книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdf9.1. Внешне не связанные уравнения |
221 |
ря наличию корреляции между ошибками в разных уравнениях,
— это так называемая система внешне не связанных между со бой уравнений (Seemingly Unrelated Regression, SUR). Затем мы исследуем общие системы регрессионных уравнений, которые в эконометрике называются системами одновременных уравнений (Simultaneous equations).
9.1.Внешне не связанные уравнения
Чтобы понять постановку задачи и суть проблемы, рассмотрим следующий пример. Предположим, что исследуется зависимость инвестиций у, осуществляемых некоторым предприятием (напри мер, компанией «Газпром»), от его дохода х\ и размера основного фонда Х2 ‘
Vt = + fc x ti + /З3ха + еи t = l ....... |
п. |
(9.1) |
Представим теперь, что имеется ряд наблюдений другого ана логичного предприятия (например, компании «ЛУКОЙЛ»):
Ч = 7i + 72Pti + 73Pt2 + «t, t = l , . . . , n . |
(9.2) |
Конечно, можно оценивать уравнения (9.1), (9.2) по отдельно сти. Внешне они выглядят как не связанные друг с другом. Но ясно, что в данной ситуации естественно считать ошибки et и щ коррелированными, поскольку предприятия в каждый период t действуют в «одной экономической среде». Поэтому целесообраз но объединить уравнения (9.1), (9.2) и оценивать их совместно, используя доступный обобщенный метод наименьших квадратов.
Общая задача формулируется следующим образом. Даны М регрессионных уравнений:
У\ = X i& i +
1/2 == ^ 2 0 2 + е 2>
(9.3)
Ум = х мРм + ем>
222 |
Гл. 9. Системы регрессионных уравнений |
где |
— п х 1 вектор зависимых переменных, X i — п х ki мат |
рица независимых переменных, /3; — fcj х 1 вектор неизвестных параметров, е* — n х 1 вектор ошибок, i = 1,..., М. Будем пред полагать, что Ее* = 0 и E(£is£jt) = <Тц при s = t и 0 в противном случае. Последнее условие можно представить так:
Е (eie'j) = OijIn, = (9.4)
где I n — единичная матрица размера п х п . Иными словами, зада ны М регрессионных уравнений, по каждому из которых имеется п наблюдений. Если данные имеют структуру временных рядов, то считается, что ошибки во всех уравнениях коррелированы в один и тот же момент времени и некоррелированы для разных моментов. Равенство (9.4) определяет связь между этими уравне ниями. Каждое отдельное уравнение в (9.3) удовлетворяв!’ усло виям классической регрессионной модели и может быть оценено обычным методом наименьших квадратов. Однако, если объеди нить эти уравнения и применить обобщенный метод наименьших квадратов, то можно повысить эффективность оценивания.
Обозначим
1/1
У2
У
Ум.
01
02
0 =
L&M1
X i |
О |
|
О |
О |
Х 2 |
|
О |
О |
О |
•• х |
м\ |
ei" |
|
|
|
«2 |
2 |
= (<Пз)> |
*,j = l , ... ,M . |
|
|||
еMl |
|
|
|
Тогда система (9.3) переписывается в виде
у = Х(3 + е.
Используя понятие произведения Кронекера двух матриц, ко вариационную матрицу вектора ошибок можно представить так:
Е(ее') = О = Е ® 1п
9-1. Внешне не связанные уравнения |
223 |
(приложение ЛА, п. 18). Предположим, что матрица Е не выро ждена. Для построения оценки вектора /3 применим обобщенный метод наименьших квадратов (п. 5.2, формула (5.4)):
3 GLS = (X'Sl~xX ) ~ lX'Sl~ly
= (Х '(£ -1 ® |
® 1п)у |
(9.5) |
(здесь мы воспользовались известным свойством произведения Кронекера: для двух квадратных невырожденных матриц А и В выполнено равенство (А ® В )~ х = А ~ 1® В ~ 1 (приложение ЛА, п. 18)).
Нетрудно понять, что в общем случае оценка (9.5) отличается от оценки, полученной в результате применения обычного мето да наименьших квадратов к каждому уравнению в системе (9.3). Есть, однако, две ситуации, когда эти оценки совпадают.
1.Уравнения в (9.3) действительно не связаны друг с другом, т. е. &ij = 0 при i ф j.
2.Все уравнения в (9.3) имеют один и тот же набор независи мых переменных, т.е. Х \ = Хъ = ... = Х м -
Первое утверждение почти очевидно, поскольку матрица П в этом случае является диагональной. Доказательство второго утвер ждения требует некоторых вычислений, мы его оставляем чита телю в качестве упражнения.
Для использования доступного обобщенного метода наимень ших квадратов нужно оценить матрицу £ . Это можно сделать, применяя к каждому уравнению системы (9.3) обычный ме
тод наименьших |
квадратов, |
получая |
векторы остатков a , i = |
|
1, . .. ,М , и беря |
в качестве |
оценок |
ковариаций |
величины |
$ ij = ( e ^ e j) /n . |
Можно проверить, что эти оценки являются со |
стоятельными. |
л |
Отметим в заключение, что эффективность оценки 0 QLS (или ее доступного варианта) по сравнению с МНК-оценками тем вы ше, чем сильнее корреляция между ошибками.
224 |
Гл.9. Системы регрессионных уравнений |
9.2.Системы одновременных уравнений
Примеры: кривые спроса и предложения
Пример 1. Рассмотрим вначале простой пример системы одно временных уравнений, который демонстрирует основные пробле мы, возникающие при попытке оценить неизвестные параметры. (Этот пример входит практически во все учебники по эконометри ке.) Предположим, что исследуется зависимость спроса и предло жения некоторого товара от его цены и дохода — так называемые кривые спроса и предложения:
Q? = <*i + «2 Pt + |
£t |
(предложение), |
Q? = Pi + fa pi + |
+ «t |
(спрос), |
где Pt — цена товара, Yt — доход в момент времени t. Предполага ется, что на рынке существует равновесие, т.е. в каждый момент времени наблюдается одна величина
Qt = Qt = Qt |
(равновесие). |
Записывая каждое уравнение, для простоты в отклонениях от средних значений (см. п. 2.2), получаем следующую систему:
qt = ot?pt + £t |
(предложение), |
(9.6) |
qt = foPt + P m + Щ |
(спрос). |
(9.7) |
Отметим, что в соответствии с этой моделью цена и величина опроса-предложения определяются одновременно (отсюда и тер мин «одновременные уравнения») и поэтому обе эти переменные должны считаться эндогенными. В отличие от них доход yt явля ется экзогенной переменной. Подчеркнем, что деление перемен ных на экзогенные и эндогенные определяется содержательной стороной модели. Предполагается, что в каждом уравнении эк зогенные переменные некоррелировапы с ошибкой. В то же время эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, как
9.2. Системы одновременных уравнений |
225 |
правило, имеют ненулевую корреляцию с ошибкой в соответству ющем уравнении. Действительно, разрешим систему (9.6), (9.7) относительно qt и pt:
|
|
«2Щ- fogj |
(9.8) |
|
<*2 - |
fo |
«2 - 0 2 |
||
|
||||
I h v t |
ttt - £ t |
(9.9) |
||
2 - 0 |
2 |
O C 2 - 0 2 |
||
|
Тогда, учитывал некоррелированность yt с щ и gt, из (9.9) по лучаем
Cov(pt,et) |
C o v ( u t , g ( ) — V ( g t ) |
(9.10) |
«2 -/% что, в общем случае, не равно 0. В п. 5.1 при рассмотрении модели
со стохастическими регрессорами отмечалось, что наличие кор реляции между регрессорами и ошибками приводит к смещенно сти и несостоятельности МНК-оценок. В нашем простом примере величину асимптотического смещения можно получить в явном виде. Как известно (см. (2.6)), МНК-оценка коэффициента «2 в уравнении (9.6) имеет следующий вид:
а 2 = |
(9.11) |
Так как в последнем слагаемом в (9.11) числитель состоит из коррелированных величин, а числитель и знаменатель зависимы, то нет никакой надежды, что в общем случае
Е |
= 0, |
4t=i |
' t=i ' |
т. е. оценка аг является смещенной. Кроме того, она и несостоя тельна. Действительно, предположим для простоты, что ошибки u, g независимы и распределения щ и gt не зависят от t. Будем считать также, что существует plimn_ 0o(l/n ) у? = V(y). Пе репишем (9.11) так:
с*2 = С*2 +
226 |
Гл. 9. Системы регрессионных уравнений |
Тогда в силу закона больших чисел и формулы (9.10) имеем
У(е«)
<*2-02‘
(Напомним, что Cov(t»t,et) = 0.) Далее, из (9.9) в силу некорре лированности у с и vie получаем
Й 5 Ф |
' = |
|
+v(£)+v(“))- |
Окончательно, |
|
|
|
p h m a2 = a 2 - |
^ ( у ) |
+ V(u) + у (е) = Att2 + (1 “ А)/%> |
|
где |
|
|
|
iflgу(») + V(«) |
, у |
У(«) |
|
&IУ(») + У(«) + V(e) ’ |
# V(y) + V(u) + V(e) * |
Таким образом, p lu n ^ ^ c ^ = а 2, только если V(e) = 0. Система (9.6), (9.7) называется структурной формой моде
ли, соответственно коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. Система (9.8), (9.9) называется
приведенной формой модели. Обозначал
7Г1 = |
(a2f t) /( a 2 - ft), |
vlt = |
(a2ut - fte t)/(a 2 - ft), |
(9.12) |
|||
*2 = |
ft/(<*2 - |
/%), |
b*2t = |
(щ - et)/(a 2 - ft), |
(9.13) |
||
перепишем (9.8) |
и (9.9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t = |
»iVt + |
«'lt, |
|
|
|
|
|
Pt = |
*2Pt + |
t^2t- |
|
Здесь уже в каждом уравнении экзогенная переменная некоррслирована с ошибкой, поэтому метод наименьших квадратов даст состоятельные оценки S?i и х2 коэффициентов щ и 7г2 . За«- метим, что а 2 = тгх/яг2, поэтому (в силу теоремы Слуцкого) ве личина a 2iLs = 5ri/x2 будет состоятельной оценкой структурно го параметра а 2. Такой способ оценивания структурных коэффи циентов с помощью оценок коэффициентов приведенной формы
9.2. Системы одновременных уравнений |
227 |
называется косвенным методом наименьших квадратов (Indirect Least Squares, ILS). Следовательно, для структурного коэффици ента первого уравнения можно построить состоятельную оценку, используя косвенный метод наименьших квадратов.
В главе 8 отмечалось, что при наличии корреляции между регрессорами и ошибками для получения состоятельных оценок можно воспользоваться методом инструментальных переменных. В нашей модели для оценивания аг в качестве инструмента есте ственно использовать у — эта переменная некоррелирована с е по условию и в силу (9.9) коррелировала с р. Тогда согласно (8.2)
поскольку
Таким образом, в данном случае оценки, полученные косвен ным методом наименьших квадратов и с помощью инструмен тальных переменных, совпадают.
Пример 2. Усложним нашу исходную модель, включив в урав нение (9.7) для спроса процентную ставку rt:
Qt = foPt + |
+ 04rt + Щ |
(спрос), |
(9.14) |
считая эту переменную экзогенной. Проводя непосредственные вычисления, для системы (9.6), (9.14) получаем следующую при веденную форму:
|
|
4t |
= |
^u j/t + |
^12П |
+ vit, |
|
|
|
P t |
= |
* 2 iy t + |
*2 2 r t + u2ti |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
^11 |
= |
( а 2/З з)/(<*2 - |
(h)> |
* \2 |
= |
( « 2^ 4 ) /( « 2 - lh )y |
|
*21 |
= |
0 з/(<Х2 ~ |
|
|
*2 2 |
= |
& / ( « 2 - (h ) , |
а и i/jt — такие же, как и в (9.12), (9.13). Очевидно, что с*2 = ян /?Г21 = ^ 12/^22 • Поэтому при использовании косвенного метода
228 |
Гл. 9. Системы регрессионных уравнений |
наименьших квадратов можно в качестве оценки структурного параметра а-2 брать либо я ц /я 21. либо ^12/^ 22, причем, в общем случае, это будут разные оценки. Точно так же можно в качестве инструмента использовать как у*, так и г(, тоже получая разные оценки. При этом, естественно, возникает вопрос, какая из них лучше. Ответ на него будет дан ниже при рассмотрении общей задачи.
В то же время, как нетрудно проверить, даже знание точных значений коэффициентов приведенной формы и для исходной, и для усложненной моделей не позволяет сделать никаких выводов относительно структурных параметров второго уравнения. Для этого уравнения также невозможно использовать у или г в каче стве инструментальной переменной из-за возникающей при этом линейной зависимости между регрессорами. Это явление тесно связано с так называемой проблемой идентификации, о кото рой подробно будет говориться ниже. В данном случае нетрудно понять, почему уравнение (9.7) для спроса неидентифицируемо. Действительно, возьмем произвольное число Л и составим линей ную комбинацию уравнений (9.6) и (9.7), умножая первое на Л, второе — на (1 - Л) и складывал их:
qt = 72Pt + 73Vt + Vt, |
(9.15) |
где |
|
72 = Aa2 + (1 —A)/?2, 73 = (1 - А)/?з, |
i)t — A$t + (1 —А)щ. |
Уравнение (9.15) имеет точно такой же вид, что и уравнение (9.7). Иными словами, существует бесконечно много структурных форм, совместимых с имеющимися данными qt, pt, yt• Поэтому ка кой бы метод оценивания структурных коэффициентов уравнения спроса ни был выбран, нельзя сказать, какое отношение получен ные оценки имеют к исходным параметрам /Зг и /З3. Подчеркнем, что это не статистическая проблема, не проблема количества на блюдений: даже имея бесконечное число наблюдений, невозможно «правильно» оценить уравнение спроса (9.7).
Сформулируем выводы, которые мы получили, и проблемы, с которыми столкнулись, исследуя этот простой пример системы одновременных уравнений.
9.2. Системы одновременных уравнений |
229 |
1) Переменные в системах одновременных уравнений делятся на экзогенные и эндогенные. Первые отличаются от вторых тем, что в каждом уравнении они некоррелированы с соот ветствующей ошибкой.
2)Из-за наличия корреляции между эндогенными переменны ми и ошибками непосредственное применение метода наи меньших квадратов к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных ко эффициентов.
3)Коэффициенты приведенной формы модели могут быть со стоятельно оценены методом наименьших квадратов. Эти оценки могут быть использованы для оценивания структур ных параметров (косвенный метод наименьших квадратов). При этом возможны три ситуации: структурный коэффици ент однозначно выражается через коэффициенты приведен ной системы, структурный коэффициент допускает несколь ко разных оценок косвенного метода наименьших квадратов, структурный коэффициент не может быть выражен через коэффициенты приведенной системы. В последнем случае соответствующее структурное уравнение является иеидентифицируемым. Неидентифицируемость уравнения не свя зана с числом наблюдений.
4)Экзогенные переменные можно использовать в качестве ин струментальных. В том случае, когда оценка косвенного ме тода единственна, она совпадает с оценкой, полученной с помощью инструментальных переменных.
Прежде чем перейти к общей теории, рассмотрим две моди фикации исходной модели (9.6), (9.7) с тем, чтобы дать более на глядное представление о понятии идентифицируемости.
Пример 3. Спрос и предложение зависят только от цены:
qt = |
c*2Pt + |
(предложение), |
<?t = |
lh.Pt + Щ |
(спрос). |
На плоскости (Q, Р) равновесие представляется как пересе чение кривых (в данном случае прямых) спроса и предложения.
230 |
Гл. 9. Системы регрессионных уравнений |
В этой модели имеются только одна кривая спроса и одна кривая предложения, а различие в наблюдаемых значениях обусловлено только случайными ошибками £ и и (см. рис. 9.1).
Рис. 9.1
Понятно, что, имея только «облако» наблюдений (Qt, Pt), t = 1,... ,п, ничего нельзя сказать об «истинных» прямых D и S, по скольку каждая точка (Qt, Ft) может быть реализована как пере сечение двух прямых, имеющих произвольный наклон. Заметим, что этот вывод подтверждается и приведенной формой модели
qt = |
(a2ut - fte t)/(a 2 - ft), |
Pt = |
(«t - £ t)/(o c i - f t) , |
которая в правых частях уравнений содержит только случайные ошибки.
Пример 4. Исходная модель (9.6), (9.7). Здесь имеются одна кри вая предложения и несколько кривых спроса, благодаря наличию экзогенной переменной у , а разброс в наблюдениях обусловлен не только случайными ошибками, но и сдвигом кривой спроса вдоль единственной кривой предложения. Это обстоятельство и позво ляет оценить параметры последней (см. рис. 9.2). В то же время о положении прямых А ничего сказать нельзя, поскольку, как и в предыдущем примере, любой их наклон совместим с имеющимися наблюдениями.