книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

61

Здесь vo - коэффициент Пуассона среды, аео определено в (1.1.8), а величины

г	3	г	du	г	3	2 f	du
Jп= —v		—	--------------,	Jna= — va„\— =---------- =---------------,
'	2	{(а р+2 и)А(и)’		"	2	p{( a p+2	u)(a2q + u)A(u)’
А(г/) = [(а12+м)(а22+м)(а32+м)]1/2,						v = ^ m la2a3, p,q = 1,2
							(2.4.6)

выражаются через эллиптические интегралы. Остальные от­ личные от нуля шесть компонент тензоров А и D получаются из (2.4.4) и (2.4.5) круговой перестановкой индексов.

Рассмотрим теперь случай, когда включение представляет

собой эллипсоид вращения (сфероид) с полуосями ах=а2-а ,

а3 (ось дг3 совпадает с его осью вращения). При этом тензоры

А и D становятся трансверсально изотропными с осью сим­ метрии х3, а эллиптические интегралы в выражениях для их компонентов исчезают.

В дальнейшем для записи тензоров, имеющих трансвер­ сальную симметрию, будем пользоваться специальным тен­ зорным базисом из шести четырехвалентных тензоров, обра­

зованных тензором вар =	-m anip и ортом оси х3(т) (см.
Приложение П1.1),
Р сфХц = @a)(X@M)(J3 > Р а0Хц =	@сф®Хц >	Р сфХц =	^ а^ ПХГПц >
Pafixu = M am A » ’ р 4>хм =т ( а в т т ») ’		Р«0Х» =	т ат ^ п хт р .
			(2.4.7)

Пусть теперь включение будет сплющенным сфероидом

(а > а3). Тогда в базисе (2.4.7) тензор А принимает вид

А = АХР2+ А2(Р 1- \ Р2) + А3(Р3+ Р4) + А,Р5+ А6Рб,

4 = ^ - [(1

^ = 5 ^ [Р - * .) / .+ / ,] .

62

Лъ=~— А , А5= — ( 1 - Л - 4 /,) ,		^ = — [(1-£ео) (1 - 2 /0) + 2 /1],
Я	Я	я

fo = 2(1- X 2) ’ ^ " ^ l - r 2)2 [(2 + /2 )^ _ 3 r2 ] ’

g = , ^	a r c t g ^ - l , y = — >1.	(2.4.8)
V r -1	a3

Выражение для тензора Z) в том же базисе может быть по­ лучено из (2.4.3) с использованием таблицы умножения тен­ зоров Р - базиса (Приложение П1.1).

D = D ,P -’ + D , ( P ' - i / ' 5) + Oj(/5, + /'4) +Д/»1+ Д Р ‘ ,

Д = - Л [4 » .- 1 - 2 (З ж .- 1 )/0- 2 /, ] ,

(2.4.9)

А = -2 л [1 -(2 -ж.)/„ -/,], />,=-2А [(2ж -1 )/0+2/,].

А = -4 л (/„+4/,), Д= -4Л [(1+2*.)/0-2/,].

Если />>1, то с точностью до членов порядка у~1 коэф­

фициенты Di (/ = 1,2,...,6) в (2.4.9) переходят в следующие:

А = -Л (4ж. -1) +^ (7s. - 2), Д = -2А +^ ( 4		-	,
4у	4у
А = --^ (З а .-1 ), А = - — (l +2«e),	А = - —	(1+ аг0).
В пределе при у —» оо имеем	(2.4.10)
D = - 2ц\Р1+ (2жо - 1)Р2].	(2.4.11)
Если включение представляет собою	вытянутый сфероид

(ска^, y = alai , у< 1), то тензоры А и D определяются

теми же формулами (2.4.8) и (2.4.9), в которых функцию g(y)

63

следует заменить на

Большой интерес для приложений представляют включе­
ния в виде тонких волокон. Вытянутый сфероид (у « 1	) мо­
жет служить моделью такого волокна. Выражение для	тензо­

ров А и D в этом случае, по-прежнему, имеет вид		(2.4.8) и
(2.4.9), где в функциях f o и	следует сохранить	главные
члены разложения в ряды по малому параметру у

/о = i ( l + Г2 - У2I n f ) , / , = ^ ( 2 у2In f - Зу2). (2.4.13)

Устремляя в полученных соотношениях для вытянутого эллипсоида параметр у к нулю, придем к выражениям для тензоров А и D в случае бесконечного кругового цилиндра

А= ^ - [ ( 1 - ® . ) Р 2 + (2 - х .Х Р 1- } Р г)+ 2Р ’ ] , (2.4.14)

В= -Я [х0Рг+х„(р'-}Рг)+(2ге0- 1)(Р,+Р')+2Р1+4г,Р ‘ ].

(2.4.15) Если включение имеет форму шара, то тензоры А и D не

зависят от его радиуса и становятся изотропными

9А.	15а ^	3 )		<2A i6)
D =	- ^ . ( 5 + 4 3 0 ^ , _ i		£ , \	(2 4 17)
Е^Я/1 =	- ^XXa^fiXji >ЕсфХц = « V *		•	(2.4.18)

Заметим, что тензоры I + АС 1= (Л£) 1 и I-D B ]=(A°) 1

обратимы при всех значениях С 1и В\ в том числе и для со-

64

ответствующих полости или абсолютно жесткому включению. В частности, для произвольного включения имеем

Л£ =	к + 2Ц„	-е 2 +	(2.4.19)
ЗА, +2//, + 3(А„ +2 jua)
15//0(Я0 + 2 //0)
+-			3 J
2/Л\ (3А0+8//с) +15//с (Ас + 2д Л
В случае полости С 1 = -С° этот тензор принимает вид
_ к + 2М,	£ 2 +	60/^,	(2.4.20)
4 Я	9АС+ 14//„

Если включение абсолютно жесткое (С 1 —> со), то тензор

деформации е* внутри включения равен нулю, а тензор Лст в (2.4.3) определяется выражением

Л <т_ к+2/л,	jr2145(ЗА„+2д,)
3(ЗА0+2//0)	(2.4.21)
	2(3А„+ 8 /0

Допустим теперь, что в среде с эллипсоидальным включе­ нием действует однородное температурное поле Т. В этом случае поле напряжений в среде удовлетворяет уравнению

	o {x )-^ S (x -x ')B [o{x,)dx' = D(a)alT,			(2.4.22)
		v
	которое следует из (2.1.17) при 7=const.
	Очевидно, что тензор напряжений сг+ во включении пос­
	тоянен и определяется выражением
	а+ = Ka(a)D(o)a'T.			(2.4.23)
	Для неоднородности в форме шара это выражение при­
	нимает вид
	& ар ~	4//0[3(А, + А„) + 2(//, + /Q ]	^	(2.4.24)
		+ 3(А, + А0) + 2(//, + / 0	1

65

Используя формулу для разрывов упругих полей на грани­ це раздела среды и включения, полученные в п.2.2 предель­ ные извне деформации и напряжения на этой 1раниц можно представить в форме

е (.хо) = Р £(П')е°, а (хо) = F a(no)<f,

(2.4.25)

где хо e f l, по =п(хо) - внешняя нормаль к границе раздела,

F c и F a - тензорные коэффициенты концентраций деформа­ ций и напряжений

F\n.) = ( / + Г (и„)С')Л '. F "(»„) = ( / - Г < „ . ) « > " (2.4.26)

Напряжения в среде на границе раздела, вызванные одно­ родным изменением температуры, определяются по той же

формуле для сг~ (хо) из (2.4.25), в которой тензор <у следует

заменить на D а1Т .

В заключение этого пункта остановимся подробнее на не­ однородности в виде плоского слоя постоянной толщины, ко­ торую можно рассмотреть как предельный случай эллипсоида, когда две из его полуосей стремятся к бесконечности. Напря­

жения сг+ и деформации е+ внутри слоя, по-прежнему, опре­ деляются формулами (2.4.1) и (2.4.3), в которых А и D равны соответствующим предельным значениям этих тензоров.

Пусть полуоси я, и а2 стремятся к бесконечности, а величина

аг остается конечной. Поскольку подынте1ральные функции в (2.4.2) и (2.4.3) являются однородными нулевой степени, мо­ жем записать

lim	К* { к	k*y		= K'	/		кЛ
		j 2>			0,0,>пъ			= К » , (2.4.27)
а!,а2->оо	U	а2	«3 ,				a j
lim	S*Ч	j h . j	,	II •	p	p	к ) :
а\,а2~>о va .		a2 4					аъ)

где п - нормаль к поверхности слоя. Следовательно, эти функ­ ции можно вынести из под знаков интегралов (2.4.2), (2.4.3) и выражения для тензоров А и D принимают вид

66

А = К\п), D = S\n).

(2.4.28)

Таким образом, напряжения сг+ и деформации £+ внутри слоя при постоянном внешнем поле определяются соотноше­ ниями

<т+ = ( / - S*(п)Вх)-1 сг°, е+ =(1 + К\п)С]У1£ (2.4.29)

Заметим, что поля сг~ и е~ вне слоя совпадают с дейст­ вующими в среде внешними полями. Для доказательства этого утверждения рассмотрим выражение для поля напряжений вне включения

сг" (х) = сг° + J S(x - х')В] c/dx’ ,

(2.4.30)

V

где сг+ - постоянный тензор, а V- область внутри слоя тол­

щины 2av Интеграл в этом соотношении представляется в форме

Дз 00

J S(x - x')dx' = |й6с' J J S(x - x')dx[dx2. (2.4.31)

V

-йъ

- о о

Внутренний интеграл в (2.4.31) можно следующим образом записать в виде интеграла по всему пространству:

J(x, х3- Xj) = J J S(x - x')dx[dx2=	(2.4.32)
-оо

=JJJS(x] - x[,x2 - x 2,x3x3 - z)S(z)dx[dx2dz.

- o o

Переходя к преобразованию Фурье и используя однород­ ность функции S*(k), имеем

j(x ,x 3- x ;) = J - ( s \ k „ k 2,k3) 8(kx)S(k2)e-'kxdk =

= S\ri)8(x3- x ’3).

(2.4.33)

67

Подставляя полученный результат в (2.4.31) и затем - в (2.4.30), получим, что поле напряжений внутри слоя опреде­ ляется первой из формул (2.4.29), а поле вне его совпадает с

Оо .

Из предыдущего рассмотрения следует, что решение зада­

чи для зависящего только от координаты х3 внешнего поля

также является функцией только х3 и определяется из соот­ ношений

аъ

ет(х3) = су(х3) + S*{п)В1jS(x3- x 3)a(x3)dx3, (2.4.34) -«3

е(х3) = £°(х3) + К*(л)С1J S(x3- x 3)a(x3)dx3.

~аъ

Следовательно, поля напряжений и деформаций внутри слоя определяются соотношениями, аналогичными (2.4.29):

о-+(*з) = ( / - S\n)B'yl а ( х 3),

(2.4.35)

е+(х3) = (1 + К\п)С'У'е°(х3), а поля вне слоя совпадают с внешними

а ( х 3)= а ( х 3), е-(х3) = е°(х3).

(2.4.36)

§2.5. Поля со скалярным потенциалом

Втеории композитных материалов нередко возникает не­ обходимость расчета не только упругих полей в окрестности неоднородности, но и полей другой физической природы. Это могут быть стационарные температурные и электрические поля в тепло- и электропроводящих материалах, поля маг­ нитно- и элекгрострикции в неоднородных диэлектриках и др. Расчет этих полей сводится к решению системы уравне­

ний для векторов напряженности £а(х) и потока поля сга(х) в среде, свойства которой описываются двухвалентным тен-

С(х) = С°+С'(х),

68

зором Сар(х). Для перечисленных выше полей эта система имеет следующий вид

V ao-a0 ) = - ? 0 ) , o-a(x) = Cafi(x)efi(x), rota0efi(x) = O,

(2.5.1)

где q{x)- скалярная плотность источников поля, rota^=ea^VA,

еарх~ символ Леви-Чивита. Здесь первое уравнение является

аналогом уравнения равновесия теории упругости, второе - закона Гука, а третье - уравнения совместности. При введе­ нии скалярного потенциала поля (р(х), связанного с векто­

ром еа(Х) соотношением

еа(х) = Уаф ) ,

(2.5.2)

третье уравнение (2.5.1) выполняется автоматически, а первые два дают

V a C ^ (x )V ^ (x) = -^ (x).

(2.5.3)

Рассмотрим среду с финитной неоднородностью, для кото­ рой тензор С(х) определяется соотношением

(2.5.4)

где С° - постоянный тензор, С '(х) - ограниченная финитная функция. Тем же путем, что и в п.2.1, можно показать, что векторы напряженности е и потока а поля являются реше­ ниями уравнений

еа(х) + ^	ар(х-х')С^(х')е^(х')(к' = ёа(х),	(2.5.5)
v a( x ) - j S ^ x - x ^ B ^ x '^ i x ^ d x ' = аа(х),
В1= В -В °, В = С~\ В0= (С°)~\		(2.5.6)
Здесь е°	и сг - решения уравнений (2.5.1) при С '(х ) = О,

ядра К (х) и S(x) определяются выражениями, аналогичными (2.1.10) и (2.1.18):

К * (х ) = - V eV /3 < * ), Sa,(x) = С^КЛм(х)С;, - C°fiS(x) , (2.5.7)

69

где G(x)~ функция Грина для бесконечной однородной срелы

с тензором свойств С°, удовлетворяющая уравнению

V aC:/lVAG(x) = -S (x).

(2.5.8)

Решение этого уравнения в случае среды с произвольной анизотропией имеет вид [80]:

G(x) =

, r(x) = J С хаВ°а/)Хр, С = det С°.

4лг(х)

(2.5.9)

Свойства интегральных операторов К и S в уравнениях "скалярной" теории (2.5.5) и (2.5.6) и уравнениях теории уп­ ругости (2.1.9) и (2.1.19) аналогичны. Однако решение урав­ нений (2.5.5) и (2.5.6) связано с меньшими техническими трудностями, чем решение упругих и термоупругих задач, имеющих более высокую тензорную размерность. Рассмотрим некоторые примеры.

Г. Эллипсоидальная неоднородность в постоянном внешнем поле. Свойство полиномиальной консервативности для включения эллипсоидальной формы имеет место и в слу­ чае уравнений (2.5.5) и (2.5.6) "скалярной" теории. Поэтому,

если напряженность внешнего поля еа - постоянная, то поле

внутри такой неоднородности также постоянное и определя­ ется выражениями

	£а ~ Лсф£В> ^сф ~ (^аВ+			>	(2.5.10)
	=	,	к у * )	= (kxCtrkry' к„к, .
	™ Д
	Если среда изотропна (C°afi = C0Safi,				= С,£а/?), а вклю-
чение имеет форму шара, то
g ;	зс„	35	_ <fa ,	а а = с 0£°а . (2.5.11)
	■g l , о-: = -	°

“ зс о+с,

35о + 25,

70

2°. Линейное внешнее поле. Допустим, что среда с эллип­ соидальной неоднородностью находится в линейном внешнем поле

е°Лх) = Крхр,

(2.5.12)

где Ъ°- постоянный тензор. В этом случае решение уравнения

£ „(*) +	( * ') * ' = *«(*), (2.5.13)
	V
которое следует из (2.5.5), имеет вид

£+a=blpxp.	(2.5.14)
Подставим это выражение в (2.5.13)	и после дифферен­

цирования обеих частей этого уравнения по X положим х = 0. В результате получим линейное алгебраическое уравнение для

определения постоянного тензора Ъ\р.

+		(25-15)
AUr =	M l * , *	(2.5.16)
	У

Применив теорему Гаусса и формулу Парсеваля (см. При­ ложение П2.1 и П3.1), выражение для тензора А можно при­ вести к виду

Alpx, = ЗК\Pvp{a x) * амр,	(2.5.17)
K-U. = ■]~jK-ai(a'k)kfklldCl.	(2.5.18)
4;го,
Для изотропной среды и сферического включения эти
формулы дают
А1= -^ г (Е2+2Е 1),	(2.5.19)

где тензоры Е1 и Е2 определены в (2.8.8). Подставив это вы­ ражение для А1 в (2.5.15) и разрешив полученное уравнение