книги / Математика без формул

Мы подозреваем, что у читателя уже зародился во­ прос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самыр точные?

Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так может лишь тот, кто считает, что аксиомы — это истины очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, устаь навливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно. Напо* мним: аксиомы — это положения, без доказательств принимаемые в качестве исходных при рассуждениях.

Дело зд^сь исключительно в том, какая система акси­ ом (разумеется, непротиворечивая!), какая геометрия более соответствует результатам опыта, более удобна для практических нужд.

Смешон был бы тот, кто планировал бы садовый участок или теннисный корт по геометрии Римана на том лишь основании, что земная поверхность есть сфера. В садово-теннисных масштабах отклонения земной сферы от плоскости невелики — не бо/iee десятой доли миллиметра. Здесь вполне приемлемы простые и при­ вычные нормы эвклидовой планиметрии.

Нет смысла отказываться от старых испытанных акси­ ом, если они согласуются с опытом в пределах допус­ тимых погрешностей. Но если выводы, диктуемые какой-либо из этих аксиом, противоречат данным опыта, от нее следует отказаться, даже если она кажется со­ вершенно очевидной, единственно мыслимой.

Лобачевский, усомнившись в эвклидовой аксиоме о параллельных, доказал, что без нее сумма углов тре­ угольника уже не равна 180 градусам. И тогда он обра­ тился к результатам астрономических измерений. С достигнутой к тому времени точностью (порядка милли­ онных долей угловой секунды) выяснилрсь, что тре­ угольники, своими размерами достигающие масштабов Солнечной системы, придерживаются 180-градусной нормы. Результаты проверки говорили за то, что эвкли­ довой геометрией можно пользоваться даже на столь широких просторах космоса.

21

Но мысль человека преодолевает любые пределы, устремляется к далеким галактикам. Какой геометрии будут подчиняться результаты наших измерений в про­ странствах столь колоссальных масштабов?

Наука ведет человека по шкале расстояний и к другой крайности, в микромир. Где гарантия, что эвклидовы аксиомы не будут противоречить измерениям простран­ ства столь малых масштабов?

Эти умозаключения принадлежат не нам. Мы всего лишь повторяем предположение самого Лобачевского о том, что отклонения от эвклидовой геометрии могут встретиться «^ибо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений».

Реальный мир бесконечно разнообразен. Все расши­ ряются наши знания о нем. Мы должны быть готовы к неожиданностям, когда будет необходимо заменить те или иные аксиомы традиционной эвклидовой геомет­ рии, вполне приемлемой в прежних узких масштабах практической деятельности.

И мысль геометров загодя испытывает возможные замены: какие логические следствия повлекут они? Так создаются различные неэвклидовы геометрии. Мысли­ мые неожиданности будут встречены во всеоружии.

•

Рассказывав про то, откуда в математике берутся аксиомы, теоремы, определения, мы ради наглядности обращались за примерами к геометрии, Наш рассказ нетрудно перефразировать на любую математическую теорию. В ее основе — некоторый свод аксиом. Они содержат определения основных объектов теории. Новые объемы определяются через род и видовое от­ личие. Из аксиом по правилам логического вывода по­ лучаются теоремы. Из них складывается математичес­ кая теория.

МН О Ж Е С Т В А

—Буренка! Зорька! Пеструшка! — покрикивает пастух, выгоняя коров из леса на опушку. Неровен час потеря­ ются. Особенно эта Зорька: чуть зазеваешься — ищи-

свищи! Пеструшка — та ничего: пока кнутом не хлоп­ нешь, с места не сдвинется. С Буренкой — своя беда: уж больно бодлива, не подцепила бы кого на рога...

Для пастуха каждая корова — на особицу: у каждой свой характер, свои привычки. Это вон для дачника все коровы на опушке — просто стадо и только.

Вот ведь что значит точка зрения! Для одного — непо­ вторимые индивидуальности. Для другого — совокуп­ ность, мыслимая как единое целое.

Вообще человеческому мышлению свойственно трак­ товать то или иное^собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект.

Первая скрипка, вторая скрипка, альт, виолончель, контрабас, флейта, гобой, фагот, валторна, труба, ли­ тавры. Про все, взятое вместе, мы говорим: оркестр.

Кофейник, молочник, сахарница, несколько чашек, столько же блюдец. А все вместе — сервиз.

А, Б, В, Г, Д... Все вместе же — алфавит.

1,2, 3, 4, 5... А вместе — так называемый натуральный ряд чисел.

Не случайно каждую из этих совокупностей мы назы­ ваем существительным в единственном числе; оркестр, сервиз, алфавит, ряд — идея объединения проглядыва­ ет даже в такой мелочи.

Подобное объединение необходимо, когда приходит­ ся сравнивать какие-либо совокупности между собой.

Представьте: вы — новосел. Вы приходите в мебель­ ный магазин, чтобы выбрать мебель для своей новой квартиры — и убеждаетесь, что сделать это не такгто просто. Какому гарнитуру отдать предпочтение? То ли этому — светлому, неполированному? Или тому, что под карельскую березу? А может быть, вон тому — с плюше­ вой обивкой в полосочку?

23

Каждый гарнитур, оставаясь набором отдельных предметов, в вашем воображении фигурирует как еди­ ное целое.

Так оно происходит и на выставке филателистических коллекций, и на конкурсе эстрадных ансамблей... Всякая процедура сравнения тех или иных совокупностей за­ ставляет осмысливать их как одно целое.

Так дело обстояло и тогда, когда в семидесятые годы прошлого века немецкий математик Георг Кантор, ис­ следуя тригонометрические ряды и числовые последо­ вательности, встал перед необходимостью сравнивать между собой бесконечны^ совокупности чисел.

Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества, суть которого вполне передается словами «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и т. д.

Это понятие,' введенное в довольно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоя­ тельный интерес и выделились в особый раздел мате­ матики — теорию множеств.

• В современной математике понятие множества счи­ тается едним из основных. Так или иначе с него начи­ нается изложение традиционных математических дис­ циплин и построение новых математических теорий, возникающих по мере того, как расширяется сфера применений математики.

Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векто­ ры, коровы, функции... Даже сами множества могут объединяться во множества: например, математики го­ ворят про множество-фигур на плоскости, про множест­ во тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Плодотворность теоретико-множественной концеп­ ции в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов. Оттого теория множеств и служит прочным фундамен­ том математизации разнообразнейших наук: экономи­ ки, биологии, лингвистики...

24

•

Предметы, составляющие некоторое множество, на­ зываются его элементами. Про них говорят, что они принадлежат этому множеству. Помните, как Пушкин в романе «Евгений Онегин» писал о своем герое, который, разочаровавшись в суетной жизни света, попробовал было писать?

.. Ничего Не вышло из пера его,

И не попал он в цех задорный Людей, о коих не сужу Затем, что к ним принадлежу

«Цех задорный» — это множество поэтов. Пушкин при­ надлежит этому множеству, является его элементом. Онегин — не принадлежит, то есть элементом этого множества не является.

•

Что же такое множество? Что это за термин, в кото­ ром, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и числа, и звезды? Как в математике определяется это понятие?

Если честно — то никак. Здесь мы не можем употре­ бить столь привычный для математиков способ опреде­ ления через род и видовое отличие. Согласно такому способу всякое новое понятие вводится как разновид­ ность некоторого более общего, определенного ранее понятия (скажем, параллелограмм есть разновидность четырехугольника, прямоугольник есть разновидность параллелограмма и т. п.). Но для понятия «множество» не известно ничего более общего по отношению к нему. Его удел такой же, как у всех основополагающих понятий математики, которые выступают в аксиомах, не огово­ ренные никакими предварительными определениями.

Когда мы говорили, что слово «множество» имеет тот же смысл, что слова «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его

25

синонимы, которые, быть может, помогали сделать новый термин более ясным, но отнюдь не составляли его строгого определения.

Нам кажется, что после сказанного у читателя появи­ лось некоторое недоумение: как же так — множество определить нельзя, но выше мы говорили и про множе­ ство натуральных чисел, и про множество букв русского алфавита, и про множество фигур на плоскости...

Неувязка?

Никак-нет. Как абстрактное математическое понятие множество действительно неопределимо. Но опреде­ лить какое-либо конкретное множество — задача не из трудных. Например, можно с полной определенностью

говорить о множестве архитектурных памятников СанктПетербурга: чтобы его задать, достаточно пройти по улицам города и указать дома, на которых висят чугун­ ные доски с надписью: «Охраняется государством».

Так и со всяким множеством. Определить его — зна­ чит относительно любого предмета уметь ответить на вопрос: принадлежит он данному множеству или не принадлежит?

Поэтому и говорят, что всякое множество однозначно и полностью определяется его элементами.

Так что пусть читатель не сетует, что термин «множе­ ство» остался неопределенным. В свете сказанного ос­ новное понятие теории множеств видится не за этим термином, а скорее за словом «принадлежать».

Длй него введен особый символ, приведенный на рисунке выше. Там показано, как в символической за­ писи обозначается, что некоторый элемент а принадле­ жит некоторому множеству А.

26

•

Говорят, что над входом в сад «Академия», где Платон любил беседовать со своими учениками, было написа­ но: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Беседуя со своими читателями о математике, мы не гонимся за академизмом и не требуем от них особых предварительных познаний. Тем не менее нам хочется верить, что нашему читателю известны простейшие гео­ метрические фигуры — треугольник и окружность, па­ раллелограмм и прямоугольник, квадрат и ромб, а воз­ можно, и некоторые свойства этих фигур (например, пропорциональность соответственных сторон у подоб­ ных треугольников). Все это пригодится нам в дальней­ ших разговорах.

Мы также предполагаем в читателе некоторые началь­ ные познания из арифметики, надеемся, в частности, что он имеет понятие о десятичнык дробях, знает о существовании бесконечных десятичных дробей — на­ пример, представляет, что если попытаться выразить дробь 3/22 в десятичной записи, деля уголком 3 на 22, то в результате получится 0,1363636... а дальше будет периодически повторяться без конца одна и та же группа цифр (36).

Числа, которые выражаются конечными или бесконеч­ ными десятичными дробями, называются вещественны­ ми (также действительными). К их множеству мы не раз будем обращаться за примерами. Не удивительно: ведь среди них содержатся все натуральные (то есть целые положительные) числа, все целыё числа вообще (и по­ ложительные, и отрицательные, а также и нуль; любое из них можно трактовать как конечную десятичную дробь, не имеющую ни одного знака после запятой). Во множестве вещественных чисел заключаются также все рациональные числа, или, другими словами, дроби, от­ ношения целых чисел — оказывается, всякое такое от­ ношение можно представить конечной или бесконечной периодической десятичной дробью (как мы только что сделали это о отношением 3/22). Если же бесконечная десятичная дробь непериодична, то такое вещественное число называется иррациональным.

27

Математика знает также мнимые числа, комплексные числа, но мы в.нашей книге касаться их не будем.

•

Русское слово «множество» способно ввести в за­ блуждение: оно неявно подразумевает некоторое изо­ билие. Тем более что наши примеры множеств давали тому повод. Однако математический термин «множест­ во» этого оттенка совсем не имеет.

Множество может состоять всего из двух элементов (таково, например, множество естественных спутников Марса — Фобос и Деймос). Может состоять из одного (тогда его называют единичным множеством; пример — множество естественных спутников Земли, в котором единственный элемент — Луна). Наконец, математики говорят про так называемое пустое множество, не со­ держащее ни одного элемента. Это, например, множе­ ство естественных спутников Венеры или, если угодно что-нибудь повеселев, множество владельцев действу­ ющих вечных двигателей, множество квадратных колес, множество острых шаров, множество кривых прямых...

Понятие пустого множества в математике не расце­ нивается как нечто маловажное. Для него даже приду­ ман специальный символ: 0.

•

Это может показаться мнительностью, но мы, право, не без основания опасаемся, что некоторые типичные примеры множеств могут подтолкнуть читателя к невер­ ному толкованию этого понятия.

Мы говорим, например, о множестве букв русского алфавита (А, Б, В, Г...), о множестве натуральных чисел (1, 2, 3, 4...). Элементы того и другого приняло распола­ гать в определенном порядке. Но никакого определяю­ щего значения тот или ной порядок не имеет ни для этих двух, ни для какого угодно множества. Как ни тасуй колоду, это будет одно и то же множество карт. И точно так же алфавит можно привести в любом порядке —

{$.9,б,о'Д1г,5Д|г}

например, в том, который принят для клавиатуры пишу­ щих машинок. А натуральный ряд можно записать, ска­ жем, так, как показано на этой странице (в дальнейшем нам еще пригодится такая его запись).

Здесь стоит отметить (позже
мы поговорим об этом подроб­	1—	- 2	6— -7	15----
нее), что существуют бесконеч­
ные множества, элементы кото­	3	,5	у8 УЛ
рых принципиально невозмож­	! /	/	//
но расположить в виде какой-
либо последовательности, как			.13
	V	/
числа натурального ряда. Тако­
во, например, множество всех	ip	/ 12
вещественных чисел между	I /
нулем и единицей (включитель­	и

но).

Напоследок еще одно замечание по поводу тех мно­ жеств, которые поддаются перечислению). Если, скажем, перечисляя русский алфавит, мы повторим какую-то букву два раза, множество останется тем же самым — русским алфавитом. Чтобы в таких случаях исключить возможные недоразумения, говорят, что ни один эле­ мент множества не может содержаться в нем несколько раз.

Адам и Ева. Таково, согласно библейской легенде, множество первых людей на Земле.

Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Это множество планет Солнечной системы.

И то и другое множество конечно, так что каждое можно определить, указав все его элементы. И если

желательно подчеркнуть, что указанные элементы рас­ сматриваются в совокупности как некоторое множество, их перечисляют через запятую и ограждают эту строчку с обеих сторон фигурными Скобками.

29

Андрей Болконский, Пьер Безухов., Наташа Ростова, Николай Ростов, Анатоль Курагин и так далее — множе­ ство персонажей романа Толстого «Война и мир».

Один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее — уже знакомый нам нату­ ральный ряд, множество положительных целых чисел.

Способы задания множеств в последних двух приме­ рах уже другие, нежели в первых.

Что касается множества персонажей романа «Война и мир», то его в принципе можно было бы определить и прежним приемом — перечислением. Для этого, правда, потребовалось бы несколько страниц нашей книги. А вот для натуральных чисел такой прием не годится даже в принципе, поскольку их множество бесконечно.

Как быть? В некоторых подобных случаях из затруд­ нительного положения удается выйти, назвав лишь не­ сколько элементов множества. Троеточие или оборот «и так далее», которыми принято обрывать такой список, подчёркивают, что названное не исчерпывает всего множества. Однако если из этого незавершенного пере­ чня становится понятно, как далее его продолжать, какие предметы можно поставить в один ряд с назван­ ными, — это значит, что, есть критерий проверки, при­ надлежит тот или иной предмет данному множеству или не принадлежит. Мы уже знаем: если такой критерий есть, то множество задано совершенно определенно.

Впрочем, на способы задания множеств можно взгля­ нуть с другой стороны, с которой становится незамет­ ным различие между конечными и бесконечными сово­ купностями.

Присмотримся к описаниям упомянутых множеств: «первые люди на Земле», «планеты Солнечной систе­ мы», «натуральные числа», «персонажи романа «Война и мир».

Такого описания вполне достаточно для того, чтобы определить каждое из этих множеств. В подобных слу­ чаях говорят, что множество задано с помощью харак­ теристического (или определяющего) свойства, такого, что им обладает каждый элемент этого множества и не

эо