книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Таким образом, способ расчета коэффициентов в данном слу­ чае очень прост: для подсчета любого столбцу у следует припи­ сать знаки соответствующего столбца х„ сложить значения от­

клика с этими знаками и результат разделить на число опытов матрицы планирования.

Обычно математическим аппаратом, используемым для реше­ ния различных задач теории эксперимента, является линейная

алгебра.* В матричной форме можно			записать
	ХВ =	Y,	(2.13)
где X — матрица условий	эксперимента:
*0	* 1	. . .	ХА
*01	* 1 1	*■•	*/д
*02	* 12 . . .		хк2

*ш . . . хш

В — матрица неизвестных коэффициентов:

К

h

В =

ьк

Y — матрица результатов опытов:

Ух

У2

Ун

Умножим обе части (2.13) слева на матрицу Xх, транспони­ рованную к X. Получим

			(ХТХ) В =		XTY.	(2.14)
Матрица	Хт	имеет	вид
			* 0 1	* 0 2	• • *	* 0 Л '
			хт = * п	* 1 2		* 1 N
			*А 1	*&2	• * •	x k N
* Основы		алгебры	матриц хорошо описаны, например, в учебных посо­
биях [50,	13].

71

а матрица (ХТХ), обозначим ее А, выглядит следующим образом:

*01	Х02		*0/V	0	* 11 **■	*/a
А = (ХТХ) = Х\\				* l		xk2
	*1» ■. .		*l,V .	*02	* 12
*ftl	Xfi2	• • •	XkN	*0.V	*LV . . .	xkN

		Я 4 u	S	v .	•••
=	Sv».		^	U	■ ■ * S v* .
	SJа'*Л		У x k Xx		0
					1 XK
				Ru l u
Матрица	А ^	(ХТХ)	называется		информационной матрицей
Фишера (иногда		ее еще	называют		матрицей моментов плана),

а матрица М = 1/N (ХТХ) — приведенной (к одному наблюдению)

информационной матрицей.

Выражение (2.14) представляет собой систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов (2 .8 ), записанную в ма­

тричной форме. Элементы матрицы В (неизвестные коэффициенты) определяются из решения этой системы.

	Найдем матрицу (ХТХ)-1, обратную матрице (ХТХ), и умножим
на нее слева обе части уравнения (2.14):
Но		(ХТХ)“ *( х тх) В = (XTX)~l (ХтY).
		(ХТХ )~‘ (ХТХ) = Е,
где	Е — единичная матрица.
	Следовательно,
		В = (ХТХ)“ ‘ (XTY).	(2.16)
Это и есть		решение.	матрицы
	Одна из	возможных формул для расчета обратной
А"	1 = (ХТХ)~1:
			(2.17)

где (XTX)V — присоединенная матрица, т. е. матрица, в которой элементы замещены их алгебраическими дополнениями, а затем

произведено транспонирование; | ХТХ | — определитель матрицы

(ХТХ). Пример расчета обратной матрицы с помощью ЭКВМ см. в п. 2.5.2.

Однако обычно ее получают на ЭВМ.

72

В общем случае, обратная матрица А" 1 имеет следующую

структуру:

					^00	c«i	• ♦•	c0k
А’ 1 =		(ХТХ )-' =			^го		• • •	Clk	(2.18)
					ско	Ck\	• • •	ckk
Найдем также		матрицу		(XTY):
								N
								Xl х о У и
	•'•01		х ш	. . .	X0,V			и—1
							Уа	N
	X u		X u	■ ■ ■	X1N			Ъ \ У и
(XTV) -
								и—1
	Xkl		Xk2	* • *	X kN		Уы	N

x k У и

и = 1 "

Таким образом, решение системы нормальных уравнений (2.16) записывается следующим образом:

h

N

				X Х0 У«
				и= 1	11
c0l)	An	■■■	C0k	N
				X Х \	У и
^10	cn	• ■■	Clk	и=1	и
CkO	cki	■■•	ckk
				N

		I- X k Уи
откуда		и=I	и
к	(	N	(2.19)
bt = 2 l
/= 0

При ортогональном планировании, когда выполняется усло­ вие (2.9), информационная матрица имеет следующий вид:

	N
	И=1	0		0
		N
А - (ХТХ)	0		0		(2.20)
		U =1	■ ■■
			N
	0	0	У	x l
			« = i		«

73

Следовательно, для ортогональных планов информационная матрица диагональна.

В этом случае обратная матрица			А - ' -	( Х ' Х ) - 4 также диа­
гональна и представляет собой
	А" 1 =	(Х'Х) "	1 -
	1		о	О
	N
	2 4
	н—1
4»о	о ... о			О
0	о	N
	Сц ... О	L	X1,	(2.21)
		V	2
		11=I
0	О . . . ckk
	О		О	N
				X
				« —1

Отсюда при ортогональном планировании формула (2.19) приобретает вид

N

т. е. такой же, как и (2 . 1 1 ).

Обратная матрица (Х'Х) ” 1 играет первостепенную роль при

определении свойств строящихся моделей и их интерпретации. В частности, обратим внимание на то, что в рассматриваемых случаях модели типа (2.3) характеризуют зависимость случайной величины зависимой переменной (у) от неслучайных значений

независимых (х,). В таких ситуациях уравнение типа (2.3) назы­ вают уравнением регрессии, его коэффициенты — коэффициен­ тами регрессии, а метод построения и анализа уравнений —

регрессионным анализом.

При использовании регрессионного анализа — одного из ме­ тодов математической статистики, требуется выполнение сле­

дующих исходных	предпосылок:
1 ) зависимая переменная (отклик) — случайная величина с нор­
мальным законом	распределения;
2 ) дисперсия в	определении этой переменной не зависит от

ееабсолютной величины;

3)факторы измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении отклика.

Поскольку коэффициенты регрессии рассчитывают по формуле, например (2 . 1 1 ), из результатов опытов, являющихся случайными

величинами, то и сами коэффициенты являются случайными.

74

В общем случае эти коэффициенты имеют разные дисперсии и

разную величину

взаимной

корреляции

(различные ковариации

и коэффициенты

корреляции).

Все статистические свойства коэффициентов, а следовательно

и уравнения

регрессии,

определяет

обратная

матрица

А" 1 =

“ (ХтХ )- \

умноженная

на

оценку

дисперсии

опыта

S y2.

Эту

матрицу часто называют матрицей дисперсий — ковариаций

или

ковариационной. Нормированная

ковариационная

матрица — это

матрица

показать

[77],

что матрица

A_1 *S^

имеет вид

Можно

£оо

CQ1

•

*

• C0k

|

A -

,

S Z

=

( X T X ) - 1

S2

--

^10

сп

■ •

■ Clk

Оу

ск0

Ckl

•

•

■ Ckk 1

COVV J •

•

•

covV *

C 0 V

V / e

(2.22)

covv*

COV6lftft

Sik

Отсюда получаются соотношения для оценок дисперсий коэф­

фициентов

регрессии

(S | ),

их ковариаций (cov^ .) и коэффици­

ентов корреляции между

ними

):

Sbt — CilSyi

(2.23)

covV / = C ijSl;

(2.24)

-

Cii

■

(2.25)

bi bi

V c u cu

'

где cih Cjj,

Сц — соответствующие

элементы

матрицы

(ХТХ)“ 1.

Способы оценок дисперсий опыта, а также правила проверки

статистических

гипотез

об

адекватности

построенной

модели

и о значимости отдельных коэффициентов регрессии, будут рас­ смотрены в разделе 2.4.

При ортогональном планировании, когда выполняется усло­ вие (2.9), все элементы обратной матрицы (ХТХ) “ 1 c i} — 0, а сама

матрица имеет вид (2.21). Поэтому в этом случае матрица диспер­

	сий — ковариаций (2 .2 2 )			выглядит			следующим			образом:
		c 00	0	. . .	0				0 .	. .	0
	(хтх ) - '^	0		. . .	0		0	c ' -		. .	0
			C l l			O y —		\	.
						C 2 _ _
		0	0		C k k		0		0 .	• •	s l k

75

N	О * . .	о
«---1 ч'и
О	N	О
	х * ; .	(2.26)
	и= 1
О	О	$ 2
		/V

Таким образом, при ортогональном планировании дисперсии оценок коэффициентов регрессии рассчитывают по формуле

(2.27)

или, если выполняется условие нормировки (2 .2 ), по формуле

(2.28)

Все же ковариации, а следовательно, и коэффициенты корре­ ляции между оценками коэффициентов равны нулю, что лишний раз подтверждает независимость рассчитанных коэффициентов друг от друга.

Определим теперь оценку дисперсии предсказанного по урав-

нению значения				отклика			S |,	где	у — рассчитанное		значение.
Поскольку			коэффициенты				bt являются случайными величинами,
результаты			расчета		л	также		являются случайными.			Поэтому,
					у
по	закону		сложения		ошибок			[108],	величина у1П рассчитанная
для	и-й	точки		факторного пространства:
			УU = К - Ь Ь1х,п -!- Ь,Х,Ц-4----- [ 6,Л„,								(2•29)
должна		иметь дисперсию
		si- S ( w ) ls*.+ S									<230)
	Поскольку для модели (2.29)								=	а для ортогональ­
ных планов сочь(ь. = 0 и по формуле (2.28)										SI. = S\/N — оди­
наковая		величина для				всех		коэффициентов,		можно	записать:
5 % = .-о*'"5*1=				Sii S i Х‘“= ^				” ( 1		+ ------ h ^ J (2 .3 1 )

76

Рис. 2.1. Изолинии дисперсий предсказания моделью, получен­ ной из неротатабельного (а) и ротатабельного (б) плана

ИЛИ
^ « “	т г О + р " ) ’*2-32)
где ря =xiu + х\и+ ----- 1- х\и.
Таким образом, дисперсия
предсказанного		уравнением
регрессии	значения уи зависит от экспериментальной ситуации
{SyN) и радиуса		(ри) сферы (в общем случае гиперсферы) с цен­

тром в основном уровне. Следовательно, в любом направлении на одинаковом расстоянии от центра эксперимента (при равном р) полученное уравнение предсказывает с одинаковой точностью (Sf — одинаковые величины). Планы, для которых выполняется условие (2.32), получили название ротатабельных. На рис. 2.1, б показано изменение дисперсии предсказания 5 | в случае ротатабельности, а на рис. 2 . 1 , а при отсутствии ротатабельности.

Естественно, что в задачах ^оптимизации, когда предстоит из исходной точки двинуться к экстремуму, случай ротатабельности более предпочтителен, ведь направление движения заранее не­ известно, а потому хотелось бы иметь в любом направлении оди­ наковые возможности.

Указанные выше свойства планов — симметричность (2.1), нормировка (2.2), ортогональность (2.9), ротатабельности (2.32) — лишь некоторые из возможных.

Вобщем же случае можно выбирать разные строки матрицы X,

т.е. составлять различные планы эксперимента, обладающие теми или иными нужными экспериментатору свойствами.

Для оценки и сравнения планов используют математические критерии их оптимальности, которые обычно связывают со строе­ нием ковариационной матрицы или с организацией и порядком проведения опытов.

Таких критериев	может быть много (см., например, 176,
27, ПО, 36, 131, 125]),	и это позволяет выбирать планы, удовле­

творяющие разнообразным требованиям, возникающим при ре­ шении конкретных экспериментальных задач.

Критерии оптимальности планов и способы организации экс­ перимента удобно делить на три группы.

В первую группу входят критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии. Сюда относятся такие свойства планов, как их ортогональность, О-^-Е-оптимальность и другие.

Этим критериям можно дать	геометрическую интерпретацию
в пространстве коэффициентов b0t	bly ..., Ьк. Оценки этих коэффи­

циентов, как уже отмечалось, являются случайными величинами,

77

а потому имеют разброс, который может быть охарактеризован эллипсоидом рассеяния оценок. Ориентировка, форма и объем эллипсоида полностью определяются выбранным планом экспе­ римента, точнее строением информационной М или ковариацион­ ной Mr1 матрицы. Перечислим некоторые критерии первой

группы.

Ортогональность (2.9) — очень удобное свойство планов. Она, как уже отмечалось, приводит матрицы М и М' 1 к диагональному

виду, позволяет оценивать все коэффициенты регрессии незави­ симо друг от друга и потому упрощать или усложнять модели, исключая или добавляя новые коэффициенты без пересчета уже найденных.

Число вычислений при этом минимально. Эллипсоид рассеяния ориентирован таким образом, что направления его главных осей совпадают с направлением координатных осей в пространстве коэффициентов.

D — оптимальными (по начальной букве английского слова determinant, т. е. определить) называют планы, которым соответ­ ствуют минимальный определитель ковариационной матрицы М 1

или, что то же самое, максимальный определитель информацион­ ной матрицы М. Определитель ковариационной матрицы пропор­ ционален объему, эллипсоида рассеяния. Следовательно, D- оптимальность приводит к получению эллипсоида рассеяния оце­ нок коэффициентов минимального объема. В статистическом смысле D -оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии

всех оценок коэффициентов.

Можно составлять планы, обеспечивающие минимум обобщен­ ной дисперсии не всех, а только части оценок коэффициентов. Такие планы называют усеченными D -оптимальными. В этом случае требуется минимизировать не определитель матрицы М-1, а определитель ее подматрицы, соответствующей интересующим экспериментатора коэффициентам.

А-оптимальными (от английского выражения average variance, т. е. средняя дисперсия) называют планы, которым соответствует минимальное значение следа (т. е. суммы диагональных элемен­ тов) ковариационной матрицы. Поскольку на диагонали кова­ риационной матрицы находятся дисперсии оценок коэффициен­ тов, А-оптимальность обеспечивает минимум суммы дисперсий этих оценок без учета их ковариаций или, другими словами, минимум средней дисперсии оценок. При этом эллипсоид рас­ сеяния имеет минимальную сумму квадратов длин осей и наимень­ шую длину диагонали прямоугольника, описанного около этого эллипсоида.

D-оптимальным (от английского выражения eigen value, т. е. собственное значение) планам соответствует наименьшее макси­ мальное собственное значение (характеристическое число) [13, 50] ковариационной матрицы М 1 или, что то же самое, наибольшее

минимальное собственное число информационной матрицы М.

78

^-оптимальность минимизирует длину максимальной оси эллип­ соида рассеяния оценок коэффициентов, т. е. не позволяет ему приобрести слишком вытянутую форму. Со статистической точки зрения она не дает возможности некоторым оценкам коэффициен­ тов иметь слишком большие дисперсии и ковариации.

Критерии оптимальности второй группы определяют точность предсказания значений отклика с помощью построенной модели. Сюда относятся такие свойства планов, как их ротатабельность, униформность, G- и Q-оптимальность, максимальная точность оценки координат экстремума и др. Опишем некоторые из них.

Ротатабельность (от английского rotatable, т. е. способный к вращению), как уже было показано выше, обеспечивает оди­ наковую точность предсказания для точек, равно удаленных от центра плана по любому направлению. Иными словами, диспер­ сии предсказания инвариантны (независимы) относительно вра­ щения координатных осей факторного пространства.

Униформность (от английского uniform, т. е. равномерный) в дополнении к ротатабельности требует, чтобы в некоторой области вокруг центра плана дисперсия предсказания оставалась примерно постоянной.

G-оптимальные (от английского выражения general variance, т. е. общая дисперсия) планы минимизируют максимально воз­ можную дисперсию предсказания. Они гарантируют отсутствие в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точ­ ность оценки функции отклика.

Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию предсказания.

К третьей группе можно отнести свойства планов, связанные со стратегией экспериментирования. Укажем некоторые из них.

В большинстве задач естественно стремление эксперимента­ тора к минимизации числа опытов. Этот минимум задается числом коэффициентов модели, а приближение к нему служит мерой насыщенности плана.

Важным является шаговый принцип планирования экспери­ мента. С ним связана и композиционность планов. При компози­ ционной стратегии эксперимент реализуется по частям, шаг за шагом. Решение о продолжении эксперимента и выбор метода на каждом последующем шаге принимают только по результатам предыдущего. Композиционные планы предполагают постепенное усложнение строящейся модели. Здесь же следует отметить, что в ряде случаев композиционность планов, наоборот, является нежелательным свойством. Изучая, например, зависимости меха­ нических свойств сплавов от их состава, условий приготовления и обработки, необходимо иметь в виду, что, прежде чем будут проводиться собственно механические испытания, сплавы при­ дется отливать, деформировать, несколько раз термообрабатывать и пр. В таких ситуациях бывает легче приготовить и испытать сразу большую серию образцов, чем делать это несколько раз

79

малыми сериями. Композиционная стратегия может привести к сокращению числа изученных сплавов, но не к уменьшению общего времени работы. Естественно, что выбор композиционной или некомпозиционной стратегии определяется содержанием каж­ дой конкретной задачи.

Близким к композиционности является необходимость, в ряде случаев, разбивать планы на ортогональные блоки. Это всегда необходимо в тех случаях, когда эксперимент оказывается на­ столько продолжительным по времени, что могут систематически меняться неконтролируемые факторы (выгорает футеровка в пе­ чах, изнашивается инструмент при обработке давлением и т. д.).

Кроме разделения на блоки, позволяющего учитывать времен­ ной дрейф, для борьбы с систематически действующими во время эксперимента неконтролируемыми факторами можно использо­ вать рандомизацию, предусматривающую проведение опытов плана в случайном порядке.

Наконец, хотелось бы иметь планы, позволяющие проводить обработку результатов опытов с помощью возможно более простых вычислений.

Список возможных критериев оптимальности и способов орга­ низации эксперимента можно было бы значительно расширить [76, 27, ПО, 36].

Подчеркнем, что выбор критерия оптимальности и способа проведения эксперимента осуществляют исходя из конкретного содержания решаемой задачи. Построить планы, удовлетворя­ ющие одновременно многим критериям оптимальности, удается только в отдельных случаях. В частности, рассмотренные выше планы полного факторного эксперимента типа 2 fc, как и регуляр­ ные планы типа 2 *“ ^, речь о которых пойдет дальше, являются одновременно D -, Л-, Е- и G-оптимальными. Кроме того, они

ортогональны и ротатабельны. Но так бывает редко. Сравнивая критерии между собой, можно отметить, что,

например, для критериев первой группы величина определителя ковариационной матрицы JVT1 (т. е. D -оптимальность) является

более полной численной характеристикой по сравнению с дру­ гими критериями. Действительно, критерий D -оптимальности учитывает все элементы ковариационной матрицы, в то время, как критерий А -оптимальности учитывает только диагональные

элементы. Кроме того, поскольку определитель матрицы является произведением ее собственных чисел, критерий D -оптимальности является более полной характеристикой по сравнению с D-опти­ мальностью. В ряде случаев D -оптимальиые планы оказываются одновременно и G-оптимальными. С другой стороны, в работе [76] чисто формально рассчитаны коэффициенты парной корре­ ляции между различными критериями самых разнообразных известных в настоящее время планов. Этот анализ привел, в част­ ности, к выводу, что выбор плана по Л-оптимальности обеспечи­ вает более высокую вероятность получить в результате план,

80