книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfЗначения обеих характеристик материала (г? и а показаны на
рис. 5.1.1. В общем случае во время пластического течения
меняются значения как |
так и а |
в зависимости от |
значе |
||||
ний рх и р2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Вторая |
закономерность |
- закон |
пластического |
течения |
|||
описывает |
зависимость между напряжениями и деформациями. |
||||||
При этом возможны две различные формы, зависящие |
от |
вы |
|||||
полнения |
или невыполнения |
условия |
текучести |
(5.1.2). |
Из |
||
рис.5.1.1 видно, что закон текучести |
не может |
быть описан |
|||||
однозначной зависимостью tr от е как, |
например, для |
нели |
|||||
нейно упругого материала. |
|
для |
F(<r)<0 |
справедливо |
|||
В упругой области, то есть |
|||||||
равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
e-<r/E+e*j , |
|
|
|
(5.1.5) |
где. с** - накопленная пластическая деформация предыдущего
пластическрго деформирования, которая в упругой области является константой. Дифференцированием по t можно для всех упругих прямолинейных зависимостей сг от е получить дифференциальное уравнение:
с-сг/Е=ёе, |
(5.1.6) |
и тогда формула (5.1.5) является интегралом этого диффе ренциального уравнения с одним начальным условием. Если в уравнении (5.1.6) добавить в качестве слагаемого скорость пластического удлинения, то получим уравнение, которое будет справедливо как для упругого деформирования, так й для случая упругопластического деформирования материала. Имеем тогда следующее равенство:
е=о,/Е+е^=ее+е^>. (5.1.7)
Введя коэффициент Л,- при условии его неотрицательности, можно записать закон текучести:
О,. |
если F<0 или F=0, (<г-а)<7<0, |
(5.1.8)
Л(сг-а), если F=0 и (о— a)traO.
Условие возврата в упругую область
(сг-а)<т<0 |
(5.1.9) |
называется условием разгрузки. Для полного описания плас тического течения необходимо сформулировать правило для
вычисления параметров р 1 и Pg в зависимости от ер . Форму
ла (5.1.8) устанавливает связь между ер и Л. Тогда можно
использовать следующую зависимость:
*>i=qi*cr'pj ^ |
(5.1.10) |
Правила, которые обеспечивают хорошее соответствие с экс периментами при любых изменениях нагрузки, сформулировать очень сложно. При упругоидеальнопластическом поведения материала считается, что константы материала не меняют своих величин. Пластическое течение возникает при одина ковых значениях сжатия и растяжения:
|
CTj,=const; |
а=0; |
|
|||
|
О, если |
2 - 2 |
или |
2 2 |
■-. |
|
£р=< |
(г <Ор |
сг =(Гр, |
сг(т<0, |
|||
А.<г, если |
2 |
2 |
и |
• Л |
|
|
|
|
|||||
V- |
<т =0’„ |
сгсг=0. |
|
|||
|
|
Г |
|
|
|
Рис. 5.1.2. УпругоидеальноРис. 5.1.3. Упругопластипластическое поведение маческое поведение материатериала. ла при упрочнении.
Условие (пг>0 невыполнимо при crp=const. Диаграмма завися*
мости напряжения 'от деформаций для упругоидеальнопластического материала показана на рис. 5.1.2.
При упрочнении в процессе пластического деформирования в саком простом случае линейного упрочнения по правилу Прагера а отлично от нуля (рис. 5.1.3):
crF=const; а=СЕе^-.
В общем случае значения (гр и а - не являются константами.
Условие текучести
F((r)= (o-a)2-<r*0
продифференцируем по времени t. Получим (<г-а)*(<г-а)=0, от
куда а=СЕё^=сг и с^=сг/СЕ .
В случае линейного упрочнения из формул (5.1.8) следует:
О, |
если F<0 или F=0, (сг-а)сг<0, |
{tr/CЕ. , если F=0 и (ог-а)о-гО.
МНОГООСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. При многоосном нап ряженном состоянии условию текучести соответствует по верхность, ограничивающая область только упругих деформа ций. Для большинства материалов пластические деформации твердого тела происходят без изменения его объема. В пространстве независимых координат, являющихся компонен тами тензора напряжений, эта область ограничена поверх ностью, описываемой условием текучести:
F(o‘ijfP]c)=0* |
|
(5.1.11) |
|
Это уравнение относительно |
напряжений |
содержит параметр |
|
р^. Геометрически наглядным |
уравнение |
(5.1.11) |
становится |
в декартовой системе координат, в которой три |
направления |
координатных осей совпадают с направлениями главных нап ряжений. При о“3 = 0 имеем геометрическую интерпретацию
этого уравнения в плоскости.
Обобщение результатов экспериментальных исследований показывает, что при увеличении пластических удлинений
напряжения текучести никогда не уменьшаются. Это справед ливо в том случав/ когда выполняется посулат или критерий стабильности Друкера. Критерий стабильности формулируется следующим образом: материал считается стабильным, если работа внешних дополнительных нагрузок при монотонном из менении формы элемента положительна, и работа, совершен ная в течение одного цикла нагружения, является неотрица тельной.
Это справедливо как "в малом"
d<T. .de? .2:0, ID 13 '
так и в "большом"
-(г.?)de? .^0 iD; ID
Из постулата Друкера вытекает правило нормали теории пластичности, по которому скорость пластического удлине ния всегда направлена перпендикулярно площадке текучести
по внешней нормали. Значит вектор с?, должен быть парал-
^J
лелен нормали к поверхности F(cr)= 0. Компоненты вектора нормали являются компонентами вектора градиента, которым пропорциональны компоненты скорости деформаций:
(5.1.12)
Коэффициент пропорциональности X неотрицателен:
Л2=0. (5.1.13)
В уравнении (5.1.12) предполагается, что все условия пла стического течения выполнены. Помимо выполнения условия текучести (5.1.11) должно также выполняться условие от сутствия разгрузки для данного процесса деформирования. Разгрузка возникает, когда изменение тензора напряжений
cr^j соответствует траектории движения внутрь области, ог
раниченной условием текучести. В терминах, векторной ал гебры это означает, что скалярное произведение градиента
функции F(cr) и <т. . является отрицательным:
(aF/Scr^jCT^O. (5.1.14)
Таким образом, можно окончательно сформулировать закон
течения для многоосного напряженного состояния:
'О, если F<0 или F=0, (d F / d a )^к1<о,
•Р |
(5 .1 .1 5 ) |
С |
AfSF/So^j),если F=0 и (aF/acr^o^-j^O. |
|
Закон упрочнения можно описать математически, анало гично уравнению (5 .1 .1 0 ). С учетом равенств (5 .1 .15) нож-
но прямую зависимость от e?j заменить зависимостью от А:
(5 .1 .1 6 )
Условие текучести является основным в законе течения, в котором используется правило нормали для условия текуче сти. Закон течения, который удовлетворяет правилу норма ли, называется .ассоциированным законом течения.
Впервые условие текучести было сформулировано в 1868 году французским инженером Треска. Оно применимо в основ ном к металлам и состоит в том, что пластическое течение наступает, если максимальное касательное напряжение сдви га равно:
|
Tmax~f°I*"<rI I I ^ 2"4rF/2' |
(5.1.17) |
где |
главные напряжения трехосного |
напряжен |
ного состояния. По условию текучести Треска возникновение пластического деформирования не зависит от среднего главного напряжения:
|
j-Op-0, |
(5.1.18) |
или |
0 „ |
(5.1.19) |
|
FT2= (Oj-Oin) -0*5 - 0 . |
Другое важное условие текучести приписывают трем авто рам, сформулировавшим его независимо друг от друга: Губе ру (1904), Мизесу (1913), Генки (1923). По условию теку чести Губера - Мизеса - Генки, которое также называют ги потезой о постоянстве энергии изменения формы твердого тела, пластичность возникает тогда, когда энергия измене ния формы при многоосном напряженном состоянии будет рав на энергии достижения границы текучести при одноосном на гружении. Это условие равнозначно току, что второй инва риант девиатора напряжений становится равным предель-
нону значению. Так как этот инвариант при простом растя-
женин равен -<г2/3 , то это условие можно записать в сле дующей форме:
|
FHMH=~3ID2"<rF=3sijSij/2_tV ’0' |
<5 -1;20> |
||
В случае |
двухосного |
напряженного |
состояния |
условие |
(5 .1.20), |
когда в качестве координатных осей выбираются |
|||
направления главных напряжений, примет |
вид: |
|
||
|
ГНМН=£Г1+СГ2"£Гl°2_CrF=0 * |
|
(5.1.21) |
|
В пространстве главных напряжений условию текучести |
||||
|
г. |
Губера - Мизеса |
- Генки |
|
|
^ 2 |
соответствует |
круговой |
|
|
|
цилиндр, осью |
которого |
|
|
|
является пространствен |
||
|
|
ная |
диагональ |
<г\^сг2~<г3 |
|
|
|
|
/ 7 |
|
|
|
|
|
/ |
/ |
|
|
|
|
|
/ / |
|
1 |
1 |
|
|
|
/ / |
|
|
|
|
|
/ |
/ |
б г |
[ |
/ |
/ |
| |
1 |
F |
/ |
/ |
|
/У |
|
|
||||
/ |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
/ У |
|
|
|
|
|
/ У |
|
|
|
1 |
|
I |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
/ / |
|
|
Рис. 5.1.4; Условие текучести Губера-Мизеса-Генки при плос ком напряженном состоянии.
(эквиз ектрис). Сеч ение этого наклонного цилин
дра плоскостью при 03=0
образует эллипс (рис. 5.1.4). Условию Треска при этом соответствует вписанный в эллипс мно гоугольник. Отличие фи гур (в общем случае по верхностей) не превы шает 15,5%. Эксперимен ты показали, что усло вие Губера-Мизеса-Генки лучше описывает реаль ные свойства металлов.
Ассоциированный закон течения с условием текучести Гу бера - Мизеса - Генки в предположении пластической несжи маемости материала можно уточнить:
|
|
ёР=0 (е=е,,/3), |
(5.1.22) |
|
(это условие пластической |
kk' |
|
||
несжимаемости); |
|
|||
|
0 , |
2 |
____ |
2 |
|
если 3afclskl/2«rF или 3sklskl/2=<rF , sklskl<0, |
|||
ёр |
=- |
|
|
(5.1.23) |
e±j |
* |
|
|
|
если 38к1ек1/2=<4 * sk A l =0-
Скорость общих деформаций при пластическом течении мате риала состоит из скоростей упругих и пластических дефор маций:
ё=6-/(ЗК), (<r=o-kk/3) |
(5.1.24) |
е. .=s../(2G)+As.•• |
(5.1.25) |
Эти соотношения впервые были сформулированы Прандтлем (1923) (для плоского напряженного состояния) и Рейссон (1930) (для трехосного напряженного состояния) и образуют закон Прандтля - Рейсса.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ С УПРОЧНЕНИЕМ. Исходя из разви тия теории упрочнения принято различать три модели упроч нения:
- изотропное упрочнение, при котором изменяются размеры площадки текучести с сохранением формы и положения в пространстве напряжений. Это соответствует не зависящему от деформации изменению ^предела текучести материала <rF ;
- кинематическое упрочнение, при которой площадка условия текучести испытывает сдвиг при сохранении своей формы и своих размеров. Это соответствует влиянию функции мате риала а при одноосном напряженом состоянии (см. уравнение (5.1.1)); - анизотропное упрочнение, при котором изменяются форма и
величина площадки текучести. В общем случае все модели упрочнения проявляются одновременно в различных комбина циях. Формулировка условий текучести (5.1.11) и закона упрочнения(5.1.16) является достаточно сложной задачей и продолжает .оставаться темой современных фундаментальных исследований. Для прочностных расчетов, как правило, ис пользуются две первые модели упрочнения. При изотропном упрочнении с условием текучести Губера - Мизеса - Генки увеличение размеров площадки текучести происходит за счет
изменения сг^, |
в зависимости от величины |
пластических |
деформаций: |
|
|
FVI= (3 /2 )зк1зк1-*р(Р0)• |
(5.1.26) |
Так как (Гр является пределом текучести при одноосном рас
тяжении, то удобно применять в качестве параметра pQ
соответствующую пластическую деформацию e^=e^es-crp/E.
Предел текучести материала как функция <Гр(Е^) может опи
сываться в виде таблицы значений или аппроксимирующей функцией, которые получаются в опытах по растяжению об
разца. В случае трехосного напряженного состояния величи
на вычисляется путем сопосотавления с пластическим
растяжением, что приводит ко второму инварианту девиатора деформаций:
|
|
trF ,Po'"trFa+CI/ /:2/31eij*ijP |
|
|||
При одноосном |
нагружении |
имеем: |
|
|||
|
г е Р |
О |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
||
ер = |
О |
-ер/2 |
О |
! JD2=-£ijEij/2- |
3 (cP>2/4; |
|
Eij |
О |
0 |
-еР/2 |
|||
|
|
|
||||
|
>=ev V - 4JD2/3 |
=/(2/3)е|.е?. |
(5.1.27) |
|||
|
|
|
|
|
О *0 |
|
В равной |
степени |
это |
справедливо и для производных |
|||
|
|
P0e®v"/^2/3)®ij®ij |
(5.1.28) |
С учетом равенства (5.1.23) из формулы (5.1.28) имеем:
p 0=A/(2/3)skiSkl =(2/3)crF (p0)X=q0(p0)A |
(5.1.29) |
Следует отметить, что при изотропном упрочнении в соот ветствии с уравнениями (5.1.26) и (5.1.28) величина нап ряжения текучести увеличивается при любом’ пластическом изменении конфигурации твердого тела согласно кривой од ноосного растяжения. При этом появляются значительные расхождения с результатами экспериментов, если нагрузки являются знакопеременными. Поэтому использование уравне ний (5.1.26) и (5.1.28) должно быть ограничено процессом нагружения и определенной разгрузки, в то время как при знакопеременной нагрузке модель изотропного упрочнения должна использоваться в комбинации с другими моделями упрочнения.
Второй важной моделью процесса упрочнения является линейное кинематическое упрочнение с условием текучести Губера-Миз еса-Генки.
|
Требуемое смещение площадки текучести без изменения ее |
|
формы и величины обеспечивается заменой з. . на |
з. .-а. •» |
|
^ |
с |
1] 1]' |
где |
- координаты смещенной |
центральной |
точки. Условие |
|||
текучести имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
3/2) ( |
j“aj_j(Pj^) )(sij_ocij |
^ |
* |
(5.1.30) |
|
При линейном упрочнении каждая |
из 6 |
независимых |
величин |
|||
<*.. соответствует параметрам р. |
(к=1,2,... ,6). Простейший |
|||||
1J |
|
^ |
|
предложен Прагером. |
||
способ |
вычисления параметров a^j был |
В этом способе центральная точка смещается по направлению возникающей пластической деформации:
aijBCkeij '
где cfc - постоянная материала.
Закон течения имеет вид:
ер=0;
0, если FVK<0 или
*Р е“ .=
Ч
X<Sij-ofij), если F ^ O и (skl-«kl)
(5.1.31)
(5.1.32)
(5.1.33)
Если подставить уравнения закона течения (5.1.33) в фор мулу уравнения закона упрочнения (5.1.31), то получим:
*ij=ck <sij”aij,* ; Pi=s4i(°‘]ci»Pj )Л |
(5.1.34) |
При одноосной деформации из уравнения (5.1.30) имеем:
FVK=(o-3a11/2)2-cr^=0/ |
(5.1.35) |
а из уравнения (5.1.31) следует:
Яд^с^е^. (5.1.36)
Уравнения (5.1.35) и (5.1.1) совпадают, если <>£^=2а/3, и
тогда должно быть справедливо |
равенство: |
|
|
ск=2СЕ/3 ‘ |
|
Эта модель упрочнения |
позволяет в первом приближении |
|
учесть эффект Баушингера |
для |
многоосного напряженно-де- |
формированного состояния. Однако, в этом случае напряжен но-деформированное состояние при нагрузке не совпадает с напряженно-деформированным состоянием для изотропного упрочнения.
ЗАКОН УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В СТАНДАРТНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Приведем стандартную формули ровку идеально-пластического поведения материала при лю бом упрочнении. Считаем справедливым ассоциированный за
кон течения. |
|
(5.1.37) |
|
Условие текучести: F(irrp)=0; |
|
||
ассоциированный закон |
течения: |
c^-idF/3<T ; |
(5.1.38) |
закон упрочнения: |
p=qA; |
(5.1.39) |
|
полная деформация: |
ё=ёе+ё^. |
(5.1.40) |
Производная условия текучести по t имеет вид:
F (£rP)=(aF/3£)T2+(3F/3p)Tp=0 |
(5.1.41) |
При учете закона упрочнения в (5.1.41) получим: |
|
(3F/3£)T£+(3F/3p)TqA=0. |
(5.1.42) |
Введем обозначения: f=3F/3crr v=-(3F/3p) |
#г |
q. |
|
Тогда |
(5.1.43) |
f |
Условие пластического течения с учетом критерия стабиль ности Друкера примет вид:
Л а О . |
(5.1.44) |
Так как AiO, то v^O. Переменная v исчезает для идеально пластического поведения материала, так как F(<r) в этом
случае на зависит от р.
Параметр А можно вычислить из уравнения (5.1.43):
A=fTa/v, |
(5.1.45) |
откуда видно, что А нельзя вычислить, если v=0. Скорости напряжений и упругих деформаций связаны зависимостью:
fT=Cc^. (5.1.46)