02 |
1,82 |
|||||
6, |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,74 |
3,11 |
2,67 |
2,33 |
2,08 |
1,87 |
|||
1, |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,86 |
3,21 |
2,75 |
2,41 |
2,14 |
1,93 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,90 |
3,25 |
2,79 |
2,44 |
2,17 |
1,95 |
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,85 |
3,21 |
2,75 |
2,41 |
2,14 |
Г,92 |
||
1, 6, |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,76 |
3,13 |
2,68 |
2,35 |
2,09 |
1,88 |
||||
9, |
13, |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,82 |
3,19 |
2,73 |
2,39 |
2,12 |
1,91 |
||||
9, |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,87 |
3,22 |
2,76 |
2,42 |
2,15 |
1,93 |
|||
9, |
10, |
13, |
14 |
|
|
|
|
|
|
3,73 |
3,10 |
2,66 |
2,33 |
2,07 |
1,86 |
|||||
9, |
10, |
13. |
14, |
|
15 |
|
|
|
|
3,68 |
3,07 |
2,63 |
2,30 |
2,04 |
1,84 |
|||||
5. 9, |
10, |
13, |
14. |
15 |
|
|
3,65 |
3,04 |
2,60 |
2,28 |
2,02 |
1,82 |
||||||||
1, 5. 6, 9— 11, |
13—16, 4 |
|
3,30 |
2,75 |
2,36 |
2,06 |
1,83 |
1,65 |
||||||||||||
1—16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,07 |
2,56 |
2,20 |
1,92 |
1,70 |
1,53 |
||||
-6, 7, |
10, |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
3,52 |
2,94 |
2,52 |
2,20 |
1,96 |
1,76 |
|||||
1, 6, 7, 10, И, 16 |
|
|
|
3,43 |
2,86 |
2.45 |
2,15 |
1,91 |
1,72 |
|||||||||||
1, 4, 6, 7, |
10, |
|
11, |
13, |
16 |
|
3,34 |
2,76 |
2,39 |
2,09 |
1,86 |
1,67 |
||||||||
3, |
8, |
9, |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
3,76 |
3,14 |
2,69 |
2,35 |
2,09 |
1,88 |
||||
11, |
15; |
/ = 4 |
для |
4, 8, |
12, 16); |
гл/а=0,2т) |
(TI = |
1 |
для f = l , |
2, |
3, 4; |
|||||||||
rr|=2 |
для |
|
i —5, |
6, 7, 8; |
л = 3 ; для i —9, |
10, |
11, |
12; r i= 4 |
для |
i = |
||||||||||
= 13, |
14, |
15, |
16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Расчеты были выполнены для различных значений комбиниро |
|||||||||||||||||||
ванного нагружения, определяемого параметрам Я. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для всех рассмотренных случаев потеря устойчивости происхо |
|||||||||||||||||||
дила |
по форме, когда т — п = 1. |
Значения |
коэффициентов, приве |
денных в табл. 3.3, справедливы лишь для квадратных пластинот, имеющих отношение диаметра кругового выреза к длине стороны, равное 0,1-8.
3.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ РАЗЛИЧНЫМИ ИССЛЕДОВАТЕЛЯМИ
В предыдущей главе рассмотрены задачи устойчивости для двухсвязных пластинок прямоугольной формы в «точной» постановке на основе метода ко нечных разностей. Мы отмечали, что в этом случае выбранный метод исследо вания с 1нспользоваш1ем конечных разностей не случаем. Он обусловлен в значи
тельной мере фигурой выреза, имеющего прямоугольную форму. Это первое
замечание, на которое необходимо было обратят» особое внимание. Второе за мечание касается того, что (как видно из работ, посвященных устойчивости пря моугольных пластинок с прямоугольными вырезами) они относятся в основном к пластинкам с закрепленными вырезами, что объясняется сложностью обеспе чения сходимости решения при удовлетворении граничным условиям свободно го края. Это связано с трудностями, появляющимися при удовлетворении усло вий по третьей производной (по перерезывающей силе). Высказанные замечания подтверждаются публикациями по устойчивости пластинок с отверстиями, фор ма которых отлична от прямоугольной. Из их анализа молено убедиться, чТо для некоторых задач оказались пригодными новые численные методы. Главные из них — это метод конечных элементов (МКЭ) и метод, основанный на использо вании комплексных потенциалов Колосова.
В настоящем разделе приведены исходные предпосылки, используемые при исследовании устойчивости на основе метода конечных элементов. Последний является одним из наиболее эффективных и общих методов дискретизации кон тинуальных задач [71], разработанных в последние годы и нашедших широкое распространение благодаря совершенствованию электронно-вычислительной тех ники.
Развитие метода конечных элементов исторически шло но двум направле ниям. Первоначально исследование конструкций при аналитическом подходе на основе модели из элементов конечных размеров ооуществлялось лишь примени тельно к стержневым и рамным деформируемым системам. В связи с этим раз работанный метод исследования был основан на идеях, используемых в строи тельной механике стержневых систем. Так возникла первая модификация мето да конечных элементов. По мере совершенствования ЭЦВМ метод конечных элементов начал применяться к исследованиям прочности, жесткости, устойчиво сти деформируемых пластинок и оболочек.
Другое направление, по которому развивался МКЭ, это как бы разновид ность вариащюнно-разностн'ого метода решения задач математической физики. В дальнейшем оба направления слились воедино. Систематическое изложение МКЭ применительно к упругим системам можно найти в работах Л. А. Розина [85, 86], В. А. Постнова и И. Я. Хархурима.
Сущность МКЭ в общих чертах состоит в следующем. Континуум заменя ется соединением конечного числа конструктивных элементов, каждый из ко торых может принять при деформировании определенное число форм. На элемен ты действует соответствующим образом разделенная на части нагрузка. Погреш ность решения для такой системы определяется размерами элемента и числом степеней свободы. Она может быть снижена путем уменьшения размеров эле мента или увеличения числа возможных форм при деформации, когда возра стает количество узловых точек, где совместность деформации выполняется точ но. Математически задача решается с помощью аппарата линейной алгебры. Матричный язык позволяет систематизировать и упростить процедуру анализа
иявляется хорошо приспособленным средством для общения с ЭЦВМ.
Впределах каждого элемента выбираются узлы и искомые функции, кото рые представляются в виде интерполяционных формул по значениям этих функ ций и их производных в узлах. В результате состояние как каждого элемента, так и всей системы в целом приближенно описывается конечным числом пара метров. Последующая процедура состоит в том, что эти параметры находятся из вариационной задачи для класса функций, определенных для каждого эле мента в виде указанных интерполяционных формул. Такая вариационная задача приводит к -решению системы алгебраических уравнений относительно 'чекомых параметров интерполяции. Отсюда следует важное заключение, что МКЭ имеет,
содной стороны, сеточный (разбивка на элементы) и, с другой стороны, вариа ционный (решение непосредственно вариационной задачи) характер. Именно с
этим |
связаны преимущества МКЭ как прямого метода математической фи |
зики |
[71]. |
Вариационный подход позволяет использовать более свободные от ограниче ний теоремы существования, так как выражения, стоящие в функционалах, име ют более низкий порядок производных, чем в исходных дифференциальных ур|авнени!ях. Это расширяет клнос допустимых функций и, в частности, позво
ляет находить решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локали зованных функций, составляющих основу МКЭ.
Вариационные методы позволяют исключать из специальною рассмотре''Ч1 естественные граничные условия.
Наконец, получаемые сеточные уравнения отражают интегральные принци пы 'механики рассматриваемых систем. Сеточные методы в значительной степени' облегчают преодоление известных трудностей, связанных с выбором координат ных функций в вариационных задачах.
Являясь общим приемом дискретизации, МКЭ применяется при решенииразличного рода задач статики, динамики и устойчивости в линейной и нели нейной постановках. Для решения сложных задач с большим числом элементов и узлов разработан способ перехода -к суперэлементам и суперузлам.
Исследованию жесткости устойчивости прямоугольных пластинок с кру говыми отверстиями при помощи метода конечных элементов посвящены немно гие работы. В их числе публикации В. Г. Блохова [14, 15], В. Г. Налоева [59],. Р. Ритхе и И. Родеса [118], Н. Такесхи и К- Схинджя, Гроскурда, Вита и Галахера [101].
Рассмотрим подходы к решению некоторых задач механики типа изгиба иляустойчивости пластинок с вырезами на основе суперпозиции методов конечных элементов н вариационного, например метода Ритца, При этом вводятся обычные допущения теории тонких пластинок [21]. Исследование начинается с еадаиия формы конечного элемента, которое лимитируется рядом факторов и, в частно сти, геометрией деформируемой системы. Для рассматриваемого класса задач применялись элементы прямоугольной либо треугольной формы. Из работ на эту тему видно, что точность решения задач на основе конечно-элементной модели регулируется функциями, аппроксимирующими перемещение или силы внутри и по границам рассматриваемого конечного элемента, а также их числом и ко личеством степеней свободы, которыми элемент наделяется. Таким образом, погрешность решений всегда можно уменьшить, увеличивая число конечных эле ментов, заменяющих конструкцию, или число возможных форм изгиба при де формировании элемента, что равнозначно увеличению числа членов аппроксими рующего ряда.
Как мы отмечал* ранее, при исследовании устойчивости перфорированных пластинок в «точной» постановке рассматривают две задачи: задачу определе ния докритического напряженного состояния, для чего решается плоокая задача теории упругости иа основе МКЭ, и собственно задачу устойчивости, для чего используется энергетический метод. Необходимые исходные соотлошеияя записы ваются по отношению к отдельному конечному элементу, после чего осуществля ется суммирование по всем элементам, аппроксимирующим исследуемую дефор мируемую систему. Для упрощения исследования могут быть введены дополни тельные удрощеияя:
1) применительно к решению плоской задачи теории упругости. В этом слу чае считается, что закон изменения компонентов перемещения произвольной точки конечного элемента применяется в форме, обеспечивающей линейный за кон распределения нормальных и касательных напряжений в пределах элемен та [104];
2) для упрощения собственно задачи устойчивости напряженное состояние в пределах каждого конечного элемента может полагаться однородным.
На рис. 3.8, а [103] и 3.8,6 [59] приведены примеры возможного разбиения на конечные элементы прямоугольной пластинки с центральным квадратным и круговым отверстиями находящейся под действием сжимающих нагрузок, а на рис. 3.8, а [103] — для пластинки, исследуемой на устойчивость, при действии в ее плоскости по наружному контуру, сдвигающих усилий.
Не приводим здесь соответствующих исходных дифференциальных соотно шений для исследования поведения пластинок с помощью конечных элементов, так как они могут быть найдены либо в названных выше работах, либо взяты из соотношений первой главы с учетом перехода к конечно-элементной модели. Для сравнения «а рис. 3.9 приведены результаты вычислений, полученные различ ными методами: Леви и др. (кривая 1) [111], Кумаи (кривая 2) [ПО], Каваи н Отоубо (кривая 3) [106], Л. М. Куршиньш и К- А. Матвеевым (кривая 4) [45], Д. Ритхе и И. Родесом (кривая 5) [118]. Последние получили данные на оонове
Pt№C. 3.8
исследований с помощью метода конечных элементов. Данные теоретических последований хорошо согласуются с опытными результатами Кумам [ПО], кото рые обозначены крестикам?!, и Юсики [105], обозначенными кружочками, а так
же с вычислениями по замкнутым аналитическим соотношениям |
предыдущего |
раздела — кривая 6. Здесь же приведена пунктирная кривая, |
полученная по |
аналогичным соотношениям, но с учетом компенсирующей нагрузки, считая ее приложенной по контуру выреза (см. гл. 2).
Исследования, аналогичные првведенным на рис. 3.9, были выполнены И. А. Притыиимым [80]. Им найдено критическое значение сжимающей силы, действующей вдоль одной пары параллельных сторон квадратной пластинки с центральным квадратным вырезом, контур которого параллелен наружному. Для определения докритическопо напряженного состояния решается бигармони ческое уравнение, ш которого определяется функция напряжений. Изогнутая по верхность аппроксимировал1ась тригонометрической суммой по синусам. Выбран
|
|
|
|
|
|
|
ная функция точно удовлетворяла гранич |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ным условиям на внешнем контуре. На |
||||
|
|
|
|
|
|
|
внутреннем контуре осуществлялась мини |
||||
|
г |
rw |
|
|
|
|
мизация среднего квадратичного уклонения |
||||
1,0 |
1 |
|
|
|
значений нормального и касательного на |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
N |
|
|
|
|
пряжений. |
Конкретные вычисления были |
||||
0,9 |
|
|
3 |
|
выполнены для функции, содержащей 18 |
||||||
|
|
V |
|
|
|
членов ряда. Критическая нагрузка опре |
|||||
0,6 |
|
|
v*N |
й 4XNy |
|
делялась |
с помощью |
метода |
Ритца. |
||
|
|
|
6 |
В последние годы вновь появились пуб |
|||||||
0,7 |
|
|
|
ликации, |
содержащие |
результаты опытных |
|||||
|
|
|
|
5 |
|
|
исследований |
устойчивости прямоугольных |
|||
0,6 |
|
|
|
X |
|
пластинок |
с |
вырезами. Например, в рабо |
|||
|
|
|
\ |
\v |
|||||||
|
|
|
|
|
те Скерли [123] описываются эксперимен |
||||||
asП |
|
|
|
|
\ |
||||||
0,1 0,1 |
|
|
|
тальные исследования по определению кри |
|||||||
0,3 0,4 0,5 0,6?я/а |
тической |
нагрузки |
потерн |
устойчивости |
|
квадратных пластинок, сжатых с двух сто |
Рис. 3.9 |
рон, с круговым вырезом, не закрепленным |
по контуру. Описывается схема нагружения |
и элементы установки, позволяющие имитировать различные виды закрепления внешнего контура. Кроме этого, в работе приводится схема измерения переме щений в результате выпучивания. Построен график зависимости коэффициента устойчивости от размера выреза при двух видах закрепления сторон пластинки.. Из полученных опытных данных видно, что коэффициент устойчивости умень шается с увеличением диаметра центрального выреза.
Кроме перечисленных выше работ, опытные данные были получены и опу бликованы Терешковошм и Скалой [125]. Они изучали поведение прямоуголь ных пластинок с це/нтральньрм круговым свободным вырезом, подвергнутых сжа тию равномерно распределенными силами, действующими по двум защемленный краям, при двух остальных шарнирно-опертых. Исследовали также влияние вели чины диаметра выреза на значение критической силы. Полученные данные нане сены на графики. Кроме того, в работе приведены результаты анализа оптималь ной величины выреза с позиций •получения конструкций минимальной массы.
3.4. О ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ Г. В. КОЛОСОВА
В связи с важностью задач об устойчивости я колебании пластинок с выреза ми и в связи с тем, что они часто встречаются при проектирования, исследова тели стремились разработать какие-либо эффективные аналгегзческие методы, которые позволили бы находить их точные решения или же осуществлять теоре тическим путем приближенное изучение связанных с этчм проблем. Наряду с другими методами, внимание исследователей было привлечено к методам функ ции комплексного переменного и конформного отображения, так как они успеш но применялись к решениям уравнений плоской теории упругости. Впервые при менение таких методов дано в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным и эффективным при отыскание решения основных задач плоской теории упругости'. Первоначально результаты по решению задач плоской теории упругости методами теории функ ции комплексного переменного носили больше теоретический характер, поэтому возникла насущная необходимость придать этим результатам вид, требуемый ин женерной практикой. Большая заслуга в восполнении этого пробела принадле жит Г Н- Савину, А. Н. Гузю, А. Г. Угодчикову и другим известным советским и зарубежным ученым.
Успехи, •полученные при решении задач о напряженно-деформируемом со стоянии пластинок и оболочек с вырезами, обратили на себя внимание исследо вателей, занимающихся проблемами устойчивости и колебаний аналогичных де формируемых систем. Как известно, решение задач устойчивости в «точной* постановке требует решения двух задач, включая задачу о напряженно-дефор мируемом состоянии, а затем уже собственно задачу устойчивости. Это, естест венно, привело к усложнению самого процесса аналитического последования и к постановке вопросов, найти ответы на которые не всегда представлялось воз можным. Этим объясняется тот факт, что в настоящее время решенче задач устойчивости пластинок с вырезами на основе комплеконых потенциалов Г. В. Колосова весьма ограниченно. Одной из первых публикаций по этой про блеме, исследованной с использованием функций комплексного переменного, бы ла работа К. Хейнца и X. Шмидта [102]. В ней описывается подход к решению указанных задач для неодносвяэных конечных областей с использованием комп лексных потенциалов Колосова. Для численного решения задачи о налряженкодсформированном состоянии авторы рекомендуют применять метод рядов, а соб ственно задачи устойчивости — метод Ритиа. В указанной работе изложена лишь постановка задачи о напряженном состоянии л критических нагрузках прямо угольных пластинок с вырезами, а результаты расчетов и алгоритмы решения не приведены. Кроме того, не выделен тот класс конструкции, для которого может быть рекомендован описанный способ изучения.
Развитие метода изучения, оонованного на комплексных потенциалах Г. В. Колосова, с доведением результатов исследования до конкретных цифро вых данных приведено в работах Э. И. Григолюка ч Н. А. Кулакова [33, 34], Т. Секийя и Н. Ооми [J22]. Последняя работа посвящена вопросам о темпе
ратурных напряжениях и вопросам, связанным с устойчивостью при нагреве прямоугольных пласти нок с центральным круговым вырезом. Для опреде ления напряженного состояния авторы использовали комплексные потенциалы Колосова и метод гранич ной коллокации для удовлетворения краевым усло виям на прямоугольном контуре области. Критичес кая нагрузка определялась по энергетическому кри терию. Форма потери устойчивости аппроксимиро валась отрезком двойного тригонометрического ря да. В работе приведены результаты вычислений в ви де графиков изменения компонент напряженного
состояния и критической температуры в зависимости от геометрических пара метров пластинки.
Рассмотрим задачу об устойчивости прямоугольной пластинки с централь ным круговым отверстием, находящейся под действием одноосного сжатия.
Считаем, что пластинка занимает двухсвязную область 5 с внутренней L\ и •внешней L2 границами (рис. ЗЛО).
Мы не будем останавливаться на комплексном представлении всех исполь зуемых при исследовании устойчивости соотношений, выписанных в первой гла ве в декартовой системе координат, так как их можно с подробным выводом тайги в ряде известных монографий [54, 89, 95]. Выпишем-лишь те соотноше ния, которые помогут нам в дальнейшем понять метод аналитического исследо вания, основанный на комплексных потенциалах Г. В. Колосова.
Отметим, что при использовании указанного метода исходные геометриче ские и физические соотношения, указанные в гл. 1, должны быть преобразова
ны путем перехода от действительных переменных х |
и у к комплексным: |
||
г = |
х -f iy; z — х — iy. |
(3.41) |
|
Если же необходим обратный переход, то из |
(3.41) |
лепко найти, что |
|
1 |
- |
i |
- |
x = — (z + z); у = - — ( г — г).
В процессе преобразований используется правило определения частной про изводной сложных функций, согласно которому
д |
д |
дг |
д |
дг |
д |
д |
дх |
д г |
дх |
дг |
дх |
дг |
дг ’ |
|
|
_д_ = . (_д_ _ _ JM |
|
|||
|
|
ду |
\ дг |
дг J |
|
|
и .наоборот: |
|
|
|
|
|
|
д_ |
J _ d x |
|
д ду |
д_ |
|
|
дг |
дх д г + д у д г = -2 (\дх |
|
||||
|
|
= |
J _ / j L |
. ± \ |
|
|
|
дг |
2 [дх |
+ 1 ду ) |
|
Введение комплексных переменных и все необходимые операции справедли вы лишь для функций, имеющих частные производные по х и по у. При рассмот рении плоской задачи теории упругости уравнения равновесия и совместности деформации, объединенные с помощью функцчи напряжений F(x, у), приводятся к одному бигармоническому уравнению
d*F |
d*F |
|
&F |
(3.42) |
дх* |
-j- 2 ------- |
+ ' |
.0. |
|
dxidyi |
|
|