книги / Основы САПР. CAD CAM CAE
.pdf236 |
Глава 8. Метод конечных элементов |
|
|
|
|
(8.31)
Уравнение (8.31) можно переписать в матричной форме:
|
|
|
|
|
|
и\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
[:г+-~~:+J |
о |
1 |
1 |
1 |
о |
Из |
|
-х |
1 |
Иs |
|
||||
|
о -у |
о |
u4 |
|
|||
|
|
10 |
4 |
-у о :] |
. (8.32) |
||
|
(1-.!х-~у) о |
-х о |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
10 |
4 |
10 |
4 |
|
Ив |
|
|
|
|
|
|
|
u7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ив |
|
Аналогичным образом получается выражение для смещений в элементе с номе ром 2:
|
|
|
|
|
|
|
|
и\ |
|
[:J"'=r: о |
о |
(1-~) |
о |
|
(1- 1~) |
о |
[ -1 + ~+ ~)1 |
u2 |
. (8.33) |
1~) |
ИвИs |
||||||||
|
|
|
(1- |
|
- +10+4 |
|
u4 |
|
|
о |
(1-~) |
о |
|
|
о |
( 1 х у) |
|
Из |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ив |
|
На следующем шаге определяются деформации, то есть матрица В<т>. Для этого
мы воспользуемся соотношениями между смещениями и деформациями для
двумерного случая:
ди |
дv |
дv дu |
Ех = дх; |
Еу = ду; |
У.,у = дх + ду. |
Таким способом из выражений (8.32) и (8.33) получаются функции в<1 >(х,у,z),
в<2>(х,у,z):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и\ |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
о |
о |
о |
о |
о |
о |
Из |
|
||
|
|
10 |
1 |
10 |
|
|
1 |
|
|
u4 |
|
•'" = ;: |
= |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
=в0 >u; (8.34) |
|||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
Иs |
|
|
[Г |
|
1 |
1 о -1 1 о о о |
Ив |
|
||||||
|
|
4 |
10 |
|
10 |
4 |
|
|
|
u7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ив |
|
8.2. Формулировка метода конечных элементов |
|
|
|
|
|
237 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
о |
о |
о |
|
о |
о |
о |
Из |
|
||
|
Е,. |
о |
о |
1 |
|
о |
10 |
1 |
10 |
1 |
иб |
|
|
[J" |
|
о |
1 |
|
|||||||
Е(2) |
= ;: |
о |
о |
о |
1 |
о |
о |
о |
1 |
и4 |
=в(2)u. (8.35) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
Иs |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
10 |
4 |
10 |
И' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ив |
|
Соотношение между деформациями и напряжениями для однородной изотроп
ной пластины выглядит так:
0 |
][ЕЕу_.j. |
(8.36) |
0 |
~(1-v) У.1у
Предполагается, что изначально структура не была напряжена.
Матрица жесткости для каждого элемента получается подстановкой результа
тов (8.34)-(8.36) в уравнение (8.17). Рассматриваемые элементы сделаны из
одинакового материала, поэтому выражение для с<т> из (8.36) может использо
ваться для них обоих. (В приведеином ниже выводе интеграл по объему преоб разуется к интегралу по поверхности благодаря тому, что пластина имеет еди
ничную толщину.)
к<!) |
=! |
в<t{ C(1)B(1)dV<1> =f |
В(!{ C(I)B(I)dA(t) = |
|
||||||||||||
|
|
vO> |
|
|
|
|
|
A<l> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=J~0в<t{c(l>в<t>(4- 1~х)dx = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
о |
-1 |
|
о |
о |
о |
о |
о |
т |
[~о |
1;v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
о |
|
-1 |
1 |
о |
о |
о |
|
|
|
||
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||
Е |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 о |
] |
х |
|
=1-v2 J |
|
о |
4 |
о |
|
о |
о |
4 |
о о |
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
10 |
|
|
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
о |
1 |
о |
о |
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
10 |
|
|
|
4 |
|
|
(4- |
1~x)dx= |
|
|
||||
х |
о |
1 |
о |
о |
о |
1 |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
о |
- |
1 |
1 |
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
-- |
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10 |
|
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
240 |
|
|
|
|
|
Глава 8. |
Метод конечных элементов |
|||
|
k11 |
k12 |
ktз |
kt7 |
ktв |
о |
|
Ftx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
k21 |
k22 |
k23 |
k27 |
k28 |
о |
|
Fty |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
и4 |
= |
о |
(8.42) |
|
|
|
|
|
|
|
Fзх |
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
F.ly |
|
|
|
k7t |
k72 |
k73 |
k77 |
k78 |
и7 |
|
о |
|
|
|
kвt |
kв2 |
kвз |
kв7 |
kвв |
Ив |
|
-РУ |
|
Уравнение (8.42) может быть разделено на два независимых матричных урав-
нения: |
k4~ |
|
|
|
,] |
|
1 |
|
|
k43 |
|
|
|
|
|
|
|||
[k~ |
kз4 |
k47kз7 |
k~] |
и |
|
_ |
о |
|
|
48 |
~ |
|
|
(8.43) |
|||||
k73 |
k74 |
k77 |
k7в |
и7 |
- |
о |
|
||
|
|
||||||||
kвз |
k84 |
kв7 |
kвв |
Ив |
|
-Р.ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
- [F,,~.ч1 |
|
|||
|
k14 |
kп |
ktв |
Из |
|
||||
k23 |
k2~ |
k27 |
k28 |
и~ |
(8.44) |
||||
[k" |
|
ks7 |
ksв |
|
|
- |
Fэ,. . |
||
ksз |
ks4 |
и7 |
|
|
|
|
|||
kбЗ |
k64 |
k67 |
k68 |
Ив |
|
Fзу |
|
Мы можем решить уравнение (8.43) относительно неизвестных узловых смеще
ний И3, И4, И7, И8 и подставить найденные значения в уравнение (8.44), после
чего определить неизвестные силы реакции опоры F1x, F1.11' Fз.r и Fзу· Большая
часть программ, реализующих метод конечных элементов, действует именно в этой последовательности.
Определив смещения узлов, мы можем рассчитать деформации и напряжения
в элементах по приведеиным выше уравнениям. Отсюда мы можем сделать вы
вод, что смещения играют достаточно важную роль в анализе структуры. Это
одна из причин, по которым формулировка метода конечных элементов, предло
женная в этом разделе, считается осиоваииой ua смещеииях (displacement-based
f ormulation).
8.3. Моделирование конечных элементов
Анализ методом конечных элементов является мощнейшей технологией, позво ляющей моделировать распределение напряжений, температур, потоки жид костей и распространение электромагнитных полей, однако до сих пор нерешен
ной остается проблема подготовки данных для проведения анализа: выбор
геометрии, построение сетки конечных элементов, добавление граничных усло вий и нагрузок, задание свойств материалов и выбор типа анализа (статический
или динамический, линейный или нелинейный, анализ деформаций, напряже-
8.3. Моделирование конечных элементов |
241 |
ний и т. д.). Действия, относящиесяк подготовке данных, обобщенно называют
.моделироваиие.м K01le'Ч1lbLX эле.меитов (Jinite-element modeling). Выполняют~я эти
действия чаще всего препроцессором, рассчитанным на работу с какой-либо кон кретной проrраммой анализа методом конечных элементов (finite-element
analysis - FEA).
Работа с препроцессором начинается с выбора геометрии объекта или области
задачи. Традиционные системы FEA обладают лишь зачатками функц11й моде лирования конечных элементов, тогда как большинство современных систем
либо снабжаются расширенными средствами моделирования, либо позволяют
обмениваться данными с системами геометрического моделирования (а иногда
предлагают пользователю и то, и другое вместе) [117]. Системы, рассчитанные на подготовку геометрической модели в системах автоматизированной подготов
ки чертежей, либо работают непосредственно с данными CAD, либо преобразу
ют и импортируют их. Вариант 4Поверх CAD• (diгect on CAD) становится в по
следнее время все более популярным, поскольку он устраняет иреобразования
(которые могут повлечь потерю данных) и сокращает длительность цикла 4Про
ектирование - анализ - изменение•. Более того, использование CAD упрощает
моделирование и дает возможность работать с более сложными функциями соз дания и изменения геометрических форм. Современные гибридные системы мо делирования (интегрирующие объемное, поверхностное и каркасное моделиро вание1 с параметрическим и объектно-ориентированным подходами) позволяют создать практически любую нужную для анализа геометрию. Большинство сис тем FEA могут также импортировать геометрические данные либо через проме
жуточные файлы стандартных форматов (типа IGES2), либо непосредственно из
конкретных CAD. Однако использование геометрических моделей, подготовлен
ных в CAD, не всегда оказывается простым делом. Модель, которую конструк тор сочтет идеальной, может на самом деле содержать недопустимые в FEA эле менты. Особенно это касается построения сеток. Некоторые системы уже предлагают функции проверки импортированных моделей. Более того, даже если построенная в CAD модель свободна от недостатков, она может быть черес чур подробной. Например, такие характерные детали, как фаски, в некоторых
случаях вполне могут быть исключены из модели для анализа методом конеч
ных элементов. Подобные решения принимаются конструктором исходя из ожи даемого размера ячеек сетки, а также из интуитивных предположений о важно
сти отдельных участков объекта. Некоторые программы обладают функциями
удалеиия эле..меитов (defeaturing), то есть временного скрытия деталей, не
влияющих на точность анализа. Абстрагирование является основной причиной различий между моделями одного и того же объекта, используемыми проекти
ровщиками и аналитиками. Изменения, предлагаемые одними из них, не могут
непосредстаенно воплощаться в модели других. В настоящее время ведутся
исследования возможности автоматического абстрагирования объемных моде
лей [3].
1 Немногообразные системы моделирования поддерживают интеграцию объемных, по-
верхностных и каркасных моделей в нанболее общем виде. |
' |
2 Описан в гJJаве 14. |
|