книги / Составные стержни и пластинки

и из уравнений (2 ) и (3) получим

С ^ С Э =0 : Сг = - С ^ ~ (д. Q f ( * t p ) .

Общее решение (1) превратится в

фЬ	ЦгХ
5 = 1ф ~ е	$tn /Их + —J— (L + х ) ,
откуда определятся усилия в поперечных связях
■5" =	е-/lx cos/их — Q •
Если нагрузка	у приложена к нижнему брусу (рис. 104, б),
то:

М° = О; M ^ q L x / 2 - q x z/2\

частное решение

	■*		tyLx	S * ' ( 0 ) =		и
	5 = -					Т ’
общее решение неоднородного уравнения
„	QL		-м *	Q Lx	9 Х>
S * — ^		e	S i n p * + — ------------ Y
Окончательно получим
			~мх		Q
	5	s -	е '	cos/их + -j- •

В обоих случаях заметна значительная концентрация напряже­ ний м над опорами балки.

Вместо рассмотренных двух случаев определениям можно было бы решать задачу об определении давления на грунт балки на упру­ гом ’’винклеровском” основании той же длины, с коэффициентом постели 7 , жесткостью 0,5 5 1Ц,— 0,5£ 2 J£ и нагрузкой 0,5

(рис. 105,а, б).

Решим теперь ту же задачу в предположении, что верхний брус над опорами связан с нижним брусом стойками (рис. 106). При этом на опорах перемещение по направлению поперечных свя­ зей, а следовательно, и s ——Snравны нулю.

Таким образом, граничные условия будут:

5(0) = 0 ;	*5"(0)	0 ;
S(Z .)=0;	S»(l)	0 .

В случае ’’бесконечно длинной” балки получим, найдя произ­ вольные постоянные из этих граничных условий:

	0иL	Рис. 105
		q i
	4	Т
	-■If--.. - н .п т г
		■ТО'
	• •/,	у/у
	L

б)	ч 2( Ь- 9г ) =- &	S L
		4
	ш ж ж ж ш ж ж т ш
	■• у / / ... ) >j >>,;	Г
	L

$ = у / 2 ( е ***cos/нх - 1),

Как и следовало ожидать, усилия	значительно меньше, чем
при отсутствии жестких опорных стоек.
Усилие в опорной стойке при этом

S,(0) = -^/(Z/^)-qrL/ * .

Данная задача эквивалентна решению равномерно загруженной балки на упругом основании, опертой по концам на жесткие шар­ нирные опоры (рис. 107).

68. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ НА УПРУГОПОДАТЛИВЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СВЯЗЯХ И СВЯЗЯХ СДВИГА

Ограничимся рассмотрением центрально сжатого стержня, т.е. стержня, нагруженного лишь центрально приложенными к торцам продольными силами N° , пропорциональными по своей величине жесткостям на сжатие е^ F- брусьев, на которые они действуют. Такая нагрузка вызывает во всех стержнях только постоянные продольные силы АЛ, равные:

ы . - у - е ' Е ' . ь ,

где 8° — одинаковое для всех брусьев относительное удлинение от продоль­ ных сил.

Как поперечные связи, так и связи сдвига при этом остаются ненапряженными.

Предположим теперь, что центры тяжести сечений отдельных брусьев как-то отклонились от линий действия продольных сил Ni на некоторую малую величину yL - у-(х), различную для каждого бруса. Тогда в сечениях этих брусьев возникнут изгибающие мо­

менты	N-	, которые можно рассматривать как внешнюю нагруз­
ку. Определим для этой нагрузки значения свободных членов										g^Q
и /^уравнений (65.9).
Из формулы (65.3) находим
	а.	y.+fi.						°ъ.
	£. j.					г?			Ус+1*
		3L	' г+1					L +1
	V . + 1
где V -			—радиусы инерции поперечных сечений					£-го и		t + 1-го
брусьев.		L		к Со уравнения		(65.8)	находим из формулы
Свободный член
(65.7):
i		^			N C + 1
к .	—------------ и.					Г?	' % * 7 Г		7
10	^ Fi			4	EL+ 1 Fi+1
						L	£+1

Подставляя найденные значения свободных членов в уравнения (65.9), получим:

Т	+#,.т.+д.. 4Т.	+h. .	5*
t L - 1	3 LL I L,L +1 L+1	LtL~1	i - 1

+h..S.

LLL

L

				, +	£ 0			£°Ъ,-
+ h . .		t S.			----- —	У: +			Уi+1,) i	(6 8 1 )
								r 2
l,L + 1			L + 1		Г.	с
					L			L+1
a .				T	+ i \ . r . + £ . T.				+
'<■	L,L-1			L - 1	U L		l (l +1 L+1

+k . .	S	+ k . . S + k . .	S.	— £ -гУ	+ -^Т -У .		). (68.2)
t.L-1	t~1	LL L LtL+1	L +1	Г 2 У1	V.	i + r	4
f				L	/	4-1

В уравнения (l) и (2 ) введены еще rt+ I неизвестные значения ус. Поэтому необходимо написать дополнительно а + I уравнений для определения всех неизвестных. Этими уравнениями могут явить­ ся уравнения изгиба каждого бруса, входящего в состав пакета:

Е .Э .у. = - А/. - S . - S		+ Еа.+ Т	Ъ	N. ц ~.	(68.3)
L LJL	L t	*-*"1 L l L + 1	i	L?t

Систему уравнений ( 1) —(3) можно упростить, если заменить п уравнений (2 ) уравнениями:

S " =	*?.	( у . - у	)	(68.4)
с	ct	*t+fJ*

которые выводятся непосредственно из формул (65.4) и (65.6). Однако в случае их применения взамен уравнений (2) снижается порядок системы и теряется алгебраическая часть общего интегра­ ла, что впрочем, не имеет значения при ряде простых граничных условий, например, при:

у.(0) ~ (1)~ 7^ (О)- Г. (I)-Q.

69.УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОГО СИММЕТРИЧНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ

НА УПРУГОПОДАТЛИВЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СВЯЗЯХ И СВЯЗЯХ СДВИГА

При рассмотрении задачи прочности такого бруса система урав­ нений распалась на два независимых уравнения, одно из которых было уравнением для усилий в связях сдвига в стержне с абсолют­ но жесткими поперечными связями, а другое давало такое распре­ деление усилий s в поперечных связях, какое получается для отпо­ ра грунта при решении задачи о балке на упругом основании. По­ кажем, что и система уравнений устойчивости такого стержня распа­ дается на две независимые группы. Одна из них дает такие значения критической нагрузки и формы потери устойчивости, какие возни­ кают в стержне с абсолютно жесткими поперечными связями, которые при этом остаются ненапряженными, другая же группа уравнений приводит к решению, аналогичному решению задачи устойчивости стержня в упругой среде.

Система уравнений (68.1) — (68.3) для данного случая имеет вид (поскольку а — Ъ —0,5 с , h — 0)

6 °с	( у , *у2) ,
y"/b - Г2 /(EF) + cZ/(ZEJ)hT+
S " / ? = У ,'У г
ЕЗ у" = - S + 0t5c Т + £ ° E F y i ;
£ 3 у " = S + 0 ,5 с Т + £ ° E F y z -

Заменив последние два уравнения их суммой и разностью, получим две независимые системы:

Т" / 4 = [2/(EF)I-CZ/ ( 2EJ)]T+ N cl(2 EF)(y+y2); ]

£ з (У +у, )"= СТ+/VЧУ' +УгУ,

И

s " / 9 = - ( y 2- у,):

£Э ( у г - у , ZS +N( у2 - у , ) .

Здесь Ы заменяет £°EF,

Систему ( 1) можно свести к частному случаю системы (44.3) для симметричного стержня из двух брусьев, если ввести в послед­ нюю вместо у среднее значение прогибов обоих брусьев 0,5 (*/,+

. Поэтому критические силы N кр и формы потери устойчивости здесь можно вычислять по формулам, приведенным в гл. 7, внеся в них соответствующие упрощения. Определенные по этим форму­ лам критические величины дадут, после подстановки их в систему ( 1) и учета соответствующих граничных условий, отличные от нуля значения Т и у1+ у2 . Система (2), вообще .говоря, при этом удов­ летворяется лишь нулевыми решениями: 5 = 0 , 4*— 0. Отсюда заключаем, что У1 — у2 , т.е. прогиб обоих брусьев при этих формах потери устойчивости одинаков, а поперечные связи не напряжены.

Посмотрим, какие формы и условия потери устойчивости дает

система (	2 )	. Возьмем случай простейших однотипных		условий:
при а - 0	и	х= L , S — 0 н уг — у1 — 0. Задаемся формой потери
устойчивости:
5 = A sin ( n j r x/Z,); yz ~ у 1			s in (п 7ГхfL),	(69.3)

удовлетворяющей поставленным граничным условиям. Подставляя уравнения (3) в систему (2) и сокращая на sin (п/Гх(

/ L), получим однородную систему двух уравнений для определе­ ния постоянных А и В . Эта система имеет отличные от нуля реше­

ния только тогда, когда определитель ее равен нулю:
n z7TZ
“ 7 L	At+EJ	n zJTz = 0
2
или
N ^ ^ / ^ + E J n W / L * + 2У = О.
Отсюда
	rtzJTz	Z*l L 2			(69.4)
	L z	t i z J T z		'
	/iz srz			MyL1	(69.5)
	= 2 £ J	Lz		H2JTZ
Для определения наименьшего		значения		Р. возьмем произ-
водную от правой части формулы		(5 )	по	прй] авняем ее нулю:
О F J	41L 2		Q
	-----------—— .Г. -

^

L2

’

*1	ЪЦ!-*4	' ___f-__У	2 1?	(69.6)
f	2 Е З Ж *	Я* Г	H J

Так как ft, может принимать только целые значения , то полу­ ченный по формуле (6 ) результат следует округлить в большую и меньшую стороны до целых чисел; из полученных таким образом двух последовательных целых значений /г и нужно выбрать то, ко­ торое даст наименьшее Ркр.

Подстановка значений л/, определенных по формуле (4), в систе­ му ( 1) дает нулевое решение Т - 0 ъ .у \ +У2 ~ 0 . откуда следует, что связи сдвига остаются ненапряженными и оба бруса выпучива­ ются симметрично в разные стороны от оси симметрии. Как видим, последнее решение принципиально не отличается от известного ре­ шения задачи устойчивости сжатого стержня, лежащего на упругом основании.

70. ПЛАСТИНКА, ПОДКРЕПЛЕННАЯ РЕБРАМИ

Предположим сначала, что ребра, подкрепляющие пластинку, обладают бесконечной жесткостью на кручение. Будем считать так­ же, что центры тяжести сечений ребер располагаются в срединной

плоскости пластинки	(рис.	108). Тогда участки между ребрами
деформируются как	жестко заделанные по двум сторонам
(рис. 109). Получим	схему	составного стержня, в которой сос­

тавляющими стержнями являются ребра, а податливыми поверечными связями —панели пластинки.

Поскольку пластинка прикреплена к ребрам по линиям центров тяжести сечений, то значения а • и ^ в формулах (65.1), (65.2) и последующих следует положить равными нулю. При этом:’

1/(£LF.)+1I(£.f1F.„); д. ._Г - 1/(E. F);

hU ~ hi , i - 1 ~		‘ LU ~ i L , i - l =
=	0 ; k u =i/ (E; V +		1' ( £ U1	>
k V - 4 B ~		k C,i+i = - 1 l< E c. i 3U i y ,
k-o ’ К	/ ( Ei -	V M°U1 /	(	).

Благодаря равенству нулю коэффициентов h/L и i ч система

уравнении (65.5) - (65.8) распадается на дае^незави^мые сис- темы.

□

Рис. 108

Рис. 109

Ti		i		(	1	_	J	_	W
Ъ			+	U ^	+	W	7	.	J	£
E.	P.	T. . -		+	. Ni —			( i ‘ 1		, n ) , (70.1)
		i*1	E; F;		f.	F . f
1+4	L + 4		t-	ь	L+4	£+1

	■	+ { Е Л + E ; , % ; j Sr
			M* ,
	----------- - C	-f -------	c +i	(С=1,2,...,п). (70.2)
			E- 3- .
	Е. D. ° т	E -D-
	t+1 L+1	UC^t	'-L+i L-M

Таким образом, сдвигающие усилия *£• —7 ■f которые действу­ ют в срединной плоскости пластинки, и усилия s - — — S , яв­ ляющиеся для пластинки поперечными силами, находятся здесь независимо одни от других из идентичных систем дифференциаль­

ных уравнений (I) и (2 ).
Коэффициенты			jp. определяются из уравнения изгиба пластинки
между ребрами (рис. 107). Легко получить, что
				>lL =		/ d	3- ,
где <jLi — ширина			плиты между ребрами;				-	цилиндрическая жесткость
t -ой панели плиты.
Запишем уравнение прогибов ребер
Е	L	Э- у ’- -	S .	- S - -	М °	а = 1 , 2 , . . . , п + 1 ) .			(70.3)
		L L	1-1	L	L		'	'

Продифференцировав (3) два раза и использовав соотношения (68.4)

получим систему уравнений для определения прогибов

	.2Г_	, 2	, . . . ,л + l ) i
	( t = 1
где	— поперечная внеш няя нагрузка на £-ое ребро.

Для деформационного расчета ребер в это уравнение следует добавить поперечную нагрузку, вызываемую сжимающими сила­ ми Р£, равную-Р£ у '{. Получим:

£ •J- » ? ж Ъ - , У г - Г <

(70.4)

(L * ££/'■ у Я+1)*

Если все ребра и панели плиты, а также сжимающие силы А оди­ наковы, то вместо системы уравнений (4) получим одно диффе­ ренциально-разностное уравнение

ру" ~*7(У:.1~2У1 *yUi)+%		( 7 0 -5 )
Полагая
<&.=°* С	>Ус- 9 У(*>г\
подставляя в (5) и сокращая на г 1, получим:
E J Y * *	P Y n- Ч ( 1 / г - 2 + г) У	(70.6)

При шарнирном опирании концов ребер

Y (0 )= Y "(0)=: Y ( О = Y " ( I ) - О

(где I —ширина перекрываемого пространства), можно положить для первого члена разложения нагрузки в тригонометрический ряд по синусам

	Y - Y i sin	( J T x /l) .
Тогда, сократив на У1 sin (ж*/1)7 из (6 ), получим:
	Jr**E V j r 2p	-1
		~ T ~ 2 + r >
или г 2- 2 ( 1	+ A )r + 1 = 0,		(70.7)
где
А=-л ‘'ЕЭ1 ( 2 1 1 ,) - З Г		p / , ( 2 4 bZ).
Корнями уравнения (7) будут
rf	- U А ± f A 2 + 2А		(70.8)
Оба корня действительны и положительны, причем корень			боль­
ше, а корень гг меньше единицы.

238

Рис. I l l

где —расстояние между t -ыми I + 1-ым ребром.

Считая пластинку соединенной с ребрами по линиям центров тяжести их сечений, можно не учитывать влияние сдвигающих уси­

лий *t. =7V на прогибы			у с и углы поворота в -. Подставим (2)
и (3) в уравнения ( 1):				1
В*•.а.I	W
	= 8Г	5М *Ч °‘		в3^ вГ 0'Ш Л ^ 1 - 1 ^ 1	(71.4)
Усилия	s t- пропорциональны разности вертикальных перемеще­
ний по	линии	разреза	в	основной системе между	ребрами
(рис. 1 1 2 ).

5-L	(71.5)

После подстановки (5) уравнения (4) принимают вид: