книги / Основы автоматики
..pdfРис.7 .22 .Переходная функция апериодического авена 2-го порядка
процеооа выходная координата звена жестко овязана с входной координатой
у И = V ' |
(7 -э д |
Чаототная передаточная функция, л .а .х . и л.ф .х. звена опре деляется выражениями
= ( ' + / « г , ) ( 1 + у « Ч )
Цш)*г01д (l+jwT,W+ju>T) |
|
|
;(7 .5 8 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ц1 + шгТг)И+игТг1 |
|
¥(ш) ' а г9 |
(,+)*тЖмГ |
|
Т> m |
СО Г (7.59) |
||||
|
J' |
J Ц' |
|
ата*9 |
“ ■ |
*9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Получим выражения |
для |
асимптотической л .а .х . звена. Б обла |
|||||
сти |
частот |
|
1 |
1 |
в выражении (7.58) |
будем пренебре- |
||
|
ц>< |
*V |
||||||
гать |
членами |
2 23 |
о |
• |
по сравнению с единицей |
|||
(о Г/ |
и |
со |
Г |
|||||
и поэтому |
|
|
Цш) = ZOlgА |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(7.60) |
Уравнение (7.60) еоть уравнение прямой линии,параллельной оси чаотот и отстоящей от нее на расстоянии 201д*(рио.7.23).
Рис.7 .23 .Частотные характеристики апериодического звена 2-го порядка:
а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х.
В обДвс*и чаотот |
у- |
<w <jr |
в |
выражении (7.58) |
пренебре |
|||||
жен единйпей по сравнению с |
со* 7^2 |
и |
|
Т* по сравнению |
||||||
о единицей, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(u>)=Z0lq |
3 |
= ZOLg А |
- 2019<о |
|
(7.61) |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Уравнение (7.61) является уравнением пряной линии с,накло |
||||||||||
ном -20 об/дек |
и пересекающей |
ось |
частот |
в точке |
О) = -=- |
|||||
В области |
частот |
|
I |
|
I |
|
|
|
|
тз |
ш > у |
> у |
в выражении (7.58) пре- |
||||||||
небрегаеМ единицей по сравнению |
3 |
|
|
о)гТ.г |
и |
югТг и |
||||
о членами |
|
|
|
|||||||
поэтому считаем» что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(ш) = 20 |
KwT о) = ZOlg J Y |
-kOlgQ) |
|
(7.62) |
||||||
|
|
3 |
Ц |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(7.62) |
представляет |
собой уравнение |
пряной ли |
||||||
нии с наклоном -40 дб/дек и пересекающей ось частот в точке |
||||||||||
Принцип построения |
асимптотической л .а .х . ясен |
из |
рис.7.23«а. |
Построение целесообразно начинать с проведения вертикальных ли
ний через частоты излома |
асимптотической л .а .х .ш = у- и со = у |
||
и прямой с наклоном -20 дб/дек, |
проходящей через то^ку |
на оси |
|
частот ш -J=^=-'• |
|
|
|
\Т3Тц |
звена |
вначале с помощью шаблона чер |
|
Для построения л.ф .х. |
|||
тят л.ф .х. апериодических |
звеньев с постоянными времени |
и |
|
и эатем их графически складывают. |
|
||
Из графиков л .а .х . и л.ф .х. |
звена видно, что о увеличением |
частоты входного сигнала возрастает отрицательный фазовый сдвиг и уменьшается амплитуда.
Апериодическое звено 2-го порядка по своим характеристи кам эквивалентно последовательному соединению двух апериоди ческих звеньев (он рис.7 .2 0 ,б). Этим объясняется больший фа зовый сдвиг выходных колебаний и более сильное подавление вход ных колебаний звена по сравнению с апериодическим звеном с коэффициентом передачи к и постоянной времени Т^.
Вид а.ф .х . эвена показан на рис.7.23,6. 4. Колебательное звено
Колебательным звеном называется звено, дифференциальное уравнение движения которого имеет вид
Tz 'y + Ti i + y = kx ; |
0 < T, < 7 2 |
или в операторной форие
(7.64)
° < % < тг
5)
Передаточная функция эвена
W (P ) = Tг ф т т р ’ 0 < ? < г г |
(7.65) |
|
|
Для удоботва расчетов передаточную функцию звена часто за |
|
писывают в виде |
|
к |
(7.66) |
W(p) = I +2г; Тр+Тгр г |
|
где |
|
Т= Г |
|
Примерами колебательных звеньев являются цепочка |
к , с , L , |
механическая передача при учете упругости и скоростного тре ния, гироокоп, если входной величиной считать момент и, а выходной - угол поворота оС , уотойчивую ракету при учете демпфирования (рис.7 .24).
Корни характеристического уравнения звена
ЯВЛЯЮТСЯ к о м п л е к с н ы м и ______ , |
|
|
|||
|
Ч/Г |
у * |
- - г |
± / * |
(7 -6в) |
где |
r_-s.,л- ^ s L |
|
|
|
|
Переходная функция |
эвена |
|
|
|
|
|
w(t) = /f j/ - e f |
(cos Лt |
+ |
sin At jj |
(7.69) |
икеет |
колебательный характер (рио.7.25). |
|
Рис.7.25. Переходная функция колебательного эвена
Переходный процесо в эвене затухает тек медленнее, чек больше постоянная времени Т и чем меньше коэффициент демп фирования $ .
Можно показать, что величина перерегулирования
6% = н" й й»ст 100%
уст
зависит только от величины коэффициента демпфирования т; . От метим, что и величина относительного пика амплитудной частот ной характеристики звена
(Цм А (0)
где о>м - частота, на которой А (со) имеет максимальное зна чение, также зависит только от коэффициента демпфирования ^ . Поэтому величину перерегулирования б %можно определить по ве личине М .
При малых значениях коэффициента демпфирования Yj частота затухающих колебаний Я примерно равна
При подаче на вход звена постоянного сигнала х = х° по окончании переходного процесса выходная координата эвена жест ко связана с входной координатой
(7 .7 1 )
|
Рис.7 .26 .Частотные ха' |
|
рактеоистики колеба |
|
тельного звена: |
*) |
а) л .а .х . и л .ф .х .; |
б) а.ф .х . |
Частотная передаточная функции, л .а .х . и л .ф .х . деляется выражениями
|
1-шгТг+ЩшТ |
|
|
|
J л |
у |
Тг)г -*-кх,гыгт |
||
_ aPCtfl л ь * т |
при |
w < Y |
||
9 |
/-а)гтг |
|||
Ф)= - 90° |
2СОТ |
при |
и |
- т |
л о |
при |
э |
Ч»»- л |
|
-'*> - ° ге*9 |
эвена опре
(7.72)
(7.7Л)
Частотные характеристики эвена изображены на рио.7.2б.
Вид л .а .х . звена в сильной степени зависит |
от |
величины ко |
эффициента демпфирования ^ (рис.7 .2 6 ,а ). При |
^ |
^ 0,707 |
л .а .х . имеет вид монотонно убывающей функции; |
при |
0,707 |
на л .а .х . при частоте, близкой к со = j- , появляетоя резонанс
ный пик. Чем меньше величина коэффициента демпфирования ^ ,тем
больше величина резонансного |
пика |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L(u) |
) = 20 lg |
-------L |
|
|
|
|
|
(7.75) |
||
|
м |
|
3 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
Асимптотическая л .а .х . звена определяется выражениями |
|
||||||||||
|
Г |
10 ч |
|
|
|
|
при |
I |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
М = |
|
А |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
20(а |
|
|
АО1оСо • |
|
|
|||||
|
” ТГт2 ~ 20to |
^ z |
(7.76) |
||||||||
|
|
^ |
ш |
т |
3 |
т2 |
|
3 |
|
||
Асимптотическая л .а .х . звена сильно |
отличается |
от |
действи |
||||||||
тельной л .а .х . Особенно |
велико это |
отличие для малых |
^ в |
рай |
|||||||
оне частоты |
to = у- |
. Так, например, для |
|
О на частоте |
0)=^ |
||||||
величина отклонения асимптотической л .а .х . |
от действительной |
||||||||||
стремится к |
бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л .а.х . |
и л.ф .х. |
звена обычно чертят |
с помощью шаблонов, из |
||||||||
готовленных для различных значений |
^ |
и для Т = I |
сек. |
|
Вид а.ф .х . звена показан на рис.7 .26,6 . При малых т; она вытянута вдоль мнимой оои.
5. Консервативное звено
Консервативным звеном называется явено, передаточная функ ция которого имеет вид
*Г(Р) = |
(7.77) |
Примерами консервативных звеньев являются слабо демпфиро ванные колебательные звенья (колебательные звенья при малых значениях ^ ) при пренебрежении коэффициентом демпфирования Например, консервативным звеном считают статичеоки устойчивую жесткую ракету. Консервативное звено являетоя звеном, находя щимся на колебательной границе устойчивости. Переходную функ цию звена легко получить, положив в выражении для переходной
|
функции колебательного |
звеиа |
|||
|
(7.69) |
коэффициент демпфирова |
|||
|
ния |
= 0. |
|
|
|
|
H(t) =к (1 -со&Кt) |
(7.78) |
|||
|
Переходная |
функция имеет |
|||
|
вид незатухающих колебаний с |
||||
Рис.7 .27 .Переходная характе |
частотой Л = у |
(рис.7 .27). |
|||
Отметим, что выходная коор |
|||||
ристика консервативного эвена |
|||||
дината консервативного |
эвена и |
||||
|
при отсутствии сигнала на входе звена изменяется по гармони ческому закону с частотой Л = у- и амплитудой, зависящей от
начальных условий. Колебания отсутствуют липь при нулевых на чальных уоловиях у (0) = 0 и у (0) = 0.
Частотная передаточная функция, л .а .х . и л.ф .х. звена опре деляются выражениями
W(j*>) = — |
(7.79) |
•о7т1 |
|
1 (ш) = 2 0 1 9 |
(7.80) |
При |
U) < у |
|
|
|
|
При |
0 ) > у |
|
|
|
|
Л .а.х . и л.ф .х. имеют разрыв |
на |
резонансной |
частоте |
со = у |
|
(ри с.7 .2 8 ,а ). Вид асимптотической |
л .а .х . |
звена |
изображен |
на |
|
рис.7 .28,а . На этом же рисунке пунктиром |
показан вид действи |
||||
тельной л .а .х . |
|
|
|
|
|
%рчд Ld6 |
i| |
1 |
|
|
|
|
Х~ Л |
|
|
|
|
20 |
\ |
|
|
V |
|
| |
^ .- Щ б /а е к |
|
|||
■ю гоцк |
|
|
|||
, |
|
. .1aW/сек |
|
||
| |
|
|
i d ______ L |
||
-18й° |
|
1 |
\ |
|
UL)-~oO |
чо |
|
T |
|
'-o |
|
|
|
|
|
|
|
0° I d |
<J> |
a) |
|
|
ф |
|
|
|
|
||
Рио.7.28. Чаототные |
характеристики консервативного звена: |
||||
|
|
а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х . |
6. Нетотойчивые позиционные звенья
Рассмотрим неустойчивые звенья с передаточными функциями
. « . « Г ( р ) - . - 7 ^Wi p) ■» z j j j r p
Н е у с т о й ч и в о е |
а п е р и о д и ч е с к о е |
8 в е н о |
1-го п о р я д к а |
Неустойчивым апериодическим звеном 1-го порядка называет ся звено, передаточная функция которого имеет вид
w (P )qTTP |
или |
t 7-82) |
Примером такого звена служит тепловой двигатель без самовыравнивания, асинхронный двигатель постоянной нагрузки за опрокидываодиы моментом и др.
|
Харантериотичеокое |
уравнение |
звена |
||
|
|
Тр -1 =0 |
(7.83) |
||
|
инее* один положительны! корень |
|
|||
|
|
|
/ |
(7.84) |
|
|
|
?>-т |
|||
|
|
|
|
||
|
Переходная функция |
звена |
|
||
Рио.7.29. Переходная |
U(t)*k (-/ + е ’*) |
(7.85) |
|||
функция неустойчивого |
|
|
|
|
|
апериодического звена |
монотонно возрастающей функ |
||||
1-го порядна |
являетоя |
||||
цией, стремящейоя к |
бесконечности |
при |
t |
(рис.7 .29). |
|
Интересно отметить, что выходная координата |
эвена |
00 |
|||
и при отоутотвии внешних воздействий, |
если ty(0) j 0. |
|
Рио.7.30. Чаототные характеристики неустойчивого апериодиче ского эвена 1-го порядка:
а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х .
Частотная передаточная |
функция, л .а .х . |
и л.ф .х. звена опре |
|
деляются выражениями |
|
|
|
* 0 '“ К |
т |
~ т |
|
L M = a u i y |
r |
r b w |
( , -87) |
У(со) = - 180° + apctg соТ