2441
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ для обучающихся по дисциплине «Вычислительная математика»
по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, без профиля
Нижний Новгород
2017
2
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ для обучающихся по дисциплине «Вычислительная математика»
по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, без профиля
Нижний Новгород ННГАСУ
2017
3
УДК 681.3 (075)
А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов / Вычислительная математика[Электронный ресурс]: учеб. – метод. пос./А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов; Нижегор. гос. архитектур. – строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. - ___ с. 1 электрон.опт.диск (CD-R)
В методических указаниях представлены задания и пояснения к выполнению лабораторных работ, охватывающих основные разделы численных методов и алгоритмов решения задач в рамках курса «Вычислительная математика».
©А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов © ННГАСУ. 2017.
4
Введение
Настоящие методические указания ориентированы на работу в сетях персональных ЭВМ под управлением операционной системы Windows с использованием языка программирования VisualBasicи офисных приложений.
Вметодических указаниях содержатся задания по основным темам курса «Вычислительная математика», а также методические указания к их выполнению.
Задания по каждой лабораторной работе направлены на закрепление теоретического материала и приобретения навыков использования методов вычислительной математики для практических целей. Поэтому они содержат перечень практических заданий и теоретических вопросов.
Взависимости от выбранного уровня исполнения студент может все вычисления проводить на основе готовых алгоритмови программ (см. [1]), а также использовать собственные программные разработки на основе консольных приложений среды VisualBasic (см. [2]). Параллельность изучения курсов «Информатика», «Технологии обработки информации» и «Вычислительная математика» позволяет студенту дополнить исследование математических моделей на основе офисного приложения MSEXCEL.
Используемый теоретический материал изложен в книге [1]. При этом в заданиях даются постраничные ссылки на соответствующие разделы книги, что облегчает работу студента и приучает его к самостоятельной работе с учебником и научной литературой.
5
Требования к выполнению работ
При подготовке к лабораторной работе студенту необходимо изучить соответствующие разделы лекционного курса. В ходе выполнения каждой лабораторной работы студент должен подготовить письменный отчет, включающий:
∙номер, тему и цель лабораторной работы;
∙перечень заданий работы;
∙входные и выходные данные для каждого задания;
∙блок-схему программы;
∙текст программы;
∙таблицу и графики с результатами вычислений;
∙общие выводы по результатам лабораторной работы.
6
Лабораторная работа №1
Тема: Решение нелинейных уравнений
Задание: Найти корень нелинейного уравнения f(x) = 0 на отрезке [а, b]
(с заданной точностью ε) двумя методами:
1.Методом половинного деления (бисекций) (см. [1] стр. 37-40);
2.Методом итераций (см. [1] стр. 40-46).
Значения для конкретных вариантовпредставлены в таблице 1 заданий к расчётным работам.
Порядок выполнения работы
1. Отделить корни заданного уравнения графически (вручную или в
Excel).График представить в отчёте. Рекомендуется в качестве отрезка,
содержащего отделенный корень, выбрать интервал монотонного изменения функции f(x).
2.Уточнить корень на отделённом отрезке методом половинного деления при ε = 0.01; 0.001; 0.0001:
a)Выполнить расчёты вручную;
b)Решить задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу
2, стр. 39);
c)Результаты занести в отчетную таблицу 1.
3.Уточнить корень на выделенном отрезке методом итераций при ε = 0.01; 0.001; 0.0001:
a)Преобразовать уравнение к нормальному виду;
b)Проверить условие сходимости итерационного процесса;
c)Выполнить расчёты вручную;
d)Решить задачу на ПК с помощью программы(см. [1] программу
3, стр. 46);
|
|
|
7 |
|
e) |
Результаты занести в отчетную таблицу 1. |
|
||
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
ε |
Корень x* |
Значение функции в |
Число |
|
|
|
корне f(x*) |
итераций |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
МПД |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
МИ |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку«Подбор параметра».
5.Сделать вывод об эффективности использованных методов решения задачи. В качестве критерия сравнения методов использовать число итераций при заданной точности.
Контрольные вопросы
1.Запишите нелинейное уравнение в общем виде (см. [1] стр.30).
2.Запишите данное нелинейное уравнение в нормальном виде (см. [1]
стр.40).
3. Как перейти от общего вида уравнения к уравнению в нормальном
виде?
4. По какой формуле можно определить число шагов, необходимых для достижения требуемой точности вычислений по методу половинного деления
(см. [1] стр. 38)?
5.Какая итерационная формула используется для метода простых итераций (см. [1] стр. 40)?
6.Сформулируйте достаточные условия сходимости метода простой итерации. (см. [1] стр. 43).
8
Лабораторная работа №2
Тема: Точные методы решения систем линейных уравнений
Задание: Решить систему линейных уравнений
a |
|
x + a x |
2 |
+ a x |
3 |
= b |
||||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
13 |
|
1 |
|||||||
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 |
||||||||||||||
a |
31 |
x + a |
32 |
x |
2 |
+ a |
33 |
x |
3 |
= b |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
Значения коэффициентов и свободных членов взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 2 заданий к расчётным работам.
Порядок выполнения работы
1. Решить вручную систему уравнений методами Гаусса и Крамера.
Результаты занести в таблицу 2.
Таблица 2
|
Ручной счёт |
||
Неизвестные |
|
|
Решение на ПК |
Метод Гаусса |
|
||
|
Метод Крамера |
X1
X2
X3
2. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 5
на стр. 76). Результаты поместить в отчетную таблицу 2.
3.Сделать письменное заключение о близости полученных решений.
4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».
9
Контрольные вопросы
1.К классу точных или итерационных методов принадлежит метод Гаусса (см. [1] стр. 66)?
2.Сделайте сравнение эффективности метода Гаусса с методом решения системы линейных уравнений по формулам Крамера (см. [1] стр.77-78).
3.Укажите, сколько требуется выполнить операций умножения и деления по каждому из этих методов для Вашей системы уравнений (см. [1]
стр. 77-78)?
4. Каковы пределы применимости метода Гаусса? Отчего они зависят
(см. [1] стр. 78-79)?
10
Лабораторная работа № 3
Тема: Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Задание: Решить систему уравнений, заданную в расчётной работе №2,
двумя методами:
1.Методом простой итерации;
2.Методом Зейделя.
Порядок выполнения работы
1.Проверить для заданной системы уравнений условие сходимости итерационного процесса.
2.Решить вручную систему уравнений методом простой итерации с точностью ε=0.1(описание метода см. [1] на стр. 79-87). Результаты занести в таблицу 3, где k – число приближений.
Таблица 3 - Результаты метода итерации
Неизвестные |
Ручной |
|
Решение на ПК |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
счёт |
ε = 0,1 |
|
ε = 0,01 |
|
ε = 0,0001 |
|
|
|
|
||||
X1 |
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу
6 на стр. 86) при различных значениях ε. Результаты поместить в отчетную таблицу 3.
4. Решить вручную систему уравнений методом Зейделя с точностью
ε=0.1(описание метода см. на стр. 87-91). Результаты занести в таблицу 4.