книги / Сборник задач по курсу математического анализа

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ	11

Рис. 4

42. Значение функции целочисленного аргумента и = f(n)

равно количеству целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого п. Составить таблицу значений и для 1 < п < 20.

43.Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1; 2; 1 единицам длины, а массы соответственно равны 2; 3; 1 единицам массы, составлен брус (рис. 4). Масса переменного отрезка AM длины х есть функция от х. При каких значениях х определена эта функция? Составить ее аналитическое выраже­ ние и построить график.

44.Башня имеет следующую форму: на прямой круглый усеченный конус с радиусами оснований 2R (нижнего) и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и высоты 2R\ на цилиндре - полусфера радиуса R. Выразить площадь S поперечного сечения башни как функцию расстояния х сечения

от нижнего основания конуса. Построить график функции

S= /(*)•

46.В шар радиуса R вписывается цилиндр. Найти функцио­

нальную зависимость объема V цилиндра от его высоты х. Ука­ зать область определения этой функции.

46. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей х. Указать область определения этой функции.

В задачах 47-48 найти области определения данных функций:

4 7 .1 ) у = 1 -lg J c;				2)	у = lg(* + 3);	3) у = V5- 2х ;
4)	у = 4	^	(р > ° ):	5>	У =	6> У =
7) i , = ^		;				9 )у = 1 - 4 Г 7 ;
10)	у =	.	1 — ; 11)	у = V*2 - 4* + 3;		12)	у =	х	;
		\х2-4х						4X“S X+2
13)	у = arcsin f ;				14) у = arcsin (х -		2);

12 ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

15)

у = arccos (l - 2х);

16)

у = arccos-1^2*.

4

17)

у = arcsin4%х ;

18) у = yjl~\x \;

19)

у = - р 1— ;

2°)

У =

’

21)

22)

у = lgsinx;

23)

у = arccos-— 2^

;

24) у = logx 2.

48.

1)

у =

+ V* + 2 J

2)

у = л/З -

л: + arcsin

;

3)

I/ = arcsin

-

lg (4 - л:);

4)

у =

+ zJIII -

\g f a

- з);

5)

у = V* - 1 + 2-y/l - * + V*2 + 1 ;

6)

j / ^ - J - . + lg L 3 - * ) ;

7)

у = lg s in (* -3 )+ V l6 - x 2;

8) у = л/sin л: + V l6 -

JC2 ;

I/ = -, 1

-basins;

10)

y = lg -

- - V x + 5;

vsinx

я -10л:+24

И )

*/

Afx+2

+

VVl+*

12)

y = ‘Jx2 - 3 x + 2 + - j= J ------•;

J3+2X-X2

13)

у =

+ x + lj

2 ;

14)

у = lg (>/* - 4 + л/6 - * );

15)у = lg [l - lg (t2 - 5* + 1б)].

49.Тождественны ли функции:

i)	f(x) =Jr и	2)	f(x ) =Jr и ф (* )= * ;
3)	/ ( JC) = JC и <р (я) = л/х2;	4)	f(x) = lgx2 и <p(*) = 21 g*?

50.Придумать пример аналитически заданной функции:

1)определенной только в интервале -2 < х < 2 ;

2)определенной только в интервале -2 < я: < 2 и неопреде­ ленной при х = 0;

3)определенной для всех действительных значений х, за исключением х = 2, х = 3, х = 4.

51. Найти области определения однозначных ветвей функ­ ции у - ф(х), заданной уравнением:

1) у2 - 1 + log2(x —l) = 0; 2) у* - 2*у 2 + ж2 - * = 0.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ	13
Элементы поведения функции
52. f{x) = 2 ; указать область определения функции	/(* )

иубедиться, что эта функция неотрицательна.

53.Найти интервалы знакопостоянства и корни функции:

1)	z/ = 3* - 6; 2)	у = * 2 - 5* + 6;	3) у = 2х"1;
4)	у = л3 - За:2 + 2 * ;	5) у = |*|.

54. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечет­ ны, какие не являются ни четными, ни нечетными:

1)	У =■х 4 -	2хг ;	2) у = х		х2;
4) у = 2‘ ;				3	б
		5 ) 0 = X - 2 - + -ZL-
				6 Г 120’
7)	у ==sin * - cos * ;		8) у = 1 —лг2;
Ю)	у = 2-‘ 2 ;		11)	У =	ах+а'х .
					2 ’
13)	у — х	•	14)	у =	д*+1.
	ах- 1’				ах-1 ’
16)	у = 2*-х4 ;		17)	у =	1п ^ ?
					1+*

3)у = c o s * ;

6)t/ = sin *;

9)S/ = tg*;

12) I/	_ ax-a~x .
	2 1

15)у - * • 4 *

а+1

55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы четной и нечетной функций:

1) у = * 2 + 3* + 2; 2) у = 1 - х3 - х4 - 2х5;

3)у = sin 2х + cos|- + tg х.

56. Доказать, что f (x ) + f( - х) - четная функция, а / ( * ) -

-/ ( - * ) - нечетная функция.

57.Представить в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции:

1) У = а* ; 2) у = (1 + *)10° (см. задачу 56).

58.Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных функций - чет­ ная функция, произведение четной и нечетной функции - не­ четная функция.

59.Какие из нижеследующих функций будут периодическими:

1)	у = sin2х ;	2) у = sin *2;	3) у = * -c o s * ; 4 ) y = sin-^;
5 ) 0	= l + t g * ;	6 )0 = 5; 7)	у = [*]; 8) у = * - [ * ] ?

14	ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

(Функция [х] определяется так: если х - целое число, то [х\ = х .

Если х не есть целое число, то [я] равно наибольшему целому чис­

лу, меньшему х. Так, [2] = 2; [3,25] = 3; [—1,37] = -2 .)

60. Построить график такой периодической функции с перио­ дом Т = 1, которая на полуинтервале [0, l) задана формулой:

1 )у = х; 2) у = х2.

61. Указать интервалы возрастания и убывания и интервалы постоянства функций:

1) у = \х\; 2) у = \х\-х.

62. Указать наибольшее и наименьшее значения функций:

1) у = sin2 х; 2) у = cosх3\ 3) у = 1 - sin х ; 4) у - 2х .

64. Как, зная график функции у = /(* ), построить график

функции:

1) у = |/(д:)|; 2) у = -|[|/(*)| + f(* )]; 3) у = Ц /( * ) | - /( * ) ] .

§ 3. Элементарные функции. Обратная функция

65.Дано, что при напряжении Е = 2,4 В сила тока I = 0,8 А. Выразить аналитически, используя закон Ома, зависимость между силой тока и напряжением; построить график найденной функции.

66.В сосуд произвольной формы налита жидкость. На глу­

бине h = 25,3 см давление этой жидкости р = 1,84 •103 Па.

а) Составить функцию, выражающую зависимость давления от глубины.

б) Определить давление на глубине h = 14,5 см.

в) На какой глубине давление станет равным 2,65 •10s Па? 67. Тело движется прямолинейно под действием силы F.

Исходя из закона Ньютона, написать функцию, выражающую зависимость между силой F и ускорением w, если известно, что если тело движется с ускорением 12 м /с2, то на пути s = 15 м производится работа А = 32 Дж.

		§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ					15
68. Определить линейную функцию					у = ах + Ь по следующим
данным:		2)	*
1) *	У			У	3)	*	У
0	4		2	4,3		2,5	7,2
3	6	-1 ,6		0		3,2	6,8
69. Некоторое		количество	газа занимало при				20° С объем

107 см3, при 40° С объем стал равным 114 см3.

а) Составить, исходя из закона Гей-Люссака, функцию, вы­ ражающую зависимость объема V газа от температуры t.

б) Каков будет объем при 0° С?

70.Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 с по­ сле начала движения находилась на расстоянии +32,7 см от некоторой точки этой прямой; через 20 с после начала движе­ ния расстояние стало равным +43,4 см. Выразить расстояние s как функцию времени t.

71.Напряжение в некоторой цепи падает равномерно (по линейному закону). В начале опыта напряжение было равно 12 В, а по окончании опыта, длившегося 8 с, напряжение упало до 6,4 В. Выразить напряжение V как функцию времени t и

построить график этой функции.
72.	Найти приращение линейной функции у = 2х-7		при пе­
реходе независимой переменной х от значения		*х=3	к значе­
нию :Г2=6 .
73.	Найти приращение линейной функции	z/ = -3 * + l, со­

ответствующее приращению независимой переменной Ах = 2.

74.	Функция	у = 2,5* + 4	получила приращение Ау - 10.
Найти приращение аргумента.
75.	Даны функция у = ■%—%■ и начальное значение незави-
		а-Ь
симой	переменной х1 = а - Ь .		При каком конечном значении
*2 независимой переменной * приращение Ау =				?
76. Функция		<р(*) задана так: ср(*) = |- + 2 при		- « < * < 2 ;
(р (*) = 5 - * при		2 < * < +°°.	Найти корни уравнения ф(*) =

=2* - 4 аналитически и графически.

77.Построить график функции:

1)	y = |x + l| + | * -l| ; 2) у = |* + l| -| * -l| ;
3)	у - | * - 8 |Ч2 |* + 1|+ 2| * | -* '+ 1.

16		ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
78*. Для каких значений х справедливо неравенство
	к(*)+ч,(*)1<И*)|+М*)|.
если f(x) = x - 3, а ср(я) = 4 -			х .
79. Для каких значений х справедливо неравенство
|f ( * ) - <Р(* )|> |f (* )|- 1<Р(* )|> если 1(х) = х, а <р(*) = зс - 2.
80. Функция /(* )		определена так: в каждом из интервалов
п < х < п +1,	где п -	целое положительное число, f (*)		меняет­
ся линейно,	причем	/(л ) = -1 ,	/ (л + -|)= 0. Построить	график

этой функции.

81. Построить график и указать интервалы возрастания

убывания данной функции:
1)	У = 2 х2;	2)	у = х2 —1;	3)	у = |*2 -1|;
4)	у = 1 - х 2 ;	5)	у = х2 - х + 4;	6) у - X- х2;
7)	у = \ х - х 2 [;	8)	у = 2JC2 + 3 ;	9)	у = 2*2 -блг + 4;

10)у = -3 * 2 + 6 * - 1 ; 11) у = | -3*2 + 6 * - l| ;

12)у = -х\х\.

82.Написать аналитическое выражение однозначной функ­

ции, определенной на полуинтервале (-«», б ], если известно,

что график ее состоит из точек оси Ох с абсциссами, меньшими числа -3 , из точек параболы, симметричной относительно оси

Оу и проходящей через	точки	А (-3 ,0 ), В (0, 5), и из точек
отрезка CD с концами С	(3, 0) и	D (б, 2).

83. Найти наибольшее значение функции:

1)	у = - 2 * 2 + х - 1 ; 2)		у = - х 2 - З х + 2; 3) у = 5 - х2 ;
4)	у = -2 * 2 + ах - а2;	5) у = а2х - Ь2х2.
84. Найти наименьшее значение функции:
1)	у —х2 + 4х —2;	2)	у = 2*2 -1 ,5 * + 0,6;
3)	у - 1 -З х + 6х2; 4) у = а2х2 +а4; 5) у ~ (ах + b)(ax - 2b).

85. Представить число а в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	17

86.Представить число а в виде суммы двух чисел так, что­ бы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

87.Около каменной стенки нужно сделать деревянный за­ бор, чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая длина забора равна 8 м. Какова должна быть длина части забо­ ра, параллельной стенке, для того, чтобы забор охватил наи­ большую площадь?

88.В треугольнике сумма сторон, заключающих данный угол, равна 100 см. Чему должны быть равны эти стороны, что­ бы площадь треугольника была наибольшей?

89.Какой из цилиндров с данным периметром осевого сече­ ния Р = 100 см имеет наибольшую боковую поверхность?

90.Какой из конусов, периметр осевого сечения которых равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность?

91.Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, на который поставлен конус (с тем же основанием). Угол при вер­ шине конуса 60°. Периметр осевого сечения тела 100 см. Каков

должен быть радиус цилиндра, для того чтобы боковая поверх­ ность тела была наибольшей?

93.В данный прямой конус вписан цилиндр так, что плос­ кости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпада­ ют. При каком отношении радиусов оснований цилиндра и кону­ са цилиндр будет иметь наибольшую боковую поверхность?

94.Дан прямой круговой конус, радиус основания которого равен Ry а высота Н. В конус вписан цилиндр так, что плоско­ сти и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпада­ ют. Каким должен быть радиус цилиндра, для того чтобы пол­ ная поверхность цилиндра имела наибольшую величину? Рас­ смотреть случаи Н > 2R и Н <2R.

95.Каков должен быть радиус круга, для того чтобы сектор, периметр которого равен данному числу Р, имел наибольшую

площадь?

96.Окно имеет форму прямоугольника, который сверху за­ канчивается правильным треугольником. Периметр окна Р. Каково должно быть основание а прямоугольника, для того чтобы окно имело наибольшую площадь?

97.Окно имеет форму прямоугольника, который сверху за­ канчивается полукругом. Каково должно быть основание пря­ моугольника, для того чтобы при периметре, равном 2 м, окно имело наибольшую площадь?

18	ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

99.Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель пря­ моугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, для того чтобы полная поверх­ ность параллелепипеда была наибольшей?

100.Кусок проволоки длиной а нужно разрезать на две час­

ти; из одной сделать квадрат, из другой - правильный тре­ угольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площа­ дей полученных таким образом фигур была наименьшей?

101. Найти на прямой у = х точку, сумма квадратов рас­

стояний которой от точек ( - а , 0), (а, 0) и (0, b) была бы наи­

меньшей.

102. Найти на прямой у = х + 2 точку, сумма квадратов

расстояний которой до прямых Зх - 4у + 8 = 0 и Зх - у - 1 = 0

была бы наименьшей.

104. Построить параболу у = х2 и использовать ее для гра­

фического решения следующих уравнений:

1)	х 2 - х - 2 , 2 5 - 0 ;		2) 2х2 - 3 * - 5	= 0;
3)	ЗДх2 -	14х + 5,8 = 0;	4) 4*2 -1 2 * + 9 = 0;
5)	Зх2 - 8 х + 7 = 0.
105. Функцияф(г) задана так: ф(*) =				при	- * о < х <
	ф(х) = 1 + х при - ^ < х < + ° ° . Найти аналитически и
графически		все действительные корни		уравнения	[ф (х)]2 =

=7* + 25.

106.Указать область определения функции

у= lg (ах2 + Ъх + с).

107.Найти /(х + 1), если дано, что /(х - 1) = 2*2 - Зх +1.

108*. Показать, что функция f(x\ = _*2+2*.+с принимает ' ' х2+4х+3с

любое действительное значение, если 0 < с < 1.

109.Исходя из закона Бойля-Мариотта, найти функцию,

выражающую	зависимость	объема газа	от давления	при
t = const, если	известно, что	при давлении	105 Па объем	газа
равен 2,3 л. Построить график этой функции.

§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

19

110.Переменная х обратно пропорциональна у, у обратно пропорциональна 2, 2 в свою очередь обратно пропорциональна

v.В какой зависимости находятся х и и?

111.Переменная х обратно пропорциональна у, у прямо пропорциональна 2, г прямо пропорциональна u, и обратно про­ порциональна и. В какой зависимости находятся х и и?

112.При электролизе количество выделяющегося на элек­ троде вещества пропорционально силе тока, сила тока пропор­ циональна проводимости электролита, проводимость пропор­ циональна концентрации электролита, концентрация при дан­ ном количестве вещества обратно пропорциональна объему растворителя. Как количество выделяющегося на электроде вещества зависит от объема растворителя?

113.Построить график дробно-линейной функции:

1) =	V « = &■' 3)			у =	2х-5 .
					Зх-7,5 ’
4)	5)	у =	4 -3 *
			3 -2 ,25ж '

114. Найти по графику наибольшее и наименьшее значения дробно-линейной функции на данном отрезке:

	=			2) у = 5* j [ - l , 2];				3)	у = £ * [0, 4].
116.	С помощью графического сложения построить график
функции у =		„2 , 1
			-.
117. Найти функцию, обратную данной:
1) у = *;		2)	у = 2х;		3)	у = 1 - 3 * ;			4)	у = х2 + 1;
5 ) j / = i ;		6 ) *		= ^ ;	7)	у = х2 - 2 х ;			8)	у = ^1х2 + 1
9) у = 10I+1;				10) y = l + lg(* + 2);				11)^ = 106,2;
12)	я 1+2*			13) у = 1р*~10~* +1;				14)	у = 2sin3*;
					10*+10- '				у
15)	у = 1 + 2 s		i	n ;	16) у = 4 arcsin Vl -				х 2 • .
118.	Доказать, что				функция,		обратная		к	дробно-линейной
функции у =				(считаем,		что	ad - be Ф0 ),			также дробно­

линейная.

119. При каком условии дробно-линейная функция задачи

118 совпадает со своей обратной?

20	ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
120. Показать, что если /( дс) = \ а - х п ,		х > 0, то /[/(л )] = х.
Найти функцию, обратную /(*)•
121.	Какова особенность графика функции, тождественной
со своей обратной?
122.	Функция у от х задана уравнением у2- 1 + log2(* - 1) =
= 0. Найти область определения данной		функции и записать

функцию, обратную данной.

123. Функция у от х задана уравнением у2+ sin3х - у + 2 =

=0. Найти функцию, обратную данной.

124.Построить график функции:

I)	У = | * 3 ;	2)	у = ~ 2 * 3 ;	3)	у = х3 + Зж2;
4)	у = ж3 - ж + 1;	5)	у = -ж 3 + 2ж - 2;	6)	у = 2хг ;
7)	у = \х*-, 8)	у = * 0’3 ; 9) у = ж2'1;		10) у = ж0'62;

II)	у = i ж-0'2; 12) у = 5ж"2,6; 13) у = 1 - ,/М -
125.	Графически найти приближенные значения действи­

тельных корней уравнения			х + 3 = 4 ^ ? .
126*. Начертить		кубическую параболу у = х3 и использо­
вать ее для графического решения уравнения:
1)	х3 + х - 4 = 0;		2)	х3 - З х 2 - х + 3 = 0;
3)	х3 - в х 2 + 9 х - 4	= 0;	4)	х 3 + Зх2 + Зх + 4 = 0.

127. По данному условию составить уравнение и решить его графически: 1) Квадрат какого числа равен самому числу, сло­ женному с его обратной величиной?

2)Деревянный шар с радиусом, равным 10 см, и плотно­ стью, равной 0,8 г/см 3, плавает на поверхности воды. Найти высоту сегмента, погруженного в воду.

3)Общая масса деревянного куба и пирамиды с квадратным основанием равна 0,8 кг. Ребро куба равно стороне основания пирамиды, высота пирамиды 45 см. Найти ребро куба. Плот­ ность дерева 0,8 г/см 3.

128. Дана функция у = х п, х > 0. При каких значениях х эта функция имеет значения, большие значений обратной функции, и при каких - меньшие?