книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1
.pdf41~?0к!У*г |
Л/»1Л«и |
Т . 1 Т Т 1 Р |
|
1а~1и |
|
<-----------------> |
|
40 |
|
Рис 5.3
д-|.Ом, б* 1,4 м, Л=1* кН ,9»20 асДОм, ЛМ б хЕ1-м, Л-210 МПа
1, Составить уравнения поперечны пл и изгибающих моментов но участкам и построил» их эпюры.
Запишем уравнения статики и определим 01горные реакции:
%МЛ=0: - М л + Г а - д - 2 'а (Ь+2 а)+ М ^0;
М 4 = -102 [к 11-м];
5 > г = 0 : Л^ + ^ - 9 2 п * 0 ; ^ = 22[к Н].
Проверке: ]ГЛ/й = 0: -Х /А,-Я л -а-<]-2‘а-(а +1>)+М**0.
Выражении для внутренних усилий 2}, М получим с помощьн» методе ссчсинй. Поперечная сипа в произвольном ссчсиин балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных но одну сторону ог сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если |>авноде(1ству>ошая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа - вниз, те.
стремитеж сдвинуть левую отсеченную часть балки относителы) правой вверх.
Изгибающий момент в сечении балки равен плгсбрпическоЛ сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся е верхней части сечения балки.
На рис. 5.3. а показаны выделенные участки балки. Запишем для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на грашщах участков.
1. О ^ х, ^ 2,0 м
^ = ^ 1 = 2Ог1; 0 у(«)=О ; & г(2)«40[кН ]. Мх * М - от/ = 16 - 10г?;М х (0) = I б [к 11 * м ];
АГ *(2)=40[кК ы ].
2.1,4м
6 ^ = ^ -2 0 = 401*11]; Мх а Л /- ^ * 2 а - ( г 1 + о)= - 2 4 - 4 0 г 1 [к 11•м ];
М х (0) = -24 [к Н •м]; М х (1,4) = - * 0 [к Н • м].
3. 1,4*х3 52,4м
0 Г = ^ ^2 ^ -Р = п [кМ ^ Мх = М - я • 2а • (г, + о) +Р ■(г3 - Ь) = -4 9 ,2 - 22г3;
М х (М ) = -80 [к Н • м ];
А/а(2,4)*-102[к И м].
Построение эпюр Оу А(, проводится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры 0у откладываются выше оси, отрицательные ниже. Положительные значения ординат эпюры М, откладываются ниже оси, отрицательные - выше. На первом участке поперечная сила линейна зависит от координаты, возрастая от нуля в начале участка до 40кН в конце. Эпюра на этом участке ограничена отрезком прямой, проходящей через указанные значения. Изгибающий момент имеет на данном участке уравнение квадратной параболы с вершиной в сечении Г|=Я, т.е. там, где равна нулю поперечная сила, являющаяся произиолной от Л/, ло координате г. Эпюра изгибающего момента ограничена кривой второго порядка, проходящей через точки с координатами 16 кН*м и -24 хН-м, соответственно на правой и левой границах участки. Парабола
имеет выпуклость, направленную о сторону распределенной нагрузки.
На втором и третьем участкам поперечная сила имеет постоянные значения, соответственно 40 кН и 22 кН. Изгибающий момент меняется по лннейиолту закону - эпюра А/, ограничена на участках отрезками прямых, проходящих через точки с ординатами -24 хН-м, -*0 кН м на пторои, и -60 кН м ,-102 кН-и на третьем участках. Результаты построения эпюр (?,, Мя приведены на рис. 5.3 а, 6.
Наиболее опасным является сечение Л, в котором изгибающий момент доел тает наибольшего по модулю значения
А/* - 10 2кН - м.
2. Произвести проверку с помощью дифференциальных зииеимосгсП.
Построению эпюры проводится на основе известных дифференциальных зависимостей между 0,. Л/, и интенсивностью распределенной нагрузки <7(5.1).
О нашем случае ла первый участок действует распределенная нагрузка ц = сонь!, следовательно, поперечная сила должна быть лниеЛноII футшией координаты гь а изгибающий момент ме1гяться по закону квадратной параболы. Эпюра изгибаюиртх моментов не имеет экстремумов, поскольку эпюра ее производной 0Г не пересекает ось. Второй н третий участки свободны от распределенной нагрузки, т.е. производная функции ду тождественно равна дулю, следовательно, сама поперечная сила должна бьпь постоялка в гран ивах каждого участка, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией-
В тех сечениях, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами, ка эпюре О, должно скачком мсиятъся значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. В нашем случае это происходит' в сечелии А%где возникает реакция Нл>и в сечении Я, где приложена нагрузка Р. I Га эпюре А/, аналогичные скачки имеют место о сечениях Л и О, где действует сосредоточенные внешние моменты. Анализируя все перечисленное, делаем вывод о правильности построенияэпюр.
3. Подобрать размеры указанных выше сечений из услонкя
лрохпосзл па нормальным напряжениям. |
|
Из условия прочности при изгибе |о | |
4Л |
определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки:
К1. 102 I0*=48610 ‘м’ =48бсм’
А210 10*
Определим размеры указанных сечен и(к, обсснечнвпюшие прочность балки.
1) Подбираем по ГОСТ 8239-72 номер двутавра, момент сопротивления которого наиболее близок к расчетному. В данном случае подходит двушвр ЛГ* 30а, у которого Н ,=Я $ ем1, площадь сечения
А=49сч3.
Определим наибольшее значение возникающих при этом напряжений:
|о» |
= - |
^ ^ - = 1 3 7 3 Ш‘ Пп = 137,3МПа < А. |
|
I 'ИИ |
7 |
- 1 |
. щ -0 |
|
743 |
10“ |
|
2) |
Определяем размеры прямоугольного сечснн |
||
отношением сторон |
МЬ= 1,6. |
0,54б3 ;>486-1(Гйм3;
Окончательно выбирает размер по ГОСТ <1636-69: 6=100 мм, А= ИМ) ми, А=6Л=180ем3,
Вычислим наибольшее напряжение:
° „ 1, = — 02 |0 * . -189-10*/7о = 1«9МПа< Я. 0,М ( 0>Ю)'
3)Определим размер квадратного сечения.
3 |
1 |
.---------------- |
6 |
^ - 2 486 10“* и*; |
л^Уб* 486-10"6 =0,143 м. |
6 |
|
Окончательно: а = 150 мм, А = а*= 225 см2.
Определим наибольшее напряжение:
°тм |
-г— |
=’181-10< Ип = 181 МПа < Я. |
|
|
0.15’ |
|
|
4) Определим размеры круглого семени |
|||
|
|
^ = 4 « б ю ^ » . > : |
|
|
^ Ч р - . 4 8 6 , Ш ^ |
0м |
|
|
V |
3,14 |
|
Приниыаси по ГОСТу </=1*0аш, площадь сечения
=254 с»13
Определи наибольшее напряженке:
|о| |
= - - 1-? 2 *10> |
. |
= 179-106 Н а - 179МПа< Я . |
• 'жих |
3 (4 |
|
32'
5)Олределнм размеры кольцевого сечения с отношением
г* л* внутреннего и внешнего диаметров а = — = 0,в.
«<1,203ы.
Принимаем 0=225 г.1М, <^=180 ым. Плошаль сечения л *0Х( | - а э} = Ю см '.
Вычислим наибольшее калряженкс:
102-Ю3
* 155- Ю6 По = 155М11п < К
~(0.325)* (1 - 0.8-1)
4.Оценить рмшон алыметь подобранных сечений.
• |
|
540 |
- = 0,224, |
прямоугольник: -у- |
|||
• |
362,5 Л1_, |
||
квадрат: , |
а •= 0,1-бТ» |
||
|
круг: 572 |
* 0,141, |
|
• |
кольцевое сечение: |
= 0,386. |
|
|
|
Я М Л |
Как видим, наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения: двутавр, кольцевое сечение.
5. Построить эгиору нормальных напряжений в опасном сечении (для двутавра, кольца).
Напряжения о опасном сечении меняются по л илейкому закону:
достигая максимума в наиболее удаленных от оси точках.
На рис.5.4 показаны эпюры напряжений для указанны чениП.
Рис-5-4
5.4 Приме]» расчет на прочность двутавровой балки
Для заданной стальной балки из условия прочности полобрать номер двутавра па ГОСТ 8239-72 и произвести полпум проверку прочности.
Рис. * 5
а®0,4м, 6^0,6м, /=2,4м,^-150x11, ^-200к11/м( Л*=20кНм,Я=2 ЮМПй й,=126 МПа.
I. Составить уравнение поперечных си и изгибающих моментов но участкам и построить их эпюры.
3.1пишем уравнения статики и определим опорные реакции,
покатанные парне. $.5, б.
|
.? |
|
2 ^ |
= 0: |
-/> (] + *)=&; Я*=4Э5,8хН; |
Х |
Л1* =*>-■ ~ } + ^ |
~ - И - Р Ь = 0 ; Лл =194.2 к И. |
Реакции получились положительные, это ознАЧпет, что их нзпранленне выбрано верно. Язя проверки спроектируем все сипы на вершкальную ось:
= Я л 1-»- Нд -/* = 194,2 - 200-2,4 + 435,8- 150 =. 0 .
Выделим II обозначим участки балки так, как это покатко на рис. АЛ б. Исполыу* уже известный метод сечений, для каждого участив запишем выражения поперечной силы Ог и изгибающего
момента А/, и вычислим их значения вхарактерных сечениях.
1.027,*0,4м От- *л -Ч *г58 Ю*.2-20Ог,;а-(1>) = 194,2кН:
(^(0,4) = 114,2101.
Мх ■=ВА■■*| ~Я^ -194.2 *, -1 ООг,1; Л/*(0) = 0;
Л/^(0|4)в61,7кН*м.
2.0,4 5/^5 2,4м
ф« А, - * * *а «194,2 - 200*г;&(0,4) - 114,2кН;
&(2,4) = -2И,8кН.
Значения попсрсчноП силы на левой к правоЛ границах участка имеют разные знаки, следовательно, имеется такое значение координаты го, при котором (?* обращается в пуль, а моментА4 имеетэкстремум. Найдем величинуг0:
^ - 0 ^ 0 -1 9 4 ,2 -2 0 0 ^ = 0 , 7о = 0,971 м;
Мх = Я/ + Л^*г2 - ^ ~ ' = 20+ 194,222 - Ю0х | .
А/^СМ) = 81,7кН'И; А/х(2,4) = -90,0 кЛм;
А/д-(0,971) ^ М™ = 1 кН-м*
3. 05*3^0,6м
& = Г=150кН;
Мх = -Л-ГЗ— 150Г,; А/д(0) = 0; ЛГ*(0,б) = -90 кЛ м.
По вычисленным значениям ДА построим их эпюры. При этом будем учитывать вид этих функций, в также дифференциальные зависимости между ними и интенсивностью
распределенной нагрузки ?. Результат построения показан на рис,
5.5о. г.
2.Определить положение опасных сечений и показать опасные точки па чертеже балки.
ЕС опасный, прежде всего, откосится сечение, в котором отгибающий, момент принимает наибольшее по модулю значение
|А ^|ви1, т с. сечение, расположенное на расстоянии 2о от левого
торца балки. Кроме того, опасным может оказаться ссченнс Д, в котором наибольшего значения достигает поперечная сила. К тому же, в данном ссчснии действует изгибающий момент, лишь, псиного уступающий максимальному. В первом сечении опасными булуг точки, наиболее удаленные от оси - на рис. 5.6, а они помечены цифрой /. В этих точках нормальные напряжения лоезигоюг наиболынсЛ псличики. Й сечении В имеется два. типа опасных точек. В точках на оси сечения, помеченных на рисунке цифрой 2, наибольшего значения достигают касательные нлпргжеии , что может привести к разрушению срезом. В опасных точках третьего типа (си. рис. 5.6, а) ни нормальные, ми касательные напряжения не являются максимальными, однако их
совместное действие может оказаться опасным. |
|
||
3. Из условия |
прочности |
по нормальн |
напряжениям |
подобрать двутавровое сече име. |
|
|
|
Определим минимальную величину момента сопротивления |
|||
из указанного условия прочности в опасном сечении: |
|
||
а |
К 1. |
1 1 0 -10' |
|
|
Л |
210-Ю1 |
|
Нанлучшим образом подходит двутавр №33 с момогтом сопротивления Иу=597 см*, моментом инерции см4, статическим моментом половины сечения 5,-039 си1 и толщиной стенки (2*7,0 мм.
4. Произвести проверку прочности по максимальным касательным напряжениям к при необходимости усилить сечение.
Поперечная сило достигает наибольшего значения
1^>1тх = 285‘’8 кН нап пР4воП опорой (ссчснис В)- Найти максимальное касательное нопряжение:
1<?>|я>. ,д* |
2Я5.Я К ^ЗЗ?-»)* |
я 126 М П й . |
^ л(^ |
= 1 4 1 -1 0 * П а > |
|
9840• 10 ’• 7.0-10° |
|
Условие прочности не выполняется, следовательно, необходимо увеличить номер двутавра. Для следующего по ГОСТу двутавра 3636 1Г/=7Э4 ем1, Л=13380 см \ ^ =423 см \ <#=7,5 мм.
Вновь вычислим наибольшее касательное напряжение:
тгг.» |
235,8-10*-423 Ю"4 |
|
|
|||
|
|
|
120,5-104 Пи < Дср. |
|||
|
13380 1<Г8 - 7,5 -Ю“3 |
|
|
|||
Условие |
прочности |
|
имальным |
касательным |
||
напряженияи выполняется, |
|
|
|
|
||
5. |
С учетом совместного действия нормальных и касательных |
|||||
напряжении, используя четвертую теорию прочности, проверить |
||||||
прочность балки и при необходимости подобрать новое сечение. |
||||||
Вычислить нормальное и касательное напряжения |
в сечен н в в |
|||||
точках, помеченных карие. 5.6, а инфроП 3. |
|
|
||||
Расстояние от |
этих |
точек |
до оси |
У<э)я М2-Г= I 80- |
||
12,3=167,7 |
мм. Здесь А - |
высота сечения, Г - толщина полки. |
||||
Норыапыюе напряжение: |
|
|
|
|
||
ст<» |
Щ -П ч = 90-10* |
•0.1677 = Ш -!0 ‘ Па. |
||||
|
|
13380-10"* |
|
|
||
Касательное |
напряжение |
можно |
найти |
по формуле: |
тО ) - “ г '
^X
Здесь 55“ - статический момент части сечения, отсеченной горизонтальной плоскостью, проходящей через точку 3. Эту часть сечения можно без большой погрешности считать прямоугольником размерами Ьм, где г - уже упоминавшаяся толщина полки, а 6=155 мм - ширина полки указанного двутавра. Вычислим статический момент отсеченной части сечения, как произведение ее площади Аж на расстояние от оси х до и.ентра тяжести прямоугольника.
Уг= 2~2= т иы ‘
5Г |
•Уг = 6 ** ^-^*300 ю 4 ^ 1] . |
юо