книги / Электронные генераторы. Фильтры
.pdfИз выражений (1.13) с учетом (1.10) следует:
|
|
ν |
|
− ν = |
1 |
|
= δ |
|
|
, |
|
|
|
|
(1.14) |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
экв |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
Qэкв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
|
− f |
= ∆ F= |
|
f0 |
|
= δ |
|
экв |
·f |
|
, |
(1.15) |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Qэкв |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f0 = |
|
f1 f2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.16) |
||||||
Из формулы (1.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Q |
|
= |
|
f0 |
, |
|
|
|
δ |
экв |
= |
∆ F |
. |
(1.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
экв |
|
∆ |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (1.16), (1.17) позволяют по экспериментальным АЧХ определять эквивалентные параметры сложных преобразователей частоты (например, микроэлектронных), для которых не могут быть использованы равенства (1.1) – (1.12).
Замечание. При создании резонансного усилителя задаются величинами f0 и ∆F. Из (1.17) определяют необходимую величину Qэкв, а из (1.7) – R рез. Контуры среднего качества имеют Qэкв = 20… 100. Если Qэкв < 20, то контур плохой, если Q > 100, то контур хороший. Q может достигать нескольких сотен. У кварцевых резонаторов Q > 10000.
Пример 1.1. Пусть имеется контур с Qэкв = 20. Требуется передавать сигналы, занимающие полосу частот шириной 6 кГц, т.е. ∆ F = f2 – f1 = 6 кГц. На какой несущей частоте f0 это возможно?
Согласно (1.17) f0 = ∆ F Q = 6 20 = 120 кГц. Приблизительно с такой частоты начинается длинноволновый диапазон радио.
Связанные контуры
В резонансных усилителях часто используют связанные контуры. Так называют два контура, между которыми имеется электрическая (индуктивная или емкостная) связь. АЧХ такой системы представлена кривой 2 на рис. 1.2,б. Связанные контуры позволяют получить более широкую полосу пропускания (∆ F′ > ∆ F) и более крутой спад АЧХ.
11
1.3. Пассивные фильтры
Анализ и синтез фильтров и теория частотного преобразования (фильтрации) электрических сигналов составляют обширный раздел науки. Потребность в такой фильтрации сигналов огромна и имеется во всем диапазоне частот от долей герца до сверхвысоких частот (СВЧ). Подробно фильтры рассмотрены в работе [1]. В пособии фильтры рассматриваются кратко.
В зависимости от диапазона пропускаемых частот фильтры подразделяются на следующие виды:
–фильтры нижних частот (ФНЧ);
–фильтры верхних частот (ФВЧ);
–полосовые фильтры (ПФ);
–заграждающие (режекторные) фильтры (РФ).
1.3.1. Фильтры нижних частот
Это фильтры, у которых полоса пропускания занимает диапазон от нулевой частоты (f1 = 0) до некоторой частоты fс (или f2), называемой частотой среза (спада). Идеальный ФНЧ должен пропускать сигналы без ослабления (без затухания) от нулевой частоты до частоты среза fс (при f ≤ fс), а выше fс (f ≥ fс) не пропускать совсем. Передаточная характеристика идеального ФНЧ представлена отрезками прямых (асимптотами) 1, 1′ на рис. 1.4,а. Однако реализовать идеальный ФНЧ нельзя. Все фильтры, в том числе и ФНЧ, строят из реальных физических элементов. Простейшие варианты ФНЧ, называемые звеньями, приведены на рис. 1.3 (а – звено RC, б – звено LC, в – полузвено LC). Фильтр, состоящий из одного звена, называют фильтром первого порядка, из двух звеньев, включенных последовательно, – фильтром второго порядка и т. д.
Звенья фильтров типа RC любого порядка в дальнейшем анализируются, как правило, при выполнении идеальных условий для каждого звена: выходное сопротивление Rг источника сигнала (предыдущего звена) много меньше входного сопротив-
12
ления Rвх последующего звена (на входе звена – источник ЭДС); сопротивление нагрузки Rн много больше выходного сопротивления Rвых звена (на выходе звена – холостой ход):
Rг << Rвх, Rвых << Rн. |
(1.18) |
Рис. 1.3
Внутри многозвенных фильтров для выполнения этого условия последующие звенья выбираются более высокоомными, чем предыдущие. Например, для фильтра на рис. 1.3, г
R2 = nR1 , C2 = C1 / n , n >> 1 , |
(1.18а) |
или
R2 >> R1, С2 << С1, R1 C1 = R2 ·C2 .
Передаточная (частотная) характеристика ФНЧ первого порядка типа RC (см. рис. 1.3,а) может быть представлена формулой
|
|
U |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
K& |
= |
2 |
= |
|
jωC |
|
|
= |
|
= |
|
|
, |
(1.19) |
|||||||
|
|
|
R + |
1 |
|
|
+ jωτ |
|
|
f |
|
||||||||||
|
|
|
U1 |
|
|
|
1 |
|
1 + j |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
jωC |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc |
|
где τ = RC, ωc = 2π fc = 1/RC.
13
Частотная характеристика (1.19) включает в себя амплитуд-
но-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики:
|
|
|
|
|
K& |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (ωτ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
ω |
2 |
f |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
(1.20) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωс |
|
|
fс |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = − arctg |
f |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Чаще используют логарифмическую амплитудно-частот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ную характеристику (ЛАЧХ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K& |
|
дБ |
= 20 lg |
|
K& |
|
|
= 20 lg[1 + ( f / fс )2 |
]−1/ 2 . |
(1.21) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Представляя ее (приближенно) диаграммами Боде [2], |
||||||||||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
при f |
≤ |
|
fc , |
(1.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
дБ |
= 0 − 20 lg( f / fc ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−20 lg( f / fc ) |
при f |
≥ |
|
fc . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 1.4,а приведен график ЛАЧХ (1.21) (кривая 2′) и диаграммы Боде (1.22) (асимптоты 2 и 1) ФНЧ первого порядка (n = 1). Частоту fс называют также частотой сопряжения асимптот (2 и 1), (1 и 1′). Асимптота 2 и кривая 2′ вдали от fс имеют наклон в 20 дБ/дек в полосе затухания (f > fс), что весьма далеко от идеального фильтра. Чтобы получить более быстрое затухание (ближе к идеальному), используют фильтры более высокого порядка (второго, третьего и т. д.) – многозвенные фильтры. Каждое звено в таком фильтре дает наклон диаграммы Боде в 20 дБ/дек, а общий наклон – n 20 дБ/дек, где n – порядок (или число звеньев) фильтра.
На рис. 1.4,б приведена фазочастотная характеристика (1.20) ФНЧ первого порядка (кривая 1). Асимптотическая ФЧХ
14
(диаграммы Боде) на рис. 1.4,б представлена тремя отрезками прямых – 2′, 2, 2″ :
|
0 |
|
при |
f |
≤ 0,1 fc , |
|
ϕ = |
|
|
o |
при |
0,1 fc≤ f≤ 10 fc , (1.23) |
|
− |
45 [1+ lg( f / fc )] |
|||||
|
|
−90° |
при |
f |
≥ 10 fc . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4. (См. окончание на с. 16)
15
Рис. 1.4. Окончание
Асимптота 2 имеет наклон в 45°/дек. В фильтре n-го порядка общий наклон ФЧХ равен n 45°/дек.
Для получения большего затухания и симметрии в схемах LC-фильтраприменяютсясимметричныетрехэлементныеТ- иП-об- разные звенья, которые в теории фильтров представляются состоящими из двух полузвеньев. На рис. 1.3,б показана схема Т-образного звена ФНЧ, а на рис. 1.3,в – LC-полузвено.
16
PNRPU
Произведение комплексных сопротивлений последовательного Z1 и параллельного Z2 звеньев постоянно и не зависит от частоты:
Z1 Z2 |
= jω L |
1 = |
L= k 2 . |
(1.24) |
|
|
jω C |
C |
|
Оно является параметром фильтра. Параметр k используется в теории фильтров (при расчетах и анализе). По параметру k такие простейшие фильтры называют фильтрами типа k. Фильтрующие свойства фильтров типа k не высоки. Значительно лучшими фильтрующими свойствами и постоянством этих свойств обладают LC-фильтры типа т, в которых элементы L, C заменяются резонансными контурами. Фильтры типа т в пособии не рассматриваются. Приоритетными в пособии считаются активные RС-фильтры на базе ИМС.
Фильтры нижних частот второго порядка
Самый простой (но не самый эффективный) способ получения фильтров более высокого порядка (n > 1) – это последовательное соединение n одинаковых звеньев фильтра (фильтров первого порядка). Для примера рассмотрим ФНЧ второго порядка (n = 2), показанный на рис. 1.3,г. Его получают последовательным соединением двух звеньев ФНЧ. При выполнении идеальных условий (1.18а): R2 >> R1; C2 >> C1; R1C1 = R2C2 – частот-
ной характеристикой такого фильтра будет квадрат выражения
(1.19):
|
2 |
1 |
|
|
K& (ω )2= (K& |
ω( )1 )= |
|
, |
(1.25) |
(1 + jν )2 |
17
где ν = ωτ = ω/ ωс = f / |
fс – нормированная частота, |
введенная для |
|||||||||
сокращения формул; K&(ω)2 – |
частотная характеристика фильтра |
||||||||||
второго порядка, K&(ω )1 |
– фильтра первого порядка. |
|
|||||||||
АЧХ (модуль) и ФЧХ выражения (1.25) можно предста- |
|||||||||||
вить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K&(ω) |
2 |
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
+ |
ν |
|
|
|
(1.26) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ = − 2arctg(ωτ |
=)− |
|
|
||||||||
2arctg(ω/ ωc ). |
|
Модуль (1.26) может быть получен и как квадрат выраже-
ния (1.20).
На рис. 1.4,а АЧХ (1.25) представлена графиком 3′, асимптоты (1.26) – отрезками 1, 3. Асимптота 3 имеет наклон 40 дБ/дек
(2·20 дБ/дек).
На рис. 1.4,б показаны асимптоты фазочастотной характеристики (1.26) – отрезки 2′, 3. Асимптота 3 имеет наклон 90°/дек (2·45°/дек). На частоте fс каждое из двух звеньев ФЧХ дает снижение АЧХ на 3 дБ (1 2 ). Следовательно, снижение АЧХ
фильтра второго порядка (1.26) на fс |
будет уже равно – 6 дБ. |
Снижение АЧХ (1.26) до уровня –3 |
дБ (1 2 ) произойдет |
на частоте f2.2 < fс, т. е. наряду с |
увеличением крутизны |
АЧХ (1.26) до 40 дБ/дек происходит уменьшение полосы пропускания фильтра второго (более высокого) порядка (0 – f2.2) по сравнению с полосой пропускания фильтра первого (более
низкого) порядка 0 – f2.1(f2.1= fс). Частоту среза ФНЧ второго порядка f2.2 можно найти из условия, что на частоте среза f2.2 мо-
дуль (1.26) уменьшится в 2 раза. Следовательно,
1 + ν22.2 = 2
или
18
|
ν2.2 |
= 2 −1 = 0, 6436 , |
(1.27) |
где ν2.2 = f2.2 / |
fc ; f2.2 – |
частота среза ФНЧ второго |
порядка |
на уровне 1 2 |
(−3 дБ). |
|
|
Из (1.27) легко найти f2.2: |
|
f2.2 = 0,6436fc = 0,6436f0. |
|
|
Для однозвенного фильтра fc = f0. |
|
|
При любом другом порядке ФНЧ (n > 2) величина |
f2.n оп- |
|
ределяется аналогично (1. 27) [2]: |
|
|
f2.n = fc |
п 2 −1 . |
(1.27а) |
Здесь было рассмотрено, как изменяются свойства фильтра при включении последовательно двух одинаковых звеньев (n = 2) с ω c= 1/ RC (при выполнении (1.18)). На практике (при расчете
фильтра) задача несколько иная: нужно рассчитать фильтр второго порядка с заданной полосой пропускания, т. е. заданной частотой среза ωс.з (величина ωс.з определяется требованиями нагрузки). Число звеньев увеличивается ( n >1 ) для улучшения избирательности (для увеличения крутизны спада ЛАЧХ в переходной области). Применительно к рассмотренному ФНЧ второго поряд-
ка найденная частота среза |
f2.2 (на уровне 1/ 2 ) и должна быть |
||||
равна заданной |
fc.з (ω |
с = |
2π fc), т. е. f2.2 = fc.з . Но f2.2 = 0,64 f0 |
||
( f0 =1/ 2π RC) . |
|
|
|
|
|
Чтобы увеличить |
f2.2 |
до величины fc.з , надо увеличить час- |
|||
тоту сопряжения |
f0 до |
f0′ (уменьшитьпостоянную RC до R′C′) : |
|||
|
f0′ = |
|
f0 |
или R′C′ = 0,64RC , |
|
|
|
|
|
||
|
0,64 |
|
|
что и даст заданную частоту среза fc.з = f0′ = 1,55f0.
19
Другими словами, как в усилителях, заданное на весь фильтр снижение в 3 дБ надо распределить между двумя (или между n) звеньями по 1,5 дБ (или по 3/n дБ), и тогда каждое звено на заданной частоте среза ωс будет давать снижение АЧХ (затухание) на 1,5 дБ (или на 3/n дБ).
ФНЧ второго порядка в неидеальных условиях
В многозвенных фильтрах идеальные условия (1.18) выполняются не всегда. Нередко включаются последовательно одинаковые звенья. Это приводит к взаимовлиянию звеньев и изменению параметров фильтра и требует совместного рассмотрения одновременно всей схемы фильтра с использованием традиционных методов (законов Кирхгофа). Для примера рассмотрим тот же фильтр НЧ второго порядка, показанный на рис. 1.3,г, но при равных величинах емкостей и сопротивлений звеньев (такую схему называют «C-параллель»):
R1 = R2 = R , C1 = C2 = C .
По рис. 1.3, г составляем уравнения для контурных токов
I1 , I2 :
U |
1 |
= I |
( R + X ) − I |
2 |
X , |
|
|
1 |
|
|
|
||
0 = −I1 X + I2 ( R + 2 X ), |
(1.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
где X =1/ jω C .
Из уравнений (1.28) находим I2 и U2 :
|
I2 = |
|
|
U1 X |
|
, |
|
|
U2 = I2 X , |
|
|||
|
|
X 2 + 3RX + R2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
а затем и коэффициент передачи γ |
: |
|
|
|
|
||||||||
& |
U 2 |
I2 X |
|
X 2 |
|
|
|
1 |
|
||||
γ = |
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
, (1.29) |
|||
U1 |
|
U1 |
X 2 + 2RX + R2 |
|
( jν )2+ 2 jν + 1 |
20