книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfРис. 2.2.11. Графики критерия Умнк(ш) и его приближенного описания
при разных начальных точках линеаризации: 8 рад/с (а) и 3 рад/с (6)
Из представленных результатов с очевидностью следует, что лишь в некоторой окрестности выбираемой точки линеаризации миогоэкстре-
мальный критерий Ум,,к(х) может быть приближенно описан с помощью
параболы. Таким образом, получаемая в результате использования итера ционной процедуры оценка в лучшем случае будет соответствовать его локальному экстремуму, в то время как для решения задачи требуется найти глобальный экстремум. При этом понятно, что вырабатываемая в алгоритме расчетная характеристика точности, основанная на представ лении критерия в виде параболы, вытекающего из линеаризованного описания функции, также не всегда будет согласована с действительным значением ошибки. ♦
Ситуация аналогичная той, которая рассмотрена в одномерном примере, имеет место и при решении векторных задач.
♦ П р и м е р 2.2.11. Будем полагать, что решается задача навигации по точечным ориентирам из примера 2.2.9 в условиях, когда объект нахо дится в окрестности начала координат, а координаты двух точечных ори
ентиров |
определены как: .v1=[p,o]r , .v2 =[0,p]r т.е. ^ = 0 , Я2 =90° |
Полагая |
р=3000 м и определяя априорную область возможного местопо |
ложения объекта кругом радиуса За0, можно изобразить два возможных
варианта взаимного расположения этой области и изолиний положения. При а 0 =500м (рис. 2.2.12, а) в области априорной неопределенности следует ожидать попадание одной точки пересечения изолиний положе ния, а при а 0 = 1400 м таких точек уже будет две (рис. 2.2.12, б).
задачи синтеза, сохраняется проблема получения оценок точности в виде, например, дисперсии ошибок оценивания. Более подробно вопросы построения алгоритмов оценивания при решении задач с существенными нелинейностями обсуждаются в разделе 2 .5.
В заключение заметим, что разделение на задачи с существен ными и несущественными нелинейностями носит условный харак тер, поскольку одна и та же задача, как следует из рассмотренных примеров, в зависимости от уровня априорной неопределенности может быть отнесена к одному или другому классу.
Задачи к разделу
Задача 2.2.1. Задан критерий вида
/ ммнк (а) = (у - Ях)т/Г ' (у - Нх) + (а - х)тСРЛТ ‘ (а - х ) . (1)
Покажите, что значение л*, при котором этот критерий достига ет минимального значения, определяется как
х(у) = х + ((Р х)"' + H rR ~ ' H y ]H rR~l( y - Нх).
Примечание. Задачу решите, используя:
а) систему нормальных уравнении; б) процедуру выделения полного квадрата.
Решение (вариант а). Привлекая выражение (П1.1.61), систему нормальных уравнений можно записать как
- = I {H XR~X(у - Нх) + (Р х) -1 (а - х ))= 0 .
dx
Отсюда следует, что ( H TR ~ ]H + ( P x )~l )x = ( P x )~xx + H TR ~ Xy
или
(Я ТЛ“'я + ( Рху 1)х = ( У ) -1 х + H rR~xHx - H TR - lHx + H TR~'y.
Таким образом, значение аргумента, обеспечивающего мини
мум представленного критерия, будет определяться как
х(у) = х + ((.Рх)~1 + H rR - lH ) - lH TR - ' ( y - Ж ) .
Решение (вариант б). Раскрывая скобки в (1), можем записать
J(x) = А-Т((РЛ')- 1 + H rR~lH ) x - 2 x r {H'[R~]y + (Px)~lx)+
+ x r (Px )~lx + y TR~ly
Далее, используя выражение (П1.1.64), в котором в качестве А и z примем
А = ( РХ)~1 + H TR~lH ; z = H TR~ly + (Pxy lx,
получаем
J { x ) = х 1Ах - 2 Xеz + х т( Р х)~'х + y TR~'y =
= ( х - A~'z)A(x - A~lz) - z TA~'z + +3cT( / >l)"l3c + y rR~'y.
Поскольку три последних слагаемых от х не зависят, нетрудно понять, что значение аргумента, обеспечивающего минимум пред ставленного критерия, будет определяться как
х^у) = ( (Рх)~1+ H TR - lH ) - ' ( H rR - ly + СР'Т'Зс).
Учитывая, |
что (Px)~^x = l[Pxy ^ + H TR~1H - H TR~^H )X , это |
выражение может быть преобразовано к виду |
|
х{у) |
= х + ((Р ХУ 1 + H rR - ' H y ' H TR - l(y - Нх). |
Задача 2.2.2. Покажите, что при решении задачи оценивания вектора х по измерениям (2.1.2) с помощью МНК и ОМНК будут справедливы следующие соотношения [14, с. 412; 5, с. 101]:
|
|
( у - |
у ышУ у ыш = 0; |
|
|
|
|
|
(у _ .р°мпк)Т£ро.«"к = 0; |
|
|
||
где у мпк = Н хмт = Н К т'ку\ |
у ошк = Нхош,к = Н К м"ку. |
|||||
|
Решение. Действительно, принимая во внимание (2.2.11), полу |
|||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
(у - Н К мнк’у)Т Н К мпку = у ТН К тку - у Т (к " ж )Т Н тНКЫЖу = |
|||||
|
= у т (я ( Я тЯ)~*Ят - Я (Я ТЯ )“' Я ТЯ (Я ТЯ ) -1 Я т))у = 0 |
|||||
|
Для ОМНК с учетом (2.2.15) аналогично |
|
|
|||
|
|
{у - H K amKy f QHK0MnKу = |
|
|
||
|
|
= / ^ я ( я т0 я )" 'я т2 - QH {H XQH Y H TQjy = 0. |
||||
|
Задача 2.2.3. Пусть в критерии (2.2.16) Q = R~{ , |
D = (Px)~l , |
||||
и, |
таким |
образом, |
в |
выражении |
для |
оценки |
хмм"к(у) = х + К т"‘к(у - Н х) , соответствующей ММНК, матрица
К тшк определяется как К имнк = ( ( P x)~l + H r R~lH)~l H JR~l
Полагая, что х и v - некоррелированные случайные векторы с
матрицами ковариаций Р х и R , а математическое ожидание век тора х равно х , покажите, что матрица ковариаций ошибок оце нок ММНК определяется как
р М м н к = Г ( р . х ) - ' + я т Л - 1 я >| 1 |
( 1 ) |
Решение. Подставляя К ммнк в выражение (2.2.24) и принимая во внимание, что
Е - К шшкН = Е - ( ( Р х)~{ + Н гЯ~1Н ) - \ Н гЯ - 1Н + (Рх)~1 ~ ( Р х)~1)
= ((РХ)~' + H 1R~lH ) ~ \ P x)~l,
можем записать
рммнк = р р л-|-‘ + я тЛ-1я ^ ( р ^ ^ р * ) " 1+ H TR~]H^ |
+ |
+ рР*)Г1+ Я ТЛ_,Я ^ *Н тЯ - ' н ( ( р х У + H r R ' lH^j |
= |
= Г(рт ) ' + H TR~XH V 1 (рл) 1 + H rR~lH { р * У + H TR~XH
J
откуда с очевидностью следует (1).
Задача 2.2.4. Предположим, что имеется 2 m измерений в зада че оценивания постоянной величины по измерениям (2 .1.1), кото
рые можно разбить на две группы, причем в каждой из них раз личны значения дисперсий ошибок измерения: для первых m из-
мерений эта дисперсия равна г\ |
, а для вторых - |
rf |
Кроме того, |
||
полагаем, что х |
- центрированная с.в. с дисперсией |
2 |
|||
ад , а в кри |
|||||
терии (2.2.13) |
матрица Q |
- диагональная |
с |
элементами |
|
q,- = 1//-[ |
,i = \.m |
и q{ = 1/ r2 ,i = (m + ï)2m , а в (2.2.16), кроме то- |
|||
_ |
|
п |
|
|
|
го, х = 0 |
и d = 1/ CQ . |
|
|
|
Получите выражения для оценок и дисперсий их ошибок, соот ветствующих различным алгоритмам, и покажите, что неравенства (2.2.39) справедливы.
Решение. Алгоритмы вычисления оценок для МНК, ОМНК и ММНК будут иметь следующий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¥т |
|
|
|
|
|
|
|
*■“ |
|
0 0 |
= — |
V |
V |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ь У ? |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
т |
|
|
|
|
1 |
2 т |
|
|
|
= - г 1 |
J — У у. + - 2 |
~2 |
Т У Р |
|
|||||||||
|
г |
+ г2 |
т t t |
|
' |
Гх +Г2 |
т iZil |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/ „2 |
2\ |
|
|
|
|
= - л |
“> / 2 |
. |
2\ |
О + |
, |
g() |
V |
+ Г- . |
х0ЯИК(у) * хомнк(у). |
|||||
|
|
*> 2 |
|
')/•*> |
Оч |
|
|
|
||||||
/; г," + а-/и(/; |
+ г, ) |
|
|
|
|
+ ojm(/f + г;) |
|
|
|
|||||
Дисперсии ошибок имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
? |
? |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
v 1 |
I- ~ -(-»*“ |
|
|
|
__ . pMMIIK__ |
1 |
, |
+ r,3 ) |
|||||||
рм нк _ _ 1 |
2 DOMHK |
|
|
Г1 Г2 |
|
|||||||||
4/и |
- , P L |
|
m (rf + r 2) |
|
|
|
• + |
'i >2 |
|
|||||
|
|
|
4°o |
|
|
Для того чтобы убедиться в справедливости (2.2.39), предста
вим |
'1 |
|
'1 |
=аг22 |
|
В |
ЭТОМ |
|
|
|
|
Г{ + г2~ |
2 |
2 |
|
Yl + а) |
|
|
|
|
|
||
Jj |
/2 |
= |
_ ( |
а Ï |
Так |
как |
а > 0 , то |
||||
4 |
|
|
|
г; |
|
||||||
|
(,-2+ ,22) |
.1 4 |
|
J |
+aJ_ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
J 1 |
|
|
|
|
||
1 + а |
|
а |
(1 + а)2 -4 а |
(1 -а)2 >0 . |
Таким |
образом, |
|||||
|
|
1 + а |
|
4(1+ а) |
4(1 + а) |
|
|
|
|||
_ Й |
|
_ < !t |
t '2 , |
a поскольку |
а§ > 0 , то |
Рыш> Рттк > Р |
|||||
(П2 + г2 ) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.2.5. Рассчитайте величину геометрического фактора в задаче оценивания координат объекта на плоскости по измерениям (2.1.16) для случая двух точечных ориентиров считая, что выпол нены следующие предположения: точка линеаризации расположе на в начале координат; один из точечных ориентиров расположен на оси ОХ] ; второй - на оси ох2 ; ошибки измерения - некоррели
рованные между собой центрированные случайные величины с
~>
одинаковыми дисперсиями, равными г~ Решение. Вводя
Н = Я, (х'7) ; где H f (хл) = -(5тЯ ,(хл),со8Я1.(х-7)), /-1 ,2 ,
Я2(.г7)]’
и используя (2.2.65), получаем
|ОМИК
Г ™ = Р ™ = Р ( Щ ( х , Ж Ы + Щ ( х , Ш х , ) Т
Принимая во внимание это выражение и |
тот факт, |
2 |
|
П х(хя) = 90°, а П 2(хл) = 0 , запишем: Рмнк = г |
0 |
Таким образом, величина геометрического фактора (2.2.68) дет равна PDOP = 4 l .
Задача 2.2.6. Пусть имеются измерения
)>i =fix +G[,
что
бу
О)
в которых ошибки а, содержат систематическую составляющую и представляются в виде суммы центрированной случайной величи
ны с дисперсией и независимых между собой и от d центри
рованных случайных величин с одинаковыми дисперсиями i = 1.т, т.е. £, =</ + Vj.
Полагая, что оцениванию подлежат значения х и d , запишите выражение для матрицы Н и проверьте выполнение условия на блюдаемости.
Полагая, что оцениванию подлежит только значение скалярной величины л*, получите выражения для оценок, соответствующих МНК и ОМНК, рассчитайте дисперсии их ошибок.
Сопоставьте между собой выражения, соответствующие МНК и ОМНК, и поясните полученные результаты.
Решение (вариант а). Если оцениванию подлежат значения х и d , матрица Н будет иметь вид
h h |
h |
Н Т |
|
1 |
1 |
1 |
к 2 |
h |
Отсюда следует, что матрица W Н = т |
вырождена, и, |
h |
1 |
таким образом, условие наблюдаемости не выполнено.
Решение (вариант б). Если оцениванию подлежит только зна чение х , очевидно, что условие наблюдаемости будет выполнено,
поскольку матрица Я т = й[1,1....1], и, таким образом, H rH = hzm .
Выражения (2.2.9), (2.2.25) для оценки и дисперсии ее ошибки для МНК в этом случае будут иметь вид:
1 т
|
(3) |
2 |
|
Р"ш =[н7н)~' н ТRH(H 'н)~' =^f+— |
|
^ |
(4) |
Учитывая результаты решения задачи 1.3.6, матрицу ковариа ций ошибок для вектора 8 и обратную ей матрицу можем пред
ставить в виде
|
|
|
|
( |
л |
|
\ |
R = r 2E m + c l J , „ R - ' ^ - ^ Е... - |
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
m o d + r ~ |
J |
|
где E m, I m - |
m x m единичная матрица и матрица, составленная |
||||||
из единичек соответственно. Отсюда следует, что |
|
т \ |
|||||
|
|
|
|
|
У\~ |
Ш |
|
|
Е |
_____^ |
|
|
у 2 |
/=1 |
1 |
R -'y =■ 2 |
2 |
I" У =— |
|
|
|||
■“ /я |
2 , |
m<J2d + г 2 |
|
||||
|
|
m o d + г |
|
г |
|
||
|
|
|
|
|
Ут. |
|
1J |
|
|
|
|
h V |
та:. |
|
h v 1 |
H 1R~ly —— H r |
|
maj + г~ |
|
y = - ï L y j |
1- - |
— ;— ? L y j - |
|
Г |
|
|
|
ma-d +r j |
m a j +r j= |
Принимая во внимание эти соотношения, получаем
1
х 0ШК( у ) = { H TRTxH y H TR - ' y = —
hm %
|
г |
2 / 2 |
, |
2-Л |
2 |
2 |
(7) |
ромнк = (Н г Я - ' н У = — |
( т а ,/ |
+ г |
) |
^ L + J _ |
|||
т |
|
|
|
||||
|
|
|
Л2 |
/нА2 |
|
С о п о с т а в л е н и е . Сравнивая (3), (4) с (6), (7), отмечаем
их совпадение. Ясно, что такое совпадение возможно только при совпадении минимизируемых критериев в МНК и ОМНК, которые в рассматриваемой задаче записываются так:
|
J |
= ( у - Нх) |
(у - Нх) = ^ |
(у,- - |
/а*)2 |
|
||
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
J = (у - H xYR-' (у - Нх) = (у - НхУ |
1 |
Ет- |
|
( у - Н х ) . |
||||
- V I |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
mo~d + г " |
|
|
Принимая во внимание вид матриц Н и R -1 , получаем |
|
|||||||
ОМНК |
1 |
|
1 |
|
^ m |
\ 2 7 |
|
|
£ ( Л - hx)2 - |
Gd |
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
1 |
2 |
0 7 |
~ hx) |
|||
|
|
1 |
||||||
У |
= 7 |
/=1 |
пгаъ + |
|
м '=1 |
|
|
Приводя подобные слагаемые для записанного в скобках выражения, можно убедиться в том, что с точки зрения минимизации
МНК
критериев относительно х оно совпадает с J
Таким образом, замечаем, что оценки и минимизируемые кри терии в данном частном случае совпадают. Этот факт есть следст вие того, что в рассматриваемой задаче искомый параметр х и по стоянная составляющая ошибки d одновременно не наблюдаемы,
т.е. они не могут быть определены по отдельности. |
|
Этим же объясняется и следующее неравенство: р омик > |
9 |
|
А” |
т.е. дисперсия ошибки оценивания х при увеличении числа изме рений, при котором обеспечивается существенное снижение
2
( —- « а 2/ ) влияния составляющей ошибки v,-, определяется дис-
т~
Персией постоянной составляющей ошибки измерения.
Задача 2.2.7. Имеются два измерителя, вырабатывающие пока зания (2.1.33), в которых л'= (а'!,а'2)т представляет собой двух мерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости.