книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

5 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

231

путем дифференцирования по параметру следующую формулу:

	I TTjSiii = г 1п <> + л) -		lir f a p
	О	ъ
3733.	Исходя из равенства J		=	^ arctg * ,	вычислить
	ь	0
интеграл
		+00			+ 00
3734. Исходя из равенства		Ц	- вычислить		|
(я — целое	положительное число).		+ оо
3735. Вычислить значение		интеграла	$	е~аххп~1 dx	(л — целое
			о		+«>

положительное число) при а>>О, найдя предварительно J e~axdx.

о

3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318)

п/2

dx

a2 cos2 х + Ь 2 sin- JC 2 \ab[ ’

J

найти

Я/2

dx

(а2 cos2 x -f-b2 sin2 х)2 '

В задачах 3737— 3749 вычислить интегралы с помощью диф­ ференцирования по параметру:

3737.	+r°° 1	,	3738.	Y	l - e ~ ax2 ,	( а > - 1),
	| Ц ^ - d	* ( а > — 1).		J	^ - - d x
3739.	СJIp ^ L d x .		3740.	Г	In (1 — a2x2)	dx (а2 < 1 ) .
				^	x2 j / l - x 2

о’

3741	|°° arctg ах .		3742. f	ln 0	^ (a2 < i ) .
J74K	]	х\1+Щ аК-	J	\ 1—X2
3 7 4 3 . f In (1 + a c o s x ) ^			(a * < i ) .
	J	COS X	v

я/2

0

232 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

	+ оо		~ах*					. —	_
3745.		j|*			(а>0),			н- со	j/"-£
			— dx				зная, что | e~°x,dx = j
( а > 0 ) (см. задачу				2439).
		+°°	•	х%	dx	( а > 0 ,		& > 0 ).
3746*.		^	-е
		о
		+<»	„ г sin bx — sin сх .				, ^	л .
3747*.		\
			<га* -------------- ал:				(а >	0).
		о
	+<0О		v cos b x — cos с х			,	, ^	лч
3748.		*
		J е-ал----------------- dx					(a> V ).
		Я/2
3749*.		jj In (a2 cos2 JC -f- b* sin2x) dx.

3750. Вычислив интеграл ^ arc\gXgx)-dx, найти i ^-d*.

'°i	0 6 *
3751. Используя равенство ^ xndx =	вычислить интеграл

Y ^ fix

0

					+ co		_
3752.	Используя	равенство		2a	$ е~а‘х‘ dx = ]/ л (см. задачу
			+ 00		о
				(e~a,>x‘ —e~b^xl)dx.
2439), вычислить интеграл §
			о
			- 4 - 0 0		У я
3753.	Из соотношения		I*
			\ e~ztdz = ~			(интеграл Пуассона) вы-
			О
	1	2	+ со
			(*		( х > 0 )		и использовать его
вести равенство		—	\ е~г*х dz
	ух	ул	£

для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля):

.	- j со		_	+	со
	1*	cos х dx			sin х dx
	J ~ у г		'		} y*
					Р а з н ы е з а д а ч и
3754.		Пусть		функция /(х) непрерывна		при x^s-О и при х-*-
- * +	оо	f(x) стремится			к конечному пределу	/ (+ о о ). Доказать

§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

233

+ со

при этих

условиях,

что если а > 0

и b > 0 , то J

^ х ^<bx) dx =

и

= [/ (+ СЮ)- / ( 0 ) ] Inf - .

В

задачах

3755—3756 вычислить интегралы, пользуясь резуль­

татом

задачи

3754:

-f 00

+ 00

arctg a x ^

arctg&* .

оя,_ л

y

л

Q. r .

(*

I

(• е ш-пхП— егЬхП л

3755.

\

— =----------- =—

dx.

3756.

-------- ^ —

dx

( n >

0).

+00

3757*. Пусть функция f(x) непрерывна при o O

и

^ f-^'dx

сходится

при

любом

A > 0.

Доказать

A

что

при этих условиях,

+ аО

если

а > 0

и

6 > 0 ,

то

I

х

f ^bx) dx = /(0) In --.

(Ср. с зада-

J

О-

чей 3754.)

зультатом

задачи 3757

(а~>0,

6 > 0):

-f-co

/,-ПХ_р-ОХ

+ 00

3758.

/•

3759.

С cos а х — cos Ьх dx.

\

dx.

«

*

0

f

-|-00

3760.

&mbxdx.

3761.

f

b sin а х — a sin Ьх

dx.

&

V

х

Ju

3762*.

+f

^ ~ d x .

3763*. Функция

Лапласа

Ф (х)

определяется

так:

Ф (х) =

X

2('

=—— 1 е~11 dt (эта функция играет большую роль в теории веро-

ятностей). Доказать		соотношения:	-f-oo
X		4 4
1) jjo (a 2 )d 2 = ^ y ^ - + x0(ax)i			2) j	[ 1 - Ф (x)]dx =		^ - .
3764*. Функции		si (х) и ci (х) обычно определяются			так:
+ оо	_				-) га
si(x) = —	^ j- d t	(«интегральный синус»)		н ci(x) = —	jj	dt
X					X

(«интегральный косинус»). Доказать, что

234 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3765*. Функция

J о(х),

определяемая равенством

о(*)

л/2

J

-

i

cos (л:sin 0)d0,

называется функцией Бесселя

нулевого

порядка. Доказать, что:

+ со

1)

С

= V \+t

(а >

0);

л/2,

если

a s ^ l;

2) Т

=

arcsina,

если

| a| ^ 1;

— л/2,

если

a s c — 1.

3766.

Доказать,

что

функция

+С«

e~xz

У =

\

jq ^ -a z удовлетворяет

о

дифференциальному

уравнению

«/" + «/= 1/х.

3767*. Доказать,

что

функция

у =

^ (гг — 1)п~геж* dz

удовлет-

—I

воряат дифференциальному уравнению ху" + 2пу' — ху = 0.

4-00

3768*. Доказать,

что

функция

t/=

\

удовлетво­

ряет дифференциальному

уравнению дц/" — 2ш/' +дс«/= 1.

3769*.

Доказать,

что

функция

Бесселя нулевого

порядка2

J 0(x) =

2 Т

--- \ cos (A sin О) d0 удовлетворяет дифференциальному урав­

нению

Jo

(х) +

-)- У0 (дс) = О

ГЛАВА XIII

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Криволинейные интегралы по длине

В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в

Взадачах 3770—3775 вычислить криволинейные интегралы:

3770.

^ х—у *

где

отрезок прямой у = у х — 2, заключен­

ный между точками А (0,

— 2) и В (4,

0).

3771. $xyds,

где

L — контур

прямоугольника с

вершинами

А (0 .0 ) .

В (4, 0), С (4, 2) и D (0, 2).

3772. ^yds,

где L —дуга параболы уг= 2рх,

отсеченная пара*

L

болой х2= 2ру.

3773.

$ (х2+ у2)п ds,

где

L —окружность

х = a cos t,

у = а sin t.

L

X*

£/*

3774.

С

где L —четверть

эллипса

1 xy ds,

+ -p = 1, лежащая

L

в

первом

квадранте.

3775.

\Y%yds, где

L —первая

арка

циклоиды

x = a ( t —sin/),

L

у = а { 1 — cos t).

3776., Вывести

формулу для вычисления

интеграла ^ F ( JC, y)ds

в

полярных

координатах,

если

линия L

задана

уравнением

Р = Р(ф) (Ф1<Ф<Ф*)-

3777*. Вычислить £(x — y)ds, где L — окружность х2+ у 2= а х .

3778.

Вычислить $ х Y х2 — у2 ds,

где L —линия,

заданная урав-

L

лемнискаты).

нением (х2+ у2)2 = а2 (х2 — у2) (x^sO) (половина

3779.

Вычислить j

arctg ^ ds, где L — часть спирали Архимеда

р = 2ф , заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).

236		ГЛ. X III, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
						где L —первый виток вин­
товой линии х=		a co st,	y = as\nt, г = а
3781.	Вычислить $хуг ds, где L —четверть окружности х2+ у2+
		L
-f г2 = Л2, x2 + y2 = R2/4, лежащая в					первом октанте.
3782.	Вычислить $ (2г — V х2+ у2) ds,					где L —первый			виток ко-
пической		L			y = tsin t, z = t.
	винтовой линии x = tcost,
3783.	Вычислить $ (х + у) ds,			где	L —четверть			окружности
		L
x2+ y 2 + z2 = R2, у = х,			лежащая	в первом октанте.
		П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в
3784.	Найти	массу	участка	линии		у = \пх	между		точками
с абсциссами л'х и хг, если плотность линии в каждой								точке равна
квадрату	абсциссы точки.
3 7 8 5 .	Найти	массу	участка	цепной		линии	y = ach -~			между
точками	с абсциссами		—0 и х2 = а, если				плотность			линии

в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,

причем плотность в точке (0, а) равна б.
3786. Найти		массу четверти		эллипса x = a c o st,				y = b sin t, рас­
положенной в первом			квадранте,		если	плотность		в каждой	точке
равна ординате		этой	точки.
3787.	Найти	массу первого		витка		винтовой	линии х = a c o st,
y = asin t,	z = bt, плотность которой в					каждой	точке равна		квад­
рату полярного радиуса этой точки.
3788.	Найти	массу дуги линии x — J c o s t , y = et sint, z = e‘ от
точки, соответствующей t = 0, до					произвольной		точки, если		плот­

ность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1, 0, 1) равна единице.

3789. Найти координаты центра масс первого полувитка винто­ вой линии x = a co st, у —a sin t, z = bt, считая плотность постоян­ ной.

3790. Вычислить статический момент первого витка кониче­ ской винтовой линии x = tcost, y = ts\nt, z = t относительно пло­ скости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату рас­

стояния от этой плоскости: р = kz2.

3791. Вычислить моменты инерции первого витка ВИНТОВОЙ ЛИ­

Н И И x = a co st, y = asin t, z — - ^ t относительно координатных осей.

5 I. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ

237

В задачах 3792—3797 вычислить площади частей цилиндри­ ческих поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и ука­ занными поверхностями:

3792.	x2+ y 2 = R2,		z = R + ~ .
3793.	у2 = 2рх,	г = У 2рх — Ах2.
3794.	у2 = ± ( х - 1 ) а;			2 = 2 - У х .
3795.	x2 + y2 =	R2,	2Rz = xy.
3796.	+		z = kx и 2= 0		(z^O ) («цилиндрическая
подкова»).
3797.	у = У 2рх,		г = у и х = -д р.
3798.	Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из
круглого	цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих
цилиндров пересекаются				под прямым	углом (ср. с решением за­

дачи 3642).

3799. Найти площадь части поверхности цилиндра х2+ у2= Rx,

заключенной внутри сферы х2-\- t/>+ z2 = R2.
Согласно	закону	Био — Савара		элемент	тока	действует	на
магнитную	массу т с	силой,	равной	по величине		т- ™ a *4t	где
/ — ток, ds—элемент		длины	проводника, г — расстояние от				эле­
мента тока	до магнитной массы, а — угол				между	направлением

прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и напра­ влением самого элемента тока. Эта сила направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую поме­ щена магнитная масса; направление силы устанавливается прави­ лом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800— 3805.

3800. Найти силу, с которой ток / в бесконечном прямоли­ нейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, находящуюся на расстоянии а от проводника.

3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток /. С какой силой этот ток действует на точечную маг­ нитную массу т, находящуюся в центре квадрата?

3802. Показать, что ток /, текущий по дуге линии, уравнение которой в полярных координатах имеет вид р = р (ср), действует

на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой Ф2

<PI

3803. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллипти­ ческому контуру, действует на точечную магнитную массу т , находящуюся в фокусе эллипса?

234 ГЛ. XIII, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному парабо­ лическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фо­ куса равно р/2.

3805. С какой силой ток /, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещен­ ную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии h от плоскости круга? При каком

значении	R эта сила будет наибольшей при заданном А?
	§ 2. Криволинейные интегралы по координатам
	В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в
В задачах 3806— 3821		вычислить криволинейные	интегралы:
3806.	^xdy, где L — контур треугольника, образованного осями
	L
координат и прямой -|- +		-|-=1, в положительном	направлении

(т. е. против движения часовой стрелки).

3807. 1 xdy, где L — отрезок прямой — + у = 1 от точки пе-

с

ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.

3808.	[(х2 — уг)йх, где L —дуга параболы у = х г от точки (0, 0)
	L
до точки (2, 4).
3809.	^ (хг -j- г/2) dy, где			L — контур	четырехугольника			с	верши-
нами (указанными в порядке обхода)					в точках		А (0, 0),		В (2, 0),1
С (4, 4)	и D (0, 4).
	(я. 2я)
3810.		J	— х cos у dx-\-у sin xdy		вдоль	отрезка,		соединяю-
	<0. 0)
щего точки (0, 0) и (я, 2я).
	о. 1)		xydx + (y —x)dy вдоль				у = х,	2) у = ха,
3811.	^				линии	1)
	(0.0)		у = х?.
3) у2= х ,		4)
	0 .	I)	2ху d x хг dy				у = х,		у = х\
3812.	$			вдоль линии		1)		2)
	(0.0)

3)у = х3, 4) у2 = х.

3813. ^ydx-\-xdy,	где	L — четверть окружности x — R c o st,
L
у = R sin t от ti = 0 до	= я/2.
3814. ^ydx—xdy,	где	L —эллине x = a c o s t , y=^bsint, пробе-
1.

гаемый в положительном направлений.

§ 2. криволинейные интегралы по координатам

239

401 с

f

t fid x — ifld y

где

,

,

\ — W +y5— '

/- — полуокружность

х = a cos г, у =

= asin<

от

— 0 до t2 = n.

3816.

J (2a — у) dx —(а — у) dy,

где

L — первая

(от

начала

коор­

динат) арка

циклоиды x = a(t —sin/), y = a ( l —cost).

3817’

5 ^з_|_у5/з* ■ где

/- — четверть

астроиды

х = R cos3/,

y = Rsin3t

от точки (R, 0) до

точки

(О,

R).

381S. \ x d x + у dy + (x-\-у — l)dz,

где

L —отрезок

прямой от

L

точки (1, 1, 1) дв точки (2, 3, 4).

3819. \yzdx-\-zxdy-\-xydz,

где

L —дуга

винтовой

линии

L

x = R c o st,

y = R s'm t,

г = ~

от точки

пересечения

линии с пло­

скостью

z = 0 до

точки

ее пересечения

с

плоскостью

г = а.

( 4 .

4 .

4 )

3820.

С

у

-

у

-

_

вдоль прямой

линии.

(I. Г .,) У * 2 + у 2 +

* -

х -

у +

Ъ

А

н

3821. \у* d x z 2dy + х2 dz,

где

L — линия пересечения

сферы

L

R* и цилиндра x* + y2 = Rx ( R > 0 ,2 ^ 0 ) ,

^* + ?/8 + г# =

обходимая

при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть из начала координат.

Ф о р м у л а Г р и н а

В задачах 3822— 3823 криволинейные интегралы по замкнутым контурам L, взятые в положительном направлении, преобразо­ вать в двойные интегралы по областям, ограниченным этими контурами.

3822. \ (l- x * )y d x + x (l+ y *)d y . L

3823. 5(e*, + 2^cos{/)djc -f(e *5' — х* sin у) dy.

	L
3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если
контуром		интегрирования L служит окружность х* + у* = /?г:
1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.
3825.	Вычислить $ (ху- f х + у) dx + (ху-\-х —у) dy, где L: 1) эл-
		L
липе ~	- f	= 1; 2) окружность х24-</* = ах. Интегрирование

ведется в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы

Грина.)

240		ГЛ. XIII, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3826. Доказать,			что	интеграл
		5 (Ух3+ еу) dx + (ху3+ хеу — 2у) dy
		L
равен	нулю,	если	L —замкнутая линия, симметричная относи­
тельно	начала	координат.
3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между
интегралами
		h =		J	(х + у)2 dx — (х — у)2 dy
И			Ат В
		/2=			(x + y)2d x - ( x - y ) 2dy,
				$
			АпВ

где АтВ —отрезок прямой, соединяющей точки А (0, 0) и В( 1, 1), а АпВ —дуга параболы у — х2.

3828. Показать, что интеграл

$ {x co s (N, х) + у sin (N , х)} ds,

L

где (N, х) —угол между внешней нормалью к линии и положи­ тельным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому кон­ туру L в положительном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром L.

3829. Доказать, что величина интеграла \(2xy — y)dx + x2dy,

L

где L —замкнутый контур, равна площади области, ограниченной этим контуром.

3830. Доказать, что интеграл $<p(i/)dx-f [*<p' (y) + x3]dy равен

L

утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, огра­ ниченной контуром L, относительно оси ординат.

Н е з а в и с и м о с т ь и н т е г р а л а о т к о н т у р а и н т е г р и р о в а н и я . . О т ы с к а н и е п е р в о о б р а з н о й

В задачах 3831—3835 проверить, что интегралы, взятые по

замкнутым	контурам, равны	нулю независимо от вида функций,
входящих	в подынтегральное	выражение.	’
3831. 5<p(x)dx + tli(0)d 0.		3832. \f(xy) (ydx + x d y ).
3833.

3834. \[f (x + у) f (x — y)\dx-j-[f(x-{-y)—f(x — y)\dy.