книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

Ре

э р	О при г = ге

дх

Рис. 5.2. Квазиустановившийся плоскорадиальный поток

Методы анализа для условий неустановившейся фильтрации и их применение для исследования нефтяных и газовых скважин будут рассмотрены, соответственно, в главах 7 и 8.

Ь) Квазиустановившаяся фильтрация

Этот режим наступает, когда скважина работает достаточно долго, для того чтобы начало проявляться наличие внешней границы пла­ ста. Если говорить о модели плоскорадиального потока, то такой слу­ чай показан на рис. 5.2. Принимается, что внешняя граница пласта непроницаема («кирпичная стена») и приток флюида в рассматрива­ емый цилиндрический элемент пласта отсутствует. Таким образом, в соответствии с законом Дарси, на внешней границе элемента

Эр

— = 0 п р и г = ге.

(5.6)

Если скважина работает с постоянным дебитом, то давление в эле­ менте будет снижаться таким образом, что

Эр

— « соп81, замена для всех г и X. (5.7)

Ы

Постоянную в выражении (5.7) можно получить из уравнения ма­ териального баланса, используя определение сжимаемости

с ! р	с ! У		(5.8)
с У —	= ---------	= - я
<11:	сИ

Р ис . 5 .3 . Дренирование пласта с непроницаемой границей в условиях

квазиустановившейся фильтрации

Эр = _ _ ч _	(5.9)

ЫсУ ’

При дренировании цилиндрического элемента пласта

	= _ —3 _ .	(5.10)
ЭЪ	сг^ Нср

Это условие, которое будет применяться при выводе уравнений квазиустановившегося притока к скважине нефти (глава 6) и газа (глава 8), несмотря на то что в последнем случае сжимаемость газа не является постоянной величиной.

Мэтьюз (МаЯЬепАгз), Броне (Вгопз) и Хейзбрек (НагеЬгоек)1отме­ тили одну важную особенность решений, соответствующих условиям квазиустановившейся фильтрации, для пластов, работающих на исто­ щение. Эта особенность проиллюстрирована рис. 5.3. Она заключает­ ся в том, что если существует квазиустановившийся поток, то каждая скважина дренирует свою собственную область, ограниченную непро­ ницаемой границей, совершенно независимо от других скважин.

При этом производная (1р / д.1 должна иметь примерно постоян­ ное значение во всем пласте, так как в противном случае происходит переток через границы областей дренирования и границы будут из­ менять свое положение, пока не стабилизируются. В таком случае

можно определить средневзвешенное по объему пластовое давление, используя простую зависимость

Ер л

р- - ^ г

<511)

1

где V - объем порового пространства в 1-том дренируемом объеме

ир. - среднее пластовое давление в 1-том дренируемом объеме.

Вуравнении (5.9) подразумевается, что, поскольку ф / сН:является постоянной величиной для всего пласта, при малой сжимаемости

(5.12)

поэтому средневзвешенное по объему давление в уравнении (5.11) можно заменить на средневзвешенное по дебиту

Определить практически объемы V. очень сложно, а дебиты из­ меряются обычным порядком в течение всего периода разработки месторождения. Поэтому таким путем проще рассчитывать давле­ ние, при котором составляется материальный баланс (рге8). Метод определения индивидуальных значений р4подробно изложен в главе 7 (раздел 7).

с) Установившаяся фильтрация

Этот режим наступает после завершения периода ^установив­ шейся фильтрации, если скважина дренирует цилиндрический эле­ мент пласта с полностью открытой внешней границей. В этом случае принимается, что при постоянном дебите отбор флюида из элемента точно компенсируется поступлением флюида через открытую гра­ ницу, и поэтому

	р = ре = С О П 81 при г = ге		(5.14)
и	—	~ 0 при любых г и 1.	(5.15)
	Ы

Рис* 5 .4 . Установившийся плоскорадиальный поток

Эти условия применимы, когда пластовое давление поддерживает­ ся за счет естественного притока или закачки воды (см. главу 10).

Следует отметить, что условия, характеризующие квазиустановившуюся и установившуюся фильтрацию, могут никогда не существо­ вать в пласте в полной мере. Например, уравнения квазиустановившейся фильтрации часто используют, когда расход и, следовательно, положение непроницаемой границы, окружающей скважину, мед­ ленно изменяются во времени. Тем не менее на практике часто при­ нимают, с некоторым приближением, определяющие условия, выра­ жаемые уравнениями (5.7) и (5.15). Такой подход объясняется тем, что промысловое оборудование для добычи и поддержания пласто­ вого давления обычно предназначено для работы с постоянными де­ битами и расходами закачки, и изменять дебиты и расходы закачки без необходимости просто нецелесообразно. Если дебит отдельной добывающей скважины уменьшается, например, из-за ее останов­ ки для ремонта, или увеличивается, например, для выравнивания фронта, то будет существовать краткий период неустановившейся фильтрации, за которым последует период квазиустановившейся или установившейся фильтрации при новом соотношении дебитов отдельных скважин.

5.4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮ ИДОВ С МАЛОЙ И ПОСТОЯННОЙ

СЖИМАЕМОСТЬЮ

Можно выполнить простую линеаризацию уравнения (5.1) путем исключения нескольких членов, зависящих от различных допуще­ ний о характере флюида, для которого ищется решение. В этом раз­

деле таким флюидом является жидкость. Конкретно, решение ищет­ ся для недонасыщенной нефти. Развернув левую часть уравнения (5.1) и применив правило дифференцирования сложной функции, получаем

		I [ 1 ( Ц	пг <Ф			. к Р дР . к Р		у Р	Фср |^-(5Л6)
		Г 1Эг \ р /	р	Эг	р Эг Эг	р 5г	|1	Эг2
		Дифференцирование уравнения (5.4) по г дает
						Эр	Эр			(5.17)
						Эг ~ дг
	После подстановки в уравнение (5.16) получаем
	1	’Э /к \	Эр	к	/ Эр\2	кр Эр	кр	Э2р	(рср	.(5.18)
	г	7 ( 7 ] рг7		7	сргИ	+7 7	+7	г"7
										Эг

Для случая фильтрации жидкости обычно делают следующие до­ пущения:

•вязкость р практически не зависит от давления и может считать­ ся постоянной величиной;

•градиент давления Эр / Эг мал, и поэтому членом (Эр / Эг)2 можно пренебречь.

Эти два допущения исключают два первых члена из левой части уравнения (5.18), которое приобретает следующий вид:

Эф + 1 Эр_ Фрс Эр	(519)
Эг2 г дг к д* *

Удобнее выразить его в такой форме:

±	± ( М	_ _ ш _ * р		(520)
г	ЭгДЭг)	к	ЭГ	^ '

И последнее допущение - о постоянстве сжимаемости. Это означает, что коэффициент срцс/ к тоже является постоянной величиной, и, таким образом, линеаризация основного уравнения успешно выполнена.

Считалось, что приведенные выше допущения вполне оправданны для случая фильтрации жидкости, и поэтому они часто применялись в прошлом. Однако Дранчук (БгапсЬик) и Куон (Оиоп)2 показали, что к такой простой линеаризации с исключением членов нужно относить­ ся осторожно и что она применима лишь при выполнении условия

ср « 1.

(5.21)

Это условие приводит к необходимости корректировки последне­ го допущения таким образом, чтобы сжимаемость была не только постоянной, но одновременно и малой и постоянной. В уравнении (5.20) используется суммарная, или взвешенная по насыщенности, сжимаемость компонентов системы пласт-жидкость

(5.22)

Здесь насыщенности выражены в долях порового объема. При ти­ пичных значениях коэффициентов в уравнении (5.22)

со = 1,45 х 10‘3 / МПа	5 =0,2
с\У= 0,435 х 10‘3 / МПа	р = 20,7	МПа
сг = 0,87 х10'3/ МПа

значение с{равно 2,12 х 103 / МПа, а произведение в соотношении (5.21) равно 0,04. Это значение удовлетворяет необходимому условию применимости рассматриваемой простой линеаризации. Однако, как показали Дранчук и Куон, при работе с пластовыми системами с более высокой суммарной сжимаемостью необходимо выполнить линеари­ зацию уравнения (5.1) с использованием интегрального преобразо­ вания. Такой подход требуется при описании фильтрации реального газа, поскольку в данном случае сжимаемость газа может быть вы­ ражена, в первом приближении, как величина, обратная давлению, а произведение ср в соотношении (5.21) будет равно единице. Линеари­ зация уравнения (5.1) в таких условиях будет рассмотрена в главе 8 (раздел 2.4).

Перед тем как оставить тему сжимаемости, следует отметить, что, поскольку при выводе уравнения (5.1) было принято, что пористая среда полностью насыщена однофазным флюидом, то есть речь идет об абсолютной пористости, произведение срс во всех формулах в этой и в следующей главах будет выражено как

Ф,	х (с 5	о	+ с 5	+ с.).	(5.23)
т абс	у о		«г шс	Г'

В то же время, учитывая насыщенность пласта связанной водой, можно интерпретировать произведение фс как

(5.24)

где (ра6с (1 - 5^с) - эффективная пористость, а сжимаемость эквивалент­ на полученной в главе 3 (формула 3.19) и определяется для порового объема, занимаемого углеводородами. Произведения в уравнениях (5.23) и (5.24) имеют одинаковое значение. Нужно только быть вни­ мательным и не путать индивидуальные части разных уравнений.

Выражение (5.20)" аналогично уравнению теплопроводности в по­ лярных координатах, описывающему радиальный тепловой поток. Входящий в него коэффициент к / <рцс""соответствует коэффициенту температуропроводности. Подобные уравнения часто применяют­ ся в физике. Например, с помощью такого уравнения описывается перераспределение температуры при передаче теплоты теплопрово­ дностью в случае радиальной симметрии

1д_	- 1 5 1
г Эг	" к ы

где Т - абсолютная температура, а К - коэффициент температуро­ проводности. Поскольку уравнение (5.20) аналогично уравнению теплопроводности, не удивительно, что во многих статьях по раз­ работке месторождений, где рассматриваются сложные решения, даются ссылки на книгу «Теплопроводность твердых тел»""" Карслоу (Саг$1а\^) и Джегера (}ае§ег)3. В этой работе даны решения уравне­ ния теплопроводности для ряда различных начальных и граничных условий, поэтому в разработке нефтяных и газовых месторождений она считается стандартным справочным материалом.*

*В отечественной литературе подобная зависимость называется уравнением пьезопровод­ ности, так как она характеризует перераспределение давления в пласте при неустановившейся фильтрации. Этот термин введен В. Н. Щелкачевым в 1946 г. и будет использоваться далее по тексту. - Прим ред.

**Аналог коэффициента пьезопроводности, характеризующего скорость перераспределения (выравнивания) давления в пласте.- Прим. ред.

***Эта книга была переведена на русский язык и опубликована издательством «Наука» в 1964 г. - Прим. ред.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) МаМЬе\У8, С.5., Вгопз, Р. апс1 НагеЪгоек, Р., 1954. А МеШо<1 Гог Бе1егтта1юп оГ Ауегаде Ргеззиге т а Воип<1е<1 Кезегуспг. Тгап$. АШЕ. 201: 182-191.

2)БгапсЬик, Р.М. ап<1Оиоп, Б., 1967. Апа1у818 оГЛе Багсу СопИпиНу ЕциаНоп. Ргос1исег8 Моп1Ыу, Ос1оЬег: 25-28.

3) Сагзкш, Н.8. апс! )ае§ег, }.С., 1959. СопсккПоп оГ Неа! т 5о1к1$. ОхГогс! а! Ле С1агеп(1оп Ргезз, (2пс1 еёШоп).

УРАВНЕНИЯ КВАЗИУСТАНОВИВШЕГОСЯ И УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПРИТОКОВ В СКВАЖИНУ

6.1.ВВЕДЕНИЕ

Вэтой главе будут получены решения уравнения пьезопроводно­ сти для квазиустановившегося и установившегося потоков жидко­ сти. Производная по времени в уравнении (5.20) для таких фильтра­ ционных потоков является, соответственно, постоянной величиной

иравной нулю. Метод поиска решений применительно к квазиустановившейся фильтрации изложен довольно подробно, поскольку он имеет общий характер и может быть использован для решения раз­ нообразных задач, связанных с исследованием плоскорадиального фильтрационного потока. Ограничение по форме внешней границы цилиндрического элемента пласта, которая изначально принята кру­ говой, устраняется введением коэффициентов формы Дитца (01е1:2). Это позволяет записать уравнение притока в скважину в общем виде,

вкотором оно может быть использовано при различных геометри­ ческих формах области дренирования и при различных положениях скважины относительно границы области дренирования.