книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
4. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ |
111 |
||||
цов В и X и м атрицы А , полож ив их равны м и |
|
|
||||
1311 = |
J 2 bl IAII = |
Е - |
1311 = |
ЕЕ- |
(4.27) |
|
\ |
2= 1 |
\ J = 1 |
|
|
\ i = 1 j = 1 |
|
Зам етим , |
что норм ы столбцов В |
и X |
определяю тся как обы чны е |
|||
норм ы векторов — элементов |
пространств |
Е т |
и соответственно Е п . |
|||
Н орм а м атрицы А согласована с нормой n -мерного столбца X |
в том |
смысле, что норм а ш -мерного столбца А Х , равного произведению м ат рицы А на столбец X , удовлетворяет условию 21)
|
|
|
|
1 3 |
4 |
3 |
1311 1311- |
|
|
|
|
(4.28) |
||
Б удем считать, что вместо |
точны х |
значений |
элем ентов |
м атрицы |
||||||||||
А = |
\\aij\\ и |
|
столбца |
п равы х |
частей |
В |
= |
||Ь^-|| |
нам задан ы |
|
прибли |
|||
ж енны е значения А = |
||а^-||, |
В |
= |
||Ь^-||. |
|
|
|
|
|
|
||||
М атрицу |
А (столбец В ) будем |
н азы вать |
8-п р и б ли ж ен и ем |
м атри |
||||||||||
цы А |
(столбца В ), если справедливо неравенство |
|
|
|
|
|||||||||
1 3 - 3 1 = л |
Ё Ё ( ау _ аз 2< 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
\ |
i = i j = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iв |
|
- |
в II |
= |
Ё (Ь < |
- У 2 < |
Ц |
• |
(4-29) |
|
Н азовем |
норм альны м реш ением |
совместной |
системы |
(4.26) то ее |
||||||||||
реш ение X й |
|
= |
, норм а |
||Х °|| |
которого явл яется |
наим еньш ей |
21)В самом деле, пользуясь определением произведения матрицы на столбец,
соотношениями (4.27) и неравенством Кош и-Буняковского для элементов евкли дова пространства Е п , будем иметь
1 2
|д х ц 2 Е Е Q*ij %j ^ Е
3 = 1
т |
п |
п |
||Д|2||х||2. |
= Е |
Е |
4 •Е 3 |
г = 1 j = 1 |
j = 1 |
112 |
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
среди норм |
||Х || всех реш ений X этой системы . Зам етим , что у всякой |
совместной системы (4.26) (в том числе и у неопределенной) сущ еству ет единственное норм альное реш ение.
Введем |
в рассм отрение следую щ ую |
ф ункцию п переменны х ад, |
|
|
|
Xi |
|
Х2 , ... , |
х п или одного столбца X = |
|
|
|
|
Хп |
|
F a {xu |
... , |
х п , А , В ) = F a ( X , А , В ) = |
\\А Х - В \\2 + а \\Х \\2, (4.30) |
зависящ ую , как от парам етров, от элементов м атрицы А и столбца В , а такж е зависящ ую от некоторого числового п арам етра а . В подробной записи эта ф ун кц и я вы гляди т так:
|
|
П |
|
F a (X , А , |
В ) = Y , |
®ijX3 |
(4.30') |
|
2= 1 3 = 1 |
|
|
Ф актически |
F a ( X , А , В ) |
явл яется ф ункцией |
от элементов X ев |
кли дова п ространства n -мерны х столбцов Е п . Такого рода ф ункцию , аргум ентом которой служ ат элем енты некоторого линейного простран
ства, принято н азы вать |
ф ункционалом 22) . |
|
|
|
|
|
|
||||
Л егко |
убедиться в |
том, что |
при |
лю бом |
ф иксированном а |
> 0 |
|||||
неот рицат ельны й ф ункционал |
(4.30') дост игает |
своего |
м и н и м а л ь |
||||||||
ного (во |
всем пространстве Е п) зн а чен и я |
в единст венной |
т очке |
||||||||
|
ГрбХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х а |
Х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прост ранст ва Е п . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В самом деле, д в аж д ы |
ди ф ф ерен ц и руя ф ункцию |
(4.30'), получим |
|||||||||
3 2F a |
„ |
|
|
„ |
[ 1 |
при |
к |
= |
/, |
|
|
д х кдxi |
CLikCLu + |
2 |
aSkh где бы |
= |
при |
к |
ф |
I. |
|
|
|
2 г —1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
С ледовательно, второй ди ф ф ерен ц и ал ф ункции F a имеет вид |
|||||||||||
|
Е Е |
|
dxkdxi + |
п |
п |
|
|
|
|
|
|
d2F a |
|
а Е Е 5kidxkdxi |
= |
|
|||||||
|
Z = 1 1 = 1 U = 1 |
|
|
|
к = И = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Е ^ ^ dikdxk |
|
|
п |
|
|||
|
|
|
|
|
+ |
a ^ 2 ( d x k)2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
_к = 1 |
|
|
|
|
к = 1 |
|
22) Ф ункционалы систематически изучаю тся в следующей главе.
|
|
|
|
|
4. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ |
|
|
|
|
113 |
|||||||
И з этого равенства вы текает оценка d2F a ^ |
a Y lk = i(d x k )2, означаю |
||||||||||||||||
щ ая, что |
ф ун кц и я F a явл яется |
строго |
вы пуклой |
вниз. К ром е |
того, |
||||||||||||
F a |
-А + оо при |
||Х || |
= |
\/Y lk = 1 х \ |
|
0 0 • О тсюДа |
очевидны м обра |
||||||||||
зом |
следует, |
что |
F a |
имеет, |
и притом |
единственную , |
точку миниму |
||||||||||
м а |
23) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М етоды |
оты скания м иним альны х |
значений ф ункционалов |
вида |
|||||||||||||
(4.30) хорош о разработаны 24) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д окаж ем следую щ ую ф ундам ентальную теорему, сводящ ую вопрос |
||||||||||||||||
о приближ енном |
оты скании норм ального реш ения |
системы |
(4.26) к |
||||||||||||||
оты сканию того элемента Х а |
|
|
, на котором достигает своего |
||||||||||||||
м инимального значения ф ункционал (4.30). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Теорема |
А .Н . Тихонова. |
П уст ь |
м ат рица |
А |
и |
ст олбец В |
||||||||||
удовлет воряю т усло ви я м , обеспечиваю щ им |
совм ест ност ь сист ем ы |
||||||||||||||||
(4.26), Х ° |
|
|
х оп |
норм альное |
реш ение эт ой |
сист ем ы , |
А — |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8-приб лиж ен ие |
м ат рицы |
А , В — 8-приб лиж ен ие |
ст олбца |
В , |
е (8) |
||||||||||||
и а (8) — какие-либо |
возраст аю щ ие ф ункции |
8, ст рем ящ иеся |
к нулю |
||||||||||||||
при 8 —>0 + |
0 и т акие, чт о 82 ^ |
£ (J )a |
(J). Тогда для любого г > 0 н ай |
||||||||||||||
дет ся полож ит ельное число 8Q = Jo (в, |
||Х °||) т акое, чт о при лю бом |
||||||||||||||||
8 < |
JQ (£, |
||Х °||) и при лю бом а , |
удовлет воряю щ ем условию |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s2^ а ^ |
а |
(8), |
|
|
|
|
(4.31) |
||
элем ен т |
Х а |
|
= |
|
|
, дост авляю щ ий |
м и н и м у м |
ф ункциона |
|||||||||
л у |
(4.30), |
удовлет воряет |
неравенст ву |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||Х а |
- Х °\\ |
^ £ . |
|
|
|
|
(4.32) |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассм отрим |
в |
линейном |
пространстве |
Е г |
|||||||||||
подм нож ество |
{£/д} |
всех |
элем ентов U |
— |
. .. |
, |
представим ы х в |
23)См., в частности, выпуск 1 «Основы математического анализа», часть I,
гл. 14, § 7.
24)См. там же.
8 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к
114 |
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
Xi |
виде У = |
А Х , где X |
— произвольны й элемент простран - |
Хп
ства Е п . С оверш енно очевидно, что подм нож ество {Уд} представляет собой линейное пространство и поэтом у явл яется подпространством
Е т . О бозначим через {Уд} ортогональное дополнение {С/д} (до всего
Е т ) и разлож и м Е т в прям ую сумму подпространств {С/д} и {Уд} 25) .
П усть 5 д |
обозначает проекцию |
столбца В |
на подпространство {Уд}, |
|||||||||||||||
так |
что В |
= |
Б д |
+ |
|
( 5 |
— # д ) , |
где |
(i? — |
В А ) — элемент {Уд}. Тог |
||||||||
да, |
поскольку д л я |
лю бого |
элем ента |
X |
п ространства Е п столбец А Х |
|||||||||||||
явл яется элементом |
{Уд}, мы получим следую щ ее разлож ение: |
|||||||||||||||||
|
|
|
А Х - В — ( А Х - В А ) + (В А - В ), |
|
|
|||||||||||||
в котором элем енты ( А Х |
— В А ) и (В А — В ) |
ортогональны друг другу |
||||||||||||||||
и п ри н адлеж ат соответственно {Уд} и {Уд}. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
П ользуясь теоремой П и ф аго р а |
(см. п. 2 |
§ 1 |
), мы получим |
(для лю |
|||||||||||||
бого элемента X п ространства Е п ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
\\Л Х |
- |
В \\2 |
= |
\\А Х |
- |
|
В А ||2 + |
ЦБ |
- |
В А ||2. |
|
(4.33) |
||||
И з |
(4.33) следует, в частности, неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ЦБ |
- |
Б д || |
^ |
\ \ А Х- |
Б ||, |
|
|
|
(4.34) |
|||
такж е справедливое |
|
д л я |
лю бого |
элем ента |
X |
|
п ространства |
Е п . И з |
||||||||||
(4.33) и (4.30) мы получим, что д л я лю бого X |
из Е п |
|
|
|||||||||||||||
|
|
F a (X , |
А , |
В ) |
= |
ЦБ - |
В А \\2 |
+ F a (X , |
А , В А ), |
|
(4.35) |
|||||||
т. е. ф ункционалы , стоящ ие в левой и в правой частях (4.35), |
им ею т |
|||||||||||||||||
общ ий элем ен т Х а , дост авляю щ ий и м м и н и м у м . |
|
|
||||||||||||||||
|
Установим |
теперь |
д л я |
лю бого |
а , удовлетворяю щ его |
условиям |
||||||||||||
(4.31), следую щ ее неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
F a ( X a , А , |
В А ) <: а е (6)С 2 + |
а |Ц ° ||, |
|
(4.36) |
|||||||||||
в котором через С обозначена величина С |
= |
2 |
( 1 + Щ ° ||), |
а Х ° — |
||||||||||||||
норм альное реш ение системы (4.26). |
|
|
|
|
|
|
|
|
25) См. п. 3 § 2 этой главы.
|
|
|
|
|
4. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ |
|
|
|
115 |
||||||||
Т ак как столбец Х а доставляет минимум |
ф ункционалу, стоящ ем у |
||||||||||||||||
в правой части (4.35), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F a { X a , А , |
В А ) <; F a (X ° , А , В А ) |
= |
||Н 1 ° - |
В А |
||2 + |
а ||Х ° ||2. |
(4.37) |
||||||||||
П ользуясь соотнош ением А Х ° |
= В и неравенством треугольника, |
||||||||||||||||
получим |
||А Х -0 |
- |
В А|| |
<; ||i X ° |
- |
А Х °\\ |
+ ||В |
- |
В || |
+ ||В - |
В А \\. В |
||||||
правой части последнего неравенства воспользуемся |
соотнош ениями |
||||||||||||||||
(4.28) |
и |
(4.29), |
а |
такж е неравенством (4.34), |
взяты м |
при X |
= |
Х ° . |
|||||||||
П олучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\А Х ° - |
|
В А || <С 6\\Х°\\ + |
5 |
+ \\В |
- |
А Х °\\. |
|
(4.38) |
||||||
Ещ е раз учи ты вая, что А Х ° |
= |
В , и снова пользуясь неравенством |
|||||||||||||||
треугольника и соотнош ениям и |
(4.28) и (4.29), получим, что |
|
|
||||||||||||||
\\В |
- |
А Х °\\ |
^ |
\\В |
- |
В\\ + \\А Х ° - |
А Х °\\ |
^ |
S |
+ 5 • ||Х °||. |
|
(4.39) |
|||||
И з |
(4.38) |
и |
(4.39) |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
\\А Х ° |
- В А|| < |
; 25(1 |
+ |
||Х °||) |
= |
CS, |
|
|
(4.40) |
|||
где С |
= |
2 ( 1 |
+ |
\\Х °\\). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д л я заверш ения доказательства оценки (4.36) остается подставить |
|||||||||||||||||
(4.40) в (4.37) и воспользоваться неравенством (4.31). |
|
|
|
||||||||||||||
П оскольку |
из |
определения |
ф ун кц и он ала |
F a |
сразу вы текает, что |
||||||||||||
а • ||Х а ||2 ^ |
F a ( X a , А , В А ), то из доказанного нами неравенства (4.36) |
||||||||||||||||
вы текает такж е следую щ ее неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| Д “ | Д | | Х 0| | + |
£ 1 ( Д |
|
|
|
|
|
(4.41) |
|||
в котором £i (5) —> 0 |
при S —> 0 |
+ |
0 . И з |
(4.41) вы текает, что |
при всех |
||||||||||||
достаточно |
м алы х 8 м нож ест во |
{ Х а } |
т очек Х а прост ранст ва Е п |
||||||||||||||
я в ля е т с я ограниченны м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь уж е нетрудно доказать |
теорем у от противного. П редполо |
||||||||||||||||
ж им , что д л я некоторого го > 0 |
сущ ествует последовательность 8п —>■ |
||||||||||||||||
—>0 + |
0 |
и отвечаю щ ая ей последовательность {ад} чисел а д , удовле |
|||||||||||||||
творяю щ их условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
^ |
^ |
(5п)? |
|
|
|
|
(4.31*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Щ п ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такая, что д л я всех номеров п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
\\Хап |
- |
Х ° | Д |
е0. |
|
|
|
|
|
(4.42) |
116 |
|
|
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ |
ПРОСТРАНСТВА |
|
||||
Т ак как множ ество { Х а } ограничено, то в силу теорем ы Б о л ь ц ан о - |
|||||||||
В ейерш трасса из последовательности |
{Х ап } мож но вы делить сходя |
||||||||
щ ую ся подпоследовательность. Ч тобы |
не м енять обозначений, будем |
||||||||
считать, что |
вся |
последовательность |
{ Х Лтг} |
сходится к |
некоторому |
||||
столбцу Х ° |
|
|
, т. е. \\Х ап — Х °\\ -А 0 при п —Уоо. |
|
|||||
У бедимся в том, что |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
\\А Х а” - |
Л Х °|| ->■ 0 при п |
-» оо. |
|
(4.43) |
||
В |
самом |
деле, |
пользуясь неравенством |
треугольника, оценками |
|||||
(4.28), |
(4.29), |
(4.36) |
и (4.40) |
и соотнош ением (4.31*), получим |
|||||
\\А Х ап - А Х °|| «С |
||А Х ап - |
А Х ап || + |
||А Х ап |
- В А || + |\В А - А Х °|| «С |
|||||
^ ||Х“"I + |
y/F°-(X°-,A, В А ) |
+ С 5п <: 5п (\\Х ап || |
+ С) + |
||||||
|
|
|
|
|
+ y^O,n£(Sn )C + <лп ||Х ° | | 2 |
—У0 |
при п —У0 0 . |
||
И з неравенства (4.43) вы текает, что А Х ° |
= А Х ° , |
т. е. предельны й |
элемент Х ° явл яется реш ением системы (4.26), удовлетворяю щ им, в
силу соотнош ения (4.41), неравенству |
||Х °|| ^ ||Х °||. Т ак как |
по опре |
делению д л я норм ального реш ения Х ° |
справедливо обратное |
неравен |
ство ||Х °|| ^ ||Х °||, то ||Х °|| = ||Х °||, т. е. Х ° = Х ° , а это противоре чит неравенству (4.42), справедливом у д л я лю бого ном ера п.
П олученное противоречие заверш ает доказательство теоремы .
Г Л А В А 5
Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы
В этой главе исследую тся так назы ваем ы е лин ейны е от ображ ения
линейны х и евклидовы х пространств, т. е. такие отображ ения, при ко торы х образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произ ведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. П ри этом мы будем рассм атри вать ком плексны е линейны е и евклидовы пространства. Р езультаты , относящ иеся к вещ ественны м пространствам , будут оговорены специально.
§ 1 . П о н я т и е л и н е й н о г о о п е р а т о р а . О с н о в н ы е с в о й с т в а
1. О п р е д е л е н и е л и н е й н о г о о п е р а т о р а . П усть У и I T -
линейны е пространства, разм ерности которы х равны соответственно п
и т . М ы будем н азы вать операт ором А , дейст вую щ им |
из V в УУ, |
||
отображ ение вида А : У —> УУ, сопоставляю щ ее каж дом у |
элем енту х |
||
п ространства У некоторы й элемент у п ространства УУ. П ри этом бу |
|||
дем использовать обозначение у = А (х) или у |
= |
А х . |
|
О п р е д е л е н и е . О ператор А , действую щ ий |
из |
У в УУ, н азы вается |
л и н е й н ы м , если д л я лю бы х элементов x i u Х2 п ространства У н лю бого комплексного числа Л вы полняю тся соотнош ения:
1 °) A (x i |
+ |
Х2 ) = A x i + А х 2 (свойст во аддит ивност и опера |
|
тора) ; |
|
|
|
2 °) А (Лх) |
= |
ЛА х |
(свойст во однородности оператора). |
З а м е ч а н и е |
1. |
Если пространство УУ представляет собой ком |
плексную плоскость, то линейны й оператор А , действую щ ий из У в РУ,
назы вается ли н ей н о й ф ормой или ли н ей н ы м |
ф ункционалом . |
З а м е ч а н и е 2 . Если пространство УУ |
совпадает с пространст |
вом У , то линейны й оператор, действую щ ий в этом случае из У в У, назы ваю т такж е ли н ей н ы м преобразованием прост ранст ва V .
2 . Д е й с т в и я н а д л и н е й н ы м и о п е р а т о р а м . П р о с т р а н с т в о л и н е й н ы х о п е р а т о р о в . В множ естве всех линейны х операторов, дей ствую щ их из У в УУ, определим операции сум м ы таких операторов и
ум н о ж ен и я оператора на скаляр.
П усть А и В — д в а линейны х оператора, действую щ их из У в УУ.
118 ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
С ум м о й этих операторов назовем линейны й оператор А + В, опреде
ляем ы й равенством |
|
(А + В )х = А х + В х. |
(5.1) |
П р о и звед ен и ем линейного оператора А на скаляр Л назовем линей
ный оператор ЛА, определяем ы й равенством |
|
(AA) х = А(Ах). |
(5.2) |
Н азовем п улевы м оператор, обозначаем ы й символом |
О и отобра |
ж аю щ ий все элем енты п ространства У в нулевой элем ент пространст
ва W .
И ны ми словами, оператор О дейетвует по правилу О х = 0.
Д л я каж дого оператора А |
определим |
прот ивополож ны й опера |
|
тор —А посредством соотнош ения |
|
||
|
- А |
= (—1)А. |
|
Л егко проверить справедливость следую щ его утверж дения. |
|||
М нож ест во L (У, W ) |
всех |
ли н е й н ы х |
операт оров, дейст вую щ их |
из V в W , с указанны м и |
выш е операциям и сум м ы и ум н о ж ен и я на |
скаляр и |
вы бранны м и нулевы м операт ором и прот ивополож ны м опе |
рат ором |
образует лин ейное прост ранст во. |
3. С войства м нож ества L (V, V ) линейны х операторов . И с
следуем подробнее линейны е операторы , действую щ ие из У в У , т. е. изучим подробнее множ ество L (У, У ).
Н азовем т ож дест венны м (или единичны м ) оператором линейны й
оператор |
I, |
действую щ ий по правилу 1х |
= |
х (здесь |
х — лю бой |
эле |
||||
мент У ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем понятие |
произведения линейны х |
операторов из м нож ест |
||||||||
ва L (У, У ). |
|
|
|
А и |
В из |
|
|
|
|
|
П роизведением операторов |
L (У, У) назы вается опера |
|||||||||
тор А В , действую щ ий по правилу |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(A B ) |
х = |
А (В х). |
|
|
(5.3) |
|
О тметим, что, вообщ е говоря, А В ф В А . |
|
|
|
|
||||||
С праведливы |
следую щ ие |
свойства |
линейны х |
операторов |
из |
|||||
L (V , V): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°) |
А(АВ) |
= |
(АА)В; |
|
|
|
|
|
|
|
2°) (А |
+ |
В )С |
= А С + ВС; |
|
|
|
|
|
||
3°) А (В |
+ С) |
= |
А В + АС; |
|
|
|
|
|
||
4°) |
(А В )С |
= |
А (В С ). |
|
|
|
|
|
|
1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
119 |
П ервое из свойств 1°)-4°) следует из определения |
произведения |
линейного оператора на скаляр (см. (5.2)) и определения произведения операторов (см. (5.3)).
П ерейдем |
к обоснованию свойства 2°). И меем, согласно (5.1), |
(5.2) |
и (5.3), |
|
|
((А + В )С )х |
= (А + В )(С х) = А (С х) + В (С х) = |
|
|
= (А С )х + (В С )х = (АС + В С )х . |
(5.4) |
С равн и вая левую и правую части последних соотнош ений, мы по
лучаем равенство (А + В )С = А С + В С .
Свойство 2 °) установлено.
С оверш енно аналогично доказы вается свойство 3°).
Свойство 4°) справедливо, поскольку, согласно определению (см.
(5.3)), произведение линейны х операторов заклю ч ается в их последо вательном действии, и поэтому линейны е операторы (А В )С и А (В С )
совпадаю т и, следовательно, тож дественны .
З а м е ч а н и е |
1 . Свойство 4°) позволяет определить произведение |
||||
А В ... С лю бого конечного числа операторов из L (У, У) |
и, в частно |
||||
сти, п -ю степень оператора А с помощ ью ф орм улы |
|
||||
|
|
|
A n = |
А А ... А. |
|
|
|
|
|
4------ v------ ' |
|
|
|
|
|
п с о м н о ж и т е л е й |
|
О чевидно, справедливо соотнош ение A n + m = A nA m. |
|
||||
Н ам |
понадобится понятие |
обратного оператора д л я данного опе |
|||
р ато р а |
А из L (У, |
У ). |
|
|
|
О п р едел ен и е |
1 . Л инейны й оператор В из L (У, У) |
н азы вается |
|||
обрат ным д л я |
оператора А из L (У, У ), если вы полняется соотнош е |
||||
ние А В |
= B A |
= |
I. |
|
|
О братны й оператор д л я оператора А обы чно обозначается симво лом А - 1.
И з определения обратного оператора А - 1 |
следует, что д л я лю бого |
|
х G У справедливо соотнош ение А - 1 А х = х. |
|
|
Таким образом, если А - 1А х = |
0 , то х = |
0, т. е. если оператор А |
имеет обратны й, то из условия А х |
= 0 следует, что х = 0. |
М ы будем говорить, что линейны й оператор А действует взаим но однозначно из У в У , если лю бы м двум различны м элементам x i и Х2
отвечаю т различны е элем енты y i = A x i и у 2 = А х 2 .
Если оператор А действует взаим но однозначно из У в У , то отоб раж ение А: У —У У представляет собой отображ ение У на У , т. е.
каж ды й элемент у Е У представляет собой образ некот орого элемен
120 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
та х G V :
У= А х .
Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что п
линейно независим ы х |
элементов x i, |
Х2 , ... , |
х п п ространства V отоб |
|||||||||||||||||
раж аю тся |
посредством |
оператора |
А |
|
в |
п |
линейно |
независимы х |
||||||||||||
A x i, |
А х 2, |
... , А х п элементов этого ж е пространства. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
И так, пусть x i, |
Х2 , ... , |
х п — линейно независимы е элем енты V . Е с |
|||||||||||||||||
ли линейная комбинация ад A x i + а 2 А х 2 |
+ . .. + |
a nA x n представляет |
||||||||||||||||||
собой нулевой элемент п ространства V : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
а 1 A x i + (Т2 А х 2 + . . . + а пА х п = О, |
|
|
|
|
|
||||||||||
то из определения линейного оператора (см. п. 1 |
этого п ар агр аф а) сле |
|||||||||||||||||||
дует, что А (а ц х 1 + <л2 х 2 + |
. .. + а пх п) |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Т ак как |
оператор А действует из V |
в V |
взаим но |
однозначно, то |
|||||||||||||||
из последнего соотнош ения вы текает, что ац х! + « 2 X2 |
+ . .. + а пх п |
= |
||||||||||||||||||
= |
0. Но элем енты |
x i, |
Х2 , ... , х п линейно независимы . П оэтом у ад |
= |
||||||||||||||||
= |
« |
2 |
= . .. |
= OLn |
= |
0. |
С ледовательно, |
элем енты A x i, |
А Х 2 , . .. , |
А х п |
||||||||||
такж е линейно независимы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
О тм етим |
следую щ ее у т в е р ж д е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Д л я того |
чтобы |
ли н ей н ы й оператор А |
|
из |
L (У, V ) |
и м ел обрат |
|||||||||||||
ны й , |
необходимо |
и |
дост ат очно, чтобы |
эт от |
оператор |
дейст вовал |
||||||||||||||
взаим но однозначно из V |
в V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
У бедимся, что сф орм улированное условие необходимо. П усть опе |
|||||||||||||||||||
ратор |
А имеет обратны й, но не действует |
взаим но однозначно из |
V |
|||||||||||||||||
в V . Это означает, что некоторы м различны м элементам x i |
и Х2 , Х2 |
- |
||||||||||||||||||
— x i |
ф 0 из V отвечает один и тот ж е элем ент у = А х : |
= А х 2 |
. Но |
|||||||||||||||||
тогда А ( х 2 |
— x i ) |
= |
0 |
, и поскольку А |
имеет обратны й, x i |
— Х2 |
= |
0. |
||||||||||||
Но вы ш е бы ло отмечено, что x i — Х2 |
Ф 0. П олученное противоречие |
|||||||||||||||||||
доказы вает необходимость условия утверж дения. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Д окаж ем |
дост ат очност ь этого условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Д опустим, что оператор А действует взаим но однозначно из V |
в V . |
||||||||||||||||||
Тогда |
каж дом у элементу |
у Е V отвечает элемент х |
Е |
V |
такой, |
что |
||||||||||||||
у |
= |
А х . П оэтом у имеется оператор А - 1, обладаю щ ий тем свойством, |
||||||||||||||||||
что |
А - 1 у |
= |
А - 1 |
(А х) |
= |
х . Л егко убедиться, что оператор А - 1 |
ли |
нейный. По определению А - 1 — обратны й оператор д л я оператора А . Д остаточность условия утверж д ен и я такж е доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
О п р е д е л е н и е 2 . Я дром линейного оператора А назы вается мно ж ество всех тех элементов х п ространства V , д л я которы х А х = 0.
Я дро линейного оператора А обозначается символом ker А .
Если ker А = 0 , то оператор А действует взаим но однозначно из V