книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfПостоянные р ь А , В, Z) даются формулами
_ |
тsin 2а + v2 siD 2р + 2v2 sin2 Р (Z) + A In v) |
А |
P l |
2 (v2 sin2 P — sin2 а) |
T ’ |
c “ - 3-4 In I I I + 3B 1пТ5Т575У + 2 1 |
° * в л - |
|||
|
m sin a + sin p |
|
a |
|
д __ |
^ __ |
m sin a cos P + cos a sin P |
||
~~ |
cos a — cos p ’ |
— |
cos a— cos P |
# |
Принимая |
в (7.51) и |
(7.53) |
^ = 0, получаем |
форму свобод |
ной поверхности
и уравнение для определения параметра р
8 |
/ Р |
|
|
о |
|
\ |
|
1 . |
|
J exp I 6 | Т7 т |
|
|
|
— |
Г ) sin 0 dQ = |
||||
|
|
|
-j sin2p cos p„ (7.59) |
||||||
a |
\ 0 V 1 + |
|
"Г к 1 — |
/ |
|
|
|
||
Из (7.52) |
получаем также |
|
|
|
|
|
|||
|
|
/ |
o |
f |
P |
|
rfG |
|
|
|
v = exp |
/ |
— . |
т c?G |
|
|
|||
|
V |
— |
2 |
— |
|
* |
Г |
||
|
|
|
l |
V l + & + |
|||||
Удельное давление (7.54) будет равно |
|
|
|
||||||
P = |
т sin 2a + v2 sin 2p -j- 2 [v2 sin2 P (D -f- A In v)] |
+ m ctg a. |
|||||||
|
|
2 (v2 sin2 p — sin2 a) |
|
|
|
Поверхность г = Д(0) нагружена нормальными распределен ными силами с интенсивностью оп(0). Используя формулу (7.50), где о0 определяется согласно (7.57), а R — по (7.58), получаем
sin Q |
+ 3В In |
tg (9/2) |
+ |
|
сгп = — P i — ЗЛ In sin a |
tg (a/2) |
|
||
|
|
|
0 |
|
+ j [ V\ + 3x2 + |
|
+ 2 j |
0 d 0 - |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
________Td0________ |
|
|
|
|
/ Г |
+ з ?V +T ~ ? ' |
Получено численное решение уравнения (7.59), на основании которого построены графики (рис. 7.10 и 7.11) функций р(а) и р (а) для трех значений т. Во всех рассмотренных вариантах
численных расчетов принятое предположение аг + ов < 0 |
оказа |
||||
лось справедливым. |
и тп= 1 приведены эпюры |
(рис. |
7.12) |
||
Для |
случая |
а = 30° |
|||
<т0(г, а )’, |
т (0), |
а также |
построены след поверхности |
г = Д (0) и |
Рис. 7.10 |
Рис. 7.11 |
эпюра напряжений ап, действующих на этой поверхности. Не трудно заметить, что главный вектор этих сил близок к нулю.
Появление на свободной поверхности г = Д (0) небольшой волны, по-видимому, обусловливается принятой жесткопластиче ской схемой, согласно которой область 0 > р остается недеформированной.
Масштаб нормальных напряжений о0 и оп в два раза боль ше масштаба т, также имеем
о е (г, р) = ое (г, а) + 0,757, р = 5,771, v « 1,023.
Для получения окончательных значений напряжений и удельного давления нужно умножить полученные безразмерные выражения этих величин_на пластиче
скую постоянную к = а8/1/3. |
прочности |
Р,Ю*Н |
|
|||||||||
В |
лаборатории |
Отдела |
|
|
||||||||
соединений и теории пластичности Ин |
|
|
||||||||||
ститута механики АН Армении науч |
|
|
||||||||||
ным |
сотрудником |
Д. Б. Давидяном |
и |
// |
|
|||||||
автором |
проведена |
экспериментальная |
|
|||||||||
II |
|
|||||||||||
проверка |
зависимости |
внедряющей си |
W |
|||||||||
р ---67Л\6Ьг II |
|
|||||||||||
лы |
от |
глубины |
внедрения. |
Жесткий |
|
|||||||
1/ |
|
|||||||||||
шероховатый конус с углом конусно |
ft |
|
||||||||||
сти |
2а = |
60 °, |
изготовленный |
из стали, |
|
|
||||||
с постоянной |
скоростью V = 0,05 мм/с |
If |
|
|||||||||
внедрялся в пластическое тело из свин |
|
|
||||||||||
цового |
сплава с |
|
пределом |
текучести |
|
|
||||||
с, = 11 МПа, имеющее форму цилиндра |
|
|
||||||||||
высотой |
50 мм |
и |
диаметром |
160 мм |
|
|
||||||
и помещенное в стальную цилиндриче |
|
|
||||||||||
скую чашку. |
|
построены |
теоретиче |
|
|
|||||||
На рис. 7.13 |
|
|
||||||||||
ская (сплошная линия) и эксперимен |
|
4 0 hfrm |
||||||||||
тальная |
(штриховая) кривые зависимо |
20 |
||||||||||
сти силы от глубины внедрения. Для |
Рис. 7.13 |
|
||||||||||
значений |
параметров, |
использованных |
|
|
||||||||
при построении эпюры |
(рис. 7.12), представлен график функции |
|||||||||||
|
|
|
|
|
р * = |
AV*2, |
|
V - |
np°s |
s*n2 а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ~ V 3 V2, cos2pj’ |
|
||
который соответствует формуле |
(7.55). |
|
|
Ч А С Т Ь В Т О Р А Я
УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
В ряду пластически деформируемых сред особый и довольно широкий класс составляют упрочняющиеся тела. Многие метал лические материалы за пределом упругости способны повышать сопротивляемость к дальнейшему пластическому деформирова нию. Такие деформации упрочняют материал и приводят к увеличению его предела текучести. У некоторых других мате риалов такое свойство упрочнения появляется после площадки текучести.
Для указанных видов материалов схема идеально пластиче ского тела очевидно неприменима, и здесь исходят из таких моделей, в которых отражаются качественные стороны явления упрочнения. Развитие положений теории пластичности упроч няющихся тел представлено в монографиях Ю. Работнова [144],
Л. Седова [154], Д. Ивлева |
и Г. |
Быковцева |
[86], А. Ильюши |
на [92], В. Клюшникова |
[103], |
Т. Томаса |
[167], Р. Хилла |
.[171] , в которых содержится обзор литературных источников в дтой области.
В настоящей второй части книги на основе теории упруго пластических деформаций исследуются пространственное, а так же осесимметричное деформированпе упрочняющихся пластиче ских тел. Рассматриваются и некоторые задачи плоской дефор мации, характер и метод решения которых близки к общей теме.
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ ТЕЛ
В настоящей главе излагаются основные уравнения и соот ношения теории пластичности упрочняющихся тел.
На базе главных закономерностей и специфических особен ностей деформирования упрочняющихся пластических тел, сле дующих из экспериментальных наблюдений, изложены Основные законы пластичности в сложном напряженном состоянии. Сформулпровапы условия пластичности, соотношения теории течения и теории упругопластических деформаций для упрочняющихся пластических тел. Приведены общие уравнения теории как в
прямоугольных, цилиндрических, сферических, так и в криво линейных ортогональных, в том числе и тороидальных, коор динатах.
§ 54. Поверхность нагружения
1.Гиперповерхность пластичности. В случае одноосного
растяжения, если напряжение |
превосходит предел текучести |
о > о „ материал подвергается |
упругопластической деформации |
(см. рис. 0.4). При дальнейшем нагружении растягиваемого об
разца (а > |
аа) пластическая деформация упрочняет материал |
и приводит к непрерывному повышению предела текучести. |
|
Если из |
точки N на указанной диаграмме произвести раз |
грузку и повторное нагружение до oN, материал будет вести се бя как упругое тело. При дальнейшем увеличении напряжения происходит (после точки N) упругопластическое деформирова ние согласно диаграмме. Напряжение oN рассматривается как переменный или текущий предел пластичности. Иначе говоря, упругопластические деформации упрочняющихся тел можно представить переменными по длине отрезками от нуля до а*.
Для идеально |
пластических тел имеем |
фиксированный отрезок |
с конечной точкой о*. |
пластическое тело, на |
|
Рассмотрим |
теперь упрочняющееся |
ходящееся в сложном напряженном состоянии. При переходе от упругого к упругопластическому деформированному состоянию упрочняющегося тела полагаем, что вы
полняется условие пластичности |
|
/(o,i) = О, |
(8.1) |
содержащее параметры, характеризую щие свойства упрочнения материала.
Пусть в шестимерном пространстве декартовы координаты являются ком понентами симметричного тензора на пряжения o,j. Из начала координат откладываем вектор а с компонентами Оц. В этом пространстве условие плас тичности (8.1 ) отделяет области упру гого и упругопластического деформиро вания. Уравнение (8.1) в рассматри ваемом пространстве определяет неко торую гиперповерхность S, называемую
гиперповерхностью нагружения или гиперповерхностью пластич ности (рис. 8.1). В процессе активных деформаций упрочняю щихся пластических тел S является переменной, монотонно рас ширяющейся поверхностью. В исходном положении эта поверх ность S0 характеризует начальное пли предельное упругое со стояние элемента.
Поверхность S определяется не только конечными парамет рами деформирования, но и предшествующей историей нагру жения.
Для идеально пластических материалов гиперповерхность нагружения является фиксированной, совпадающей с условием текучести.
Напряженному состоянию Оц сообщим добавочное малое на пряжение don. Если вектор do,j направлен внутрь поверхности нагружения S, происходит упругая разгрузка. Когда этот век тор направлен наружу поверхности S, имеем активное пласти ческое деформирование. В случае когда datj лежит в касатель ной плоскости к поверхности пластичности S, нагружение назы вается нейтральным и тело деформируется упруго.
2. Условие упрочнения. Экспериментальные исследования подтверждают сходство и близость кривых напряжения — де формации при одномерном и при сложном напряженных состоя ниях. Это обстоятельство приводит к гипотезе «единой кривой», согласно которой отождествляются кривые зависимости между напряжением о и деформацией е при одномерном деформирова нии с зависимостями между интенсивностями напряжения ао и деформации ео. Это означает, что для сложного напряженного состояния можем принять соотношение
Оо — /( в о ) , |
(8 .2 ) |
где /(ео) — положительная функция, характеризующая закон упрочнения материала и не зависящая от вида напряженного состояния. График этой функции определяется из кривых одно мерного деформирования. Согласно этим диаграммам /(ео) при
нагружении является монотонно возрастающей кусочно-гладкой функцией. На рис. 8.2 показаны графические зависимости (8.2) для характерных классов упрочняющихся пластических мате риалов.
Условие упрочнения вида (8.2 ) достаточно правильно отра жает процесс деформирования в случае простого нагружения или близкого к этому пути нагружения.
Более строгим и обоснованным условием упрочнения, учиты вающим особенности сложного нагружения, является энергети ческое условие упрочнения, основанное на учете работы пласти ческой деформации.
Пренебрегая влиянием первого и третьего инвариантов на пряжения на упрочнение, условие упрочнения представим в виде
со = /(g ), |
(8.3) |
где д > 0 — параметр, характеризующий предыдущую пластиче скую деформацию, а / — характерная для данного материала функция, не зависящая от вида напряженного состояния. Она может быть определена из экспериментов по одномерному де формированию.
В качестве параметра или меры упрочнения g иногда при нимается параметр Одквиста
q = j dej. |
(8.4) |
Здесь defi — интенсивность приращения пластической деформа ции, а интеграл берется по пути деформирования. Согласно это му условию мера упрочнения зависит от накопленной пласти ческой деформации.
За параметр упрочнения принимают также работу пласти ческой деформации
|
g = Ар = j* Oijd&ij, |
(8*5) |
В стадии нагружения |
работа пластической деформации положи |
|
тельна, следовательно, |
do0> 0. |
по ли |
При разгрузке doo < 0 происходит деформирование |
нейно-упругому закону. Когда doo = 0, приращение работы плас тической деформации равно нулю, и будем иметь нейтральное изменение, приводящее к упругой деформации.
Условие пластичности (8.3) — (8.4) по аналогии с (1.13) на зывают условием пластичности Губера — Мизеса. В трехмерном пространстве главных напряжений поверхностью нагружения элемента упрочняющегося пластического тела является круговая
цилиндрическая поверхность с осью 0 1= 0 2 = 03. |
В процессе |
пластических деформации радиус цилиндрической |
поверхности |
непрерывно увеличивается и зависит от истории деформирова ния. На рис. 8.3 показаны следы этих поверхностей на девиатор-
ной плоскости Oi + 02 + 03 = 0. |
Это — окружности |
с радиусом |
|||
Т2оо. В |
отсутствие |
упрочнения |
следом поверхности |
нагружения |
|
на этой плоскости будет окружность с радиусом V2as. |
|
напря |
|||
3. |
Постулат |
Друкера. В |
шестнмерном пространстве |
||
жений |
(рис. 8.4) |
рассмотрим |
путь нагружения из |
точки |
М с |
напряженным состоянием до точки N с соответствующим тензором Oij, находящейся на поверхности нагружения S. Зада вая в точке N бесконечно малое догружение da,j, вызывающее
соответствующие приращения |
деформаций |
deij = defj + de2^-, |
|
переходим |
к точке N# на другой |
поверхности |
нагружения S%. |
Далее из |
этой точки вернемся к исходной точке М по другому |
пути. Постулат Друкера утверждает, что работа добавочных напряжений за весь цикл нагружения и разгрузки положитель ная, т. е. имеет место неравенство
$ ( O ij — O i j ) d e i j > 0. |
(8.6) |
На замкнутом пути нагружения и разгрузки MNN^M работа добавочных напряжений на упругих деформациях detJ равна ну лю. Тогда в неравенстве (8.6) следует de^ заменить на defj. Поскольку пластическая деформация происходит только на бес конечно малом участке пути нагружения iVTV*, то из (8.6) бу дем иметь
(о^ — Oij) defj > 0. |
(8.7) |
В частном случае, если за исходную точку взять точку N на по верхности S, то по постулату Друкера для пути нагружения NN * имеем неравенство
don den > 0.
Прп замкнутом цикле нагрузки и разгрузки NN%N, поскольку работа на упругих деформациях равна нулю, получаем
Неравенство (8.8) трактуется как критерий устойчивости де
формирования |
упрочняющегося |
пластического |
материала. |
|||||
Неравенство (8.7) свидетельствует о положительности ска |
||||||||
лярного |
произведения векторов |
o\j — o°j |
|
|||||
и defj. |
Это значит, что указанные векторы |
|
||||||
составляют |
острый |
угол |
а (рис. 8.5), |
|
||||
и тем самым доказывается выпуклость по |
|
|||||||
верхности нагружения. |
|
|
|
|||||
Из |
(8.7) |
имеем |
|
|
|
|
||
|
|
|
Oij doij |
o\j dsjj. |
|
|
||
Это — математическая |
формулировка |
|
||||||
принципа максимума. При любых задан |
|
|||||||
ных |
компонентах |
приращения |
пласти |
|
||||
ческой деформации defj приращение плас |
|
|||||||
тической |
работы |
Oijdefj имеет |
макси |
состоянии |
||||
мальное |
значение при действительном напряженном |
по сравнению со всеми возможными напряженными состояния ми, удовлетворяющими условию /(сг1;)< 0 .
§ 55. Теория пластического течения
Для исследования упрочняющегося пластического тела, на ходящегося в сложном напряженном состоянии, необходимо иметь физические уравнения зависимости между компонента ми напряжений и деформаций при учете свойства упрочнения материала. Здесь вкратце напоминаются общие положения и со отношения теории течения упрочняющихся пластических тел. В основе этой теории лежат следующие допущения: 1) тело
изотропно, 2) относительное изменение |
объема является упру |
|
гой |
деформацией, пропорциональной |
среднему давлению, |
3) |
компоненты полной деформации состоят из суммы компонент |
|
упругих и пластических деформаций, 4) |
приращения компонент |
пластической деформации пропорциональны соответствующим компонентам девиатора напряжения, 5) выполняется условие упрочнения.
Эти допущения приводят к соотношениям теории течения Прандтля — Рейса для упрочняющегося пластического тела:
|
deij = |
A - dsi} + dXsv, de = Kda, |
a0 = / (q). |
(8.9) |
|
Здесь |
dk — некоторый бесконечно малый скалярный множитель, |
||||
sx == Ох — о, ..., |
ех = Ех — е, |
. . . — компоненты |
девиаторов |
напря |
|
жений |
и деформаций, К = |
(1 — 2\i)/E — коэффициент объемного |
4 м. А. Задоян
сжатия, |х — коэффициент Пуассона, q — параметр упрочнения, определяемый интегралами (8.4) или (8.5).
Используя четвертое допущение о пропорциональности при ращений компонент пластической деформации компонентам девиатора напряжении и учитывая выражения интенсивности ка сательных напряжений и интенсивности компонент приращений деформаций, получаем
|
|
|
^ |
1 |
^еп |
|
|
(8.10) |
|
|
|
= 4 |
^ - . |
|
|
||
Деля обе части |
уравнения |
(8.9) |
на |
dt и |
учитывая |
(8.10), бу |
||
дем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
1 |
. |
г ? |
|
е = |
Ко, |
ст0 = f(q), |
(8.11) |
еа = |
2Q SH + |
-2— Sij, |
где точка означает дифференцирование по времени или по мо
нотонно возрастающему по времени параметру, е0Р— интенсив ность скоростей пластической деформации. Условие упрочнения вместо (8.3) задается также в форме
3 = Ф(со), |
(8.12) |
где Ф — функция, определяемая из экспериментов по одномер ному деформированию.
Используя соотношение defj == dX, тождество sx + sy+ sz= 0 и формулы (8.5), (8.12), находим
dq = |
Ф' (a0) do0 = OijSjj dX = 2OQdX. |
|
|
Вводя обозначения |
|
|
|
|
* > o ) = 1 5 - ф '(а 0), |
|
|
будем иметь |
zao |
|
|
dX — F (oo)dao. |
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения Прандтля — Рейса (8.9) |
перепишутся |
в сле |
|
дующем виде: |
|
|
|
йец = |
2Q dSij + sijF (а0) da0, |
de = К da. |
(8.13) |
Очевидно, эти соотношения верны при doo > 0. Когда do0< 0, происходит разгрузка по линейно-упругому закону. Если doo =
=0, имеем нейтральное изменение напряженного состояния. Соотношения (8.9), (8.11) и (8.13) определяют однозначную
зависимость приращения компонент деформаций от напряжений и их приращений.
Если приращения пластических деформаций значительно превосходят приращения упругих деформаций и последними