книги / Методы электрических измерений
..pdfНа рис. 7.1 изображен возбуждающий сигнал S (/), снимае мый с мощного генератора. Сигнал S (t) прикладывается к элект родам, разнесенным друг от друга на расстояние до одною кило метра. Сигнал S (t) создает искусственное электромагнитное тюле на исследуемом участке. Отраженный сигнал т] (/), снимаемый •с помощью индукционных датчиков на небольших участках, несет информацию о залежах полезных ископаемых, но измеряется на фоне сильных помех. Зная период 5 (/) и начало измерений, можно организовать многократные измерения, поскольку полезный сиг
нал в точке тг от начала |
каждого периода имеет одно значение: |
а (тг) = const, изменяются |
только помехи. |
Для повышения помехоустойчивости средств измерений по стоянных или периодических полезных сигналов целесообразно
вводить |
обработку |
многократных измерений. Задача |
сводится |
|||
к оценке полезного |
сигнала |
а = const |
по многократным наблю |
|||
дениям т|,-, в которые входят как полезный сигнал, так |
и реали |
|||||
зация |
помехи |
в |
момент |
измерения |
(£*): |
|
|
% = |
а + |
£х; ть = |
а + |
г\п = а + In- |
|
Алгоритмы обработки наблюдений должны удовлетворять основным свойствам статистических оценок — состоятельности, несмещенности и эффективности, определенных в (6.84)...(6.86).
7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПО МНОГОКРАТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
Увеличение числа измерений для повышения помехоустойчи вости средства измерений всегда ограничено, поэтому попытаемся синтезировать такие процедуры, которые минимизируют число измерений, необходимое для достижения заданной точности. Эта задача эквивалентна следующей: построить оценку, имеющую при заданном числе опытов минимальное рассеяние относительно истинного значения оцениваемого параметра. В качестве меры рассеяния будем использовать дисперсию погрешности оценки (6.97), т. е. будем искать такое оптимальное преобразование (ал
горитм оценки) а (т]0, |
т|п), что |
|
М [а — а ("По, |
т|п) la = min. |
Синтезируемая оценка а (TJ0, ... , т|п) должна быть эффектив ной, состоятельной и несмещенной. Кроме того, для искомой оценки необходимо, чтобы алгоритм работал в заданном диапазоне измеряемой величины, т. е.
а |
(Ь + |о, |
Ь + |
U |
- |
а (а + |
| 0, |
а + SJ = Ь - |
а. (7.1) |
||
|
Обозначим ф (xlt |
..., |
х„) = |
—а (0, |
xlt.... хп), |
тогда |
посвой |
|||
ству (7.1) |
а (х0, *!, |
..., |
|
хп) |
= |
а (0, |
хг— х0, .... хп — х0) + |
|||
+ |
х0 = х0 — ф \хх — х0, |
..., хп — *„)»так что |
|
|
||||||
|
сс (Но» |
Tit» |
Tin) ~ |
Tlo |
Ф(Tli |
Т1о» *••> Tin |
Но)- |
(7-2) |
Поскольку дисперсия случайной величины не меняется при сдвиге этой случайной величины на постоянную, то, как известно 139], искомая функция <р (х1? ..., хп) есть регрессия случайной
величины |
относительно системы случайных величин |
£х — | 0, |
||
is |
1о» |
irt |
io- |
..., хп), |
|
Найдем теперь формулу для искомого алгоритма cp (хх, |
учитывая, что плотность распределения случайной величины |
обозначена через р (х), |
введем обозначение |
/„ = | 0; |
1г = — |
||||
— io. •••; |
U = |
in — io- |
Пусть q (z0, zv |
..., |
zn) — |
совместная |
|
плотность распределения величин l0, llt |
1п, |
тогда по формуле |
|||||
условного |
среднего (6.93) |
|
|
|
|
||
|
м |
/„ |
I ^оЧ (Zo. |
lit • *• I |
^п) |
|
|
|
g = J-.------------ , |
|
I Ч(^0. ^1» • • • »^Jl)
откуда искомая регрессия |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I |
^Ч(^» |
Xj, • • • |
• ^в) ^ |
|
|
||
|
|
Ф (*1.........*п) = 7 ----------------------- |
|
(7.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
J |
ч (*. * 1 » |
• • • . *п) Л |
|
|
|||
Вычислим для |
произвольной |
/ (/о, |
/х, |
|
1п) ее среднее зна- |
|||||||
чение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| / (Zo. • • • »zn) ^ (Zg, |
. • ., a,*) rfZ(j ... dZg x |
|
||||||||
ХЛ1/(/ф, |
/j, . . . , /п) —J |
J / (io. |
ix |
|
io. • • • |
>in |
ёо) X |
|||||
|
|
X P(io) |
P(in) ^io ^il |
|
|
din = |
|
|
||||
|
|
= J [J |
J/(20, ^ - Z o , . . . |
, |
Z n — Z 0) |
X |
|
|||||
|
|
X P(*i) |
|
P(Zn) dzx |
dzn)p (z0) dz0 = |
|
|
|||||
|
= |
J [ J |
|
J / |
(*0> -^1. |
• • * . |
X n) p (xx -J- X Q) |
|
|
|||
|
|
• • • P{Xn + |
x0)dxx ... dx0] p (x0) dx0= |
|
|
|||||||
= J |
j / (^0» •• •»X n) p (Xj |
XQ) . . . P (Xn -j- XQ) dk0 . . . dkn. |
||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q (t, |
x1? |
..., |
xn) = p{t) p (xx H- 0 |
p (xn + |
0 |
|||||||
и формула |
(7.3) |
приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
| *P (0P (*H-0 |
••• P(xn+ i)dt |
|
|||||
Ф (^1» • • ♦> Хп) — |
|
|
|
••• P ( x n + |
t ) d t |
(7.4) |
||||||
|
|
|
|
|
\ p ( i ) P ( 4 - \ - t ) |
|
Поясним на двух примерах методику использования получен ного оптимального преобразования (7.4).
Пример 7.1. Пусть помеха £ (/) имеет нормальное распределение с нулевым ожиданием и дисперсией о3.
Имеем
тан что
P ( i ) p ( x i + t) ... р (хп + 0 =
/ |
1 |
\л+1 |
[ |
/а |
1 " |
откуда по формуле (7.4)
Следовательно,
а (Чо. • • • . Чп) = Чо — ф (% — Чо. • • •, Чп —Чо) =
Чо + п _j_ j [(4i —Чо) + (Ча — Чо) + *" • + (Чп — Чо)] =
__ |
я |
£ % |
, ft=l |
||
~ Чо — -"-г г Чо ~г „ г г |
||
|
П+ 1 |
я + 1 |
, |
„ |
|
|
1 |
V |
4ft. |
(7.5) |
— •- _ГТ |
1л |
||
П+ 1 |
fc=Q |
|
Как и следовало ожидать, оптимальной оценкой при помехах, распределен ных по нормальному закону, оказывается выборочное, среднее с дисперсией по грешности оценки
D[a — а (по, . . . . |
Чп)] = |
D |
1 |
(Чо Н----- + |
Чп) = |
я + 1 |
|||||
1 |
(n + |
l)D(6 + |
f l ) - n -fl |
* |
|
(я+1)3 |
Пример 7.2. Рассмотрим равномерное распределение помех на промежут ке [—Д, 4-Д]:
д |
д |
£>6= j |
х*р (х) dx = - j- j (x3dx) = 4 " . |
~д |
-д |
Следовательно, при известном законе распределения, отличном от гауссов ского, и при использовании алгоритма выборочного среднего (7.5) в этом случае получим дисперсию выборочной средней (неоптимальную оценку)
|
|
|
|
D*k |
_ |
Dj |
_ |
Аа |
|
|
(7.6) |
|
|
|
|
|
rt —f—1 |
|
л + 1 |
|
3 (л -j- 1) |
|
|
|
|
Используя формулу (7.4), можно найти оптимальную оценку, но для этого |
||||||||||||
найдем сначала |
q (i, |
xv |
.... хп) = |
р (t) р (t + дсх) ... р (t +*п). |
Плотность q (t, |
|||||||
хг...... *п) ф 0 тогда |
и только тогда, когда |
одновременно |
J t | г$Г 0, |
| х* + ij |
^ |
|||||||
^ Д ,.... |*n + t\ ^ |
Д, |
т. е. |
когда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t < |
min {Д, Д — Xi,..., Д — хп) = |
/а |
|
|
|
||||
и одновременно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах {— Д, — Д— *1, ... , — Д — хп} = /а. |
|
|
|
||||||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?(') = |
д(Л |
Xi>•»»> Хп) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
Я (t, |
Хх, |
, хп) i t |
|
|
|
|
постоянно в интервале (/*, f2), |
равно нулю вне этого интервала, |
и |
интеграл |
от |
||||||||
q (t) |
равен единице. Следовательно, q (0 — плотность равномерного |
распределе |
||||||||||
ния в интервале (tlt /j), а Ф (*i> •••* хп) = |
|/<7 (О it есть среднее значение для та |
|||||||||||
кого |
распределения, |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (*i......... *п) = |
ti + tj |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
-§ -[— Д + |
max (0, — xlt |
. . . , |
— хп) + |
Д + min (0, — xv ... , — xn)] = |
|||||||
|
= |
---- Y |
[min (0, |
xx.........xn) -f max (0, xlt . . . . *n)]. |
|
|
Учитывая формулу (7.2), получим окончательно выражение для оптимальной оценки:
« (По, • • •. Ип) = ~2 ~[min (По. • •. . Пп) + max (По, . . . . Пп)1 =
(7.7)
Оптимальная оценка равна полусумме крайних членов вариационного ряда. Можно показать, что дисперсия погрешности оценки по формуле (7.7)
п ( |
Ч« + Н* ^ ______ 2Да |
3) |
(7.8) |
||
\ |
2 |
) |
(п + 2)(« + |
|
|
Неравенство |
|
|
|
|
|
|
2Д* |
|
А» |
|
|
(п+ 2) (я -j- 3) |
3 (п-(- 1) |
всегда выполняется. Это значит, что если нам известен закон распределения помех, то необходимо оптимизировать алгоритм обработки.
Рассмотрим теперь минимальный объем выборки, обеспечивающий |
заданную |
||||||
дисперсию погрешности у2. Для |
среднего выборочного получаем N±= п + 1 > |
||||||
1 / |
Д |
у |
, в то |
время как |
для оптимальной оценки (7.7) |
условие |
|
> - д - 1 |
— |
I |
|||||
2ДаТ |
|
^ |
, |
к |
неравенству |
|
|
(N + l)(N + |
2 )^ V |
приводит |
|
" • > - г ( V ' + * ( т У - 3) -
Обозначим min Nf = nj (у): min N2= ла.(у), тогда при у -> О |
|
пй(у) - Г б М у ). |
(7.9) |
Так, например, чтобы обеспечить дисперсию ошибки, не большую, чем 0,1Л2, при использовании среднего выборочного следует взять не менее четырех наблюдений, в то время как для алгоритма (7.7) достаточно трех наблюдений. Раз ница незначительна, однако при высокой точности о2 = 0,0001 А в первом случае
понадобится 3334 наблюдения, в то время как во втором случае — только 140 наблюдений, т. е. в 24 раза меньше.
Таким образом, приведенные примеры показывают, насколько важно использовать априорные сведения о законах распределения помех при отыскании алгоритма оценки.
Перейдем далее к решению более сложной задачи. Используя формулу (7.4), попытаемся получить алгоритм оптимальной оценки полезного сигнала а = const по многократным измерениям для модели помех, обоснованной в п. 6.7.1.
Отметим здесь некоторые свойства закона распределения по
мех при |
многократных |
измерениях: |
|
|
|
р(х’ e ) = w |
exp( ~ ® 0 + e ,lW ' |
(7Л0) |
|
Отметим, что |
|
|
|
|
1) J хр (х, е) dx = 0$ |
|
|
|
|
2) р (х, 0) — нормальная |
плотность р„ (х) |
е дисперсией |
||
сга ->- Os |
|
|
|
|
3) |
°) = |
?.W |
= f t W - ^ - e x p |
( - ^ ) . (7.11) |
Непосредственное использование выражения (7.4) для изме рения сигналов помех с плотностью (7.10) приводит к непреодоли
мым аналитическим трудностям, поэтому, учитывая то, что |
в вы |
||||
бранной модели е мало, попытаемся выделить |
линейную |
по е |
|||
часть оптимальной |
оценки a (ii0, |
цп) |
по |
формуле (7.4): |
|
Фе(^1> • • • |
f tp (t, е) |
p(t - f- |
e) dt |
(7.12) |
|
» %n) ~ ”?---------— |
, |
|
|||
|
j p (t, e) |
p (t + xn, 8) dt |
|
По |
формуле |
Тейлора линейная |
часть |
равна |
|
||||
|
5 = *>+ |
е (ж ’’" L o = |
f 'C 1 + 6 ( ж ln ’’O e . J • |
(7ЛЗ> |
|||||
Поскольку при в = |
0 имеем чисто нормальное распределение, |
||||||||
то из |
выражения (7.5) |
получим |
|
|
|
||||
|
Фо(*1. |
|
• • • |
J %п) ~ |
1 |
п |
(7.14) |
||
|
|
п I у Л |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
п"г 1 |
k—\ |
|
Вычисление |
|
|
|
сводится к вычислению выражения |
|||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1п.fи W р V' |
е) |
р У + *». «)^ ] е=0 = |
|
|||||
|
f « (О |
|
(*• 8> |
р |
+ *»• |
®)1 е--о di |
(7 15\ |
||
|
— J |
|
1 ™___________________J___ |
||||||
|
|
|
J « (*) Ро (0 |
Ро (t + *п) & |
|
Полагая и (f) — t или a (rf) = 1, в расчетах можно использо вать числитель или знаменатель формулы (7.12). Тогда
[ж Р & е) |
РV + |
’ |
e)]R__0 = |
||||
= [ 4 - ( * + * " • |
е> 8—0 |
.£<70 (t “Ь x v) |
П р 0 (t -j - Xj ) — |
||||
k—0 |
|
|
/=5^=/г |
||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
= (у !я а ) 2 |
%^ + |
Jfn^exp( '” |
So3) |
!Фк |
|||
*=° |
|
|
|
|
|
||
fc=® |
L \{ф к |
/ I |
|
!фк |
j |
||
X “ > • ( - £ ) ( ' + 4 - 2 х / |
|
||||||
т. e. |
|
|
|
|
N-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J*u W |
8) |
P V + |
*n. ®)1 _ |
dt ~ |
|||
|
|
|
|
|
|
J6—0 |
x
J e ( s - v 2 x' ) ?o( s + *‘ “ 4 - 2 jc' ) ejtp ( - S ) ds
(тжгГ*w *l;sp(®)—0 L[(2\{фк |
*/)*/») / -/_2fei, 4 |
|
|
1фк |
|
х и ( - 4 - 2 х') * ( * ‘ - 4 - ] £ * / ) • |
<7Л6> |
(Здесь было использовано условие малости сг). Аналогично для
знаменателя |
формулы (7.15) получаем |
|
|
||||||
|
|
|
J«(0/°o(0 |
Ро (< + *») Л = |
|
||||
|
|
= |
( т ^ ) ' ,+‘ 1 и(0ехр( ~ & ) х |
|
|||||
|
|
X |
(я + 1 )< а+2< S |
+ |
d t — |
|
|||
|
|
|
|
||||||
( |
) |
К М Л |
6ХР (йог») . ( ? |
*') |
(П+ 1} |
и X |
|||
? Х! |
|||||||||
|
|
|
|
X |
— 2оJ Xj/(n -f- 1) |
]• |
(7-17) |
||
Окончательно |
получим |
|
|
|
|
||||
|
|
[ 4 1п 4 L |
|
= о V 2* (1 + - г) X |
|
||||
x 2 |
rap( i ) x |
( |
2 |
) 7 " —(•?■*') | <л+1)+■xl |
х [^т1(2Х'(2Х')- 171(х‘ - 42х')• <7Л8>
Учитывая соотношения (7.13) и (7.14), получаем из (7.18) выражение для искомого квазиоптимального преобразования
|
«(%» |
’Ь) - х + Т 2 |
|
% |
|
||
|
|
А=0 |
|
|
|
||
|
_________ п |
г |
|
2 |
(7.19) |
||
- еа V |
т Й П ) |
2 а д « <“»>ехр |
L |
2о‘"«+Ц |
|||
|
|||||||
|
|
*=0 |
|
|
|||
где |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1_ |
|
|||
|
4-2^- ’1,)= 4fc- |
|
|
||||
Йй |
|
п 2 v |
|
/—0
Полученное преобразование состоит из линейной части, равной выборочному среднему, и некоторой «поправки», которая нелиней на по отношению к наблюдениям т)г. Заметим, что при измерениях без искажений (е = 0) полученное преобразование совпадает с выборочным средним. Необходимо помнить, что процедура (7.19) получена в предположении малости в и применять ее можно только там, где это предположение оправдано.
Можно, получить и точное выражение для оценки а (щ, ..., т)п)
из формулы (7.4), |
предполагая, |
что часть измерений не искажа |
||||||||
ется, т. е. модель (7.10) переходит в |
|
|
|
|
||||||
р (.х, в) = (1 — в) 6 (х) + s? (х), |
|
(7.20) |
||||||||
где б (х) — дельта-функция; |
у (х) — гауссовская |
плотность рас |
||||||||
пределения N (0, о2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя формулы (7.4) и (7.1) после приведения к общему |
||||||||||
знаменателю, получим |
|
4 - 0 0 |
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j * П Р (4ft — *) 4 * |
|
|
||||
«(%> |
|
4п) = |
|
|
--------------- • |
|
(7.21) |
|||
|
|
|
|
f П P(^h~x)dx |
|
|
||||
|
|
|
|
----ОО k = l |
|
|
|
|
|
|
Обозначим в этой формуле |
числитель через / (%, |
%), а |
||||||||
знаменатель через |
g (r\i, |
т|п). |
О = t + а (гц, |
цп), то |
||||||
Поскольку a (rji + |
t, |
% |
+ |
|||||||
+ |
.. . |
>Ц п -И ) |
f |
I |
/ ( l i ' " " |
4n) |
|
|
||
g f a i + |
t, |
. 4n + 0 |
|
' |
g (%. • • • . |
4n) |
* |
|
||
Но |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
g(4i + 0 |
4*1 + 0 = |
j |
П р [ % — (x— t)]d(x— 0 = |
|||||||
|
|
|
*—•0 0 |
& = 1 |
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
= § Oli> |
• *• |
? |
Лл)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(4i + 0 |
4n + |
0 = |
te(4i» |
|
4») + |
/(4i. |
|
4»)* |
||
откуда, дифференцируя |
по |
t обе части, получим |
|
|
||||||
£(4i> |
4n) = * ^ '/(4 i + |
0 |
4п + |
0* |
(7.22) |
|||||
Числитель / (rji, |
..., т|п) в формуле (7.21) |
определим, |
исполь |
|||||||
зуя очевидное равенство б (х — а) б (х — Ъ) = |
0 |
при |
а ф Ъ: |
|||||||
|
|
|
- + 0 О |
П |
|
|
|
|
|
|
f (4i» |
4 п) = |
е" | |
х П у (4л - |
х) dx + |
|
|||||
|
|
|
----0 0 |
t a = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
П у (rift - |
|
|
|
|
|
+ &n~l (l “ е) 2 |
4rn |
Г)т ). |
|
(7.23) |
||||||
|
|
|
m=l |
кфм |
|
|
|
|
Вычислим интеграл в первом слагаемом
+» |
П |
J |
X П 7 (lift “ X) dx = |
—оо |
k~l |
-х )Ч х =
- ( ? к |
) " |
|
|
«-J-OD |
|
+ (л+ *)! |
“* - ( т Ё г ) " Ь ехр ( ч ) [(S2) * (х “ |
d x |
= v (S) чо. 1 /-Т Р
где л — выборочное среднее; Sa— выборочная дисперсия. Преобразуем теперь второе слагаемое в формуле (7.23):
п |
П V (Tlfc - |
|
п |
п |
|
|
^ Л т |
Лт) = |
2 l Т|т П |
V Olfc - |
Лт) v (0) |
||
т=1 |
кфт |
|
т=1 |
к=1 |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
- * ^ |
2 ( • |
) |
* ехр ( - |
я ) 2 |
^ - |
- °° ^ |
( „ т т я г ) "ехр ( - щ |
\ 312 |
’ь-ехр ( - |
ц |
|||
|
|
|
|
|
п |
|
|
X (л — Лт) = |
(о2/ ' 2n)n+V |
(5) 2 |
ЛпУ* (Лт — Л). |
||||
|
|
|
|
|
т«1 |
|
|
Теперь |
формула |
(7.23) |
принимает |
вид |
|
|
|
|
/ (Лъ |
Лn) = |
е"-1 сга /2 ™ |
‘ (5) у = (ел |
|
||
|
|
|
I» |
|
(г\—'}т)'п |
(7.24) |
|
|
+ (Г — е ) / л 2 л т ехр |
|
ет=1 |
2о; |
|
По формуле |
(7.22) получим выражение для яСПь |
с учетом (7.24) |
найдем нужную оценку: |
П
|
щ + (1— е) Уп ^ |
Чтвхр — (Л — Tim)2 Л |
] |
||
® Oil» • • •» Чв) — |
m=I |
|
Ц |
|
|
1Ф |
|
' —(fj—Tb)2 ” |
|||
|
в Ч- (1 — е) У п ^ |
ехр |
|
||
|
m« 1 |
2о| |
] |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
Оценку (7.25) можно переписать и в виде
п
т]п) и
(7.25)
2 |
1техР |
|
n l гп |
|
2о1 |
||
гн=1 |
|
|
|
а (%»•••> Яп) = Л + |
i p |
/ |
(7.26) |
|
|
nlт |
|
- + |
m=I ехрГН |
||
2 |
|
|
где
— г)т fj; еп — ®/[(1 — е) У п J.
Аналитическое выражение для дисперсии погрешности оценки по выражениям (7.19) и (7.26) получить не удается, поэтому, как
Рис. 7.2. Зависимость оценок ч |
и а |
от количества повторных измерений при |
е = 0 , 1 , и = |
1 (а) |
н е = 0,1, о = 10 (б) |