книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Уравнения Максвелла:

V • Е = — ,	V-B = 0,
®0
у Х Е —	сЧ Х в = ± + § .

И их решения:

Б	Т7	<?А
E =_V<p
B = V X A ,
ф(1 , t) = \		Р(2, / — Г|?/с)
		4л8оГ[2

А(1. /)= 5 J (2 , t- fn lc )

4ne0cV|2

f 4. Поля колеблющегося диполя

2»

:

Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного заряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать нелегко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, ни в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лекций) *. Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост. (Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы огра­ ничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на несколь­ ких примерах, что (21.15) и (21.16) приводят к тем же ре­ зультатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нерелятивистским, (2 1.1 ) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 90%' всего того, что было сказано о явлении света.)

Рассмотрим такую ситуацию, когда имеется сгусток заря­ дов, каким-то образом перемещающийся в небольшой обла­ сти; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого

* Формула была выведена Р. Фейнманом в 1950 г. и приводится иногда в лекциях как удобный способ расчета синхротронного излучения.

151

ней части сгустка совсем не в тот момент, когда в нижней, а немного в другое время. Полагая гц — г в j(f — г^/с), мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время (t — г/с). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость v заряда много меньше с. Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены j на ру интеграл (21.17) превращается в

T W G 2- ‘ - 7 ) dv--

Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот инте­ грал просто равен v/r, умноженному на общий заряд q. Но q\ — это как раз др/дt (скорость изменения дипольного мо­ мента), только надо ее, конечно, определять в более раннее

время (/ — r/с). Запишем эту величину так: р(/ —г/с). Итак, мы получаем для векторного потенциала

* ('■ 0 - 4 , Ь ■ <2М8>

Мы узнали, что ток в меняющемся диполе создает вектор­ ный потенциал в форме сферических волн, источник которых

обладает силой р/4яеос2.

Теперь из В == V X А можно получить магнитное поле. По­

скольку р направлен по оси г, у А есть только г-компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Зна­

чит, Вх = dAi/dy и Ву = —дАг/дх.				Поглядим сперва на Вх:
Вх	д А г ______ 1		д	р ( ( — г/с)	(21.19)
	ду	4я£ис*	ду

Чтобы продифференцировать, вспомним,что г = Ух2 + у2+ г2, так что

		__1__		(21.20)
	4пеас-	4пъ0сг г	ду
	Но мы помним, что дг/ду =	у/г\ значит, первое слагаемое даст
	1	у р (* - г/с)		(21.21)
	4яеоС2	г5

что убывает как 1 /г2, т. е. как поле статического диполя (по­ тому что в данном направлении у/г постоянно).

Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится

<2 1 - 2 2 >

где р — просто вторая производная р по /. Вот это-то полу­ чающееся от дифференцирования числителя слагаемое и от­ ветственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убы­

153

вающее на расстоянии как 1 /г, во-вторых, зависит от ускорен ния заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (2 1.Г), описывающую световое из­ лучение.

Явление это настолько интересно и важно, что стоит не­ много подробнее разобраться в том, откуда берется это «ра­ диационное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от т как 1/г и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая полу­ чить поле, дифференцируем по пространственным координа­ там, то не получаем просто поля вида 1/г2 (конечно, с соответ­ ствующей временной задержкой)?

А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колеба­ тельное движение вверх и вниз. Тогда

р = рг = p0s'umt.

и

.	I	(йРо COS Ш (f — г/с)
Л г ~	4яе0с-*	г

Если начертить график зависимости Атот г в каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Ампли­ туда в пиках убывает как 1 /г, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида 1/г. Пространственные производные в формуле пропор­ циональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встре­ чаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1 /г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пи­ ках пропорциональны амплитуде волны, меняющейся как 1 /г, Тем самым объясняется степень спадания радиационного слагаемого с расстоянием.

Все это получается оттого, что временное вариации в источнике превращаются в пространственные вариации, когда

Ф и г . 21.3. Зависимость ве­ личины. А от г в момент t для сферической волны от колеблющегося диполя.

волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.

Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты маг­ нитного поля. Для Вх мы получили (2 1.2 1) и (2 1.2 2). Поэтому

Вх	1	Г	y p ( t - r / c )		yp(t-rle) 1		(21.Г)
	4яе5с* L		г3		сг2	Г
С помощью точно таких же выкладок мы придем к
о __	1	X x p j t — г/с)		,	хр ( t — г/с) 1
и	4явос1L		г3	'	сг*	J*

И все это можно объединить в одну красивую векторную фор­ мулу:

I [р + (г/с) рЬ -г/сХ г

(21.23)

4яе0с2 г3

А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших уда­ лениях (когда г велико) следует принимать в расчет только р.

Направление	В дается вектором р X г. перпендикулярным и
к радиусу г,	и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем,

что получилось бы из формулы (2 1.1 ').

Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что происходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока jdV привносит в магнит­ ное поле следующий вклад:

M = - ^ 4 LdV-

(2|-24>

Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое
слагаемое в	(21.23), если только вспомнить, что р —это ток.
Но разница	все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в

момент	( t — r/с), а в (21.24) этого нет. На самом деле,
однако,	(21.24) для малых г все еще годится, потому что вто­

рое слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект за­ паздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых г к результату, очень близкому к (21.24).

В этом можно убедиться следующим образом. Когда г мало, (t — r/с) не очень отличается от /, и в (21.23) скобки

Ф и г. 21.4. Поля излучения В и £ колеблющегося диполя.

можно разложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

р (/ - 7 ) = р (0 —“ р (0 + и т. д.

и в-том же порядке по г/с

Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р (/) плюс члены порядка (г/с)я и выше [например, Ъ(г/с)гр]. Эти члены при достаточно ма­

лых г (малых настолько, что за время r/с ток р заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на

.те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо бо­ лее похожим на них, чем на поля теории с мгновенным дей­ ствием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, по­ тому что временное запаздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1 /г — к эффек­ ту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (2 1.1 0 . Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источни­ ков, где возникает распространяющаяся волна, Е перпенди­ кулярно к В (и к г), как на фиг. 21.4, и что сВ — Е. Значит,

Е пропорционально ускорению р, как и предсказывалось фор­ мулой (2 1.1 ').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая полу­ чить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли мало­ заметным изменением г в члене с запаздыванием. Для элект­ ростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы 1 /г, умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение че­ ресчур грубо. Надо обратиться к .высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших прибли­ жений, можно поступить иначе--определить скалярный по­ тенциал из равенства (2 1.6 ), используя уже найденное значе­ ние векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна. дАг/дг, поскольку Ах и Av тождественно равны

15в

нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем

*-а=т^ И ' - т)ш + ;£ к <-т)ь

	■„	1	Г	гР 0 — г/с)	z p (t - r lc )	1
		4ле0сг L		г3	ст1	J*
Или в векторных обозначениях
v » —		1	IP + W PIt-ric'*
А “	4яе0е1			л3
Из равенства (21.6)	получается уравнение для <р:
дф ____1		[р + (г/с) р](- г/е-г
dt	4яе0			г3

Интегрирование по' / просто убирает надо всеми р по одной точке:

I	(Р + (г/с) p]f_ ,/cT	(21.25)
ф(г, 0 = ,4яео	г3

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложен' ному статическому полю, которое, конечно, может существо­ вать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.)

Теперь мы можем из

E = - V q > - £

найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и' прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что р (t — r/c) и его производные по времени зависят от х, у и г через запаз­ дывание г/с] мы получаем

E (f. ' ) = - d j r [ p - - 3 - ^ +
+ - Н - р ( / - т ) Х г } Х г]'	(21.26)
где
Р' — Р (< — 7 ) + -J Р(< - ~) •	(21.27)

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется про* сто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р* э (21.26) при малых г дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда г велико, то член

с р преобладает над остальными, и электрическое поле про-

157

порцноиаЛьно ускорению зарядов в направлении поперек г и

само направлено вдоль проекции р на плоскость, перпендику­ лярную к г.

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (2 1.17). Конечно, эта формула — более об­ щая; она годится для любого движения, а не только для ма­ лозаметных движений, для которых запаздывание r/с в пра­ дедах всего источника можно считать постоянным [как(21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь не­ которых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с по­ следней частью выражения (21.26). Мы можем теперь пе­ рейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].

§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта

Впредыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вы­ числении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы за­ ново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, дви­ жущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской ско­

ростью). Как только мы получим этот результат, у нас в ру­ ках окажутся электромагнитные свойства электрических за­ рядов во всей их полноте. Даже формулу (21.17) можно бу­ дет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, за­ паситесь терпением!

Попробуем подсчитать в точке (xi,^j, zj) скалярный по­ тенциал ф(1 ), создаваемый точечным зарядом .(вроде элект­ рона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «то­ чечным» зарядом подразумевается очень маленький заря­ женный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(x,y,z). Потенциал q> мо­ жно найти из (21.15):

=

(21.28)

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают),что ответ состоит в том, что интеграл от р по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

ф(1 . 0 “ 7 — г (неверно).

4ле0 г |2

158

Ф иг. 21.5. «Гочечный» заряд (рассматриваемый как неволь- шов распределение зарядсв в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (/).

Через г'\2 здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (/), измеренный в более раннее время (t—rnjc). Эта формула ошибочна.

Правильный ответ такой:
Ф ( 1 , 0	=	1 ч	1	(21.29)
		4ле0 Г12 1 ~ v r ' l c
где iv — компонента	скорости		заряда,	параллельная г12,
т. е. направленная к точке		(/). Сейчас я объясню, почему эго

так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (/) со ско­ ростью о (фиг. 21.5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше г12 [расстояния от центра заряда до точ­ ки (/)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

(21.30)

i 1

где ^ — расстояние от точки (1) до i-ro элемента объему ДУ,-, а р,-— плотность заряда в ДУ,- в момент /,==(/— г^с). По­ скольку все г,- а, удобно будет выбрать все ДГ,- в виде тон­ ких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к Г|2 (фиг. 2 1.6).

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема AVi некоторой толщины до, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как по­ казано на фиг. 2 1.7, 0. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема ДУ4 надо брать р в свой

Фиг. 21.6. Элемент объема ДVi, используемый для вычисления по­ тенциалов.

159

Ф и г . 21.7. Интегрирование р (/ — r'/c) dV для движущегося заряда.

момент U= (/ — Tile). Но раз заряд движется, то для каж­ дого элемента объема Д К* он окажется в другом месте1

Начнем, скажем, с элемента объема ) на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент t\ — (t — rjc) «задняя» грань заряда пришлась на ДУ] (фиг. 21.7,6). Тогда, вычисляя ргД^г, нужно взять положение заряда в несколько более позднее время h — (/ — Гг!с) и заряд к этому времени сме­ стится в положение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с ДУз, ДИ4 и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

160