книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Отметим,

что производная по нормали п допускает

представление

д

= c o s P - § r

+ s i n p - J -

д

(4.20>

дп

дд

где

р =

р (р,

у) — угол

меж ду

радиальным

направлением

и нор­

м алью п к контуру Г

поперечного сечения

координатной некруговой

цилиндрической поверхности

5

(р = const), который определяется

через функцию

(4.12) по формуле

(2.137), причем, например, в преде­

лах N -го слоя,

переменная р изменяется от p ^ -i до рц и, следователь­

но,

угол

Р такж е изменяется

от Рлг_i до рлг-

У читывая соотношения (2.138), (4.16), (4.19), (4.20), на основе (4.5) —

(4.8)

получаем

следующие краевы е условия на граничных поверхнос­

тях

S k (k =

0,

N;

S 0 ~

р =

Ро =

1;

S n ~

р

= рдг)

в

произвольном

(п ^

1) приближении:

когда

на

5* задано

распределение температуры

П—1

I t '

(р. V. В

|р-р,

=

(р. V. В U

, -

£

т!" '

<р. У’ В 1р-р„;

т=0

(4.21)

когда

на

Sk задан

подвод

теплоты

h

т Г <р, ъ

в

1р-р« =

г»?!"1 (р,

т. В 1р-р* -

-

V

[л .? " ””

+

л Г " ” - у - £ - ]

г Г ( р,

v>B Ip-p( ;

(4-22>

когда на Sk задана тем пература окруж аю щ ей среды Т* и закон конвективного теплообмена

( ж	+	т ‘) г ! "’ <»• У' Э	=	- Ц И " - " ’ - W	+
+ Л Г т >	T	W + “ '	^	(О- V- в |р-р,	(» > 1) (4-23)

(температура Г,, входит в краевое условие для нулевого приближения задачи);

когда поверхность S k теплоизолирована

				- 3 5 - г Р ( р . v. I) 1р-р, =
-------%				Т	Г Г (Р’		T - B U * . (4-24)
При этом в краевы х				условиях на поверхности S 0			следует положить
/ = 1, k =	0,	а	на S N соответственно / =		k =	N . Дифференциальные
операторы	Lln\		Л ^ ,	определяю тся	по формулам (2.148), (2.161).
Если ф ункция f (С), с помощью которой описываются								координатные
поверхности		S„,		S n, вы брана в виде		(2.119), то		5 0 является
внеш ней поверхностью				многослойного цилиндра, a			S N — внутренней

121

и,

следовательн о,

Рл/ < Ро —

1-

В случае

когда ф ун кц и я f (£) вы бра­

н а

в виде (2.120),

поверхность

S 0 явл яется

внутренней, а 5д/ — внеш ­

ней, что

отвечает

значению

pw >* Ро =

1- С оответствую щ ие

краевы е

у сл о ви я

в

нулевом

приближ ении

(п — 0),

дополняю щ ие

(4.21)

—

(4 .24 ) ,

которы е

записаны

для

n ^

I, отвечаю т круговом у

цилиндру

и

имею т

вид, аналогичны й

(4.5) — (4.8).

К раевы е условия

(4.21)

—

(4.24) д л я

избеж ан и я

громоздкости

записаны

в предполож ении,

что

н а

обеих

граничны х

поверхностях

они

однотипны . О днако

на S 0 и

Sm м огут быть задан ы различны е условия, соответствую щ ие определен ­

ной	ком бинации уравнений	типа (4.5) — (4.8). Т ак , наприм ер, если
на	S 0 зад ан ы условия (4.13),	а поверхность		Syv теп лоизолирована, то
в п роизвольном приближ ении		(при п ^	1) краевы е условия		на S„ бу ­
д у т	им еть вид (4.21) при / =	1, к = 0,	а на	S n — (4.24) при	I = k =

=N .

Е сли рассм атриваем ы й

цилиндр имеет конечные разм еры ,

то кр ае ­

вы е услови я на

торц ах

S *

( | =

±

h)

в произвольном приближ ении

(л

1), согласованны е с (4.5) — (4.8),

имеют

форму:

при

известной

на

5 *

температуре

7Т> (р,

у, 1) |g=±/t

=

№ (р, у,

|)

1б_±Л;

(4.25)

при заданном

на 5 *

подводе теплоты

К

T f (Р,

у,

I) ii= ±ft =

r t. q f

(р,

у, |) ||=±л;

(4.26)

при

конвекции

- § г

T f

(Р. у,

I)

ls- м

=

-

m j t >

(р,

V, Е) |е-±/.-.

(4.27)

для

идеально теплоизолированных торцов

■ j r

T V (р. V. а

| | - « =

0.

(4.28)

Здесь

t± \

i?*'

(л. >

1, /г =

1, 2,

..., N) — коэффициенты

разлож ений

известных на 5 *

температуры

t± и теплового потока <7± в р я д ы п о е .

Заметим, что граничные условия в

нулевом

приближ ении (п = 0)

по

форме

аналогичны (4.25), (4.26),

(4.28),

а

при конвекции

имеем

■

j f l f t p -

V. а

|Е - «

------- ш , (П в -

Г .)

(4.29)

( Г * — температура

окружаю щ ей среды).

Условия теплового контакта на поверхности раздела 5» на основе

(2.138), (4.10), (4.11), (4.16), (4.19), (4.20) в произвольном

приближ ении

примут следующий вид:

при

идеальном тепловом контакте

S

t(h—m)

m=0

(n — m)1 l^H -1(P> V» £)~~ Т Т ' (p, y, |) ] p=sp* =

0,

(4.30)

122

J ,	[ # - * - % ■ +	л Г ” ' T - k ] R l+ ' r ® «>• * 9 -
	- X	, 7 l “ ’ (p, v .l)k _ p ,	= 0;
при неидеальном тепловом контакте
I	[ л г * - £ • + л Г " > Г р ( р , 7 . 1) 1р-р, =
т=0
=	т , S	[71?, (р, у. В -	7 Г (р, V, | ) Ь _ .	(4' 31>
	т —О

причем к (4.31) необходимо присовокупить второе уравнение (4.30), чго следует из (4.10), (4.11).

2.2. Осесимметричные поверхности раздела, близкие к сферическим. Рассмотрим толстостенную изотропную слоистую оболочку, у ко­

торой

граничные

поверхности

S„, S n

и

поверхности раздела St (I =

=

1, 2,

...,

N —

1)

являю тся

замкнутыми

поверхностями

вращения,

близкими к сферическим. Д опустим,

что

контуры

Г 0, Гд/, Г| мериди­

анных сечений

5 0, S n, S t описываются

на

основе конформно отобра­

жающ ей

функции

(4.12)

уравнениями

2

— Г0

Рв й) (Q |p=consl,

R

=

Го

1ш (0 (С) |р—const,

(4.32)

где

R — расстояние

от оси

вращ ения.

При

этом, если функцию

f (£), входящ ую в ю (£) по формуле (4.32),

вы брать

в виде (2.119), то поверхностям

S 0, 5 й,

..., Sn отвечают зна­

чения

р

=

р0

=

1,

pi <

1.........Qn < .

1.

Если ж е

/

(£) представима в

форме

(2.120), то

поверхностям

5 0, S lr

.... Sn соответствуют значения

Р

=

Ро =

1» Pi >

1,

....

РN >

1.

При таком описании поверхностей раздела и граничных поверх­

ностей

рассматриваемой толстостенной многослойной оболочки вра­

щ ения

вы кладки — формально

аналогичны

изложенным выше,

при­

чем

многие аналитические вы раж ения

и уравнения

могут быть полу­

чены из

приведенных в п. 2.1

гл. 4, если формально заменить г на а ,

а

|

на

ср

и считать переменные

г,

0,

а

сферическими координатами,

а

р,

у,

<р — координатами

тела вращ ения.

Предположим, чго требуется исследовать температурное поле рас­

сматриваемой толстостенной многослойной оболочки вращения

при

конкретных

краевы х условиях

типа

(4.5) — (4.8)

на граничных

по­

верхностях

S 0 и S N. Если

искать температуру тела

Tt (р, у, <p, е) (I =

=

1 ,2 ,

.... N) в виде рядов

(4.16),

то компоненты

Т|п) (р,

у, tp) опре­

деляю тся

по формуле

т ? ’ (р. т. Ф) =

2

-

£

2

г

7

1 (р,

у,

ф),

(4.33)

т=0

'

123

где ф ункция	Т Г	(р, у, ф)		удовлетворяет					гарм оническом у		уравнению
теплопроводности
					+		1	'д	/ .	д
						ра sin у		ду ^Sin ^		ду
			1		д*						(4.34)
		+	р2 sin2 у		д(р -		т Г ( р , у» ф) =			о.
К раевы е условия		на	S 0, S n		и условия			теплового		кон так та	на S t (I =
= 1, 2, ...,	N —	1) в произвольном					приближ ении будут им еть соответ­
ственно вид (4.21) — (4.24) и (4.30), (4.31), если в										них ф орм ально з а ­
менить переменную			£ на	ф и считать				р, у, ф координатам и тел а в р а ­

щен и я.

Таким образом, поставленные краевы е задачи теории теплопровод ­ ности для толстостенны х многослойных некруговы х цилиндров и обо­ лочек вращ ения с ортогональными неканоническим и поверхностям и

раздела сведены к		рекуррентной	последовательности соответствую ­
щ их	краевы х задач для многослойных тел с круговы м и цилиндрически ­
ми и	сферическими	поверхностями	раздела и граничны ми поверхнос­

тям и .

З а м е ч а н и е . Составляю щ ие рядов типа (4.16), описы ваю щ их тем ­

пературное поле Т[ в криволинейных ортогональны х координатах р,	у,
а 3<, можно найти на основе уравнения теплопроводности (4.3), если	в

нем параметры Л аме H t и обратные им величины Я Г 1 представить р я ­

дами	по е с учетом соотношений (4	.14). П ри таком подходе на каж дом
этапе итерационного процесса дополнительные			слож ности	возникаю т
при	определении частных решений	уравнений	П уассон а	с правы ми

частями, зависящ ими от его реш ения в предыдущ их п ри б ли ж ен и ях .

§ 3. М ногослойны е тел а

снеоргональны м и поверхностям и р а зд е л а

Вотличие от § 2 здесь рассмотрим краевые задачи теории теплопровод­

ности для многослойных тел с неортогональными		поверхностям и		р аз­
дела. Эгот класс поверхностей, в частности, содерж ит некруговы е				ци ­
линдрические поверхности, а	такж е близкие к	сферическим	поверх­
ности вращ ения. Ф ормальная	аналогия, о которой отмечено в		п.	2.2,

позволяет рассмотреть краевые задачи теории теплопроводности одно­

временно для этих двух		классов геометрических объектов.
3.1.	Поверхности	раздела,, близкие к круговым цилиндрическим

и сферическим. Рассмотрим слоистую толстостенную оболочку, у ко­

торой поверхности раздела S lt		а	такж е внутренняя S 0 и		внеш няя	S n
граничные поверхности описываются уравнениями
Г = rk 4- 6kfk (0, а 3)	(Г* =	const > 1 , к =		0, 1, 2, . . .	, N ). (4.35)
А налитическая функция	fk (0,		сс3) и малый	параметр	е* 0 »* I «	О
описывают форму поверхностей			S k и их отклонение от		поверхности
г = Гк.

124

П редставление уравнений граничных поверхностей в форме (4.35) позволяет одновременно рассматривать слоистые близкие к круговым цилиндрическим оболочки (в этом случае г, 0, г — круговые цилин­ дрические координаты) и слоистые близкие к сферическим оболочки (тогда г, 0, а — сферические координаты). При этом все линейные переменные и постоянные величины будем считать безразмерными,

отнесенными

к

внутреннему радиусу

г*

соответствующего

цилиндра

или

сферы (в частности, в уравнении (4.35) имеем

г0 =

1, rk >■ 1

при

k >

1).

П редположим,

что

рассматриваю тся

стационарные

задачи

теории

теплопроводности

и, следовательно, температура /-го изотропного

слоя

Т[ (г,

9,

а 3)

удовлетворяет

уравнению

Л апласа

J

____L l r H

И ± \ +

- 1 __ ~д 1 н

d T l)

,

+

1

я з

д*т‘

-

(4.36)

гН3

дг \ ГП*

дт

J +

Г*Н3

30 \ п 9

ае

}

где

# 3 =

1,

ос3 =

z,

если

г, 0,

z — цилиндрические

координаты, и

Я 3 =

г sin 0,

а 3 = а , если г, 0, а — сферические

координаты.

Д л я

определения

температурного

поля

рассматриваемого

много­

слойного тела необходимо, чтобы температура Т ( в каждом слое

(/ =

=

1 ,2 ,

...,

N)

удовлетворяла

кроме

уравнения

теплопроводности

(4.36)

краевым

условиям типа (4.5) — (4.8)

на граничных

поверхнос­

т я х

5 0, S n и условиям теплового контакта

(4.10) или (4.11)

на поверх­

н остях

раздела

S,.

Аналитическое решение поставленной

задачи

будем

искать

с по­

мощью второго варианта метода возмущ ения формы границы, изложен­

ного в гл. 3. Следовательно, представим температуру Tt (г, 0,	а 3) в ви­
д е рядов
Г, (г, 0, а 3) = £ е 'Т Г (г, 0, а ,) (/ = 1 , 2 , . . . , N).	(4.37)
а=0

В качестве общего для всех поверхностей малого параметра s выбира­ ется следующий:

	е ==	шах	|е * |< ^ 1 ,	eft =	<э*е	(— 1 ^ %	^ 1 ) .		(4.38)
	ft=0.1....N
	Предполагается, что поверхности S k являю тся достаточно гладкими,
а	краевые условия (4.5) — (4.8) допускаю т разложение							искомой тем­
пературы и ее производных в ряды Тейлора в окрестности г =									rk, т. е.
т ,	<,. е. a s) I,t =	I у	£ < ! ±	^ L		(, ,	е,	и ,	С4.39,
		п=0	т —0	оо	П
	°			п—0	гп—0	т1
х	3m+1r 7,i"^m,( r ,0 l O a)|r-rft,			( / =	1 ,2 ,	. . . , Я ;	k =	0, 1..........N).

125

П роизводную по направлению безразм ерной отнесенной к г.м еди ­

ничной нормали		n t представим в виде
	д	= n r,k	д_		2	1	д		(4.40)
	дпк		дг + «0.А:		г	Па'к И ^ даа
Н аправляю щ ие косинусы п/,*				определяю тся в явном			виде на основа­
нии	функции уровня		Ф* (г,	0,	а 3) — г — во»kf k (0,		а 3)	по ф ормуле
щ =	УФ*/1 УФ* | (У — оператор				Гамильтона). С ледовательно, имеем
		tt0,fe =	ш*	dfk_		е®*_	1	dfk	(4.41)
			—	дв ’		Д*	# 3	да3
где			V
	Д* =	± J^l +	е2(о|		+	е2<4			(4.42)

П ри этом знак « + » соответствует направлению нормали в сторону уве­

личения функции		уровня		Ф*, а зн ак «— » — противополож ному на­
правлению .
У читы вая представления (4.39), (4.40)					и расклады вая	вы раж ения
(4.41)	в ряды по е, на основе (4.5) — (4.8)				(после сравнения вы раж ений
при одинаковы х степенях				е), получаем следующие граничны е условия
в произвольном (п			1)	приближении:
при заданном		распределении температур
	i f	К	=	t\n) lr=rfe — % V	r ^ T f * |г=гл;	(4.43)
в	случае известного теплового потока

при конвективном теплообмене
( 1 + * ,) т г К				= -	£ , [ М Г * 4 - + Л Г - - 1 - Й - +
		+								(4.45>
		(S 0 ~ k = 0 , 1 = 1; S N ~ k = I = N).
Граничные условия в произвольном (п >						1) приближении для теп­
лоизолированных поверхностей 5 0, S n получаем из								(4.44)	при	q{u —
= 0.
Заметим, что в нулевом приближении						(п =	0),	соответствующем
краевой	задаче	для	сферических (а 3 = а ,			Н,л =	г sin 0)		или	круго ­
вых цилиндрических			(а 3 = z,		H a = 1) многослойных тел, вы раж ения,
стоящ ие	под	знаком		суммы	в (4.43) — (4.45),		следует		полож ить
равными	нулю .
126

Н а основе (4.10), (4.11), (4.39), (4.40) условия сопряж ения на по­ верхности раздела S t в произвольном приближении (л ;> 1) будутследующими:

в случае идеального теплового контакта (что справедливо, напри­ мер, в случае спаянных слоев)

£ i T ~ m) Iгде, - r i m,w	z - 0,
м—П	*
т=0
+ Z3JTп)

£	Г)(п—т)		д .	П(п-т)	1
ги—J			1 Г +	° 21	Т ае
/Я=0 -
	^7	trim)			(4.46)'
	h+\	r	r w ,	= 0;

при неидеальном тепловом контакте (когда кроме равенства теп­ ловых потоков допускается пропорциональная зависимость между разностью двух поверхностных температур и тепловым потоком)

£	|(п—т)	д		^(n- т ) J _		_ 3 _	,
	\ т	W	+	D%	г	ао	^
т=0гл=0	L
+ D ,r ™	I				h	„гтЛ
£ [ D r M)		\_	д	+ £>з'Гт)		1	а
		Т	ае			«3	аа3
т=0 L

(4.47);

/

= т , S « " - “ ’ i r w - r r v - , -

т=0

1

Дифференциальными

операторами

L/n), D f? (i =

1,

2, 3),

вхо­

дящ ими

в условия

(4.43) — (4.47),

когда нормаль п{ к поверхности S t

направлена в сторону увеличения функции

уровня

Ф „ будут

(п)

д4

<*tfl „

\

Т(n—S)

LI

rtl

дгп

*

Ys—1./)

*

rl

rl

ov s=0

(Y-i — Y—? =

0),

(4.48).

1

v

(

i

\

т <n—s)

- m' - ^

- - 5 S r £ , l v . - u + —

l ^ u j L

, .

Ф ункции y/,/ являю тся коэффициентами

разложений

величины

А* —

= гД/ и на основе (4.42) имеют следующий вид:

для

слоистых

оболочек, близких к

круговым

цилиндрическим,..

_	V V	V	V	/	i \* __________ ft! {2k— l)!l_________
Ъ'-‘ ~	k~0 к о	к о	к о		] ( k - n ) \( n - m ) \ (m - 5)1 si (2ft)11
	(S—|—	/f=У)

X А ? -пВ Г т С Г*О Ъ

для слоистых оболочек, близких к сферическим,

X

(4.49)

Vi v* t	i\*	k\(2k— 1)4	л(Л—п)Ъп		(4.50)
=		p » ii	А‘	fi"

(л+*=/>

127

т д е

И з п ри веденны х

вы ш е результатов следует р я д

практически

в а ж ­

н ы х частны х

случаев.

3 .2 .

Ч астн ы е

случаи.

П о п е р е ч н о

г о ф р и р о в а н н ы е

с л о и с т ы

е

ц и л и н д р и ч е с к и е

о б о л о ч к и .

П усть

//

=

= ft (г). С ледовательно,

согласно (4.41)

tie.i

=

0.

В этом

случае

на

о сн о ван и и

(4.48),

(4.49)

получим

о 1 ? = ± о > ';

м

«

( т — 1)11

2

( - 1 ) 2

/ Г "

(г) !/'(* )]"

(л — т)\ mil

т=0,2,...

Dg? =

0,

(4.52)

Mt

Т - + 1

( т — 1)!1

/ п—т —1

-£ > $ ?=

± < о?

£

( - 1 )

(л — т — 1)1 mil

I

( * ) [ /'(г )Г + ‘ X

т —0.2,...

т —1

Х3гп -т-1

З д е с ь М

=

п , М х =

п — 2 для четных л и М

— 1 д л я

не­

четны х

п.

В частности,

при

// (г)

= cos —

г

(/ =

0 ; 1, , . . ,

N ) поперечно

гоф ­

ри рован н ы е поверхности раздела S ,

(/

=

1 ,2 , ..., N

—

1) и граничны е

поверхности

S 0 и S n

образованы

вращ ением около оси

г косинусоид,

которы е

построены соответственно относительно г = г{.

Явным

видом

операторов (4.52)

в

первы х трех приближ ениях,

необходимых для

реш ения

граничны х зад ач с точностью О (е3), в этом

■случае

будет

D <0)

=

,

г»0)

г (1)

kit

О

,

-.(и

kn

._ Ляkn

if

1. D \t

= Ц

=

COS —

z

Dll' = (Oj “Y " Sin - j - z,

X

	Д л я	поверхности	S 0	вы раж ения			операторов	D ({§,	Dw получаем
к з	(4.53)	при l — 0 (— 1		^	со0 ^ 1)		и замене соответствую щ их знаков
на	противополож ные		(так		как	внеш няя норм аль		к ней	направлена в
сторону		уменьш ения	функции			уровня).
428

Зам етим, что при таком задании функции (а) частота гофриров­ ки одинакова для всех поверхностей, однако амплитуда гофрировки

мож ет быть различной и она управляется

параметрами

со,. Если, на­

пример,

граничные

поверхности

5 0

и

S N

являю тся

гладкими

(коор­

динатными),

то

ш0 =

(oN =

0.

П р о д о л ь н о

г о ф р и р о в а н н ы е

с л о и с т ы е

ц и ­

л и н д р и ч е с к и е

о б о л о ч к и .

Предположим,

что

ft =

ft (0)!

В этом случае согласно .(4.41) пгл =

0 и,

следовательно,

на основании

(4.48),

(4.49) имеем

D \f

=

±

Е

I Ут,I (9) +

!■—- ym_\ j

(0) 1

(п — m)l

drn~"

т=0 L

J

(4.54)

— _

fl (0)

Ы

(0)]'l-m

дп- т

D 21{

Е

Yrn—1,/ (0)

=

0,

/п=0

(n — m) I

drn~m

где

/дч _

V

i

i\*

(2/г — l)!l!l

L

fi (0)

Q'Ik.m—ki

\m,l (0)

2-i

(

1)

(2Jfe)! I

n

—

й=0

-

Q.lk,v ~

. . .

(ft — v +

1)

{ o>,

//(0)

i

+

/,(0)

(4.55)

v!

/,(0)

(Й/л.o = 1,

k > 0 ,

Q,0.v =

0,

v >

1).

Ш трихом

в

вы раж ениях

(4.52),

(4.54)

обозначены

производные от

функций

h по соответствующим

им

аргументам.

С л о и с т ы е

п о п е р е ч н о

г о ф р и р о в а н н ы е

с ф е ­

р и ч е с к и е

о б о л о ч к и .

Предположим,

что

в

сферических

координатах

г,

0, а

граничные поверхности

S, описываются уравне­

ниями

г =

(0).

Следовательно,

согласно

(4.41)

na,i = 0,

а на основании (4.48) операторы

=

0.

Аналитическая

структура

дифференциальны х операторов D ff(

и Dfi

по виду аналогична (4.54)

(в этом случае под г,

0

следует

понимать

сферические

координаты).

§ 4.

К раевы е задачи

терм оупругости

кусочно-однородны х

тел

с неканоническим и поверхностям и р а зд ел а

В этом

параграфе рассматриваю тся

краевые задачи

линейной несвя­

занной теории термоупругости для многослойных тел с ортогональны­ ми и неортогональными поверхностями раздела и граничными поверх­ ностям и . П редполагается, что тепловые напряжения и деформации в рассматриваемых телах возникаю т от установившегося в общем слу­ чае неоднородного температурного поля. При этом влияние неравно­ мерности распределения температуры по объему тела учитывается как действие объемных сил, имеющих потенциал. С помощью первого ва­ риан та (для ортогональных поверхностей раздела) и второго варианта

(для неортогональных	поверхностей раздела) поставленные	краевые
задачи термоупругости	сведены к последовательности соответствую­
щ их задач для канонических областей. Следовательно, на		каждом

этапе и терацион н ого процесса к реш ению задачи м ож но прим енить ан а­ литические методы ли нейной терм оуп ругости , развиты е д л я тел кано ­ нической формы .

4 .1 .	О ртогон альн ы е поверхности		раздела.		Т е м п е р а т у р н о е
п о л е	з а д а н о в	в и д е Т/ = T t (г, 0,		а 3).	П редполож им , что
поверхности р а зд ел а		S , м ногослойного	тела	описы ваю тся на основе

конф орм но отображ аю щ ей ф ункции (4.12) и, следовательн о, совпадаю т

с координатны м и поверхностям и р = р/, а ф ункция

Ть

описы ваю щ ая

тем п ературн ое

поле

/-го

слоя

составного

тел а, известна из

реш ения

соответствую щ ей

краевой

задачи

теории

теплопроводности

в форме

T t =

T t (г, 0,

а 3).

П ри

а 3 =

z

ф ункция

T t (г, 0,

г)

х арактери зует

тем п ер ату р н о е

поле

l-то

слоя

некругового составного

цилиндра, а

при

а 3 = а ф ун кция

T t =

T t (г, 0, а ) описы вает

тем пературу /-го

слоя толстостенной оболочки вращ ен и я, близкой к сф ерической . В л и я ­

ние

стац и он арн ого тем пературного поля

на

напряж енно-деф орм иро­

ван н о е состоян и е

м ногослойного

тела

мож ет быть учтено

в уравне­

н и я х равн овеси я

в векторной форме (2.14) как действие объемных сил

К , им ею щ их

потенциал. Следовательно,

в этом случае вектор переме­

щ ен и й

/-го

слоя

U;

долж ен

удовлетворять

уравнению

равновесия

[38]

P/V2U/ +

(А/ +

ц/) g rad div u, — (ЗА,/ - f

2p/) a t g rad T t =

0,

(4.56)

где

а / — коэф фициент линейного

теплового

расш ирения

/-го

слоя;

А/,

Ц/ — параметры

Л ам е,

которые

вы раж аю тся

через

коэффициент

П уассо н а v; и м одуль упругости £ , (модуль Ю нга) по

формулам

^

=

( l+ v ,)

(1 — 2v,)

’

^

=

2(1 +

V|)

•

(4 -57)

П ри этом вектор

перемещ ений

U/ состоит из двух

частей

и,

= и? - f и/*

( / =

1

, 2 , . . . ,

N ),

(4.58)

где

и/

соответствует общ ему

реш ению

уравнений

равновесия

(4.56),

а и/ — его

частному реш ению , которое определяется

в виде

U /= g r a d V /.

(4.59)

Здесь с к а л я р н ая ф ункция

Vt (термоупругий потенциал) удовлетворя­

ет

уравнению

П уассона

<4 -60>

где

V2 — оператор

Л ап л аса .

У равнения

состояния изотропного l-то слоя,

определяю щ ие

связь

меж ду

напряж ениям и о щ , деформациями

etf,i

и

тем пературой Tt,

имею т

вид

а ш

=

2|дiei/,1 +

6£/- [ktekkj — (ЗА/ +

2,U/) а/71/]

=

+

(4 б 1 >

130