книги / Справочник по судовой акустике

	_ , дф	. д[НЬ{кг)\_ ш	(1.2.21)
	д (kr) ''	0 д (kr).

Для длинных волн (kr.0 <£ 1) удельное акустическое сопротивление z пульси­ рующему цилиндру равно

? » У - kr„ -4- ipQckrо 1п

..

(1.2.22)

Давление в цилиндрической волне на большом расстоянии от источника

меняется по закону г~~1/Г2, а удельное акустическое сопротивление в цилиндриче­ ской волне вдали от источника равно р0с, как и в плоской волне.

Плотность энергии Wi, мощность N, интенсивность звука (плотность потока мощности) I в звуковой волне. Плотность звуковой энергии wx является удель­ ной (в единице объема среды) энергией звуковой волны.

Мгновенное значение w± в бегущей волне

		щ —		С -2-23»
гии	В бегущей плоской волне р =		р0с|, и мгновенное значение плотности энер­
	ОУ!
		щ =	т Л -Р 2 = Pol2.	(1.2.24)
			РоС
ской	Средняя плотность энергии wi (по времени и пространству) в бегущей пло­
	гармонической	волне [р =	Р0 cos (со/ — kx)]	составляет
где	io — амплитуда	колебательной скорости.

Интенсивность звука (вектор плотности потока мощности) /, определяющая величину и направление потока звуковой энергии через единичную площадку в единицу времени,

î = pv.

(1.2.26)

В бегущей плоской звуковой волне модуль / равен:

/ = р g = - i _

= p0ci* = Wlc.

(1.2.27)

В гармонической сферически-симметричной волне, созданной пульсирующей

сферой	/	eibr\		равна (kr >	1)
	l p = P 0—— I, интенсивность
/	=	р*сГг~[ cos2 №		siny(a)/ — kr) cos (со/ — kr) J .		(1 .-2.28)
Среднее значение интенсивности
		/ =	1	РЪ		(1.2.29)
			2	р0сг2 '
Суммарная средняя мощность N, излучаемая монополем (пульсирующей
сферой),	составляет
		N = Sl = 4nr4 =			.	(1.2.30)
				Рос

<	Средняя мощность диполя, образованного малой сферой	радиусом	гй (kr0 <£
	1), составит
	Й = - ^ я г в р 0с ( £ г 0 ) * &		( 1 . 2 . 3 1 )
где	|о — скорость осцилляции сферы,
	Среднее значение интенсивности (плотности потока мощности) /		осцилли­
рующей сферы малого радиуса г0 вычисляется по формуле
	7 = 4 - Р о cos* еi î .		(1.2.32)
	§1.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГИХ
	И ВЯЗКИХ СРЕДАХ
	В идеально упругом теле при снятии внешних	сил одновременно

исчезают деформация и напряжение, и тело возвращается в первоначальное недеформированное состояние. Деформированное состояние тела характеризуется тензором деформаций— симметричным тензором 2-го ранга [13, 19]:

гх Уху	Ухг		(1.3.1)
Уух Еу	Ууг	у
Уzx Угу	£z _
где гх, yxyt ву, уХ2, ez, yyz, уух% угх,	угу—	компоненты тензора	деформаций.
В линейном приближении компоненты		тензора деформаций	равны:

	dU
г* ~	d x ’
Й* II	£ и

8^ =		3V	•	е2 —		dW .	1	/ ■зи	,	dV \ .
	'	ду			:	дг ’ Уху — Уух - =	2	(>dy	+	àx	J ’
1	/* ÔU			dW\		1 /'	3V	, dW		) ,	(1-3.
2	(Ч дг		1	дх )	;	Уу2 == ч г у - - 2 - { \	дг	+	*

где dU, dVt dW — компоненты вектора dU (на оси х, у, г соответственно), опре­ деляющего изменение расстояния между двумя точками тела в результате дей­ ствия сил.

В случае малых деформаций компоненты деформации гх, sy, ez совпадают, с относительным удлинением вдоль соответствующей координатной оси, а ком­ поненты уik практически равны изменению угла (относительному сдвигу) между двумя бесконечно малыми отрезками, которые до деформации пересекались под прямым углом.

Переход тела из деформированного состояния в первоначальное при снятии внешних сил происходит дод действием внутренних напряжений, возникающих в деформированном упругом теле. Для уяснения этого понятия в идеально упру­ гом теле, находящемся в равновесии под действием внешних нагрузок, выделим

элементарную площадку ds, характеризуемую внешней ^нормалью п (рис. 1.3).

—&

Усилия на элементарной площадке ds сведем к главному вектору сил dTnи глав­

ному моменту dMn. Теперь можно ввести понятие силового напряжения tn

и моментного напряжения тп

dMn тп = ds '

Поскольку моментное напряжение представляет величину первого порядка малости по сравнению с силовым, то им пренебрегают и принимают во внимание лишь силовое напряжение tn.

Для определения напряжения в данной точке на любой площадке достаточно знать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. На рис. 1.4 в декартовой системе координат показаны три

&НЛ

ÎI

à /*7i

Рис. 1.3. Силы и моменты на	Рис. 1.4. Компоненты тен­
элементарной площадке упру­	зора напряжений.
гого тела.

такие площадки и действующие на них напряжения, нормальные и касательные. Полученные девять напряжений запишем в виде квадратной таблицы [35]:

Ох тху тхг Тух ьи Туг Т>гх о2m

которая носит название тензора напряжений, а составляющие ее элементы назы­ ваются компонентами тензора напряжений. Тензор напряжений, так же как тензор деформаций, — симметричный тензор 2-го ранга. Уравнение движения упругой среды (в проекциях на декартовы оси координат) имеет вид *

	d<Jx , dïyX			.	д^гх.			д2и .
	дх	^	ду	1	дг		р	де-	’
	дТху	|	дау	1	дхгу	-		дЪ .
	дх	1	ду	1	дг			р а/2	;
	faxz	,	дТуг	,	<Эст2			d2w
	дх	1	ду	1	дг,	'	Р	др	у
где и, V, w —	компоненты	вектора		смещения			->
							и точек среды на оси х, у, г.
При записи уравнения движения (1.3.4) статические силы тяжести были
отброшены как	несущественные в динамическом							режиме. Система из трех урав­

нений (1.3.4) содержит девять неизвестных: шесть независимых компонент тен­ зора напряжений и три компоненты вектора смещения. Недостающие шесть уравнений даются обобщенным законом Гука, устанавливающим связь между напряжениями и деформациями в упругом теле при малых деформациях. В соот-

* Здесь и далее р — равновесная плотное

ветствии с этим законом каждая из шести компонент тензора напряжений в любой точке тела является линейной функцией шести компонент тензора деформаций:

			Gik~ CiklnCtlnu		(КЗ.5)
где сШт =		—	модуль	упругости.
V оУт ] v/OT=o
Если деформации	принять за		функции напряжений, получим
			4ik =	siklmPlnu	(1.3.6)
где Sikim— коэффициент деформации, или постоянная гибкости.					ранга —
Совокупность	величин		образует симметричный тензор 4-го

тензор модулей упругости, или тензор упругих констант. В общем случае произ­ вольный трехмерный тензор ,4-го ранга имеет ^1 независимую константу. Сим­ метрия тензоров деформаций и напряжений, а также пренебрежение тепловыми эффектами сокращает число независимых компонент тензора модулей упругости до 21. Но и это. число независимых модулей упругости .характерно лишь для материалов, не обладающих пространственной симметрией (например, кристал­ лов триклинной системы). В случае симметрии упругих свойств твердого тела число модулей упругости уменьшается.

В изотропной среде упругие свойства одинаковы по всем направлениям, проведенным через данную точку. Такая среда обладает двумя независимыми модулями упругости К и р, которые носят название коэффициентов Ламе.

Второй коэффициент Ламе р совпадает с модулем сдвига. Через % и р выра­ жаются другие модули упругих сред и ограниченных твердых тел:

— модуль всестороннего сжатия, или объемный модуль упругости,

К= ^ + -g- Ц-;

—модуль Юнга Е для стержня:

		_ и з х - ь а д .
		X + j i	’
— коэффициент Пуассона о, равный отношению поперечного сжатия к про­
дольному растяжению	при	растяжении тонкого цилиндрического стержня:
		X
		а ~ 2 ( Х + ц Г
Значения скоростей упругих волн и других характеристик материалов,
применяемых в судостроении, даны в табл.			1.2.
Обобщенный закон	Гука	(1.3.5) для упругой среды позволяет исключить из

уравнений движения (1.3.4) напряжения; в результате эти уравнения ' будут содержать одну переменную — вектор смещения и (и, и, w) точек упругой среды.

В случае изотропной	упругой среды	уравнение	движения	принимает вид
(?„ +	->	->	д2 и	(1.3.7)
	|А) grad div и + ц .Д и = р		- ^ - .

Уравнение (1.3.7) носит название уравнения движения Ламе. Из уравнения Ламе можно получить два уравнения: первое— скалярное волновое уравнение

для объемного расширения Ф = 8* + гу + е2
р"дР~ = (Х +	(1.3.8)

Материал

Таблица 1.2

Скорости упругих волн и другие характеристики некоторых судостроительных материалов

МодульЮнга Н/м*»,0.1£	Scs		С к		Коэффициент Пуассонаa	Коэффициент внутреннихпо­ ri.терь10“ 4	Скоростьпро­ дольнойволны с10я,.м/с	Скоростьпо­ перечнойволны см/с10я,.	Скоростьпродоль­ волныной в стерж­ несст10V м/с	Скоростьпродоль­ волнынойв пластиплсп.не ,0 '- м/с
	га		о
	1—		à
	З д		49	'
			Н
	J3	«	и
			о
	4	2	я
			Н"
	5 °		О	S

Сталь

210

8,14

7,8

0,29

1

5,94

3,22

5;2

5,4

Алюминиевые

72

2,7?

2,8

0,3

5

5,87

3,14

5,1

5,3

сплавы

21

0,955

1,7

130

3,55

2,36

3,54

Стеклопластик

0,1

3,5

Фанера

3,4

—

0,8

—

130

—

—

—

—

Плиты древесно­

3

1

0,17 200

волокнистые

второе — векторное

волновое

уравнение

для

вихря вектора

смещения œ =

=

->

rot и

d2(ù

. ->

(1,3.9)

р ~ д р -=

и д ®'

Вектор смещения и в соответствии с теоремой Гельмгольца представим в виде

и = g r a d O + r o M >

(1.3.10)

где Ф — скалярный

потенциал, описывающий

движение, обусловленное

нали-

->■

чием источников объемных смещений; А — векторный потенциал, описывающий

движение,

возникающее

благодаря

вихрям.

При этом

оказывается,

что скалярный потенциал удовлетворяет уравнению

(1.3.8)

[34,

41]:

р - ^

г = (^ + а д д ф .

(1.3.11)

а

векторный

->

(1.3.9):

потенциал Л — уравнению

дМ

->

(1.3.12)

р ^ р - = ц Д Д .

Объемное

расширение Ф

распространяется в изотропной

среде соскоростью

Сп = у Щ

Ш

'

(1.3.13)

а

вихрь — со

скоростью

____

сс ^

У

(1.3.14)

При распространении

волны

расширения

(безвихревой)

всредевозникают

деформации расширения (сжатия) и сдвига, а при распространении вихревой

волны

(волны

искажения) — вращение элементов

среды

и деформация

сдвига.

Безвихревая плоская волна в безграничной упругой изотропной среде превра­

щается в продольную волну, так как вектор смещения и в ней ориентирован по

направлению волновой нормали и, т. е. по направлению распространения. Пло­ ская волна искажения является поперечной волной с вектором смещения, пер­

пендикулярным волновой нормали,	т.е. параллельным	волновому фронту.
Значения скоростей продольной	сп и поперечной сс волн в		некоторых упру­
гих средах можно видеть из табл. 1.2.		телах	уравнение Ламе
При изучении гармонических процессов в твердых

(1.3.8) сводится к двум уравнениям Гельмгольца— скалярному и векторному,

для	скалярного (Ф) и векторного			(Л) потенциалов		[см. (1.3.10)] соответственно'
		Z, к				( А + £ й) Ф = 0 ;		(1.3.15)
			,	(		(A -±-k2)A = 0.		(1.3.16)
					Математический		аппарат	теории
					упругости и движения вязкой жидко­
1	041	у 1			сти идентичен, поэтому уместно рас­
					смотреть	вопрос о	распространении
			'		звука в вязкой жидкости. Вязкие (тан­
				1генциальные) силы возникают между
		Рис. 1.5. Упругий	слой.		слоями жидкости, движущимися с раз­
					личной скоростью, они стремятся вы­
					равнять	эти скорости, т. е.		препят­

ствуют относительному движению слоев. В отличие от идеальной жидкости, тен­

зор напряжений которой содержит только

диагональные члены—

нормальные

напряжения (давления), в вязкой жидкости

имеются

и касательные

напряже­

ния, пропорциональные скоростям деформаций.

Потенциал <р плоской звуковой волны в вязкой среде подчиняется уравне­

нию [14]

1

д8Ф

ааф

,

4

у

азд>

.

с2

dt2 ~

д*2

+

3

с2

dtdx* ’

U

где

V — коэффициент

кинематической

вязкости.

Уравнению (1.3.17) удовлетворяют затухающие

акустические

колебания

ср = —'Фт е* 1®*~~к1хх)еатх^

где

фт — амплитуда

звукового

потенциала;

<хт —

коэффициент

затухания;

£д =

а к р — волновое число для

вязкой

среды;

с^ —

скорость звука

в вязкой

среде.

число

k^ связаны системой уравнений:

Коэффициент ат и волновое

4

з‘

Ï

-5 - C03V

2 a mk l l

= ■

О

с 1 + ^|-<a2v2

’

(1.3.18)

C2<ù2

k 2 —

?

RH

ат

С4 +

^ û>2V2

До сих пор мы рассматривали бесконечно протяженные твердые тела — упру­

гие среды. В полубесконечной среде

вдоль

ее единственной границы, свободной

от напряжений, могут возникать поверхностные волны, впервые исследованные Рэлеем и потому называемые волнами Рэлея [4].

В твердой пластинке (слое) со свободными границами (рис. 1.5) могут распространяться волны Лэмба, у которых имеется смещение как в направлении распространения волны, так и перпендикулярно плоскости пластинки.

Для судовой акустики представляют интерес нулевые формы волн Лэмба, существующие в упругом слое при любой частоте: нулевая симметричная волна, называемая продольной, и нулевая антисимметричная, называемая изгибной.

Принцип взаимности. Для линейных колебательных систем принцип взаймы ности является одним из фундаментальных. Он связывает свойства звуковых полей и позволяет, в частности, менять местами источники и приемники колеба­ ний, что бывает важно при решении некоторых задач [2].

а )

7 .

Ъ

Рис. 1.6. Иллюстрация применения принципа взаимности к звуко­ изолирующим системам.

Пусть Ф и ? есть потенциалы скорости. Волновые уравнения для них за­ пишем в форме (1.1.13)

ДФ +		к2Ф = 0;			(1.3.19)
A 'F -f W			= 0,
откуда				0.	(1.3.20)
АФУ — ФАУ =
Ограничимся случаем плоских волн. Тогда
д*Ф			А„,	c W
ЛФ= - ^ ; А¥				дх8
Учтя также связь потенциалов с колебательными давлениями и скоростями
при гармонических процессах для	двух		точек пространства (индексы 1 и 2)
Pi = шрФ;	=		дФ		ia>p¥;
		------ ; р2 =
с	_		д Ч	’
получим из (1.3.20)			дх
рЛг = Р2*Ь-					(1.3.21)

Из уравнения (1.3.21) следует, что замена местами излучателя и приемника при сохранении режима излучения-не изменяет звукового давления на приемнике.

Проинтегрировав по площади колеблющейся поверхности S (которая в дан­ ном случае равна площади фронта волны), получим

j Pi62ds= J Psiids.

(1.3.22)

Уравнение типа (1.3.21) может быть распространено на случай механических систем. Получим

FiÙz = ^ 1 »

(1.3.23)

или для гармонического процесса

р1Уг = р2У1-

(1.3.24)

В последних уравнениях Fi и F 2— колебательные силы двух источников;

у1 и у2— колебательные ускорения, уг и у2— колебательные скорости (они, разумеется, могут быть' заменены колебательными смещениями).

Принцип взаимности справедлив и- для неоднородных и поглощающих сред, а также для случаев, когда на пути распространения от одной точки к другой

волна	претерпевает отражения и преломления.
П р и м е р . В точке 1 машинного отделения			работает источник с произво­
дительностью Q. Звуковой уровень в точке 2, находящейся внутри звукоизоли­
рованного поста управления, равен I		(рис. 1.6, а). Тот же самый уровень будет
в точке	1 при перемещении источника	Q в точку	2 (рис. 1.6, б).

§1.4,	УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ, ПЛАСТИНАХ
	И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ*
является их	Длина упругих волн [42]. Основной характеристикой упругих		волн
	волновое число k , связанное с ’ длиной волны К соотношением		k =
= 2я/Х.
Так как k =		о)/с (с — скорость распространения волны), то длина упругой
волны есть	Я =	c/f.
Продольные		волны в стержне. Стержнем принято называть вытянутое

упругое тело, у которого больший размер значительно превышает размер попереч­ ного сечения. При продольных колебаниях поперечные сечения стержня пере­

мещаются в направлении его оси (рис.		1.7). Скорость		распространения-продоль­
ной волны вдоль стержня
	Cn. CT =	y	i L y	(1.4.1)
где Е и	р — модуль Юнга и плотность		материала	стержня.
При	продольных колебаниях сечений стержня с			амплитудой х происходят

также поперечные перемещения его граней с амплитудой у и г. Отношение этих величин для прямоугольной формы сечения стержня составляет

	У	_	^п. ста .		z _ „ ^п. СТ^	(1.4.2)
	*	“ а	2	’	2
						’

где а и b — размеры поперечного сечения стержня; kn, Ст— волновое число про­ дольных колебаний в стержне; а — коэффициент Пуассона.

Плотность энергии продольных волн (т. е. усредненное за период количество ее, содержащееся в отрезке стержня единичной длины) равна*

ст = 4" тсУ*0,

где т СТ— погонная масса стержня; х0— амплитуда смещения сечения стержня.. Поток энергии в стержне, т. е. количество энергии, проходящей через сече­

ние стержня за единицу времени, определяется выражением

Пп. ст = “2 ” т ст^п. ст® *0 = ^П.СТСп*ст"		(1.4.4)
Значения сПфст для некоторых используемых в судостроении		материалов
были приведены в табл.	1.2.
Частоты, на которых возникают свободные продольные колебйния стержня
длиной I, равны
/г =	ст (t = 1 ,2 ,3 ,. . . ).	(1.4.5)

* В написании параграфа принимал участие С. В. Будрии.

Формула (1.4.5) справедлива как при свободных, так и при заделанных кон­ цах стержня.

Количество частот свободных продольных колебаний стержня длиной I, проходящихся на полосу частот А/ (плотность собственных частот), определяется

выражением		<*)
J V ( A / ) = - ^ - Â f .	(1.4:6)
с п. ст

Крутильные волны в стержне [26]. При крутильных колебаниях поперечные сечения стержня совершают поворот вокруг' центра* тяжести. Скорость распространения крутиль­ ной волны в стержне круглого или кольце­ вого сечения

			с	= л [ —		>		(1.4.7)
			СК . СТ	У	р
где 0 — модуль сдвига в материале стержня
(см. табл.		1.2).					крутильной'
Скорость			распространения
волны в	стержнях с другим					сечением отли­
чается	от	с'с ст,		описываемогоформулой
(1.4.7).	Так,		для	прямоугольного				сечения
со сторонами			а и b
			ск. ст	Х^к.ст*				(1.4,8)
Зависимость коэффициента х от соотно­
шения сторон а и b поперечного сечения
стержня	прямоугольной				формы приведены
ниже:
а/b			1	1,5	2		3	6
X			0,92	0,85	0,74		0,56.	0,32

Видно, что в стержне некруглого или
кольцевого сечения крутильная волна рас­					Рис- 1*7* Характер деформации
пространяется	с	меньшей	скоростью. При
> g		2ь	/		стержня при продольных (а),
ск				(1.4.9)	крутильных (б) и изгибных (в)
		ст ~ —^~ск. ст*			колебаниях.
Выражения (1.4.8) и (1.4.9) справедливы, если выполняется условие ku. ва<^
< 1, где kH' B—		волновое число изгибных колебаний в пластине толщиной dt
определяемое	по	(1.4.28).
В общем	случае

<l•4 л 0 ,

где С — жесткость стержня при кручении; 10— полярный момент инерции сече­

ния стержня.
В	частности, при круглом или кольцевом сечении С — IPG и (1.4.10) пере­
ходит	в (1.4.7). Плотность энергии крутильных	колебаний в стержне
	“ ’K. CT= - T ' pV i ’o.	o - 4 .ii )

W ф0 — амплитуда угла поворота сечения стержня.

	/ Р=	- г ( г4-		г1)>	<Ы Л2>
где г и /\ — наружный и внутренний радиусы					сечения соответственно.
При г± == 0 .выражение (1.4.12)		описывает 1Р для круглого сечения. Для пря-,
моугольного сечения	стержня
	/ " =	Т	Г (а2 +	62)-	(1'4ЛЗ)
Поток энергии в	стержне* при		крутильных		колебаниях
	Пк. ст ^	^к. стск. ст*			(1.4.14)

Изгибные волны в стержне. При изгибных колебаниях поперечные сечения стержня совершают поперечные перемещения и поворот вокруг оси, проходящей через нейтральную плоскость (нейтральная плоскость не испытывает деформа­ ции растяжения при изгибе стержня) [17]. Угол поворота сечения стержня q> при гармоническом процессе связан с его поперечным перемещением у соотно­ шением |q>| = &и. ст I УI» где &И.СТ— волновое число изгибных колебаний стержня

		*и. ст = -Г——			(1.4.15)
		С\\.ст
Си. ст— скорость перемещения вдоль стержня			фазы'деформаций		при изгибных
колебаниях, называемая		фазовой скоростью	и	равная
		£и. ст = l^WCn. ст^ст		»	(1.4.16)
где гст — радиус инерции		поперечного сечения		стержня. Для стержня прямо­
угольного сечения		а
					(1.4.17)
		Гст —■ F f f ’
где а —	размер сечения в	направлении у, для стержней круглого и кольцевого
сечений	соответственно
		г '			(1.4.18)

Гст~ ~ Т ;

Из выражения (1.4.16) видно, что фазовая скорость изгибных волн^в стержне зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия скорости.

Выражение (1.4.16) справедливо при условии Си.стГ1 <С Изгибные колебания стержня характерны наличием так называемых неодно­

родных изгибных волн помимо бегущих волн. Они возникают вблизи неоднород­ ностей в стержне (например, изменения сечения) или около точек приложения внешних усилий. Изменение амплитуды неоднородных волн' вдоль стержня опи­ сывается экспонентой, убывающей по мере удаления от места возникновения этих волн по закону

У1 М = У 01е ± ‘ » -сЛ

(1-4.19)

где у01— амплитуда неоднородной волны в месте ее возникновения.
Величина Б = EI характеризует изгибную			жесткость стержня. Здесь / —
момент инерции сечения стержня ( / =		r^ s). Плотность и поток энергии при изгиб­
ных колебаниях стержня равны соответственно
®и. ст	2~	Пн. ст =	2ши стсИСТУ	(1.4.20)

где у0— амплитуда поперечного смещения сечения стержня.