книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

§3. Замена базиса и системы координат

21

Сферические координаты точки — три числа (г, <р, 0). Они опреде­ ляются так: г = \ОМ\. Как и для цилиндрических координат, ip —

угол вектора ОМ' с лучом /, а 9 — угол вектора ОМ с плоскостью 0 (рис. 9).

Упражнения

1. Дан параллелограмм ОАВС. В нем \ОА\ = 2, \ОС\ = 3, угол АОС

равен тг/3. Найдите координаты точки В в системе координат О, ОС, ОА.

2.Даны три точки A{xu yi), Я(х2,у2), С(#3,уз). Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD .

3.Нарисуйте на плоскости множества точек, полярные координаты ко­

торых связаны соотношениями: а) г = 2/ cos<p; б) г = 2cos<^.

4. Пусть О, /, п — сферическая система координат. Введем декартову прямоугольную систему координат О, d , е2, п, где в] направлен вдоль /, а

угол 7г/ 2 от О] к е2 отсчитывается в сторону возрастания полярного угла. Напишите формулы, выражающие декартовы координаты через сферичес­ кие.

§3. Замена базиса и системы координат

1.Изменение базиса. До сих пор мы предполагали, что рас­ сматривается один базис. Однако выбор базиса ничем не ограничен,

ипринципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть за­ дано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов е'1? е'2 и е*3 в старом базисе ei,e2le3. Пусть*)

ei = a}ei + a?e2		+ a?e3,
e'2 =	<4ei + o|e2	+ afe3,	(1)
e3 =	a3ei + o|e2	+ a?,c3.

Произвольный вектор а разложим по базису

а = a[e[ + a 2e2 + а зез*

Компоненты этого же вектора в старом базисе обозначим a i , a 2,a 3. Раскладывая каждый член предыдущего равенства но базису ei ,e 2,e3, в силу предложения 5 § 1 имеем

a 1 = а\а[ + а\ос2 +
а-2 =	aja i + а\а'2 + aga^,	(2)
a3 =	a?<*i + a%a'2 + a§a?,.

*) Здесь для удобства один из индексов мы располагаем сверху. Это не пока­ затель степени. Например, а\ читается “а один-три”.

22	Га. I. Векторная алгебра

Соотношения (2) и являются решением нашей задачи. Если нас за­ интересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений (2) относительно неизвестных a^a^ctg . Результат будет иметь такой же вид, как (2), только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе.

Точно тем же способом получаются формулы, связывающие ком­ поненты вектора в разных базисах на плоскости. Вот они:

С*1 = а[а[ + а ^ ,			,34
(*2 =		+ <*2а 2-
Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу:
aj	4	®з
4	4	a|
4	4	4

Она называется матрицей перехода от базиса е1,е 2,ез к базису

е[ : d2, eg. В ее столбцах стоят компоненты векторов е^,	eg в старом
базисе.

2. Изменение системы координат. Рассмотрим теперь две де­ картовы системы координат: старую О, в],в2,ез и новую O', о[ ,е^. eg. Пусть М — произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены (ж, у, z) и (xf. yf, zf). Поставим себе задачу выразить х л у и -г через ж', у* и zf, считая известным положение новой системы отно­ сительно старой. Оно определяется координатами (aj, aj), a*o) точки Of в системе координат О, С1,е 2,ез и компонентами векторов е^е^ед, составляющими матрицу перехода (4).

Радиус-векторы точки М относительно точек О и О' связаны ра­ венством ОМ = 0 0 ' + 0 ,M i которое мы можем записать в виде

ОМ = 6 6 ' + х'с[ + у'е'2 + z'c'3,

(5)

так как х \ у1 и z' — компоненты О'М в базисе е^е^вд . Разложим каждый член равенства (5) но базису С1,е2,ез, имея в виду, что ком­

поненты векторов ОМ и ОО' равны координатам точек М и О', ко­ торые мы обозначили (я, у, z) и (aj* ao> ao)- Мы получим

х = a£ + а\х‘ + а\у' + a\z' ,	(6)
у = а20 + а \х '+ a \i/+ a\z',
z = а§ + afx' + а|у' + а р '.

Равенства (6) представляют собой закон преобразования коорди­ нат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Формулы перехода от одной декартовой системы ко­ ординат на плоскости к другой получаются из (6), если там оставить

§3. Замена базиса и системы координат	23
только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с zf:
х = а\х' + a\yf + аЪ,
у = а\х' + а У + а1	К ’

Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат декар­ товы прямоугольные. Через р обозначим угол между векторами ei и ej, отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от ei к е2. Тогда (рис. 10)

ej = cos (рei + sin <ре2,

е2 = cos (р ± ^ e i + sin (р ± ^ )e 2.

В разложении с2 ставится знак плюс, если кратчайший поворот от к е2 направлен так же. как кратчайший поворот от е[ к е2, т. е. если новый базис повернут относительно старого на угол (р. Знак

Рис. 10. Два случая взаимного расположения ортонормированных базисов на плоскости

минус в разложении е2 ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого.

Поскольку cos (р ±

= =fsin v?, sin (^р ± ^ = ±cosp, получаем

х = х*cos <рqF у' sin р + aj, у == ж'sin р ± у' cos р -I- ag,

причем при повороте системы координат берутся верхние знаки.

Упражнения

1- Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неиз­ менном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое?

2.Пусть О1 — середина стороны АВ треугольника ОАВ. Напишите формулы перехода от системы координат О, ОВ} ОА к системе коорди­ нат О', О'О, О'В.

3.Дана декартова система координат О, ei, ег, е3. Как расположена относительно нее система координат О', е{,е2,е 3, если формулы перехода имеют вид х = 1 —у* —z*, у = 1 —х' —z \ z = 1 —х* —у'.

24	/It. /. Векторная алгебра
§ 4. Скалярное, смешанное и векторное произведения
1.	Скалярное произведение. Под углом между векторами мы

понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими об­ щее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого ука­ зания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, ко­ торый не превосходит я\ Если угол прямой, то векторы называются

ортогональными.

Определение. Скалярным произведением двух векторов назы­ вается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается (а, Ь) или ab. Таким образом, мы можем написать

(а,Ъ) = |а||Ь|совр,

где — угол между векторами а и Ь.

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоя­ тельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет смысла.

Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства.

• Коммутативность: для любых а и b выполнено (а, Ь) = (Ь,а).

• (а, а) == |а[2 для любого вектора а.

•Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен 0.

•Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют равенствам

(ob ei) = (е2,е2) = (е3,е3) = 1, (еь е2) = (е2,е3) = (e3,ei) = 0.

Предложение 1. Если базисные векторы попарно ортогональны, то компоненты любого вектора а находятся по формулам

(a, ej)	п. _	(а.сг)	_	(а,е3)
ttl = т г г ■	0:2 ~	Ы» ’	Оз =	Ы 2 ’

В частности, если базис ортонормирован- ный,

<*! = (а, в!), а 2= (а,е2), аз = (а,е3) ( 1)

а = (a, ei)ex + (а, с2)е2+ (а, е3)е3.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а = ai + + аз + а3, причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Мы знаем из предложе­

§4* Скалярное, смешанное и векторное произведения		25
ния 2 § 1, что	= ± |ai[/|ei|, где выбирается знак + или — в за­

висимости от того, одинаково или противоположно направлены ai

и ei. Но, как видно из рис. 11, ± |ai| =	|a|cos<pi,	где <р\ — угол меж­
ду векторами а и ciИтак, а г = | а|c	o s | =	(a,ei)/|ei|2.

Аналогично вычисляются и остальные компоненты. Определение. Косинусы углов между вектором а и базисными

векторами декартовой прямоугольной системы координат называют­ ся направляющими косинусами этого вектора.

Направляющие косинусы — это компоненты вектора а0 = а/|а|. Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадра­ тов равна квадрату длины а0, т. е. 1 (см. ниже формулу (3)).

Предложение 2. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел а и Р выполнено равенство

(аа + /?Ь, с) = а(а, с) + /?(Ь, с).

В частности, (аа, с) =	а(а, с) и (а + Ь, с) =	(а, с) + (Ъ, с).
Д о к а з а те ль ст в о .	Если с = О, то	утверждение очевидно.

Пусть с ф 0. Примем с за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой. Число (аа + /?Ъ, с)/|с|2— первая компонента вектора а а -f- /?Ь. Точно так же (а, с)/|с|2 и (Ь ,с)/|с|2 — первые компоненты векторов а и Ь. Согласно предложению 5 § 1

(аа + 0Ъ, с)/|с|2 = а(а, с)/|с|2+ 0(Ь, с)/|с|2.

Отсюда прямо получается доказываемое равенство.

Легко показать, что такая же формула справедлива и для линей­ ной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество

(а,/?Ъ + 7с) = /?(а,Ь) + 7(а,с).

Теоре ма 1. Если базис ортонормировапный, то скалярное произ­ ведение векторов а и Ъ выражается через их компоненты (ai, a 2, аз)

и (01,02,03) ПО формуле
(a, b) = ctiPi + a 2/?2 + (*303.	(2)

Действительно, подставим вместо а его разложение и воспользу­ емся предложением 2:

(а,Ъ) = (aiej + a 2e2+ a 3e3,b) = ai(eb b) + a 2(e2,b) + a 3(e3,b).

Теперь доказываемое следует из формулы (1).

Отметим, что требование ортонормироваиности базиса очень су­ щественно. В произвольном базисе выражение скалярного произве­ дения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, свя­ занных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированные базисы.

Если почему-либо все ?ке надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения со­ множителей по базису и, раскрыв скобки, подставить в полученное

26 Га . I. Векторная алгебра

выражение известные скалярные произведения базисных векторов. Теорема 1 позволяет выписать выражение длины вектора через

его компоненты в ортонормированном базисе

	|а| =	\Ja\ + ot\ + ah	(3)
а также выражение косинуса угла между векторами
т с /л _	(а, Ь) _	ai/3i + 0(202 Hr <*з/3з_____	^
cos^ ~	|а||ь| ~

Используя формулу (3), мы можем вычислить расстояние между точками, если заданы их координаты в декартовой прямоугольной системе координат. В самом деле, пусть точки А и В имеют коорди­ наты (x,y,z) и {х\уу1 , zi). Тогда расстояние между ними равно

\АВ\ = у / ( Х1 - * ) 2 + (У 1 - у)2 + ( г t - z ) 2 .

(5)

Скалярное умножение тесно связано с понятием проекции векто­ ра. Слово “проекция” употребляется в двух смыслах. Введем соот­ ветствующие определения.

Пусть задан вектор А В и некоторая прямая /. Опустим из точек А и В перпендикуляры на прямую и обо­ значим их основания А* и В* (рис. 12). Вектор А*В* называется (ортогональной)

векторной проекцией вектора ЛВ на пря­ мую I и обозначается TlpiAB.

Из определения сразу следует, что векторные проекции равных векторов на параллельные прямые равны между собой.

Пусть е — ненулевой вектор на пря­ мой I. Тогда А*В' = ае при некото­ ром а. Представим АВ в виде АВ = АЧЗп = ae + b и заметим, что

вектор Ь = В'Вп ортогонален е. Поэтому после скалярного умноже­ ния на е получаем (АВ,о) = а(о,е). Находя отсюда а, имеем

(6)

Хотя на вид это выражение зависит от е, фактически оно не меняется при замене е любым ненулевым вектором Ае. коллинеарным е.

Проекцию А1В1можно представить в виде

( А В . е ) е

и заметить, что (АВ, о)/|е| — это компонента А*В1 но вектору е° = = о/|е|. Так как |е°| = 1, компонента по абсолютной величине рав­

§4- Скалярное, смешанное и векторное произведения

27

на длине А1В'. Она положительна, если направление А!В1 совпадает с направлением о, и отрицательна в противоположном случае.

Величина {АВ, е)/|е| не меняется при замене с на соиаправленный вектор До, А > 0, и меняет знак при замене е на противоположно направленный вектор.

Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная прямая и ось), если на ней указано определенное направление. Подробнее это определение рассматрива­

ется в начале п. 2.	___
Определение.	Число (ЛЯ,е)/|е| называется скалярной проек­

цией вектора АВ на ось /, определяемую вектором о (или на вектор е), и обозначается ПрtAB или Пре.АБ.

Из определения следует, что ПрtAB = |ЛВ|со8^, где ip — угол

между АВ и е. Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат.

2. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси). Скажем о нем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентиро­ ванной плоскости и ориентированного пространства.

Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что пря­ мая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один. Вазисы выбранного класса называются

положительно ориентированными или положительными.

Задать ориентацию можно, указав какой-либо базис и считая по­ ложительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис.

Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированны­ ми если в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко

Рис. 13. Левый базис (а), правый базис (6)

второму производится в одну сторону, и противоположно ориенти­ рованными в противном случае. На рис. 10, а базисы ориентирова­

28 Гл. I. Векторная алгебра

ны одинаково, а на рис. 10, б — противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинако­ во, базисы разных классов ориентированы противоположно.

Определение. Плоскость ориентирована, если из двух классов базисов на ней выбран один класс.

Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положитель­ но ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса.

В планиметрии часто ориентируют плоскость, считая положитель­ ными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки. Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое на­ правление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость. Но если выбрать одно из полупространств, ограничивае­ мых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота.

Определение. Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего векто­ ра мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму

Рис. 14. Левый базис (а),

направленным против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым (рис. 13).

Представим себе, что на рис. 14 концы векторов лежат в плоскос­ ти рисунка, а их общее начало — за плоскостью. Тогда поворот от вектора ei к вектору е2 и затем к ез для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого — по часовой стрелке.

Определение. Пространство называется ориентированным, ес­ ли из двух классов базисов (правых или левых) выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными.

Ниже мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространст­ ва, считая положительными правые базисы. Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным.

Если пространство ориентировано, то ориентацию любой плоскос­ ти в нем можно задать, указав ориентацию прямой, перпендикуляр­

§4* Скалярное, смешанное и векторное произведения

29

ной этой плоскости. При этом положительным базисом а, b на плос­ кости считается такой, который вместе с положительным базисом п на прямой составляет положительный базис пространства а,Ь,п. Это — внешний способ задания ориентации. Говорится, что ориен­ тация плоскости определяется нормальным вектором и.

Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним об­ разом задать ориентацию прямой линии. Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положитель­ ным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положи­ тельным базисом плоскости составляет положительный базис прост­ ранства.

3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. Бели прямая ориентирова­ на, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: счи­ тать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположном случае. Именно так мы припи­ сываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию. Обобщим это определение.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух вектора* так, что две его смежные стороны являются векторами с общим началом. Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскос­ ти параллелограмм считается положительно или отрицательно ориен­ тированным, смотря по тому, как ориентирована определяющая его пара векторов.

На ориентированной плоскости принято считать площадь ориен­ тированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентиро­ ван положительно, и равна той же площади со знаком минус, если отрицательно. Мы будем обозначать площадь ориентированного па­ раллелограмма, построенного на векторах а и Ь, через 5±(а,Ь).

Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векто­ рах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являют­ ся векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориен­ тированным, если эти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрица­ тельна смотря по тому, какую тройку образуют векторы, на которых он построен.

В ориентированном пространстве объем ориентированного па­ раллелепипеда — число со знаком: объем положительно ориентирован­ ного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного — отрицательным.

При выбранной нами правой ориентации пространства положи­ тельными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, по­ строенных на правых тройках векторов.

30		Га. L Векторная алгебра
4.	Смешанное произведение. Если пространство ориентирова­
но, мы можем ввести		Смешанным произведением векторов а, b и с
Определение.
(в данном порядке) называется число, равное объему ориентирован­

ного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны, и равное нулю, если компланарны.

Смешанное произведение векторов а, b и с обозначается (а,Ь,с). При перестановке сомножителей в смешанном произведении, са­ мое большее, может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов а, b и с мы получаем,

сравнивая ориентации троек векторов (см. рис. 14), (а, Ь,с) = (с,а,Ъ) = (Ъ,с,а) = -(Ь ,а,с) = -(с,Ъ ,а) = -(а,с,Ь ). (7)

Следующее предложение устанавливает связь между скалярным произведением и смешанным произведением.

Предл о же н и е 3. Каковы бы пи были векторы b ис, найдется единственный (не зависящий от а) вектор d такой, что при любом а выполнено равенство

(а,Ъ,с) = (a,d).

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о Докажем сначала существование вектора d, а потом установим, что такой вектор возможен только один. Пусть векторы b и с коллинеарны. Тогда при любом а векторы а, b и с компланарны и (а,Ъ,с) = 0. Поэтому мы можем положить d = 0. Рассмотрим неколлинеарные векторы b и с и предположим сначала,

	что а, Ъ и с не компланарны. Построим на
	них ориентированный параллелепипед и при­
	мем за его основание параллелограмм, пост­
	роенный на Ъ и с (рис. 15). Введем ориента­
	цию на прямой ОН, перпендикулярной осно­
	ванию. Мы зададим ее с помощью вектора п
	длины 1, составляющего с Ь и с правую трой­
Рис. 15. Здесь трой­	ку 11,Ь, с. (Тройка Ь, с, п также правая.)
	(а,п) — скалярная проекция вектора а
ка а , Ъ,с левая	на п. По модулю она равна высоте параллеле­

пипеда ОН, а знак ее определяется ориентацией тройки а,Ь,с. Действительно, (а,п) > 0 тогда и только тогда, когда концы векто­ ров а и п лежат в одном полупространстве, т. е. тройка а,Ь,с пра­ вая так же, как п,Ь,с. Таким образом. (а,п) положительно для правой тройки а, Ь,с и отрицательно для левой.

Пусть положительное число S — площадь основания параллеле­ пипеда. Тогда произведение (а,п)5 по модулю равно объему парал­ лелепипеда, а знак его совпадает со знаком (а,п). Это значит, что

(a, b, с) = S(а, п). Полученное равенство совпадает с (8), если
d = Sn.	(9)