книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин
..pdf= Э3 w/bx3 и 1 /Ру = Ь3 w/by3 - относительные кривизны при изгибе; 1/РХу = w/(bxb y) - относительная кривизна при кручении.
Два первых уравнения (1.139) аналогичны дифференциальному уравнению изгиба балки:
М = - E J v "
Как видим, все перемещения, деформации, напряжения и внутрен ние силы выражаются через функцию прогибов w = w(x, у ) у поэтому эта функция называется разрешающей.
Расчет пластины при действии поперечной нагрузки. Рассмотрим пластину произвольной формы, нагруженную перпендикулярно ее плоскости. Для составления дифференциального уравнения, связываю щего прогиб w(x, у) с нагрузкой q(x, у ), вырежем элемент пластины dx х dy х hyобозначенный на рис. 1.54, г только срединной плоскостью dx и dy. К этому элементу приложим внешнюю силу qdxdy и действую щие по его граням внутренние силы (поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты), учитывая, что при приращении координат х н у они также получат соответствующие приращения. Из условий равнове сия элемента: 2Z = 0; 2 Л/* = 0; ЪМу = 0 получим дифференциальные зависимости между внутренними силами и интенсивностью нагрузки
я(х, у ) :
bQx !bx |
+ |
dQy/Ъу = - q ; |
|
|
Ш х 1Ъх + |
ЪМх у !Ъ у |
= Qx ; |
(1.141) |
|
ЪМу !Ъу + |
ЪМху!Ъх = Qy . |
|
||
Взяв частные производные bQ/bx и |
bQ/by и подставив их выраже |
|||
ния в первое уравнение (1.141), получим |
||||
Э3МХ |
^ |
Ъ3 МХу |
Ъ3Му |
я ( х , у ) |
дх3 |
|
дхд у |
ду 2 |
D |
И, наконец, подставляя в это уравнение выражения (1.139), получим
дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины (уравне ние Софи Жермен):
b4w |
Э4 и> |
b4w |
q ( x , y ) |
(1.142) |
----- |
+ 2 ---------- |
+ ------- |
= ---------- |
|
d*4 |
bx3b y 3 |
by4 |
D |
|
Его можно назвать основным, поскольку оно непосредственно свя зывает разрешающую функцию с нагрузкой. Если это уравнение будет решено, т.е. будет найдена разрешающая функция w(*, у ) , то по форму лам (1.139) можно определить значения Мх >Му и Мх у . Значения попе речных сил Qx и Qy можно определить в соответствии с выражениями (1.141) по формулам:
= - D { |
Э 3w |
Э 3w |
(1.143) |
+ |
); |
||
|
Ьх3 |
bx b y2 |
|
b3w
Оу |
дхг Ву |
)• |
91 |
По найденным моментам и поперечным силам можно вычислить напряжения в любой точке пластины:
12 Мху |
6QX h 2 |
т = |
z ; |
ху |
|
2У
Итак, главная задача расчета пластины на поперечную нагрузку заключается в отыскании разрешающей функции w(x, у ) у которая должна удовлетворять дифференциальному уравнению (1.142) и гранич ным условиям —условиям на контуре пластины, зависящим от характе ра ее закрепления по краям.
Граничные условия необходимо записать также через разрешающую функцию w(x, у ). Рассмотрим простейшие граничные условия на приме ре пластины с заделанным, шарнирно опертым и свободным краями
(рис. 1.55). |
(АС) кинематические факторы — прогибы и |
|
На заделанном краю |
||
углы поворота должны быть равны нулю, т.е. |
||
wx = 0 = 0; (dw /dx)x =0 = 0. |
(1.144) |
|
На шарнирном краю (CD) равны |
нулю прогибы и изгибающие |
|
моменты, т.е. |
Ъ2 w |
b2w |
|
||
wy = b = °> Mv = h = - D ( — + — - ) v =h = 0. |
||
y = b |
by2 |
dX2 'y = b |
Так как при непрерывном шарнирном опирании этого края кривиз на 92 w/0x2 равна нулю, в соответствии с выражениями (1.139) гранич
ные условия записываются так: |
|
|
|
|
Ъ2 w |
|
(1.145) |
">-» - 0: <— Ь - ь - 0. |
|||
На |
свободном краю (АВ) |
равны нулю |
статические факторы: |
( М у ) у = |
о = 0, ( Q y ) y = о = 0 и |
( М х у ) у = о = |
0. Здесь имеется одно |
избыточное граничное условие, для устранения которого вводят поня тие приведенной поперечной силы Q*(Q* = Qy + дМху/Ъх). Эту силу и приравнивают нулю. В соответствии с выражениями (1.139) и (1.143) граничные условия имеют вид:
Э ’ и> |
Ъ2 w |
|
|
|
ю 1 |
w 1 х |
0 II |
д 3 w |
|
b2 W |
|
--------- + |
( 2 - м |
) — |
— |
Э у 3 |
|
Ъх2Ъу |
(1.146)
Рис. 1.55. Схема для определения граничных ус ловий для пластины
Определение |
точного выражения |
функции w (х, у ) |
представляет собой |
разрешимую задачу лишь для некоторых частных случаев. Например, для эллипти ческих (и, в частности, круглых) пласти
нок, заделанных по контуру и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой q:
w (x.y) |
я |
X |
|
D I 24/л’ + |
16/ ( J ’ + Ьг ) + 24/** 1 |
I ) 2,
где а и Ь - полуоси эллипса, а начало координат находится в центре пластины.
Это решение удовлетворяет основному уравнению (1.142) и гранич ным условиям.
Для круглой пластины (а = b) при д = 0,3 получим: в центре плас тины wmax = 0,17 qa* I(Eh3), M0 =0,0813 qa2 и у краяЛ/к = -0,125^д2 Существуют различные приближенные методы определения разре шающей функции w (х, у ) и внутренних сил. Наиболее общими из них являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элемен тов (МКЭ) (методы математической дискретизации континуальной
системы).
1.7.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Основы метода. Метод конечных разностей заключается в замене дифференциального уравнения задачи системой алгебраических урав нений при использовании приближенных выражений для производных искомой функции. Этот метод можно успешно применять, если извест но дифференциальное уравнение задачи.
Запишем |
выражение производных функций у (х) в точке к |
(рис. 1.56, а) |
в конечных разностях при постоянном шаге (интервале) |
s между узловыми точками на оси х. Производная ук будет иметь сле дующее выражение:
•vjfc = O '**! - у к - хжг*). |
(1.147) |
Эта зависимость называется главной центральной разностью и пред ставляет собой тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки (к + 1) и (к — 1). Очевидно, что при s -> 0 эта секущая будет совпадать с касательной к кривой у(х) в точке к.
Записывая аналогичным образом выражения первых производных функции в промежуточных точках а и Ь9 расположенных посредине
Рис. 1.56. Схемы для пояснения метода конечных разностей и его применения к расчету балок
интервалов s, получим выражение второй производной у к как первой производной от них, т.е.
у к = о>'ь - У'а У s = (У к+ 1 - 2У к + |
(1Л48> |
Третью производную получим как первую производную от вторых:
у к |
~ ^ * + 2 |
" |
2ук+ 1 |
+ |
2Ук- 1 |
“ Ук |
- |
(1.149) |
а четвертую как вторую производную от вторых: |
|
|
||||||
У1к |
= <Ук+ 2 |
- |
4Ук+ 1 |
+ |
6Ук - |
4Ук - 1 + |
Ук-гУ** |
( 1Л5°) |
Отметим, что при получении каждой последующей производной использовалась центральная разность [см. выражение (1.147)]. Это эк вивалентно тому, что и функция у (х ), и ее производные аппроксими руются квадратной параболой на участке трех смежных узловых точек.
Прежде чем перейти к двумерным задачам, поясним применение метода конечных разностей на одномерной задаче об изгибе балки. При EJ = const дифференциальные уравнения изгиба имеют вид:
EJv" = -М ; EJv'" = -Q ; EJvIV = q.
В конечных разностях эти уравнения с учетом выражений (1.148) — (1.150) можно записать так:
v*+ 1 |
- |
2\ + |
v* - i = |
~Mks2l(EJ)- |
|
||||
vk+ 2 |
~ |
2чк+ 1 |
+ |
2чк - 1 |
_ vJt- |
2 |
^ |
(1-151) |
|
vfc+ 2 |
- |
4v*+ 1 |
+ |
6чк |
~ |
4чк - 1 |
+ |
4 - 2 |
= |
Последнее уравнение (1.151) является основным, так как оно не посредственно связывает искомые прогибы vk с нагрузкой qk в узловых точках. Заменяя распределенную нагрузку q на участках сосредоточен ными силами qs (рис. 1.56, б) и разнося эти силы по правилу рычага в узлы, получим для промежуточных узловых точек Рк = qs, а для кон цевых —Р'о = Рп = qs/2. Исходя из этого приведенная нагрузка для про
межуточных узловых точек qk = Pk/s, а для концевых — q0 = 2P0/s
или % = После решения системы основных уравнений, составленных для каж
дой узловой точки балки, можно в соответствии с формулами (1.51) определить внутренние силы:
Мк = - 0 * + 1 - 2vk + vk _ l )EJ/s2 ; |
(1.152) |
Qk = ~ ( * к * 2 ~ 2v* + 1 + 2v* - l - V* _ 2)£7/(2S3). |
(U 5 3 ) |
|
Граничные условия (условия опирания |
балки) также необходимо |
|
записать в конечных разностях. В общем |
случае их выражения будут |
содержать прогибы v двух законцевых (заопорных) точек с каждого конца (v_2; v.i и v„+i, v„+2). Если прогибы v0 или vn равны нулю, то записывать выражение прогибов для второй законтурной точки не надо.
Наиболее простые граничные условия соответствуют заделке (v =
= v' = 0), шарнирной опоре |
(v = М = 0) или свободному концу (М = |
|||||||
= Q = 0). В соответствии с выражениями (1.147), (1.152) и (1.153) |
||||||||
после преобразований [8] можно получить |
для левого конца балки |
|||||||
(* = 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
для заделки |
|
|
|
|
|
|
|
|
v.i = Vi; |
v0 = 0; |
Q0 = (4v! - |
v2 |
+ |
q0)E J/s3 , |
(Ы 54) |
||
для жесткого шарнирного опирания |
|
|
|
|
||||
v.i = —Vi; |
v0 = 0 ; |
Q0 = (2v! - |
v2 + q0)EJ/s3f |
(1.155) |
||||
для свободного конца |
|
|
|
|
|
|||
v.i = 3vi |
- |
2V2 + |
q0\ |
v0 = 2v! |
- |
v2 |
+ q0\ G o=0, |
(1.156) |
где <7„ = q0S* /(2EJ).
Формулы граничных условий на правом конце балки (А: = п) будут иметь аналогичный вид; только в выражениях для Qn надо знак изме нить на обратный.
Если опора имеет упругоповорачивающееся защемление (v0 = 0, угол поворота <р0 ^ 0) (рис. 1.56, в ), то граничные условия записывают ся так:
v.i |
= |
V! |
1 - 2В |
v0 = |
0; |
--------- |
|||||
|
|
|
1 + 2в |
|
|
Qo |
= |
EJ |
[(3 + |
1 - 2 в |
)v-i - Vj + <7о], |
— |
~ |
||||
|
|
s 3 |
|
1 + 2 В |
|
где В = ip EJ/s (здесь ip —податливость опоры при повороте).
Поясним применение метода конечных разностей на примере. Опре делим прогибы, моменты и поперечные силы в узловых точках балки (рис. 1.56, г). Составляя уравнения (1.151) в конечных разностях для каждой узловой точки и учитывая граничные условия (1.156), получим
5v, - 4V2 + v3 |
= Ps3/(EJ); - 4 v , + 6v2 + 4v3 = 0; |
v, - 4V2 + 5v3 |
= 0, |
1 г |
з |
* |
i-1J+1 1,1*1 L+1,j+r I |
|
0,1 *2 |
|
4 ( |
|
Л 0,1 |
||||||
|
6 |
7 |
8 |
|
|
t . S ' |
N |
||||||||
|
-f, 1 * 1 , |
.... |
w |
||||||||||||
|
10 |
11 |
12 |
|
|
|
. |
И| > |
|
|
|
-1,J |
•h |
|
|
r |
Lf ' J |
v l |
hJ |
L+1,JL+2,j |
-2 ,1 - Ы |
0,1 |
V 2 ,j |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
r— |
^; г |
|
|
|
||||||||
13 1¥ IS 16 |
|
j-t |
|
H j -2 |
|
0,j-1 |
V i-1 |
V S |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 ,1 -1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
HH |
|
|
|
г |
|
|||||
|
|
|
|
s |
J 3 |
5 |
s |
|
|
|
|
3) |
~ U j |
|
"fj |
|
|
|
|
S) |
|
») |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.57. Схемы для расчета пластин методом конечных разностей
откуда
Vl = 7Ps3l(SEJ); v2 = P s 3/(Ejy,
v3 = 5/>s3 /(8£7).
На основании зависимостей (1.152) и (1.153) с учетом формул (1.155) получим
Л/j = 3/V/16; М2 = 2Р1/16; М3 = />//16;
Go = |
Gin = |
3/74; |
Gi |
= Gin = - / 7 4 ; |
Ga = |
- P / 4 ; |
G4 = -F /4 . |
||
Обратим внимание |
на то, |
что значения М и Q получились точно, |
несмотря на то, что значения прогибов отличаются от точных. Это объяс няется тем, что уравнение искомой функции описывается ветвями кубической параболы, а ее производные — линиями низших степеней.
Применение метода конечных разностей к расчету пластин. Расчет прямоугольных пластин на изгиб по методу конечных разностей заклю чается в следующем. На пластину наносят сетку с прямоугольными или квадратными ячейками. Естественно, что чем меньше ячейка сетки, тем точнее будет решение. Для приближенных расчетов можно рекомен довать каждую сторону прямоугольной пластины разбивать на шесть — восемь частей. Прямоугольная сетка является более общей, так как она не требует соблюдения кратности сторон. Квадратная сетка приводит к более простой записи основных уравнений.
Порядок расчета пластин тот же, что и порядок расчета балок. Все узлы, которые могут иметь прогибы w, нумеруют в определенной после довательности. Нумерации подлежат все внутриконтурные точки, а так же точки на краю пластины, если этот край свободен или имеет упруго податливое опирание (рис. 1.57, а).
Основное уравнение (1.142) составляют для каждой узловой точки пластины. Общее выражение основного уравнения получают аналогично
третьему уравнению |
(1.151) |
на основе записи производных от w (х, у) |
|||||||
в конечных разностях. Для узла /, / |
передвижной квадратной сетки |
||||||||
(рис. 1.57, б) при D = const |
|
|
|
|
|
||||
20wi,f |
- 8(*,-,/+ |
1 + |
wi j - |
1 + |
wi+ i j + |
% - ! , / ) + |
|
||
+ 2<W/ + 1 , / + 1 |
+ |
’V |
i . z - I |
+ |
|
+ WI - 1 , / - 1> |
+ |
||
+ К |
/+ 2 + |
w , j _ 2 |
+ |
W/+ 2J |
+ w. _ 2 |
.) = PU S 2/D. |
(1.157) |
96
В соответствии с формулами (1.139) записывают выражения изги бающих и крутящих моментов в конечных разностях:
Мх = “ I ( w / + 1 > / + w , _ i f / ) + M 0 v , . / + 1 + |
|
- |
||
- |
2(1 + H)w..] |
f - |
|
(1.158) |
My = ~ U wu +1 + wu - 0 + ^OVi,/ + |
wi - i J |
- |
||
- |
2 ( 1 + M)w7] |
4 |
|
|
|
1 |
S2 |
|
|
|
D( 1 - |
M) |
|
|
^ |
|
1 . / + 1 - wi - h f + 1 |
- *,+ |
i . / - i + |
+ |
" i - u - i b |
|
|
(1.159) |
Граничные условия также записывают в конечных разностях через прогибы точек, расположенных на контуре и внутри контура пластины. Помещая центральную точку передвижной сетки на край пластины (рис. 1.57, в ) , получим в соответствии с выражениями (1.144) и (1.145) для заделанного края (рис. 1.57, г ) :
W0J = 0 ; w uj = + W |
, |
(1. 160) |
для шарнирного края (рис. 1.57, д):
wo j = 0; w-i,j = ~ wi , r |
( 1Л61> |
Как видим, в обоих случаях прогибы законтурных точек выра жаются через прогибы точек, лежащих внутри контура пластины.
На рис. 1.58, а изображена шарнирно-опертая по контуру и нагру женная равномерно распределенной нагрузкой квадратная пластина. Определим максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент, принимая квадратную сетку с s = д/4. Ввиду того, что данная пластина имеет две оси симметрии (геометрические и по расположению нагруз ки) , расчетными (’’характерными”) являются три точки 2, 2 и 3. Состав ляя для них основные уравнения (1.159) с учетом граничных условий (1.161), получим
для точки 1 |
20и>! - |
32W2 + 8w3 |
= qs*/D; |
для точки 2 |
- 8Wi + 24W2 - 16w3 =*qs4/D; |
||
для точки 3 |
2w t - |
16w2 + 20w3 |
= qs4/D. |
Решая эту систему уравнений, находим (рис. 1.58, б)
w 1 |
= |
66qs4/(64D); w2 = 4Sqs4/(64Я ); |
|
w3 |
^ |
25qs4 /(64D). |
|
Учитывая выражение (1.140) и принимая |
м = 0,3, получим для |
||
центра пластины wm ах = w \ = 0,044 qa4 / (Eh3); |
(расхождение с точным |
||
4-5*5 |
|
|
|
решением менее 1 %); Л/тах = Mxi = Му1 = 0,0457 qa2 (расхождение с точным решением около 4,5 %).
Применение метода конечных разностей к расчету перекрестных систем. Отдельные части строительных и дорожных машин представляют собой листовые конструкции, усиленные ребрами жесткости. Точный расчет таких систем весьма сложен. Один из приближенных методов расчета заключается в замене заданной системы системой перекрестных балок (’’перекрестной системой”). Такой подход называется физичес кой дискретизацией, так как заданная континуальная система заменяет ся еще до расчета другой физической моделью. Рассчитать эту модель можно различными методами, в том числе и методом конечных раз ностей.
Иногда для упрощения расчетов предполагают, что в каждом узле перекрестной системы имеется только шарнирная связь между балками (рис. 1.59, а) и, таким образом, влиянием кручения балок друг на друга пренебрегают. Учитывая только деформации изгиба балок, дифферен циальное уравнение изгиба можно записать в виде
|
|
|
|
|
|
Э4 W |
|
|
|
д 4W |
= |
q, |
(1.162) |
|||
|
|
|
|
|
EJX — |
+ |
EJy — |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
дХ4 |
|
|
7 |
|
Ъу4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ е |
EJX и EJy |
- |
жесткости |
балок при изгибе |
||||||||
|
|
|
|
(индексы |
соответствуют |
направлениям |
осей |
|||||||||
|
|
|
|
балок); w |
= |
w (х, |
у ) |
|
- |
искомая |
функция, |
|||||
|
|
|
|
представляющая собой, как и в пластинах, |
||||||||||||
|
|
|
|
прогиб; q = qx + qy |
- |
приведенная к |
узлу |
|||||||||
|
|
|
|
распределенная (линейная) нагрузка. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Рис. 1.58. Схемы для расчета квадратной плас |
||||||||||||
|
|
|
|
тины методом конечных разностей |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 1.59. |
Схемы |
для |
расчета |
перекрестных |
||||||||
|
|
|
|
систем методом конечных разностей |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r l |
C] |
|
|
c<r i |
|
B \r * — |
|
ц |
||
|
|
|
|
|
|
/ |
) (Z |
|
|
}{2 |
|
jt1 |
о |
- |
||
|
|
|
|
|
Ш |
t / |
}{2 |
|
) f2 |
|
j i |
B4 * *■ |
||||
|
|
|
|
a) |
Ы |
• f / |
: |
|
|
c< |
s |
B< |
|
|
|
|
|
|
/ * / , у |
|
T |
5 |
^ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- и |
'' • И |
i.j |
i+lj |
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
H j |
|
■v, |
0,МЙЧ |
|
|
|
|
|
к ® |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
•-ZJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|||
5 |
5 |
__ J |
|
5 |
0,3866' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
Множитель Рз |
Для записи основного уравнения (1.162) в конечных разностях рассмотрим выражения дифференциальных зависимостей, соответствую щих сетке с постоянными интервалами s и t (рис. 1.59, б). Введя обо значения
а |
= EJx l(EJy ); Р = t/s |
и |
1? = |
а/0 4 |
(1.163) |
||
и используя зависимости |
(1.147) |
— (1.150), запишем основное уравне |
|||||
ние задачи в конечных разностях: |
|
|
|
||||
6W./1 + TJ) - |
4(w. |
+ J ; |
+ |
w. _u |
+ VwiJ+ J |
+ |
|
+ |
VW. f _ + |
(w.+ 2 |
. + |
w . _ 2 ; + |
J?w. /+ 2 + |
|
|
+ |
= |
4^I(E JX). |
|
|
|
(1.164) |
|
Если нагрузка |
сосредоточена |
в узлах, то между |
узловой силой Р |
и распределенной нагрузкой q можно установить зависимость, рассуж дая следующим образом. Так как
Я = Ях + Яу , a qx = P j s и qy = Py/ t
(где Рх и Ру — составляющие узловой силы Р, приходящиеся на соот ветствующие балки, пересекающиеся в узле), то q = Px/s + Py/ t . Пред полагая, что соотношение сил Р* и Ру обратно пропорционально подат ливости балок при изгибе, запишем
Рх |
EJX |
*3 |
= Ofj33 |
= |
у . |
(1.165) |
|
|
|
EJV
С учетом того, что Р = Рх + Ру , после преобразования получим Рх =Р1( 1 + 7), Ру = Ру1(1 + т). Следовательно,
Р( 1 + л )
q — — -------- |
(1.166) |
S(1+ 7)
Вчастном случае, когда а = 1 и 0 = 1 и, следовательно, у = т\ = 1, уравнение (1.164) имеет вид:
I 2 w. . - 4(w.+ 1у. + |
w(. _ u |
+ |
w ./+ t + |
w .b |
l ) + |
+ ("7+ 2 ,/ + * 7 - 2 , / |
+ w /./+ |
2 |
+ w , , / - 2 ) |
= |
( U 6 7 > |
Определив из решения системы основных уравнений значения w^., найдем изгибающие моменты:
м * и = - |
EJX |
|
- 2и 7 ./ + |
(1.168) |
|
("7+ и |
|||
s 7 |
* 7 - 1,/> |
|||
|
|
|
|
|
|
EJy |
|
|
|
м > и - - |
t 2 > 7 , / - ы |
- 2 w i.i + |
|
Рассмотрим пример расчета симметричной перекрестной системы, на которую в узлах действуют силы Р (рис. 1.59, в). Опорные закрепления на рисунке пока-
заны повернутыми на 90° в плоскость чертежа. Полагая, что а = 0,5 и /3 = 0,5, получим г? = 8 и т = 4. Далее составим уравнения (1.164) для двух характерных то чек. Помещая центр передвижной сетки (рис. 1.59, б) в узел 7, получаем
6Wj (1 + 8) - 4 ( w 2 + w0 + 8w0 + 8w, ) +
+ (wa + + 8w0 + 8w_, ) = <7, s4/(£/*)•
Учитывая, что при шарнирном опирании w. х = - w , и согласно выражению (1.166) q x = 1,8/Vf, запишем это уравнение в виде
13wl - |
3wa = |
1,8PJ 3 l(EJx ) . |
|
|
|
||
Поступая аналогично, получим основное уравнение для узла 2: |
|||||||
- 3 w l + |
10wa = |
1 tSPs3/(EJx ). |
|
|
|
||
Решая эти уравнения совместно, находим |
|
|
|||||
w l |
= 0,1934Ps3/(EJX) |
и wa = |
0,23SPs3l(EJx ). |
|
|||
Затем в соответствии с уравнениями (1.168) |
получим |
|
|||||
MXl = 0,14887^; |
Му, = 0,3868/»*; |
MXl = 0,0447/Ъ; |
My j =0A16Ps. |
||||
На рис. |
1.59, |
г изображена |
эпюра изгибающих |
моментов |
для данной системы. |
1.7.3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Основы метода. В стержневых системах напряженно-деформирован ное состояние каждого стержня полностью определялось значениями перемещений Z на концах (см. п. 1.6.3), поэтому решение задачи получа лось точным. В пластинах и других плоских и пространственных телах поведение каждого континуального элемента описывается конечным числом обобщенных координат, и уже поэтому расчет является прибли женным.
На рис. 1.60 изображена в плане трапециевидная пластина, которую можно представить состоящей из отдельных прямоугольных и треуголь ных конечных элементов, соединенных между собой только в узловых точках. При расчете на поперечную нагрузку предполагается, что пере мещения Z/ (линейные —w и угловые —3w/bx и dw/by) в узлах со прягаемых элементов одинаковы.
Основная идея метода заключается в том, чтобы, с одной стороны, описать напряженно-деформированное состояние каждого типа конеч ного элемента через обобщенные координаты Z, а с другой стороны, установить связь между нагрузкой, действующей на систему (пластину), и выбранными обобщенными координатами Z/. В методе конечных эле ментов, так же как и в методе конечных разностей, нагрузка считается приложенной в узлах. Существуют различные способы замены распреде ленной поперечной нагрузки внешними узловыми силами.
Одной из основных задач метода конечных элементов является вывод матрицы жесткости R3 конечного элемента, которая для двумер ных и трехмерных элементов (в отличие от стержней) является при ближенной. В основе этого вывода лежат энергетические теоремы (см. п. 1.4.4) и матричная форма расчетов (см. п. 1 .6.3). На основе матриц жест