книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

132 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Для изотропных сред квазистатическая задача для всего пространства

(2.7.3) принимает вид
fv ( v •u) + (1 —2^ )д и + 2—2Tl0pf = о в q,		(2.7.21а)
\и | = 0 , V	X и| = 0 .	(2.7.216)

Здесь использовано уравнение равновесия в форме Ламе (2.6.72а) для изо­ тропных сред.

Поскольку (см. т. 1, (2.5.18))
Ди = V (V • и) -	V	х V	х и,		(2.7.22)
то уравнение (2.7.21а) можно представить в виде
2(1 - i / ) V ( V - u ) - (1 - 2 v ) V х V	х u +		i	-GrT‘ -p i = 0.	(2.7.23)
Введем новое векторное поле i/?(x), которое является решением следую­
щей задачи во всем :
V х * = ~ 2 ( & V ) V х "• v * = -	n	^	v	■u ' ’,'l~ = 0'	(2 J -24>

Согласно теореме 1.6.7 из т. 3, п. 1.6.5 решение этой задачи всегда суще­ ствует. Подставляя (2.7.24) в (2.7.23), приводим это уравнение к виду

	V (V • ф) —V X V X ф = -^ 3 — y£f.					(2.7.25)
Используя еще раз (2.7.22), приходим к следующей задаче для ф:
А ф	= 2 о Ь	) ^ '	V x ^ L = 0 '	4 »	= °-	(2.7.26)
Из условия V х и|	= 0,	которое	накладывалось	на	вектор	перемещений,

следует, что функция ф, являющаяся решением задачи (2.7.24), удовлетворя­

ет условию V х ф\	= 0.
Для того чтобы найти вектор перемещений и, необходимо вернуться к
задаче (2.7.24) и рассмотреть ее относительно вектора
	W = ^	+ 2 < r G U'			<2 J -27>
для которого из (2.7.24) получаем
V х w = 0,	V • w =	1	V • ф,	w| = 0	(2.7.28)
	2(1- 1/)

— задачу об определении поля w по заданному распределению вихрей и; = 0
и источников £ = -------- - V • ф.
2(1 - и)	1.6.7 из т. 3, всегда существует и
Решение этой задачи, согласно теореме
имеет вид (т. 3, (1.6.46))	(2.7.29)
w = V(/?o,

§ 2.7. Фундаментальные решения в теории линейной упругости		133
где ipQ — решение задачи для скалярного уравнения Пуассона в £%:
А(Ро = £ = 2(1-	^ L = °, Ыоо = 0-	(2.7.30)

С учетом (2.7.27) и (2.7.29) получаем представление для вектора переме­

щений и:	_
	U =		(2 J '31)
Преобразуем уравнение для ро, введя новый потенциал
	р = 4(1 —v)ipo — х -ф .		(2.7.32)
Поскольку (см. т. 1, (2.5.7г))
	А(х • -ф) = Аф ■х + 2V • ф = *	+ 2 V -ф	(2.7.33)
	z(l —и)

(здесь использована формула (2.7.26)), то, подставляя (2.7.32) в (2.7.30) и учитывая (2.7.33), получаем для р следующую задачу:

p^ • X

А р =

(2.7.34)

м	= 0,	V 4	по	= 0.
	’	'
Формула (2.7.31) в этом случае с учетом (2.7.32) принимает вид
2Gu = —4(1 —и)ф + V(<y5 + х • ф),					(2.7.35)

который называется представлением решения задачи Ламе (2.7.24) в форме Папковича — Нейбера.

Решение (2.7.35) удовлетворяет условию (2.7.216) на бесконечности, по­

скольку согласно (2.7.31) и (2.7.26),	(2.7.34)
G « L = 2(1 - ■ 'K V voL - </>|J =	0, GV X ц|оо= 2(1 - „)V x ^	= 0.

(2.7.36)

Здесь учтено, что V x V^o = 0.

Формула (2.7.35) позволяет записать решение уравнений Ламе через один векторный потенциал ф, удовлетворяющий векторному уравнению Пуассона (2.7.26) , и один скалярный потенциал (р, удовлетворяющий скалярному урав­ нению Пуассона (2.7.34). Если массовые силы отсутствуют (f = 0), то вместо (2.7.26) и (2.7.34) имеем уравнения Лапласа

Аф = 0, А р = 0,

(2.7.37)

т. е. перемещение и можно представить через четыре скалярные гармониче­ ские функции р и фг, где ф = ф1^ .

Отметим, что явный вид решения задач (2.7.26) и (2.7.34) для уравнения Пуассона известен и описывается формулами для объемного векторного по­ тенциала (т. 1, (3.6.155)) и скалярного объемного потенциала — потенциала Ньютона (т. 1, (3.6.42)):

134 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

	ф ( х ) =			) = 8тг(11—и)	pf(xo) • х0	(2.7.38)
		8тг(1 —и)	ф		dV,
			Vo
	где г — |х —хо|.
	Рассмотрим скалярный потенциал
			1	-f(xo) • г dF,	r = x —XQ,	(2.7.39)
	<р(х) = у?(х) + х • т/?(х) =
			8тг(1 —ту)	Vo,
	и вычислим его градиент (см. т. 1, п. 3.6.8):
	V(p = —8тг(11—ту)		^ Ц у Д - ) ® f (х0) • Г + -f(x 0) • V ® г) dV =
			1	4 f (х0) • ( - Г (X) Г + r2E) dV.		(2.7.40)
			8тг( 1 —ту)
				Г

Vo,

Здесь учтено, что V x{\/r) = —г/г3 (см. т. 1, (3.6.85)) и

V ® г = V x 0 (х —XQ) = Е.

Подставляя (2.7.38) и (2.7.40) в (2.7.35), приводим эту формулу к виду

2Gu(x) =	1	' pf(xo)	(r2(3 —4^)E + r ® r)	dV	(2.7.41)
	87г(1 — v)

Voc

(,интегральное представление решения задачи Ламе (2.7.21)). Используя формулу (2.7.41), можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.7.1. Для линейно-упругой изотропной среды решение Кельвина

(2.7.4)	имеет следующий вид:
u(fc)(x,x0) =		Pfo&i			3 —4^	5ik +	(Л - 4 )(Л - 4 )		(2.7.42)
		16TTG(1 -		V)
где r =	|x — XQ|.
T Действительно, подставляя в (2.7.41) выражение (2.7.1) для сосредо­
точенной массовой		силы	f(xo)		= /оё^(5(х/1 —XQ) и принимая				во внимание
свойство (2.7.2) дельта-функции, получаем
2Gu(fc)(:x.xij =				р/ о( 3—4^		8ik + (х* - 4 ) ( Хк- 4 )			XQ-Xi )dV =
	8тг(1 —ту)
			Voc
	pfo	/ 3 - Av		ik	(.x1-x\){xk - x \ )			г — |х —XI |. (2.7.43)
	8тг( 1 —ту) V		г			г3

Осуществляя замену обозначений xi —►XQ, действительно приходим к формуле (2.7.42). А

§ 2.7. Фундаментальные решения в теории линейной упругости

135

Подставляя (2.7.42) в (2.7.5), находим тензор перемещений Кельвина для изотропной среды:

U K (X ,X0)	pfo	/	3	ik (хг - Х г0)(хк - x l ) е* (8) ек. (2.7.42а)
	16TTG(1 — и )\		г	г 3
	2.7.4.		Представление Галеркина

Рассмотрим векторное поле и(х), являющееся решением задачи Ламе (2.7.21) для всего пространства 8 $. Это поле удовлетворяет всем условиям теоремы 1.6.7а из т. 3, п. 1.6.5, тогда для него существуют скалярный и векторный потенциалы ^(х) и Ь(х), такие, что выполняется соотношение Гельмгольца (т. 3, (1.6.47г)):

u =

+ V х Ь,

(2.7.44)

причем V • b = 0; ф и b можно всегда выбрать такими, что '0|оо = ОиЬ| оо = О. Рассмотрим новое векторное поле у(х), являющееся решением задачи

V х 7 = 2(1 и)Ъ, V • 7 = —(1 —2и)ф в <?з,

(2.7.45)

л1оо = 0 ’

которая, согласно теореме 1.6.7 из т. 3, п. 1.6.5, имеет решение. Тогда, под­ ставляя (2.7.45) в (2.7.44), получаем

u = -(1 - 2^)V(V • 7 ) + 2(1 - u)V х V 7 ,

(2.7.46)

а с учетом формулы (2.7.4г) для 7 приходим к следующему представлению решения задачи Ламе через векторное поле Галеркина 7 (х):

u = V ( V - 7 ) - 2 ( l - 1/)Д7 .	(2.7.47)
Вычислим операторы V (V • и) н Аи от поля (2.7.47):
V • и = —(1 —2^)V • (Д7 ),
V ( V - u ) = -(1 - 2 i / ) V ® V- (А7 ),	(2.7.48)
Ди = V - V<g>u = V ® V - А7 —2(1 —г^)А47 ,	А4 = АД,

тогда, подставляя (2.7.48) в уравнение Ламе (2.7.21а), получаем для 7 урав­ нение четвертого порядка:

А47 =

(2.7.49)

которое при отсутствии массовых сил превращается в бигармоническое урав­ нение

Д47 = 0.

(2.7.50)

Таким образом, представление Галеркина (2.7.47) выражает решение и уравнений Ламе (2.7.21а) через векторное поле 7 , являющееся решением

136	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
уравнения (2.7.49)	(или через бигармонические функции	где 7 = 7ге^, в
случае f = 0).

2.7.5. Теорема взаимности Бетти

Рассмотрим квазистатическую задачу (2.6.63) для ограниченной обла­ сти V линейно-упругой, вообще говоря, анизотропной среды.

Теорема 2.7.2 (теорема взаимности Бетти). Пусть для одной и той же линейно-упругой среды, которой соответствует область V с поверхно­ стью £, имеются две различные системы внешних квазистатических

воздействий: (fa , t nea, иеа),	се = 1, 2, тогда если обозначить (ua , еа, сга),
се = 1, 2, поля перемещений,	деформаций и напряжений, являющиеся реше­

нием задачи (2.6.63) при этих воздействиях, то работа сил первой систе­ мы на перемещениях точек их приложения, вызванных второй системой, равна работе сил второй системы на перемещениях точек, вызванных первой системой сил, /и. с.

р fl • U2 с!Н +	tnel *U2d E +	П • <J\ • Ue2	=
У
	p f2 • ui dH +	^ne2 ’ Ul dXl +	n • cr2 • uei	(2.7.51)

у

▼Поскольку обе системы полей (ua , sa, сга), а = 1,2, являются решением задачи в перемещениях (2.6.63), то они удовлетворяют уравнениям:

		V • сга + р ia = 0,				х е У,		(2.7.52а)
		<Ха =	4с	• • еа ,				(2.7.526)
	<eQ= def иа,							(2.7.52в)
		n - t r J y		= t nea,				(2.7.52г)
	V	ua L	= иеа,					(2.7.52д)
		1
где се = 1, 2.
Умножим уравнение (2.7.52а)					при се = 1		на вектор и2, а при се = 2 — на
вектор ui	и вычтем одно из другого, результат проинтегрируем по V,							в итоге
получим следующее соотношение:
и2 • V	• сг\ dV +	р fi	• u2	dV	ui	• V	• сг2 dV + p f2 • ui dV.	(2.7.53)
у	у				У		У

Преобразуем первые интегралы слева и справа стандартным образом (см. (2.4.3)), тогда (2.7.53) можно представить в следующем виде:

138	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
	pfQk^5(x.—xo)udV+	t^ ( x , х0) -udE +	t^ ( x , x0) -u e dE.	(2.7.56)
V	Tier	Tu
Используя свойство 5-функции, находим
	°р f (fc)<5(x - х0) • U(x)dV = °pf0ek • u(x0) =		°pfouk(x0).	(2.7.57)

v

Поскольку значение /о является произвольным, то из (2.7.57) имеем

р/0ик(щ) = °pf(х) • и(/с)(х, х0) dV +	(tne • u(fc) (х, х0) -	(х, х0) • u) d£+
v
+ (n • <Т• U(fc) (х, х0) -	*(*) (х, х0) • ие) dE,	£ € V. (2.7.58)

Домножая (2.7.58) на еу, с учетом определений (2.7.5) и (2.7.10) приходим к формуле Сомилъяны:

р/ои(х0) = pf(xo) • U A :(X , X O ) dV + (t n e ( x ) • U A :(X , X O ) -

V

- u(x) • Tjf(x, x0)) dT, + (n • o-(x) • U K(x, x0) - T^(x, x0) • ue(x)) dH.

(2.7.59)

Эта формула позволяет найти решение квазистатической задачи (2.6.63) и(х) во всех внутренних точках области V, если известны на всей границе

этой области £ одновременно вектор напряжений t ne	и вектор перемещений
ие (тензоры XJK и TV полагают известными, для	изотропной среды они
имеют вид (2.7.42а)).

Отметим, что такая ситуация в МДТТ невозможна, поэтому фактически формула Сомильяны представляет собой не выражение для перемещений и(х), а интегральное уравнение Вольтерры первого рода для определения и(х). Это интегральное уравнение является основой для целого направления в теории упругости — интегрального метода решения квазистатических задач.

2 .7 .7 .	Тензоры Грина
Для того чтобы по формуле	Сомильяны (2.7.59)	можно	было	найти
u -решение задачи (2.6.63) по значениям ие и t ne на		границе	£, ее	нужно

немного подкорректировать. Рассмотрим не само решение Кельвина, опреде­ ленное во всем пространстве £%, а его аналог для ограниченной области V. Иначе говоря, рассмотрим решение исходной задачи (2.6.63) в той же огра­ ниченной области V, но со специальными «входными данными» задачи — нулевыми граничными условиями и сосредоточенной массовой силой (2.7.1):

§ 2.7. Фундаментальные решения в теории линейной упругости

139

V • еС • • V (X) UW + p i{k)5{x - х0) = 0 в V,
п - 4С • • V ®	u ^ L =0,	(2.7.60)
		i # ) |v = 0 ,
^	I Zj(J	I ZJU

причем XQ G V.

Определение 2.7.2. Решение задачи (2.7.60) линейной теории упругости

для ограниченной области	V называют ф у н д а м е н т а л ь н ы м		р е ш е ­
ни ем Г р и н а и обозначают
(к) _	(к).	x0 )ei.	(2.7.61)
иi G =	u ^ ;(x, х0) = и ^ \ х ,

По аналогии с (2.7.5) определяют тензор Грина для задачи (2.6.63):

U G(x, х0) = и ^ \х , х0)ёг 0 ёк.

(2.7.62)

Применяя оператор def к (2.7.62), приходим к тензору деформации, соот­ ветствующему решению Грина:

e g W o ) = 1(V ® u g } + (V ® и (к)У),

(2.7.63)

а также определяем тензор напряжений, соответствующий решению Грина:

«Тд (х, XQ) = 4С • • eG'(х, XQ)						= 4С • • V 0		.	(2.7.64)
На поверхности	с нормалью п вводят вектор напряжений								L(*0 соот­
ветствующий решению Грина:
*2	з х е	.	хо	= п • G ? ( x	е	, х0) = G	^г5		(2.7.65)
	(		)

с помощью которого определяют тензор напряжений Грина:

T G(xE, х0) = FGfe)(xE, х0)ёг 0 ёк,

4 fc)(xs , хо) = nJClifcTOM^(fc)(xs ,x 0).

(2.7.66)

Воспользуемся снова теоремой Бетти (2.7.51) и рассмотрим решение за­ дачи (2.6.63) (и, е,сг) при действии системы сил (f, t ne,u e), а также решение Грина при действии системы сил ( f ^ , 0,0), тогда из (2.7.51) получаем аналог формулы Сомильяны:

°pf0u{k) (х0) = Д(х) • u ^ }(x,x0) dVx+

V

+ (tne(x) • u ^ ( x ,x 0) - n • <т^(х,х0) • u(x)) dEx+

+ (n • cr(x) • u ^ ( x ,x 0) - n • o -^ (x ,x 0) • ue(x)) dEx. (2.7.67)

E,

140	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Поскольку на	: п • crj? = 0, а на	: uj? = 0, то из (2.7.67) получаем
окончательную формулу Грина для краевой задачи (2.6.63):
pfou ( x 0) = pf(x) -U G(x,xo) dVx +		tne(x) • U G(x,x0) dEx-
v

T G(x, x0) • ue(x) dEx. (2.7.68)

Формула (2.7.68) позволяет сразу находить решение задачи (2.6.63), од­ нако для ее применения необходимо знать решение Грина для конкретной области V, а его вычисление — очень сложная задача, аналитическое решение Грина известно только для областей очень простой формы. Однако в настоя­ щее время существуют методы численного нахождения функции Грина.

Упражнения к § 2.7

Упражнение 1. Используя теорему взаимности Бетти, показать, что тензор переме­ щений Кельвина (2.7.4), (2.7.5) симметричен:

w*(fc)(x ,x 0) = й а д (х0,х ).

Упражнение 2. Применяя к уравнению Ламе (2.7.21а) оператор дивергенции, пока­ зать, что средняя деформация е = е • • Е = V • и удовлетворяет уравнению Пуассона

Ае = - 1—ги °pV -f

2 G ( \ - и)

и является гармонической функцией, если f = 0.

Упражнение 3. Применяя к (2.7.21а) оператор Лапласа, показать, что вектор пере­ мещений удовлетворяет уравнению четвертого порядка

Д2и = —( __ -Х__ V(V • f) - Af

G V2(l - v )

и является бигармоническим векторным полем, если f = 0.

§ 2 .8 . Д в у м е р н ы е за д а ч и д л я т е л с п р я м о л и н е й н о й а н и з о т р о п и е й

2.8.1.Классификация двумерных задач

Вприложениях широко используют модель цилиндрического тела, имею­ щего некоторую ось (далее будем полагать, что это ось Ох3), все нормальные сечения тела к которой одинаковы (см. рис. 2.3.1). Модель цилиндрического тела применяют для расчетов прочности различных балок, стержней строи­ тельных конструкций, пролетов мостов, деталей машин и других инженерных систем.

Для цилиндрических тел (ЦТ) можно сформулировать двумерную квазистатическую задачу, которая существенно проще общей трехмерной задачи