книги / Метрологическая обработка результатов технических измерений

Отдельное попадание в левом нижнем углу мишени — это грубая погрешность (промах);

совокупность случайных погрешностей и постоянной по зна­ чению систематической (смещен прицел);

совокупность случайных погрешностей и переменной система­

тической (в процессе встрельбы прицел	непрерывно	смещается по
вертикали).
Рис.	6.- Смещение характерис­
тик аналогового измерительного
прибора под влиянием аддитив­
ных систематической (а) и слу­
чайной (б) погрешностей:
/ — фактическая		характеристика*

смещенная влево па длину отрезка О—О'; 2 —номинальная характерно-,

тика прибора; Дс — значение систе-

о

матпческой погрешности; ДПр —пре­

дельное значение случайной по-, грешности

Случайная составляющая погрешности характеризует откло­ нение отдельного наблюдения от некоторого центра их группи­

рования, систематическая — смещение	этого центра	группирова­
ния относительно истинного значения	измеряемой	величины.
В зависимости от значения измеряемой величины. По наличию

или отсутствию функциональной связи между погрешностью изме­ рения и значением измеряемой величины различаются два вида составляющих погрешности: аддитивная и мультипликативная.

А д д и т и в н а я (по-лат.— «получаемая путем сложения») погрешность не зависит от значения измеряемой величины. По закономерности проявления аддитивные погрешности могут быть

	систематическими или		случайными.			а д д и ­
	Примером с и с т е м а т и ч е с к о й
	т и в н о й	п о г р е ш н о с т и		является		смеще­
	ние нуля	характеристики		аналогового		изме­
	рительного прибора (рис. 6,а).
	С л у ч а й н а я		а д д и т и в н а я по­
	грешность	(например,	погрешность		от трения		Рис. 7. Схема* ам­
	в опорах	измерительного механизма прибора)
							перметра с шунтом
	может при изменении		измеряемой		величины
	принимать	произвольные,		но не	‘зависящие
	от измеряемой величины значения.				Ее	предельные значения обра­

зуют на характеристике полосу постоянной ширины (рис. 6, б). Мультипликативная погрешность (получаемая путем умноже­

ния) зависит от значения измеряемой величины. Такая погрешность возникает, например, в измерительной схеме (рис. 7) при измене­

нии температуры окружающей среды. Для амперметра		с шунтом,
зная показание прибора	/ А, можно найти полный ток	цепи I по
формуле
/	= / а-(/?а /* ш + О-	(1.13)

Поскольку при изменении температуры окружающей среды сопро­ тивления /?А и /?ш изменяются неодинаково (так как /?А изготов­

лено из меди, а /?ш выполнено из сплава манганина), значение кгэффициента /?д//?ш + 1 изменится, в результате чего измерение тока /

будет производиться с погрешностью, значение которой пропорцио­ нально значению измеряемой величины.

В зависимости измеряемой величины от времени погрешности измерений могут иметь статическую и динамическую составляю­ щие. Статическая составляющая погрешности возникает при ста­ тических измерениях, когда измеряемая величина не изменяется в течение времени, необходимого для отсчета показаний. Динами- ческая составляющая возникает при динамических измерениях, и ее значение зависит от скорости изменения измеряемой величины. Примером динамического измерения является регистрация мгно­ венных значений электрического тока с помощью магнитоэлектри­ ческого осциллографа.

3. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Понятие о случайной величине. Результат отдельного наблю­ дения при многократном прямом измерении какой-либо физиче­ ской величины из-за наличия случайных погрешностей представ­ ляет собой случайную величину.

Случайной в математике называют такую величину, которая в зависимости от случая принимает то или иное численное значе­ ние. Поскольку закономерности в появлении этих значений нет, анализ таких величин может производиться только методами тео­ рии вероятности- и математической статистики. Для характери­ стики случайной величины необходимо знать совокупность возмож­

ных значений		этой величины, а также			вероятности, с которыми
эти значения могут появляться.
Р\
	И\		хпЛх
	X, х2	X'
		а
Рис. 8. Распределение веро­
ятностей дискретной случай­
ной величины (а) и плотности				вероятности непрерывной случайной ве­
личины	(б)
Распределение			вероятностей значений		дискретной случайной ве­
личины.	Для	дискретной		случайной величины наиболее полной

статистической характеристикой является ее распределение вероят­

ностей: указываются возможные значения этой			величины х* и соот­
ветствующие им вероятности Р(.		Расположив вначения х1% х2, ....
хп в порядке возрастания и обозначив вероятности Р±7 Р2, ...»
получим	график распределения	вероятностей	этой	дискретной
величины	(рис. 8,а). Сумма всех	вероятностей	равна	1. Наиболее

вероятное значение дискретной случайной величины называется модой (х' на рис. 8,а).

Закон распределения непрерывной случайной величины. Зна­

чения непрерывной случайной величины могут	отличаться друг
от друга сколь угодно мало, поэтому вероятность	каждого из этих

значении также бесконечно мала, и построить кривую распределен ния вероятностей невозможно. Чтобы выявить распределений вероятностей в этом случае, рассматривают некоторое множество интервалов Ах* в диапазоне возможных значений данной случай­ ной величины 1и подсчитывают частоты р* попадания значений в каждый из этих интервалов. Расположив, как и в предыдущем случае, значения х* в порядке возрастания и обозначив соответ­ ствующие вероятности р/, получим ступенчатую кривую — гисто­ грамму (рис. 8,6). Если взять бесконечно малые интервалы (Ах*-*

0), график	потеряет ступенчатый характер и преобразуется
в плавную кривую, называемую кривой распределения		плотности
вероятности /	(х) для данной непрерывной случайной	величины х

(штриховая линия на рис. 8,6). Уравнение, описывающее эту плав­ ную кривую, называется законом распределения данной непрерыв­ ной случайной величины. Площадь под всей кривой / (х) равна вероятности появления любого из возможных значений х4*, т. е.

равна 1:
С { (х) ах = \ .	(1.14)

Рис. 9. Нормальное распределение плотности вероятности случайной ве­ личины:

/ — ц ^	о, а = 2,6; 2 —д =	0, а = 0,5; 8—
ц = 3,	а => 1
Модой для непрерывной случайной величины		называется

максимальное значение. распределения.

Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Наиболее распространенным для непрерывных случайных величин

является нормальное	распределение	с	плотностью
	1
П х -	" > - т т	е	!0'	( , | 5 >

Здесь е — основание натуральных логарифмов; р и о — параметры распределения.

Нормально распределенные величины часто встречаются в прак­ тике. Случайные погрешности многократных измерений обычно распределены по нормальному закону, даже если законы распре­ деления вероятностей составляющих отличаются от нормального. Кривые нормального распределения (рис. 9) симметричны относи­ тельно ординаты, проходящей через точку х = р, и имеют в этой

точке единственный максимум, равный 1/ (а У 2я) (мода для нор­ мального закона распределения). При р = 0 кривая симметрична относительно оси ординат. Абсциссам р — о и р + а соответствуют точки перегиба кривой; с уменьшением а максимум кривой воз­ растает, и она становится более островершинной.

Нормальное распределение бесконечно большой совокупности непрерывных случайных величин было исследовано К. Ф. Гато­ сом (поэтому нормальное распределение называют еще и «гауссо­ вым»). Использование «распределени-я Гаусса» для обработки ко­ нечных совокупностей случайных величин также возможно, если число их п достаточно велико (л •> 30). В этом случае условно

считают, что наблюдаемые п значений величины X , т. е. хъ ..., хл> представляют собой случайную выборку из воображаемой бес­ конечной генеральной совокупности. Понятие бесконечной генераль­ ной совокупности есть математическая абстракция: генеральной называют совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном комплексе условий. Сущность методов математической статистики состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке объема п ) вынести суждение о свойствах всей совокупности в целом. При большом числе наблюдений, каждое из которых дает случайный результат, взаимно уравновешиваются влияния случайных факторов и прояв­ ляются общие закономерности, которые позволяют описать данную генеральную совокупность в виде некоторых усредненных величин.

В прил.	1 приведены	значения плотности	так	называемого
стандартного	нормального	распределения (при	о =	1) для норми­
рованной величины
	у = ( Х — \1) /О.			(1.16).

Для нахождения значений функции / (я; р,, а) следует таб­ личные значения / (у) разделить на а.

Распределение Стьюдента. В статистике малых выборок (в мик­ ростатистике) большую роль играет другое распределение непре­

	рывных случайных	величин — распределение Стьюдента, плотность
	вероятности которого определяется			выражением
	пи	/е) =	Г ((А+ 0 / 2 )	(	3 ) ---- Г		(1.17)
			У~пк Г (Л/2) \		к )	»

где Г (а) — гамма-функция (интервал Эйлера' второго рода); /т —

величина, характеризующая степень отклонения выборочных ста­ тистических характеристик от генеральных, (с увеличением объема выборки п значение / уменьшается); к — число степеней свободы.

В общем случае число степеней свободы равно числу л значе­ ний случайной величины X , уменьшенному на число связывающих их линейных соотношений. Здесь

		к = п — 1.			(1.18)
	Значение гамма-функции для целого положительного			числа Ь
можно вычислить по формуле
		Г (6) = (Ь — 1)!			(1.19)
	График распределения Стьюдента иапоминаетмто форме нор­
мальное распределение и с увеличением п приближается				к	нему
все	больше (можно	считать, что при л > 30 оба	графика	практи­
чески совпадают).				описа­
ния	Интегральная функция распределения. Другой способ
	свойств совокупности случайных величин — с		помощью		инте­
гральной функции		распределения. Значение этой	функции		Р (х)

при каждом фиксированном х равно вероятности того, что случай­ ная величина X не превысит х, т. е. Р (х) = Р {X < х].

Интегральная функция нормального распределения (рис. 10,а) описывается формулой1

1 % (2-**>а

и изменяется от 0 до 1 при изменении л; от — оо до оо. Значения
•Р (х;, р, а) для конкретных х, р и а можно	вычислить по таб­
лицам стандартной функции — так называемого	интеграла Лап­

ласа Ф (у), приведенным в прил. 2; едесь у соответствует выраже­

нию	(1.16).	Р (х; р,, а)	вычисляется			по формуле
	Функция*
		Р (х; р,, а)	=	Ф [(х — р) /о)			+ 0,5.	(1.21)
ний	Таблица	Ф (у) составлена только для					положительных значе­
	у %для отрицательных		следует		воспользоваться			соотношением
		Ф (-») = -Ф (У).						(Ь22)
вать	Изменением шкалы по			оси	ординат		можно	линеаризиро­
	график	интегральной	функции			нормального		распределения

а

б

Рис. 10. Интегральная функция нормального

распреде­

ления (а) и ее линеаризованный

график (б)

(рис. 10,6). Систему координат с такой шкалой называют

вероят­

ностной

бумагой, с ее

помощью

можно ориентировочно

судить

о том, распределена ли

некоторая конечная совокупность значе­

ний Х( по нормальному закону.

Квантили кривой распределения и уровни значимости. На

графике нормального распределения / (х;

р, а) (рис.

11,а)

значению

функции*/7 (х; р, а) для

некоторого х =

х^ соответствует

площадь

заштрихованного участка, отображающая вероятность того,

что

случайная величина X находится в

диапазоне от — оо до х ^

Такая

вероятность

называется односторонней.

рас­

Если

заштрихованная

площадь

равна у % от всей площади,

положенной между кривой / (х; р,

а) и осью абсцисс, т. е.

Р {X <

< ху} =

у, .то

значение

ху называют

у %*ной квантилыо

кривой

распределения.

Например,

пусть на

рис.

11,а площадь заштрихован­

ного участка

составляет

10 %

от общей площади под кривой

} (х;

р, о). Тогда

Ху есть 10%-ная

квантиль:

х10<уо = — 1,2816.

Индекс квантили выражает вероятность у того, что случайная величина X це превышает ее значения ху. (Таблица квантилей нор­

мального распределения дана в прил. 3).

На рис. 11,6 заштрихованная площадь отображает вероятность того, что случайная величина X не находится в диапазоне от —оо

до ху, т. е. превышает значение х , будучи расположена между ху

и оо: Р {Х > х у} = 1 — у.

Величина

а = 1 — у

(1.23)

в общем случае называется уровнем значимости. Подуровнем зна­ чимости какой-либо статистической гипотезы понимают наиболь-

Рис. 11. у %-ная квантиль (односторонняя вероятность) (а) и одно­ сторонний уровень значимости (б)

шую вероятность а , с которой эта гипотеза может дать ошибочный результат. Уровнем значимости характеризуют критическую об­ ласть; если найденная оценка оказывается в критической области, данная гипотеза не принимается. Уровень значимости, вычислен­ ный по односторонней вероятности, также является односто­ ронним.

Рис. 12. Вероятность попадания в интервал между хг и х2 (двусто­ ронняя вероятность) (а) и двусторонний уровень значимости (б)

В общем случае для					нормально распределенной				с параметрами
(.1 и о случайной величины X можно вычислить вероятность ее
попадания в		некоторый			заданный		интервал	между х1		и х2:
	Р { х г < Х < х 2} = Р (х2-,						р, а) — Р (*!; р,		ст) =
Эта	вероятность			отображена			заштрихованной		площадью на
рис. 12,а; вероятность попадания в, заданный интервал										называется
двусторонней.					интервала		при дгх =	р. — е и		дс2 = (.1 -Ь в
Для	симметричного
вычисления		по	формуле		(1.24)	упрощаются:
	Р №	-	в) <	X	< (ц +	е)} = ф (г) =		2Ф (г).		(1.25)

		г = е/а.		(1,26)
Определим	вероятность	попадания	нормально	распределенной
случайной величины X в интервал (.1 ±			е для различных значений г
(табл. 1). Это	означает, что	случайная	величина X	не выходит за

пределы \1 ± с с вероятностью 68,3 %, в интервале ц. ±* 2а нахо­

дится

95,5 % значений

случайной

величины;

в

интервале

ц ±

± Зо — 99,7 %.

интеграла

При малых выборках для оценки достоверности

вероятности используется функция 5 (г, л),

вытекающая

из

рас­

пределения

Стыодента

и зависящая

не только

от г,

но

и от объема

выборки п (табл. 2).

п =

5

случайная величина

X

не выводит

за

Так,

например,

при

пределы

р, ± 2а

с

вероятностью только

88,4 %;

при

л =

10

Таблица 1

Таблица 2

’ 2

■'

1

2

3

5 (2,

п) при

значениях п

2

10

20

'Иг)

0,683

0,955

ûûП-7

5

и,уу/

0,500

0,626

0,656

0,670

•

1

эта

вероятность

2

0,705

0,884

0,924

0,940

увеличивается

3

0,795

0.960

0,984

0,992

до

92,4

непопадания

Вероятность

между

хх и

х2 представляет

случайной

величины

X

в'

интервал

собой

двусторонний

уровень

значимости:

а

=

1 -

Р {Хг <

X

<

х2].

(1.27)

Здесь значение

а

соответствует

суммарной

площади

заштрихован­

ных

участков на рис. 12,6.

ут

и у2.

связанные

Если

известны односторонние вероятности

соответственно

с

каждым

из • фиксированных

значений

хг

и

ха»

можно вычислить значение двусторонней вероятности у.

Допустим,

односторонняя вероятность того, что

X

не

превышает

хх> равна

Ух, тогда .вероятность нахождения X

в диапазоне от хх до оэ

равна

1 — У].

Односторонняя

вероятность

нахождения

X

в

пределах

от — оо до х2 равна

у2.

При

условии

у2 >

?1 > 0,5

можно

вычис­

лить двустороннюю вероятность у попадания X

в

интервал

между

хг

и

х2:

У = Ъ + Уг — 1-

(1-28)

Если известны двусторонняя вероятность у, а

у]

=

у2.

то

значения

этих

односторонних

вероятностей

определяются по

фор­

муле

VI =

Уг -

(1 +

V) /2.

(1.29)

Моменты распределения. Для практических целей вместо пол­ ного статистического описания свойств генеральной совокупности случайных величин х с помощью закона их распределения / (х) или интегральной функции распределения Р (х) часто ограничи­ ваются только указанием некоторых частных характеристик этой совокупности — моментов распределения (начальных и централь­ ных).

м о м е н т т3 характеризует отклонение кривд»!	распределения
от симметричной. Асимметрией называют величину
А (л:) = тэ (х )/У т \ (*).	(1.34)

Для симметричного распределения А (х) = 0. При А (х) > 0 асимметрия правосторонняя (правая ветвь более^ вытянута, спус­ кается от вершины менее круто, чем левая), при А (х) < 0 — левосторонняя (правая ветвь более крутая, а левая — пологая, удлиненная).

Ч е т в е р т ы й ц е н т р а л ь н ы й м о м е н т харак­ теризует островершинность кривой распределения. Величина

	Е (х) = т4 (х) !т\ (х) — 3	(1.35)
называется	эксцессом. Поскольку для нормального распределения
ш4 (х) /т*	(х) = 3, то эксцесс отображает	островершинность по

сравнению с кривой нормального распределения: при Е (х) > 0 данная кривая более островершиииа, чем нормальная, а при Е (х) < < 0 — менее.

Вычисления ц& производятся по формуле (1.30). Значения т&

находят по формулам
т2 =	Ц2 — Ц*;		(1-36)
Щ =	Из — 3)41*2 +	2ц®;	(1.37)
Щ = Р-4 — 4)4)1з +		6)1®Ц2 — Зц*.	(1.38)
Статистические оценки выборочных параметров			распределе­

ния. Способы статистического описания свойств случайных вели­

чин относятся к генеральной, бесконечной			совокупности их. По­
скольку на практике число п наблюдаемых значений				величины х
ограничено, по данным такой случайной			выборки хъ	х2,	хп
определить истинные	значения неизвестных		параметров	распреде­
ления М (х) и о (х)	невозможно.	Вместо них определяются			только
их статистические оценки М (х)		и о (х),	которые, являясь		функ­

циями членов выборки, отклоняются от истинных значений соот­ ветствующих параметров. Статистическая оценка называется то- чечной, если ее значение можно представить геометрически в виде точки на координатной оси, по которой откладываются значения однородной случайной величины.

По степени совершенства статистические оценки характери­ зуются состоятельностью, несмещенностью и эффективностью. Со-

гтоятельная оценка при увеличении объема выборки приближается

кистинному значению величины. Несмещенной называют оценку, математическое ожидание которой равно истинному значению величины. Несмещенную состоятельную оценку часто удается получить из смещенной состоятельной оценки, умножая последнюю на некоторую функцию от п.

Эффективная оценка обладает минимальной дисперсией по сравнению с другими оценками.

Среднее арифметическое выборки. Оценкой истинного значения математического ожидания случайной величины х является сред­ нее арифметическое выборки

п

М(х) « х = ^ */.

(1.39)

1=1