книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6
.pdfФнг. 19. |
Размерная |
зависимость отношения' удельных сопротивлений г = |
= Р295/Р1.2. |
деленного |
на толщину d, для пленок алюминия [141]. |
1 —моиокрпсталлнческне пленки; 2 — поликристаллнческие пленки.
# AI59 на полированном КВг; О А159 на сколотом КВг; Л AI69 на полированном КВг.
ные сопротивления монокристаллических пленок были ниже, чем у поликристаллических. Максимальная величина отношения удельных сопротивлений ргэз/р^г составляла 230 у монокристал лических пленок и 90 у поликристаллических. Поскольку отно шения удельных сопротивлений так велики, можно воспользо ваться формулой Фукса в приближении малых k [формула (15)],
как показано на фиг. 191).
Прямые линии для монокристаллических и поликристалли ческих пленок пересекают ось абсцисс в одной и той же точке; этой точке пересечения соответствует объемная длина свобод ного пробега электронов, равная 17,54 мкм как для монокри сталлических, так и для поликристаллических пленок. Этот результат вызывает некоторое удивление, так как он означает, что границы зерен в поликристаллических пленках не рассеи вают электроны проводимости2). По наклону прямых можно определить параметр зеркальности р. Если для поликристалли ческих пленок положить р = 0, то для монокристаллических
') Автор работы [141а] выразил, однако, сомнение в применимости при ближения малых к к этим данным.
2) Венсберг и Джозефе [142] также не обнаружили сколько-нибудь за метного влияния границ зерен на низкотемпературное сопротивление галлиевых проволок. Другие исследователи, однако, наблюдали вклад границ зерен в сопротивление как тонких поликристаллических пленок [143, 144]- так И массивных поликристаллов [145, 146].
пленок р оказывается равным 0,42, а |
величина |
ро/ = |
11,5 X |
X Ю-12 Ом • см2. Это значение довольно |
велико, но |
все |
же на |
ходится в разумном согласии с результатами для катаных алю миниевых фольг. Если взять для поликристаллических пленок большее значение р, то величина ро/ будет еще больше.
Несколько противоположный результат для поликристалли ческих пленок алюминия был получен Маядасом и сотр. [143, 144, 147]. Пленки наносили на нагретые и ненагретые некри сталлические подложки и измеряли сопротивление при комнат ной температуре и при 4,2 К. Полученные результаты нельзя согласовать с теорией Фукса, выбрав одно значение параметра зеркальности р и объемного удельного сопротивления р0, их
молено интерпретировать, лишь предполагая, что ро убывает с ростом толщины. Помимо этого, при толщине около 4000 А наблюдалось изменение текстуры, приводящее к заметному раз рыву на кривой зависимости удельного сопротивления от тол щины. Поскольку чистота пленки с толщиной не меняется, а размеры зерен, как следует из экспериментов, при уменьшении толщины убывают, можно сделать вывод, что рассеяние на гра ницах зерен дает значительный вклад в ту часть сопротивления, которая зависит от размеров. Эти результаты указывают на необходимость быть осторожным при интерпретации данных по сопротивлению поликристаллических пленок.
Был проведен также ряд измерений размерного эффекта на индиевых пленках и фольгах. Гейд и Уайдер [148], пользуясь индиевыми фольгами, полученными холодной прокаткой, обна ружили хорошее согласие с формулой Фукса для диффузного
рассеяния на поверхности. |
Наилучшее совпадение данных |
для |
0 К (полученных путем |
экстраполяции) наблюдалось |
при |
р01— 16-10-12 Ом-см2. Форсволл и Холвех [149] также исполь
зовали холоднокатаные индиевые фольги и получили значение ро/= 14• 10-12 Ом-см2 при 1,4 и 4,2 К. По данным Котти [85], проводившего измерения на одном образце (на холоднокатаной индиевой фольге), значения ро/ составляли 12,7; 13,4 и 13,9 X X 10-12 Ом-см-2 при температурах соответственно 2; 3,4 и 4,2К. Как и в случае алюминиевых фольг, эти значения больше тех, которые получаются при изучении аномального скин-эффекта (ро/ = 5,8-10-12 Ом-см2 [150]). Токсен [151] проводил измерения при низких температурах на пленках индия, приготовленных вакуумным напылением на кварцевые подложки. Изменение остаточного удельного сопротивления с толщиной согласуется с теорией Фукса, если принять объемную длину свободного про бега электрона / равной 15,2 мкм, а произведение р0/ равным 20-10-12 Ом-см2.
Таким образом, эксперименты показывают, что в случае индия и алюминия ро/ для напыленных пленок больше, чем для
катаных фолы, и что значения р0/ как для пленок, так и для фольг превышают значения, полученные путем измерения ано мального скин-эффекта. К этому экспериментальному факту мы еще вернемся в разд. III, 5, б.
До сих пор обсуждались результаты изучения размерных эффектов в простых металлах, к которым применима теория Фукса. Была также исследована размерная зависимость удель ного сопротивления переходных металлов [126,152— 161]. Интер претацию результатов часто затрудняют эффекты загрязнения, обусловленные химической активностью металлов, и структур ные изменения, зависящие от толщины пленки. Однако даже при отсутствии этих эффектов остается неясным, можно ли при менять теорию Фукса для анализа размерных эффектов в та ких металлах.
г. Пленки полуметаллов. В пленках полуметаллов наблю даются размерные эффекты двух типов: классические, при ко торых с толщиной пленки сравнима длина свободного пробега электрона, и квантовые, при которых с толщиной сравнима дебройлевская длина волны электрона. В этом разделе мы рас смотрим классические размерные эффекты, а обсуждение квантовых эффектов отложим до разд. IV.
Размерную зависимость электропроводности монокристал лов висмута впервые изучали Фридман и Кёниг [162]. Измере ния проводились при 4,2 К на монокристаллических пластин ках, полученных электрополировкой образцов, первоначальная толщина которых составляла 3 мм. Использовалось два кри сталла, тригональные оси которых были перпендикулярны на правлению тока и параллельны плоскости пленки; бинарная ось была параллельна току в одном кристалле и повернута на 12° от поверхности в другом кристалле. Отношение сопро тивлений Rm/Rifi измерялось для двух кристаллографических
ориентаций; было найдено, что при толщинах менее 1 мм оно приближается к постоянному значению. Отношение проводи мостей, соответствующих предельным случаям тонких и толстых пленок, хорошо согласуется с теорией Прайса [66]. Это согласие служит веским доказательством того, что в висмуте рассеяние электронов поверхностью является чисто зеркальным. Как и следовало ожидать, при направлении тока, перпендикулярном тригональной оси, проводимость пленок в отличие от объемной проводимости была анизотропной. Кроме того, в работе [162] был получен неожиданный результат: химическое травление или шлифовка поверхности образца не изменяли зеркального ха рактера рассеяния электронов на поверхности1).
1) Позднее, однако, Фридман обнаружил, что пескоструйная обработка поверхности монокристалла висмута приводит к повышению доли диффузного отражения [163].
Обри и др. [164] также изучали размерную зависимость про водимости монокристаллических пластин висмута с тригональной осью, перпендикулярной направлению тока. Измерения тоже проводились при 4,2 К, но использовался клиновидный образец, толщина которого менялась от 0,5 до 5 мм. Резуль таты этих измерений показаны на фиг. 20 вместе с данными Фридмана и Кёнига для той же ориентации (только биссекторная и тригональная оси переставлены местами). Формы обеих кривых очень похожи, в обоих случаях имеет место насыщение проводимости при малых значениях толщины. Однако отноше ние проводимости тонкой пленки к объемной проводимости оказывается гораздо меньшим, чем следует из теории Прайса. Обри и сотр. интерпретируют большое уменьшение проводимо сти с ростом толщины как возможное следствие угловой зави симости параметра зеркальности (ср. разд. 11,4). Теоретиче ские кривые, рассчитанные на основе этой модели, показаны на фиг. 4; как видно, при малых толщинах происходит насыще ние проводимости. Однако весьма трудно объяснить при по мощи рассматриваемой модели оба набора данных на фиг. 20.
Размерная зависимость проводимости монокристалличе ских пластин висмута изучалась также Гарсиа и Као [165]. Их образцы имели толщину от 0,04 до 3,1 мм и ту же кристалло графическую ориентацию, что и у Обри и сотр. [164]. Резуль-
Ф и г. 20. Размерная зависимость отношения сопротивлений Rsoo/Ru для пластин висмута.
Левая шкала на оси ординат относится к работе Обри и др. [164], правая— ус работе Фридмана н Кёнига [162].
400*
N
200-
J________ |________ |________1________ L------
/ |
2 |
3 |
d, мм
Фиг. 21. Размерная зависимость отношения удельных сопротивлений рзоо/рзл для пластин висмута [165].
таты представлены на фиг. 21. Наблюдается насыщение прово димости для некоторой промежуточной области толщин; далее, для толщин менее 0,8 мм при уменьшении толщины происхо дит непрерывное понижение проводимости без признаков но вого насыщения. Это второе уменьшение проводимости наблю далось недавно Обри и Криси [165а], которые приписывают это явление обычному размерному эффекту, связанному с длиной свободного пробега, тогда как уменьшение проводимости при больших толщинах вызвано рассеянием фононов на границах. Такое рассеяние должно приводить к уменьшению, вклада, вно симого в проводимость образца увлечением электронов фоно нами [1656].
Классические размерные эффекты можно также наблюдать в тонких пленках полуметаллов, когда длина свободного про бега электронов сильно уменьшается по сравнению с объемным значением [166, 167]. Изучение таких эффектов, однако, сильно усложняется из-за квантовых размерных эффектов (см. разд. IV), что делает их интерпретацию довольно трудной.
3.ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ТОНКИМИ ПРОВОЛОКАМИ
Вэтом разделе будет рассматриваться зависимость удель ного сопротивления тонких проволок и нитевидных кристаллов от толщины. Хотя размерным эффектам в тонких проволоках уделялось меньше внимания, чем аналогичным эффектам в пленках, тем не менее этому вопросу посвящено значительное
число работ. Теория размерных эффектов в проволоках была изложена в разд. 11,3. На фиг. 3 показана зависимость удель ного сопротивления от k — djl (d — диаметр проволоки, / —
длина свободного пробега электрона), построенная по точной формуле Дингла [50] для полностью диффузного рассеяния. Простая формула Нордгейма (23) для удельного сопротивле ния, также представленная на фиг. 3, отличается от формулы Дингла менее чем на 5% при всех значениях k. Поэтому ре
зультаты экспериментов чаще всего сравнивают с формулой Нордгейма и строят график зависимости удельного сопротивле ния от 1jd. По отрезку, отсекаемому экспериментальной кривой
на оси ординат, можно определить объемное удельное сопротив ление ро, а по наклону этой кривой — величину ро/. Хотя ре зультаты точного и приближенного расчета различаются не более чем на 5%, ошибка в определении роI может быть го
раздо больше и поэтому формулой Нордгейма следует пользо ваться с осторожностью. Помимо этого, ошибочное значение р0/ может получиться из-за частично зеркального отражения в проволоках. Следуя Александрову [168], мы рассмотрим сна чала металлы с изотропной объемной проводимостью, а затем с анизотропной. Сравнение и обсуждение результатов для про волок и пленок проводятся в разд. III, 5, б.
а. Изотропные металлы. В противовес обилию эксперимен тальных данных для пленок щелочных и благородных метал лов относительно мало экспериментов посвящено изучению раз мерных эффектов в проволоках этих металлов. Размерная зависимость удельного сопротивления поликристаллических нат риевых проволок изучалась Макдональдом и Саргинсоиом [13] и Уайтом и Вудсом [7], а поликристаллических рубидиевых про волок— Майером и Шмидером [169, 113]. В работах [7, 13] содержатся указания на частично зеркальный характер отра жения, однако данных для однозначного определения пара метра зеркальности р в обеих работах недостаточно. Резуль
таты для рубидия согласуются с предположением о диффузном рассеянии электронов на поверхности.
Эксперименты на нитевидных монокристаллах меди при 4,2 К проводились Исаевой [97]. Для наиболее чистых кристаллов она получила для параметра зеркальности и длины свободного про бега значения р = 0,6 и I = 34 мкм. Ввиду кристаллографиче
ской огранки поверхности нитевидных монокристаллов высокая степень зеркальности при отражении неудивительна; существо вание частично диффузного отражения можно объяснить окис лением поверхности.
Монтариол и Рейх [170], Александров [168] и Ван Зитвельд и Басс [82] проводили измерение размерного эффекта на алю миниевых проволоках. Монтариол и Рейх получали проволоки
малого диаметра химической обработкой и волочением и при шли к выводу, что результаты не зависят от метода приготов ления проволоки. Их данные были представлены в виде функ ции от 1jd. и сравнивались с формулой Нордгейма и с другим
выражением, лучше аппроксимирующим формулу Дингла. Зна чения объемного удельного сопротивления в- этих двух случаях были близки, но величина р01 отличалась на 40%. Сравнение с более точной формулой дает для наиболее чистых образцов при 4,2 К р0/ = 8- Ю"|20м-см2. (Объемное удельное сопротив ление р0 наиболее чистого материала соответствует отношению сопротивлений р2эз/р4,2= 22 600.) Для менее чистого алюминия
при 4,2 К значение р<>/ составляло 17,2- Ю'|20м-см2, а для чис того алюминия при 20,4К оно было равно 13-10-12Ом-см2. Александров изучал размерную зависимость удельного сопро тивления монокристаллических алюминиевых проволок, сечение которых уменьшалось путем химического травления. Используя формулу Нордгейма, он получил для ро/ значения 5,5; 7,7 и 9,35-10-12 Ом-см2 при температуре соответственно 4,2; 14 и 20.4 К, что свидетельствует о возрастании ро/ с температурой. Ван Зитвельд и Басс, также пользуясь формулой Нордгейма, получили р„/ = 6,73- Ю"120м-см2 при ОК (использовались экс траполированные значения сопротивления).
Совпадение между тремя указанными наборами эксперимен тальных данных весьма удовлетворительное, значения роI хо
рошо согласуются с приведенными выше значениями для тон ких пленок, полученными при измерении размерного эффекта. Наблюдаемое увеличение ро/ при повышении температуры н концентрации примесей представляет отклонение от правила Маттиссена (ср. разд. III,4 ,б).
Александров [168] измерял также удельное сопротивление свинцовых и индиевых проволок при низких температурах1). Удельное сопротивление свинцовых проволок измерялось при 4,2 К в магнитное поле 640 Э (для предотвращения сверхпрово
димости) и представлялось в виде функции |
от l/d. Сравнение |
результатов с формулой Нордгейма дает ро/ = |
16,7- 10'12Ом-см2, |
что несколько превышает значение, полученное Риделем [171]. При 20,4 К значение р0/ было меньше и равнялось 10,2 X X Ю~12 Ом-см2. Аналогично были представлены данные для ин дия, при этом каких-либо изменений величины р01 в области от
3.4 до 4,2 К не обнаружено. При 4,2 К для проволок, полученных из различных исходных материалов, значения р0/ составляют от 13,5 до 24,7-10-12 Ом -см2.
‘) Ввиду слабой анизотропии индия ( P i/P |= 1.05 при 273 К) мы будем в дальнейшем считать его изотропным.
Размерная зависимость удельного сопротивления индиевых проволок изучалась и другими исследователями. Результаты Блатта и др. [172] приведены на фиг. 22. Индиевые проволоки изготовляли путем волочения через алмазные фильеры, при этом диаметр проволоки изменялся в довольно широких преде лах— от 0,016 до 0,64 мм. Экспериментальные точки для 4,2 К
Фиг. |
22. Удельное сопро |
|||
тивление |
индиевых |
прово |
||
лок при 0 |
и 4,2 К в зависи |
|||
мости |
от |
обратной |
вели |
|
чины |
диаметра |
проволо |
||
ки [172]. |
|
|
|
|
Сплошными линиями |
показаны |
|||
результаты |
подгонки |
|
формулы |
|
Нордгейма |
(23) под эксперимен |
|||
тальные |
данные. |
|
|
и экстраполированные к 0К довольно хорошо ложатся на пря мые линии. Предполагая чисто диффузное рассеяние и исполь зуя формулу Нордгейма, авторы получили для 0 и 4,2 К зна чения р0/, равные соответственно 13,5 и 15-10-12Ом-см2. Уайдер
[173] приводит для 0 |
и 4,2 К значения ро/ = |
12,5* 10-12 Ом-см2, |
однако исследованная |
им область значений |
1Jd недостаточна |
для исключения возможности возрастания ро/ с температурой. Изучение размерной зависимости удельного сопротивления ин диевых проволок проводилось также Мейсснером и Зданисом [174] , Олсеном [75] и Бейтом с сотрудниками [71].
Значения р0/, приводимые различными исследователями для индиевых проволок и пленок, в основном лежат в области от 12,5
до 2СЫ0-12 Ом*см2. Эти |
значения превышают величину 5,7X |
X 10-12 Ом-см2, найденную при изучении аномального скин-эф |
|
фекта [150], и величину |
5,4* 10'12Ом-см2, которая получается |
из соотношения (4), если предположить, что на 1 атом прихо дится 3 электрона проводимости. Указанные различия были проанализированы Бейтом и сотр. [71]. Они рассчитали раз мерный эффект в моноили поликристаллической проволоке, в которой длина кристаллитов в продольном направлении превы шает длину свободного пробега электронов (ср. разд. 11,5,6). Если длина свободного пробега электрона анизотропна вдоль
поверхности Ферми, простую формулу Нордгейма нужно заме нить формулой (29), которая предсказывает более сильную раз мерную зависимость, чем теория Дингла. Чтобы объяснить боль шое расхождение между результатами, полученными при изме рении удельного сопротивления и аномального скин-эффекта, нужно предположить, что величина {12)1(1)2 в формуле (29)
для индия приблизительно равна 2.
б. Анизотропные металлы. Сопротивление тонких монокристаллических проволок и пленок может быть анизотропным, даже если объемное сопротивление изотропно. В тех случаях,
Фиг. 23. Отношение удельных сопротивлений р^г/рга монокристаллических оловянных проволок как функция обратного диаметра проволоки [168].
/ — главная ось перпендикулярна оси проволоки (Sn X); 2 —главная ось параллельна оси проволоки (Sn ||).
когда объемное сопротивление анизотропно, анизотропия, на блюдаемая в монокристаллических проволоках или пленках, мо жет сильно отличаться от объемной анизотропии. При анализе экспериментальных данных для монокристаллических проволок уже нельзя пользоваться простой формулой Нордгейма и вме сто нее нужно применять более общие формулы, рассмотрен ные в разд. 11,5, б.
Александров [168] при интерпретации результатов, получен ных на монокристаллических оловянных, цинковых и кадмиевых проволоках при 4,2 К, пользовался формулой (27). Главная кри сталлографическая ось была либо параллельна оси проволоки, либо перпендикулярна к ней. Уменьшение сечения проволоки осуществлялось химической или электролитической полировкой. Результаты для олова показаны на фиг. 23, где отношение удель ных сопротивлений р4,г/р29з представлено в виде функции от l/d
для монокристаллических проволок, главная кристаллографиче
ская ось в которых параллельна (Sn||) |
и перпендикулярна |
(SnJ.) оси проволоки. Наклон для Sn_L |
гораздо больше, чем |
для Sn||, а различие в величине наклона больше, чем можно ожидать на основании объемной анизотропии. По величине на клона молено определить интеграл по поверхности Ферми в формуле (27); в случае Sn|| этот интеграл оказывается вдвое больше, чем в случае SnJ_. Поверхность Ферми для олова слиш ком сложна, чтобы молено было использовать эти данные для определения параметров поверхности Ферми, однако такой ме тод может быть применен к металлам с менее слоленой поверх ностью Ферми. Результаты Александрова для монокристаллических проволок молено сравнить с результатами других авторов для поликристаллических проволок, представляя удельное сопро
тивление |
псевдоизотропного |
поликристалла в виде р (d) = |
= [pn(d) + |
2px (df)]/3. При этом |
получается р0/ = 10,2-10-12 Ом-см2. |
Измерения размерного эффекта на оловянных проволоках при 4.2 К проводились таклее Канцлером и Рентоном [175], Мейссне ром [176], Александровым и Веркиным [177], Рейхом и Монтариолом [178] и Рейхом и Форсволлом [179].
Канцлер и Рентон, а таклее Мейсснер, используя простую
формулу Нордгейма, получили значение ро/= 20 -10-12 Ом-см2, |
|
из которого, по-видимому, следует, что преимущественной ориен |
|
тацией является SnJ.. Александров и Веркин и Рейх и Монта- |
|
риол |
приводят для ро/ значения 13-10-12Ом-см2. Рейх и Форс- |
волл |
обнаружили, что величина ро/ зависит от температуры и |
меняется от 10-10-12Ом-см2 при |
0К до |
13 |
-10-12Ом• см2 |
при |
4.2 К. Эти значения ближе к тем, |
которые |
были получены |
при |
|
изучении аномального скин-эффекта (р0/ = |
8,2 |
-10-12 Ом-см2 [63]), |
||
чем в случае алюминия и индия. |
|
|
|
|
Александров [168] обнаружил также, что, как и в случае олова, анизотропия удельного сопротивления цинковых и кад миевых пленок больше, чем у массивного металла. Измерения при 4,2 К дают для псевдополикристаллов Zn и Cd значения ро/, соответственно равные 18• 10-12 и 21 • 10-12Ом*см2. Значение ро/ для кадмия примерно вдвое меньше полученного Александро вым и Веркиным [180] при изучении размерного эффекта в кад миевых пластинах. Измерение размерной зависимости удельного
сопротивления цинковых усов и лент |
при 4,2 К проводилось |
в работах [98— 100]. Авторы построили |
зависимость отношения |
Р4,й/р2эз от 1Id и получили наклон, гораздо меньший, чем у Алек
сандрова для цинковых проволок. Предполагая полученное Александровым значение ро/ правильным и используя формулу (25), можно интерпретировать этот результат как указание на частично зеркальный характер отражения с параметром зер кальности р > 0,6. Дальнейшее подтверждение частично зер
кального отражения в цинковых нитевидных кристаллах и лен