книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1
.pdf.174. Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.
175.Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.
176.Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.
177. Из точки Р (6; —8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравне ние геометрического места их середин.
178. Из точки С(10; —3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравне ние геометрического места их середин.
179. Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек:
1) |
Л (3; |
2) |
и |
В ( 2; 3); |
2) Л(5; - 1 ) и |
£(!: - 5 ) ; |
|
3) |
Л (5; |
- 2 ) |
п |
В (—3; |
- 2 ) ; 4) Л(3; - 1 ) |
и В (3; |
5). |
|
180. Составить уравнение геометрического места |
то |
|||||
чек, разность |
квадратов |
расстояний которых до точек |
Л(—щ;0) и В (о; 0) равна с.
181.Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат н радиус г.
182.Вывести уравнение окружности, имеющей центр
С(а; Р) и радиус г.
183.Дано уравнение окружности х2 + #2 = 25. Со ставить уравнение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.
184.Составить уравнение геометрического места то
чек, сумма квадратов расстояний которых до точек
А(-—3; 0) и В{3; 0) равна 50.
185.Вершины квадрата суть точки Л (о; а), В ( —а; а), С(—а; —а) и D(a; —о). Составить уравнение геометри ческого места точек, сумма квадратов расстояний кото рых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равная 6а1.
1S6. |
Через начало координат проведены всевозмож |
||||||
ные |
хорды |
окружности (х — 8)2 + у2 = |
64. Составить |
||||
уравнение геометрического места.середин этих хорд. |
|||||||
187. |
Вывести уравнение геометрического места точек, |
||||||
сумма |
расстояний |
которых |
до двух |
данных |
точек |
||
F\(—3; |
0) |
и ^2(3; |
0) есть |
величина постоянная, |
рав |
||
ная |
К). |
|
|
|
|
|
|
.188. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fi{—5; 0) и F‘i( 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
31
189.Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3‘, 0) равно расстоянию до данной прямой х + 3 = 0.
190.Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма |
расстояний |
которых до двух данных |
точек |
Fi(—c\ |
0) и F2(c\ 0) |
есть величина постоянная, |
равная |
2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точ ки Fi и F2 — фокусами эллипса.
Доказать, |
что уравнение эллипса имеет вид |
+ -§г = 1. |
где 62 = а2 — с\ |
191. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F\(—c\ 0) и F2(c\ 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки Fi и F2— фокусами гиперболы.
Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид
—-fr = 1. где Ь2 = с2 — а2.
192.Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых расстояние до данной точки F { ^ \ oj равно
расстоянию до данной прямой х — — у . Это геометри
ческое место называется параболой, точка F — фокусом параболы, данная прямая — ее директрисой.
193. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки /•’(—4; 0) к расстоянию до данной прямой Ах + 25 = О
4
равно — .
194. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(—5; 0) к расстоянию до данной прямой 5 х + 16 = 0
5
равно у .
195. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х + 3)2 + у2= 1, {х — 3)2 + у2 = 81 равны между собой.
196. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х + 10)2 + у2 ~ 289, (х — Ю)2 + у2 == I равны между собой.
32
197. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окруж ности (х — 5)2 + t/2 = 9 и до данной прямой х + 2 = 0 равны между собой.
198.Прямая перпендикулярна полярной оси и отсе кает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
199.Луч выходит из полюса и наклонен к полярной
оси под углом - j. Составить уравнение этого луча в по
лярных координатах.
200.Прямая проходит через полюс и наклонена к по лярной оси под углом 45°. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
201.В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от по лярной оси равны 5.
202.Окружность радиуса R — 5 проходит через по люс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравне ние этой окружности в полярной системе координат.
203.Окружность радиуса R — 3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.
§ 11. Параметрические уравнения линии
Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рас смотрим две функции аргумента t:
* = ?(/), У = Ф(0- |
(1) |
При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, ме няться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точ
ки Af; аргумент t носит название парамет ра. Если из равенств (I) можно исключить параметр t, то получим уравнение траекто рии точки М в виде
F (х, у) = 0.
204. Стержень АВ скользит свои ми концами Л и В по координат ным осям. Точка М делит стержень на две части AM = а и ВМ = Ь.
Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t = <£ОВЛ (рис. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде F(x,y) = 0 .
2 Д. В. Клетеник |
33 |
205. Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого -^- + - ^ = 1 (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, прини мая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ
коси Ох.
206.Траекторией точки М является гипербола, урав-
X2 |
и2 |
пение которой р — |
-^ -= 1 (см. задачу 191). Вывести |
параметрические уравнения траектории точки М, прини мая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ
коси Ох.
207.Траекторией точки М является парабола, урав нение которой уг = 2рх (см. задачу 192). Вывести пара
метрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:
1) ординату точки М; ___
2)угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;
3)угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F — фокус параболы.
208. Даны полярные уравнения следующих линий:
1) p — 2R cos 9; 2) p = 2/?sin0; 3)
Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая по ложительную полуось абсцисс с полярной осью и выби рая в качестве параметра полярный угол.
209. Даны параметрические уравнения линий:
1) x = t2 — 2 t + l, |
2) х |
■acost, |
3) х — a sect, |
y = t — 1; |
у |
a sin/; |
y — b\gt; |
4) х = = т ( * + т ) - |
б> * |
■2Rcos2t, |
6) Ar = /?sin2f, |
|
|
||
г)* |
У |
R sin 2t; |
y — 2R sin21; |
|
7) Х-- |
2/jctg21, |
|
|
у- |
2/?ctg t; |
|
исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде
Г Л А В А 3
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой
сугловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется урав нением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой сте пени определяет прямую.
Уравнение вида
Ах + Ву + С*= 0 |
(1) |
называется общим уравнением прямой. |
на рис. 9, называется |
Угол а, определяемый, как показано |
|
углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс |
угла наклона прямой |
к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:
k — \ga.
Уравнение у — кх + Ь |
называется |
уравнением прямой |
с угловым |
||
коэффициентом; к — угловой |
коэффициент, |
|
|||
b — величина |
отрезка, |
который |
отсекает |
|
|
прямая иа оси Оу, считая от начала коор |
|
||||
динат. |
|
|
|
|
|
Если прямая задана общим уравнением |
|
||||
Ах + By + С = |
О, |
|
|
||
то ее угловой |
коэффициент |
определяется |
|
||
но формуле |
|
|
|
|
|
Уравнение у — уа = |
к (х — х\>) |
является уравнением |
прямой, ко |
торая проходит через точку Мо(*0; </о) и имеет угловой коэффи
циент к.
Если прямая проходит через точки Mi(xi; yt) и М2(х2; у2), то се угловой коэффициент определяется по формуле
Уг~У\
Уравнение
х — х, _ |
у — ух |
XI — X, |
у2— yi |
является уравнением прямой, проходящей через две точки
Мх(я,; у х) и Мг (хг; у г).
Сели известны угловые коэффициенты двух прямых ki и к2, то один из углов ф между этими прямыми определяется по формуле
tgT Ф= |
kj — ki |
1 + k xk2 * |
Признаком параллельности двух прямых является равенство их
угловых коэффициентов
кх=к.2.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотно
шение |
|
|
|
кхк2= |
— 1 |
или |
к2 ■— ---- -- . |
|
|
|
кх |
Иначе говоря, угловые |
коэффициенты перпендикулярных прямых |
||
обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. |
|||
Определить, |
какие |
из |
точек МДЗ; 1), М2(2; 3), |
Л1,<(6; 3), М4(—3; —3), Л15(3; —1), М6(—2; 1) лежат на прямой 2х — 3у — 3 = 0 и какие не лежат на ней.
211. Точки Ри Р?., Ра, Pi и Р5 расположены на прямой Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис лам; 4, 0, 2, —2 и —6. Определить ординаты этих точек.
212. Точки Qi, Qz, Q3, Qi и Qs расположены на пря мой х — Зу -f 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам: 1, 0, 2, —1, 3. Определить абсциссы этих точек.
213. Определить точки пересечения прямой 2х — 3у —
— 12 = |
0 с координатными осями и построить эту пря |
|
мую на чертеже. |
|
|
214. |
Найти точку пересечения двух прямых Зу — 4у — |
|
— 29 = |
0, 2х + 5у + 19 = 0. |
|
215. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны |
||
соответственно уравнениями *) 4х + |
Зу — 5 = 0, х — Зу + |
|
-<-10 = |
0, х — 2 = 0. Определить |
координаты его вер |
шин.
216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8.V- -J- Зу 1 = 0, 2х + у — 1 = 0 и уравнение одной из
*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы бу дем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.
ЗС
его диагоналей |
Зх + 2«/ + 3 = 0. Определить координа |
|||||
ты вершин этого параллелограмма. |
|
прямых х +, |
||||
_217. Стороны |
треугольника |
лежат на |
||||
+ 5у — 7 = 0, Зх — 2// — 4 = 0, |
7х + у + |
19 = 0. Вычис |
||||
лить его площадь S. |
|
|
|
|
||
218. Площадь треугольника S = 8 кв. ед.; две его |
||||||
вершины |
суть точки |
Л( 1; —2) |
и 5(2; 3), |
а |
третья вер |
|
шина С |
лежит |
на |
прямой 2х - \- у — 2 = |
0. |
Определить |
|
координаты вершины С. |
S = 1,5 кв. ед., две его |
|||||
219. Площадь треугольника |
||||||
вершины суть точки Л (2; —3) |
и 5(3; —2); |
центр тяже |
сти этого треугольника лежит на прямой Зх — у — 8 = 0 . Определить координаты третьей вершины С.
220. Составить уравнение прямой и построить пря мую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и от
резок 6, отсекаемый ею на оси Оу: |
|
|
|||||
1) |
6 = - |, 6 = 3; |
2) |
6 = |
3, 6 = 0; 3) 6 = 0, 6= - |
2; |
||
4) |
6 = - - | , 6 = 3; |
5) 6 = — 2, 6 = — 5; |
|
||||
6) |
k = - ~ , 6 = - |. |
|
|
|
|
||
221*. Определить угловой |
коэффициент k и отрезок 6, |
||||||
отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых: |
|
||||||
1) |
Ъх — 0 + |
3 = 0; |
2) |
2х + 3у — 6 = |
0; |
0. |
|
3) |
5* + Зу + |
2 = |
0; |
4) |
Зх + 2у — 0; |
5)у — 3 = |
|
222. Дана прямая |
Ъх\-3у — 3 = 0. Определить угло |
||||||
вой коэффициент k прямой: |
|
|
|
1)параллельной данной прямой;
2)перпендикулярной к данной прямой.
223.Дана прямая 2х + Зу + 4 = 0. Составить урав нение прямой, проходящей через точку Afo(2; 1):
1)параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно к данной прямой; |
|
|||||||
224. Даны |
уравнения |
двух |
сторон |
прямоугольника |
||||
2х — 3t/ + 5 = |
0, Зх + |
2у — 7 = |
0 и одна из его вершин |
|||||
Л (2; —3). |
Составить |
уравнения |
двух других |
сторон |
||||
этого прямоугольника. |
|
двух |
сторон |
прямоугольника |
||||
225. Даны |
уравнения |
|||||||
х — 2у = 0, |
х — 2y - f 15 = |
0 и |
уравнение одной |
из его |
||||
диагоналей |
7х - \ - у — 15 = |
0. |
Найти |
вершины |
прямо |
|||
угольника. |
|
проекцию |
точки |
Р ( —6; 4) на |
прямую |
|||
226. Найти |
||||||||
4 х ~ 5i/+ 3 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
37
227. Найти точку Q, симметричную точке Р (—5; 13) относительно прямой 2 х — Зу — 3 = 0.
228. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
1) |
Зл: — 2// — 1 = 0 , |
2) 5х + // + 3 = |
0, |
||||
|
3* — 2 у — 13 = |
0; |
Ъ х у |
— 17 = |
0; |
||
3) |
2х + |
Зу —- 6 = |
0, |
|
|
|
|
|
4* + |
6у + |
17 = |
0; |
|
|
|
4) 5х + |
7</+ 15 = |
0, |
5) Зл: — 15// — 1 = 0 , |
||||
|
5* + |
7*/ + |
3 = |
0; |
х — 5у — 2 = |
0. |
|
223. Вычислить угловой коэффициент k прямой, про |
|||||||
ходящей через две данные точки: а) |
Му (2; —5), М2 (3; 2); |
||||||
б) Р (—3; 1), Q (7; 8); в) |
Л (5; - 3 ) , |
В { - 1; 6). |
|||||
230. Составить уравнения прямых, проходящих че |
|||||||
рез |
вершины |
треугольника Л(5; —4), В ( —1; 3), |
С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.
231. Даиы середины |
сторон треугольника: |
М,(2; |
1), |
Л12 (5; 3) и М3(3; —4). |
Составить уравнение |
его |
сто |
рон. |
|
|
|
232. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпен
дикулярно к отрезку PQ.
233. Составить уравнение прямой, если точка Р ( 2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из
начала щюрдинат на эту прямую. |
Му(2\ |
1), |
||
234. Даны |
вершины |
треугольника |
||
М2Т=^1; — 1) |
и М3(3; 2). Составить уравнения его высот. |
|||
235. Стороны треугольника даны уравнениями |
4х — |
|||
— у — 7 = 0, |
х-\-Зу — 31 = |
0, x-j-5y — 7 — 0. Опреде |
||
лить точку пересечения его высот. |
|
|
236.Даны вершины треугольника Л (1;—1),В (—2;1)
иС(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опу щенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
237. Даны вершины треугольника Л (2; —2 ),В (3 ;—5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу щенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла пои веошине Л.
238 Составить уравнения сторон и медиан треуголь ника с вершинами Л(3; 2), В (5; —2), С(1; 0),
38
239. Через точки МД—1; 2) и Л12(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой
сосями координат.
240.Доказать, что условие, при котором три точки МД-Ч'. У\), М2(хг] уг) и Af3(x3; у3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
*1 У\ 1
х2 у2 1 = 0.
*з Уз 1
241. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки Afi(xi; у\) и М2(х:2; у2), может быть записано в следующем виде:
х
*1 У\ J = о.
х2 у2 1
242.Даны последовательные вершины выпуклого
четырехугольника |
А ( —3; |
1), |
В ( 3; 9), |
С (7; 6) |
и |
D(—2; —6). Определить точку пересечения его диаго |
|||||
налей. |
смежные |
вершины А ( —3; —1) |
и |
||
243. Даны две |
|||||
В{2; 2) параллелограмма |
ABCD и точка |
Q(3; 0) пере |
сечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
244. Даны |
уравнения |
двух |
сторон прямоугольника |
||||
5х + |
2г/ — 7 = |
0, |
5jc-j-2/y — 36 = |
0 и |
уравнение |
его диа |
|
гонали Ъх 4- 7 у — Ю = 0. |
Составить |
уравнения |
осталь |
||||
ных |
сторон |
и |
второй |
диагонали |
этого прямоуголь |
ника 245* Даны вершины треугольника .<4(1; —2), В ( 5; 4)
и сд —'i\ 0). Составить уравнения биссектрис его вну треннего и внешнего углов при вершине А.
246. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек
А(—7; 3) и Д(11; —15).
247.Найти проекцию точки Р(—8; 12) на прямую,
проходящую через точки А(2\ —3) и В ( —5; 1).
248. Найти точку Ми симметричную точке М2(8; —9) относительно прямой, проходящей через точки А (3; —4) и В{— 1; —2)*
39
249.На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма ее расстояний до точек М (1; 2) и Л/{3; 4) была наименьшей.
250.На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность расстояний ее до точек М (—3; 2) и Л'(2; 5) была наибольшей.
251.На прямой 2х — у — 5 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А (—7; 1), В(—5; 5) была бы наименьшей.
252. На прямой 3* — у — 1 = 0 |
найти такую |
точку |
||||
Р, разность расстояний которой до |
точек А ( 4; |
1) и |
||||
13(0; 4) была бы наибольшей. |
|
|
|
|||
253. Определить угол ср между двумя прямыми: |
||||||
1) |
5а- - у + 7 = 0, |
За + 2у — 0; |
|
|
||
2) За — 2у |
7 = 0, |
2а -f- Зг/ — 3 = |
0; |
|
||
3) |
а — 2у — 4 = 0, |
2а — 4 г/ 4 - 3 = 0; |
|
|||
4) |
За + 2у - 1 = 0, |
5а — 2г/ +• 3 = |
0. |
|
||
254. Дана |
прямая |
2а + Зг/ + 4 = |
0. |
Составить |
урав |
нение прямой, проходящей через точку Л40(2; 1) под углом 45° к данной прямой.
255.Точка Л(—4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7а — г/-}-8 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
256.Даны две противоположные вершины квадрата
А(—1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон.
257.Точка £(1; —1) является центром квадрата,
одна |
из |
сторон |
которого лежит |
на. прямой |
а — 2г/ + |
|||||
+ 12 = |
0. Составить уравнения прямых, на которых |
|||||||||
лежат остальные стороны этого квадрата. |
к оси Ох на |
|||||||||
258. |
Из точки Мо(—2; 3) под углом а |
|||||||||
правлен |
луч света. Известно, что |
tg а = |
3. |
Дойдя до |
||||||
оси Ох, луч от нее отразился. Составить уравнения пря |
||||||||||
мых, на которых лежат лучи падающий и отраженный. |
||||||||||
259. Луч |
света |
направлен |
по прямой а— 2# + |
5 = 0. |
||||||
Дойдя |
до |
прямой |
За — 2у + 7 = |
0, луч |
от |
нее |
отра |
|||
зился. Составить уравнение прямой, на которой лежит |
||||||||||
отраженный луч. |
уравнения сторон треугольника За + 4у — |
|||||||||
269. |
Даны |
|||||||||
— 1 = 0 , |
а — 7у — |
17 = 0, |
7а + у |
+ 3 1 = 0 . |
Доказать, |
что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
40