книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Следовательно, единственное условие в наших экспериментах состоит в том, что для таких материалов, как железо, радиус кривизны должен быть значительно больше, чем высота поперечного сечения. Кривизна сама по се­ бе может и не быть большой, но тогда высота поперечного сечения должна быть исключительно мала. Отсюда следует, что для удобства в экспериментах будут использоваться тонкие полосы металла, при этом должно учитываться искажение формы поперечного сечения.

Как известно, удлинение е в одном направлении вызывает укорочение в перпендикулярных направлениях, равное elm, где т— число Пуассона1.

Тогда (рис. 1, б) на выпуклой стороне упругой линии поперечное сечение будет подвергаться боковому сжатию, а на вогнутой стороне, где продоль­ ные волокна сжимаются, возникает боковое расширение в плоскости попе­ речного сечения. Последовавшее вслед за этим искажение поперечного се­ чения показано на рис. 1, в; нейтральная ось не может оставаться прямой, и легко видеть, что ее кривизна будет limp. Пока ширина b поперечного сечения того же порядка, что и высота ft, a hip мало, дополнительный про­ гиб из-за этой кривизны будет малой величиной второго порядка, которой можно пренебречь. Таким образом, явление изгиба нейтральной оси не свя­ зано с допущением о том, что поперечное сечение остается плоским.

Теперь рассмотрим тонкую широкую полосу, изогнутую, как показано на рис. 2, а. Сплошные линии на рис. 2, в изображают поперечное сечение до изгиба, и если исходить из изложенных выше рассуждений, следует сделать вывод, что поперечное сечение искривляется так, как это показано штри­ ховыми линиями.

Эксперименты, однако, показывают, что этого не случается. Будет най­ дено, что средняя часть поперечного сечения остается в прежнем состоянии,

1 [Величина, обратная коэффициенту Пуассона].

а искажения появляются практически только у продольных краев полосы, как показано на рис. 2, в. Причины такого поведения очевидны. Не следует забывать основное допущение, что изгиб состоит во вращении элементов стержня вокруг нейтральной оси и что элементы с плоским поперечным сечением до изгиба остаются плоскими и после изгиба. Эти гипотезы, как было показано, по существу, справедливы для прямых стержней с постоян­ ным поперечным сечением. В данном случае очевидно, что нейтральная ось должна оставаться, по существу, прямой линией, как, например, ось х — х на рис. 2, г. Теперь можно видеть, что если допущение о форме искажения

поперечного сечения такое, как это изображено на рис. 2, г, то участки d, d будут находиться целиком в зоне растяжения. Если вслед за этим вы­ резать из стержня продольную полосу вблизи его краев, как это показано на рис. 2, б, то поперечные сечения 1— 1 и 2—2 будут подвергаться только растягивающим напряжениям, равнодействующие которых равны Р. Рав­ нодействующей этих сил является сила R, которая препятствует поперечному сечению полосы искривляться выпуклостью вверх, как показано в соответ­ ствии с принятым допущением на рис. 2, г. Этим сразу объясняется, почему искажение поперечного сечения больше соответствует показанному на рис. 2, в, а также подтверждает справедливость, по существу, основных гипотез, принятых в теории изгиба.

Так как при изгибе тонкой широкой полосы поперечные сечения (пре­ небрегаем искажениями на краях) остаются, по существу, такими же, а в то же время предложенная теория предсказывает ясно выраженное иска­ жение, то, очевидно, зависимости (2) и (3) должны быть уточнены.

Если возвратиться к случаю, изображенному на рис. 1, становится ясным, что искажения поперечного сечения будут предотвращены прило­ женными в его плоскости силами, показанными на рис. 1, в. Эти силы, в свою очередь, оказывают влияние на продольные деформации. Таким об­ разом, для волокна с— с (рис. 1, а) удлинение при действии одного про­ дольного напряжения р равняться р/Е. На это накладывается укорочение вследствие действия напряжения р/т, возникающего в плоскости попереч-

ного сечения, равное ^ •	—	= т%Е . Следовательно, суммарное удлине­
ние волокна с — с будет е =	р!Е — р!т2Е, откуда
р =		еЕт2/(т2— 1).	(4)

Подставляя эту величину р в выражение (2), умножая обе части его на zdz и интегрируя по всему поперечному сечению, получаем уравнение упругой линии

М = EI	га2	(5)
Р	т2— 1

Эту формулу следует использовать в случае изгиба тонких широких полос. Если принять т = 10/3, тогда т2/(т2— 1)= 1,10. Отсюда при эксперимен­ тах на тонких полосах относительно большой ширины выражение (3) будет давать значения для Е завышенными примерно на 10%.

Теперь формулы (3) и (5) дают решения задачи об изгибе для двух край­ них случаев. Для промежуточных случаев необходимо более детальное рассмотрение искажения формы поперечного сечения. Чтобы дать закон­ ченную теорию этих задач пришлось бы выйти за пределы данного сообщения. Однако автору хотелось бы отметить, что в случае полосы, нагруженной по своим концевым поперечным сечениям конечных размеров равными и про­ тивоположно направленными изгибающими моментами, вместо выражений

(3) и (5) получается такая зависимость:

				М == Е1		т2— к	’			(6)
					Р	т2 — 1
где k — функция радиуса р, толщины						h и ширины		b полосы,		Числовые
значения для k следующие:
РЬ	0,5	1,0		1,5	2,0	2,5	3,0	4,0	5,0	> 5
k	0,999	0,995		0,975	0,877	0,818	0,725	0,534	0,420	2/Рb
Здесь					3 (m2 — 1)
		$Ь = ъ У -								(7)
					/л2р2Л2
Например, для		h = 1	мм и р = 500 мм из формулы (7)						получим pfe = 3;
величина	k для	рb =	3,	как это следует из приведенных значений, равна
0,725. Подстановкой этой				величины в выражение (6) получаем
		М =	EI	т2 — 0,725		= ~ ( 1	+0,0725),
			Р		m2— 1

т. е. выражение (3) будет давать значение радиуса кривизны, большее при­ мерно на 2,75%.

Приведенные значения k позволяют установить, в каких случаях вы­ ражение (3) можно использовать без существенной ошибки при определении величины Е из экспериментов на полосах.

ИЗГИБНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБАХ

ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Bending stresses in curved tubes of rectangular cross-section. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers (Montreal meeting, May, 28—31, 1923, New York meeting), 1923, vol. 45, Paper N 1893, p. 135— 140. Перепе­ чатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York — London —

Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 338—343.

ОБСУЖДЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ

ИЖЕСТКОСТИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

Встатье исследуются напряжения в изогнутых трубах прямоугольного поперечного сечения1 и показывается, что для случая тонких труб искаже­ ние формы поперечного сечения, возникающее при изгибе, вызывает боль­ шее увеличение гибкости и снижение прочности, чем то, которое определя­ ется обычными формулами. В приложении при рассмотрении потенциальной энергии деформации получено приближенное решение рассматриваемой задачи.

Изгиб криволинейных труб сопровождается искажением формы по­ перечного сечения. В результате этого искажения тонкие трубы становят­ ся более гибкими и имеют меньшую прочность, чем это можно ожидать, используя обычные формулы. В одном примере, в случае крана Фёйрбёрна, рассмотренном ниже, максимальное напряжение оказалось на 67% больше, чем величина, которая получается при использовании обычной формулы изгиба криволинейных стержней.

Внастоящей статье будет рассматриваться случай изгиба трубы при действии только момента М. Согласно рис. 1, если размер а поперечного сечения мал по сравнению с радиусом кривизны R, то максимальное напря­ жение и приращение угла а может быть найдено, как обычно, по следующим формулам:

Ртах —	аМ	’	П)
	21
Да — а	MR		(2)
	El	’

где Е — модуль упругости; I — момент инерции поперечного сечения от­ носительно нейтральной оси.

В случае сплошного поперечного сечения эти формулы достаточно точ­ ны, но для случая трубы задача намного сложнее. Растягивающие усилия, действующие на некоторый элемент ss1 (рис. 1), и сжимающие усилия, дей­

1 Случай труб кругового поперечного сечения был рассмотрен Т. Карманом. См.:

K a r m a n Th. Uber die Formanderung diinnwandiger Rohre, insbesondere Federn der Ausgleichrohre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1911, Bd 55, N 45, S. 1889— 1895. [Перепечатка: K a r m a n Th. The collected works, vol. 1. Ld., Butterworths Scientific Publi­ cation, 1956, p. 304—320].

ствующие на некоторый элемент ггъ дают результирующие усилия, направ­ ленные в сторону нейтральной оси. Эти усилия вызывают искажение фор­ мы поперечного сечения, как это показано на рис. 1, а.

Если предположить, что поперечные сечения трубы при изгибе остаются плоскими, то можно сделать вывод, что удлинение некоторого элемента ssx будет зависеть не только от приращения Да угла а, но также и от ради­ ального перемещения до, обусловленного искажением формы поперечного сечения.

Пусть линия s'si обозначает положение элемента ss1 после деформации (рис. 1, а). Видно, что удлинение ls\ этого элемента может быть представ­

лено следующим образом: ls\ = ks\ — kl. Первый член, стоящий в правой части этого соотношения, обусловленный поворотом поперечного сечения s1r1 вокруг нейтральной оси х, равен Даа/2; предполагается, что величина до мала по сравнению с а. Второй член, обусловленный радиальным переме­ щением до, равен доа. Подставляя эти величины в приведенное выше выра­ жение и деля его на величину Ra, представляющую собой первоначальную длину элемента ssx (а предполагается малой величиной по сравнению с R),

получаем следующее выражение для		продольной	деформации элемен­
та SSi.
л	Даa	w	(3)
е ~	~2Rci	R~'

Выражение (3) может быть использовано также при расчете сжатия некото­ рого элемента ггг. Видно, что в результате искажения формы поперечного сечения напряжения по середине пластин тп и qt становятся меньше, чем определяемые из формулы (1). Это уменьшение напряжений в центральной части тп и qt будет неизбежно сопровождаться увеличением напряжений в остальных частях поперечного сечения.

Действительная величина максимального напряжения и приращения

угла а	может быть получена по формулам (1) и (2), если подставить в них
вместо	/ меньшую величину, равную
	Ii = Р/,	(4)

где коэффициент р, меньший единицы, вычисляется по следующей формуле (см. следующий параграф):

Р = 1 — 2Л

(5)

где hx— толщина горизонтальных пластин тп и qt\ h2— толщина верти­ кальных пластин mq и nt\ ix— момент инерции горизонтальных пластин относительно нейтральной оси; и — момент инерции вертикальных пластин относительно нейтральной оси; v — коэффициент Пуассона (в наших рас­

четах v = 0,3). Кроме того, введен параметр Л =			b*/R2fi2{ (6).
В случае трубы квадратного поперечного сечения и постоянной толщины
h имеем		ha3	ha 3
а = b; hx = h2= /г;	/о
		6	9	3

исогласно формуле (5) получим

р49,18 + 1.332Л

Р “ 49,18 + 3,232Л '

Влияние искажения формы поперечного сечения зависит от величины параметра Л. Если параметр Л мал, что соответствует случаю, когда радиус R и толщина h велики, коэффициент (5 близок к единице, а формулы (1)^и (2) дают достаточно точные результаты. Возьмем другой крайний случай и в формуле (7) положим Л = сю, тогда коэффициент р будет равен 0,412. В этом случае значения максимальных напряжений и гибкости трубы почти в 2,5 раза больше значений, определяемых формулами (1) и (2).

/77 n

И		Г	"
		70*70*9
		785
			a
		i
	QO		i
J		L
a		t
		940
		Рис. 2.
В качестве примера возьмем R/a = 10, a/h =	50. Тогда согласно выраже­

нию (6) параметр Л == 25; если его подставим в формулу (7), получим р = = 0,513.Максимальные напряжения в этом случае будут почти вдвое больше, чем те, которые определяются по формулам (1) и (2).

В качестве второго примера рассмотрим поперечное сечение1,* пред­ ставленное на рис. 2 (размеры даны в мм). В этом случае имеем hjh^ = 1, Ыа = 0,785, А = 2640. Соединительные уголки и наружные детали гори­ зонтальных пластин не оказывают существенного влияния на искажение формы поперечного сечения, поэтому момент инерции их поперечных сече­ ний включен в момент инерции i2. Таким образом, имеем ix = 319 103 см4, и = 307 103 см4, iji( = 0,96.

Подстановка этих величин в формулу (5) дает р = 0,60. Оказалось, что в этом случае максимальные напряжения и гибкость трубы в 1/0,60 = = 1,67 раз больше, чем те, которые получаются по формулам (1) и (2).

ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ВЫВОДА ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Приближенное решение задачи об изгибе криволинейной трубы можно получить путем рассмотрения потенциальной энергии деформации. Для дан­ ного приращения Да угла а (см. рис. 1) форма искажения поперечного се-

1 Данные взяты из описания крана У. Фёйрбёйрна. См.: E r n s t Ad. Die Hebezeuge. Theorie und Kritik ausgefiihrten Konstruktionen. Ein Handbuch fur Ingenieure und Architek-

ten, sowie zum Selbstunterricht fur Studierende. 2 Auflage. Berl., J. Springer, 1895, 873 S. (см. стр. 540).

чения должна быть такой, чтобы соответствующее ей значение потенциаль­ ной энергии деформации было минимальным. Прогиб пластин тп и qt (рис. 1, б) можно принять в следующей форме:

/ «	2 TLX \	,	(8;
w = w0sin — -+ W l [ 1 —	COS—

где wQи w±— константы, которые следует определить. Соотношение между этими постоянными может быть получено из рассмотрения деформации эле­ мента трубы, заключенного между двумя поперечными сечениями, располо­ женными на расстоянии друг от друга, равном единице1. Рассматривая этот элемент как раму с жесткими соединениями стержней в точках т , /г, q и t и принимая во внимание т о т факт, что упругими кривыми для вертикальных элементов mq и tiq являются дуги окружности, получаем, что кривизна

	вертикальных элементов будет	(” £ —)>		а изгибающий момент равен
	£7*2	2	(	dw ^	(8а)
	(1 — v2) 12 ~а		\Чх /о ’

Изгибающие моменты в точках т и п горизонтального элемента тп можно записать в следующем виде:

	Eh\	/	d2w \		(86)
	(1 — v2) 12	\	dx2	/о*

Вместо сомножителя Е здесь берется выражение El (1 -— v2). Это объясня­ ется тем,/что искажению формы поперечного сечения mnpq за счет изгиба препятствуют соседние элементы. Приравнивая выражения (8а) и (8), получаем

I	dw\	__ a	I	\3 /	d2w \
\	dx )х=о	2	\ h2	) \	dx2 )х=о'

Подставляя сюда вместо w выражение (8), получаем
			ь		{ U \*
	w^		w^	(	i / Г
Учитывая это соотношение,	записываем выражение					(8) в следующем виде:
I .	пх .		Ь	(	h2 \3 /л	2лх )	/Пч
w = w0[sm —		+	—		^ l _ c o s — j j .		(9)

Потенциальная энергия деформации элемента mnqt состоит из следую­ щих частей: а) потенциальной энергии растяжения и сжатия в направлении, перпендикулярном плоскости ху\ б) потенциальной энергии изгиба рамы mnqt. Растяжение пластины тп и сжатие пластины qt описывается форму­ лой (3). Деформация в вертикальных пластинах mq и nt соответствует ли­ нейному закону, т. е. е = Aay/Ra.

Часть потенциальной энергии, обусловленная растяжением и сжатием,

будет иметь вид
ъ	+Т
+	<(-**-)V
О	а

1 Малым углом между поперечными сечениями пренебрегаем.

Если вместо w подставим его значение по выражению (9), то получим

Аг = EhЛ ( т - я - ) ’ аДаR2а ■W0L л т 2ла \ hx 1 +

Т +Т 1& Г (Ы+-f(-Sr)*|) ■+ (-£-)’4 • <>»>

Потенциальная энергия изгиба рамы mtiqt будет иметь следующий вид:

А> =	а ?	•	( i’w f		М	>	“ -
	< !-■ »■ ) J U /	Т 12(1 — v2)	'	),=<А (ц
	12(1

Первый член, стоящий в правой части этого выражения, представляет собою потенциальную энергию, связанную с изгибом элементов тп и qt. Второй член соответствует изгибу mq и nt. Подставляя сюда значение до, определя­ емое выражением (9), находим

А2 =

Eh^wl

л4

2л2

/

h2 \6 .

8 л2

+

12(1 —

V2)

ab2

Eh\

4л2Шд

(Н)

‘

12(1 — V 2)

а б 2

Выражение для полной потенциальной энергии для элемента mnqt

будет А =

А1 + Л2.

Вычислив производную dA/dw0и приравняв найденное выражение нулю,

получим

». [я* +

-g - (-£-)* +

- f

я*4 - (А -)3 +

12 (1 -

,»)■- ^ г

[ I

+

+ ■4л2

( . « ( AJ

___1®__^

/ ^2

\3П _ 10/1

V2)

b

^

(

+

Зя*

а

(ft,

J ] ) -

12(1

V )- ^ ^ T ~

r

+

,

1

Ь

(

А,

\3'

( 12)

2л

а

\

Лх

/ J ’

Отсюда можно найти значение оу0. Подставляя его в соотношение

А

=.

Да

(13)

Я а"’

которое установлено из условия равенства потенциальной энергии работе, производимой внешними силами, имеем

м = (И)

где через р обозначено выражение, определяемое формулой (5).

Для случая трубы квадратного поперечного сечения и постоянной тол­

щины имеем hx = h2, а =	b. Тогда уравнение (12) можно записать следую­
щим образом:
wo[я4 Н тр л2 + 12 (!	v2) (l -J— j^ 2~) л ] =	(1 — v2) - ^ - Л .

откуда следует

аДа	0,796Л
~ а	24,6 + 1.62А *

Когда w0 определено, с помощью выражений (3) и (9) могут быть вычислены деформации, в том числе удлинение е, в каждой точке пластины тп. Напри­ мер, для середины пластины тп при х = Ы2 имеем

	w =	w0(l +		= 1,318ау0>
_	а	Да	Л	1,592 X	1,318Л \
е ~	2	Ra	И	24,6 +	1.62Л )

Видно, что при увеличении параметра Л удлинение е в этой точке уменьшается, а когда значение параметра Л становится очень большим, удлинение е может принять отрицательные значения.

ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ МАЛУЮ НАЧАЛЬНУЮ КРИВИЗНУ

Uber	die	Biegung von Staben, die eine kleine anfangliche Kriimmung haben.
Beitrage		zur	technischen	Mechanik und technischen Physik. August Foppl
zum	siebzigsten		Geburstag am 25 Januar 1924 Festschrift, Berlin,		Verlag von
J. Springer, 1924, S. 74—81.				Перепечатка: T i m o s h e n k o S.	P. The col­

lected papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Com­ pany, Ltd., 1953, p. 377—384.

В настоящей статье будет рассмотрен изгиб стержня АВ, имеющего начальную кривизну в плоскости ху (рис. 1), под действием внешних сил. Предположим, что эта плоскость содержит главные оси поперечного сечения стержня. Обозначим малые начальные ординаты оси искривленного стержня через у0, а ординаты после деформации через у. Прогибы уг = у — у0 можно теперь найти из дифференциального уравнения

Решение уравнения (1) является очень простым, если на стержень дей­ ствуют силы только в направлении оси у, т. е. если М является известной функцией от х. Задача усложняется, если имеются продольные растягиваю­ щие или сжимающие силы, особенно, если эти силы неизвестны и должны быть определены из условий опирания концов. В дальнейшем показано, как эту задачу можно решить с помощью принципа возможных перемещений. Представляя начальное искривление и прогибы с помощью тригонометри­ ческих рядов, можем получить таким образом необходимые приближенные формулы.

Поясним метод на простейшем примере прямого стержня со свободно опертыми концами (рис. 2). Изогнутая ось в этом случае может быть пред­ ставлена в виде следующего ряда:

У= сц sin — + а2sin — -----Ь

(2)

где коэффициенты alt а2, ...— координаты системы. Потенциальная энергия изгиба

Если придать каждому из коэффициентов ап малое приращение Дап, то

соответствующий прогиб стержня станет равным Ду = Дапsin^ £ . Работа си­

лы Р на таком перемещении равна РАап sin-^— и соответствующее изменение