2939
.pdf1.29.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и угол на расстоянии 16м от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12м.
1.30.На гиперболе 16x 2 − 49 y 2 = 784 найти точку, которая была бы в три
раза ближе к одной из асимптот, чем к другой.
Задание 2
Установить тип кривой, заданной общим уравнением. С помощью преобразования координатных осей привести уравнения кривых к каноническому виду. Построить кривые в старой и новой системах координат.
2.01.
1.xy − 3x − 3y + 2 = 0 .
2.3x2 + 4 y − x + 2 = 0 .
3.x2 + y2 − 4x + 2 y −15 = 0 .
4.3x2 − 4 y2 + x − 6 = 0 .
5.2x2 + 6 y2 + x + 2 y −16 = 0
2.02.
1.2xy + x − 2 y − 4 = 0 .
2.x2 + 2x + y2 − 4 = 0 .
3.2x2 − x + y + 4 = 0
4.3x2 + 4 y2 + 6x + 8y −15 = 0.
5.x2 − y2 + 2x + 3y + 4 = 0
2.03.
1.0,5xy + x − y − 3 = 0
2.2x2 + 2 y2 − 4x −10 = 0
3.3x2 − x + y − 3 = 0
4.4x2 − 3y2 + 8x + 6 y −10 = 0
5.x2 + 2 y2 + x − 4 y −12 = 0
2.04.
1.3x2 + 6x − y − 2 = 0
2.xy − 3y + x + 4 = 0
3.2x2 + 6 y2 +12 y = 0
4.x2 + y2 + 4x + 4 y = 0
5.3x2 − 2 y2 + 4 y + 4 = 0
2.05.
1.4 y2 − 8 y + 3x − 5 = 0
2.x2 − 3y2 − 6 y + 2x +1 = 0
3.2xy − 3y + x +1 = 0
4.x2 + y2 − 2 y + 2x +1 = 0
5.2x2 + y 2 + 2 y + 4x +1 = 0
2.06.
1.2xy − 3y +1,5x − 2 = 0
2.y2 + y − 3x + 2 = 0
3.3x2 + y2 − 2 y = 0
4.3x2 − y2 − 2x − 2 y = 1
5.x2 + y 2 + x + y = 1
2.07.
1.4x2 − y2 − 2 y + x +1 = 0
2.2x2 + 4x − 3y +1 = 0
3.2xy − 3y − 2x + 3 = 0
4.x2 + y2 + 4x − 2 y + 2 = 0
5.2x2 + y2 + 4 y +1 = 0
2.08.
1.2x2 + 2 y2 + 4x +1 = 0
2.x2 − y2 − 2 y + 2x = 0
3.3xy − 2 y − x +1 = 0
4.2x2 + 4 y2 + 2x + 3y = 0
5.3x2 − 6x + y − 4 = 0
20
2.09. |
2.15. |
||
1. 3x2 + 4 y 2 + 6x − 8y + 1 = 0 |
1. |
x2 − 5y 2 + 4x − 10 y + 4 = 0 |
|
2. 5x2 + 10x − 4 y = 0 |
2. 7x2 − 14x + 2 y − 7 = 0 |
||
3. x2 + y 2 − 2x + 4 y + 2 = 0 |
3. 3x2 + y2 + 6x − 2 y + 1 = 0 |
||
4. 2xy − y − x + 3 = 0 |
4. xy − x − 2 y + 1 = 0 |
||
5. 3x2 − 4 y 2 + 6x + 4 y + 10 = 0 |
5. |
x2 + y 2 + 2x + 4 y + 2 = 0 |
|
2.10. |
2.16. |
||
1. 6x2 + 2 y2 + 12x − 4 y + 1 = 0 |
1. |
x2 + y 2 + 4x − 6 y = 0 |
|
2. xy − 4 y − 2x + 3 = 0 |
2. 2xy − 3x + 2 y − 4 = 0 |
||
3. |
x2 + y 2 − 4x + 2 y + 2 = 0 |
3. 7x2 − 3x + 4 y + 1 = 0 |
|
4. − 2x2 + 3x − 2 y + 1 = 0 |
4. 2x2 + y 2 + 6x + 3 = 0 |
||
5. 6x2 − 8 y2 + 12x + 16 y + 3 = 0 |
5. 3x2 − 4 y 2 + x − y + 4 = 0 |
||
2.11. |
2.17. |
||
1. x2 + y 2 − 2x + 4 y + 5 = 0 |
1. 3xy + x − y + 6 = 0 |
||
2. 9xy − 20 y − 10x − 10 = 0 |
2. x2 + y 2 − 8x + 6 y + 2 = 0 |
||
3. |
x2 − 2 y 2 − 4x + 4 y + 4 = 0 |
3. 6x2 − 3x + y + 1 = 0 |
|
4. 6 y 2 − y + 2 x − 4 = 0 |
4. 2x2 − 5 y 2 + 10 y + 5 = 0 |
||
5. x2 + 2 y 2 − 4x − 2 y + 1 = 0 |
5. 3x2 + 5y 2 + 6x − 10 y + 4 = 0 |
||
2.12. |
2.18. |
||
1. 2xy − x + 2 y − 3 = 0 |
1. x2 + y 2 + 4x − 6 y = 0 |
||
2. |
x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 2 = 0 |
2. 3x2 − y 2 + 6x + 2 = 0 |
|
3. 5x2 − 2x − y + 4 = 0 |
3. 2xy + 3y − x + 3 = 0 |
||
4. |
x 2 + y 2 + 2 y − 2x = 0 |
4. 2x2 + 3x + y = 0 |
|
5. 2x2 + y2 + 4x − 2 y + 2 = 0 |
5. 4x2 + 5 y2 + 8x − 10 y + 4 = 0 |
||
2.13. |
2.19. |
||
1. |
x2 + y 2 + 4 y + 1 = 0 |
1. − x2 − 32x + y + 6 = 0 |
|
2. xy − 2 y + 3x − 3 = 0 |
2. x2 + y 2 + 4x + 2 = 0 |
||
3. |
2x2 + 3y2 − x + y + 1 = 0 |
3. 1,5xy + x − 0,5 y + 1 = 0 |
|
4. 3x2 + x − y + 5 = 0 |
4. 3x2 + y 2 − 6x + 2 y + 3 = 0 |
||
5. |
x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 4 = 0 |
5. 4x2 − 3y 2 + 16x + 6 y + 10 = 0 |
|
2.14. |
2.20. |
||
1. 2x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 4 = 0 |
1. 2 y 2 + 5x + 4 y + 1 = 0 |
||
2. |
x2 + y 2 + 6x − 8 y + 10 = 0 |
2. x2 + y 2 − 4x − 2 y + 2 = 0 |
|
3. xy − 3y + 2x − 2 = 0 |
3. 5xy + x − y + 1 = 0 |
||
4. 4 y 2 + 2 y + 3x = 0 |
4. 2x2 − y 2 + 4x − y + 4 = 0 |
||
5. 2x2 + 3y 2 + 4x − 6 y + 3 = 0 |
5. 2x2 + 3y 2 + 4x + 6 y + 4 = 0 |
21
2.21. |
2.26. |
||
1. 3y 2 − 6 y + 2x − 7 = 0 |
1. 3x2 + 7x + 2 y + 6 = 0 |
||
2. x2 + y 2 + 2x − 6 y + 4 = 0 |
2. 4xy + 3x − y + 2 = 0 |
||
3. 4xy + x − 2 y − 3 = 0 |
3. x2 + y2 + 6 y − 3x +1 = 0 |
||
4. 2x2 + 3y2 + x − y − 1 = 0 |
4. 3x2 + 7 y2 + 6x −14 y +10 = 0 |
||
5. 2x2 − y 2 − 2x − y + 4 = 0 |
5. 4x2 − 5 y2 − 8x +10 y + 5 = 0 |
||
2.22. |
2.27. |
||
1. |
x2 + y 2 + 6x − 4 y + 0,5 = 0 |
1. |
x2 + y2 − 2x + 4 y + 4 = 0 |
2. 2 y2 + 3x + 6 y + 7 = 0 |
2. 3x2 − y2 + 2 y − 6x +1 = 0 |
||
3. x2 − 3y2 + 2x − 6 y + 4 = 0 |
3. 5xy + 6x − 3y + 2 = 0 |
||
4. 3x2 + y2 + 4x − 2 y + 3 = 0 |
4. 5x2 + 6 y2 −10x +12 y + 4 = 0 |
||
5. − xy + 2 y − 3x + 1 = 0 |
5. 4 y2 + y − 3x + 2 = 0 |
||
2.23. |
2.28. |
||
1. |
x2 + y2 + 2x − 2 y +1 = 0 |
1. 2x 2 − 4 y 2 + 4x − 8 y + 2 = 0 |
|
2. 3y2 + 3x + 2 y = 0 |
2. 2xy + 6 y − 2x +1 = 0 |
||
3. 3x 2 − y 2 + 4x + y = 0 |
3. |
x 2 + y 2 + x − 2 y = 0 |
|
4. 5xy + x − y + 3 = 0 |
4. 3x2 + y2 + 6x − 4 y = 0 |
||
5. 3x2 + 6 y2 + 6x +12 y + 2 = 0 |
5. 3x2 + 6x − 4 y +1 = 0 |
||
2.24. |
2.29. |
||
1. − 2x2 + y +10 = 0 |
1. |
x2 + y2 + 6x − 2 y +1 = 0 |
|
2. x2 + y2 + 4x + 6 y + 4 = 0 |
2. 2x2 − y2 + 4x − 6 y + 4 = 0 |
||
3. 4xy + x − 3y +1 = 0 |
3. 4xy + x − y +1 = 0 |
||
4. 3x2 − 5 y2 + 6x +10 y + 5 = 0 |
4. 2x2 + 3y2 + 4x + 6 y + 4 = 0 |
||
5. 3x2 + 4 y2 −12x +12 y +12 = 0 |
5. 2x2 + 2x + 5y +1 = 0 |
||
2.25. |
2.30. |
||
1. 0,5xy + x − 2 y − 2 = 0 |
1. 7x2 −14x + 2 y − 3 = 0 |
||
2. 2x2 + 2 y2 + 4x + y = 4 |
2. 3x2 − y2 + 6x − 2 y +1 = 0 |
||
3. 3x2 − 4x + y −1 = 0 |
3. x2 + 5y2 + 4x −10 y + 2 = 0 |
||
4. 2x2 − y2 + 2 y + 4 = 0 |
4. x2 + y2 − 6x + 4 y+ = 0 |
||
5. 2x2 + 3y2 + 4x + 6 y + 5 = 0 |
5. 2xy − x + 3y − 4 = 0 |
22
§7. Поверхности второго порядка
1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а совокупность параллельных прямых – образующими.
Уравнение F (x, y) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей,
параллельной оси oz и направляющей – |
кривой F (x, y) = 0 в плоскости xoy . |
||||||||||||||||||
Уравнение F (x, z) = 0 |
задает цилиндрическую поверхность с образующей, |
||||||||||||||||||
параллельной оси oy и направляющей – |
кривой F (x, z) = 0 в плоскости xoz . |
||||||||||||||||||
Уравнение F (z, y) = 0 |
задает цилиндрическую поверхность с образующей, |
||||||||||||||||||
параллельной оси oz и направляющей – |
кривой F (z, y) = 0 в плоскости zoy . |
||||||||||||||||||
Уравнение |
|
|
x2 + y 2 = R2 |
задает |
круговой |
цилиндр |
с |
образующей |
|||||||||||
параллельной оси oz и направляющей – |
окружностью x2 + y 2 |
= R2 |
в плоскости |
||||||||||||||||
xoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
x2 |
|
+ |
|
y 2 |
|
= 1 задает эллиптический цилиндр. |
|
|
||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение y 2 |
|
= 2 px задает параболический цилиндр. |
|
|
|||||||||||||||
Уравнение |
x2 |
|
|
− |
y 2 |
|
|
= 1 задает гиперболический цилиндр. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
a 2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими |
|||||||||||||||||||
уравнениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
x2 |
|
+ |
y 2 |
+ |
z 2 |
|
= 1 – |
эллипсоид |
|
|
|
|||||||
a 2 |
|
|
c2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a |
|
|
|
|
|
− b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
0 |
b |
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
− c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = b = c |
|
x2 + y 2 + z 2 = a2 – сфера |
|
|
|
23
b) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= 1 – однополостный гиперболоид |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
b
o
a |
y |
x
Рис. 20. |
|
|
|
|
|
||
c) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= −1 – двуполостный гиперболоид |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
c
-b |
0 b |
y |
− c
x
Рис. 21.
24
d)x2 + y 2 p q
Рис. 22.
e)x2 + y 2 p q
Рис. 23.
= 2z , p × q > 0 –
z
O
x
= 2z , p × q < 0 –
z
x
эллиптический параболоид
( p > 0, q > 0)
y
гиперболический параболоид
(p > 0, q < 0)
y
f) |
x2 |
+ |
y 2 |
= |
z 2 |
– конус второго порядка |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
y
x
Рис. 24.
25
Задание 3
Определить виды поверхностей и изобразить их.
3.01.
1.3x2 + 4 y 2 − z 2 = 12
2.z 2 − 2x + 4 = 0
3.x2 + 2x + y 2 = 0
3.02.
1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6
2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0
3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0
3.03.
1.2x2 + 4 y 2 + z = 1
2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0
3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0
3.04.
1.2x2 − 4 y2 + z 2 = 4
2.3y 2 + 6 y + z − 1 = 0
3.x2 + y 2 = 2 y
3.05.
1.3x2 + 4z 2 + y = 3
2.x2 + 3y 2 − z 2 = −6
3.2 y 2 + y − z + 4 = 0
3.06.
1.3x2 + 4z − 5 = 0
2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0
3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0
3.07.
1.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1
2.y 2 + 2 y + z 2 = 1
3.z + 4 − x2 + x = 0
3.08.
1.2 y + 1 + x2 = 2x
2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4
3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1
3.09.
1.3x − 1 + y 2 = − y
2.2x2 − 3y 2 = 16
3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0
3.10.
1.2z + 4 + x2 = 2x
2.x2 + 2 y2 = 1
3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4
3.11.
1.2z − 3 − x2 + 4x = 0
2.x2 − 2 y 2 = 2x
3.3x2 − y 2 − z 2 = 6
3.12.
1.2 y + 3 + z 2 − 2z = 0
2.3y2 + 4z 2 = x − 4
3.z 2 + z + y 2 − 2 y = 1
3.13.
1.2x2 + 6 y 2 = 3z
2.x2 − 2x − 2 y2 + 4 y = 0
3.3x2 + 2 y 2 − z 2 = 1
3.14.
1.3x2 − y 2 + 6z 2 = 12
2.x2 − 2x + 2 y 2 = 0
3.3x + 2 + y 2 + 2 y = 0
26
3.15.
1.z = 3 y + 1
2.3x2 + y 2 − 3z 2 = −6
3.y 2 + 2 y + z 2 = 1
3.16.
1.y = −3x + 1
2.x2 + 2 y 2 + z 2 = 8
3.z 2 − 2 y2 + 4 = 0
3.17.
1.y2 + 2 y + z 2 = x − 4
2.3x2 + 4z 2 = 1
3.2x + 1 + y 2 = 0
3.18.
1.3y + 4 − z 2 = 0
2.x2 + 2x − z 2 = 1
3.2x2 − y 2 − z 2 = 4
3.19.
1.− x2 + 2x + z = 1
2.x2 − 2 y 2 + z 2 = −4
3.3y 2 + 4z 2 = 1
3.20.
1.2x2 + 4 y 2 = 8z
2.x2 − 3z 2 = 6
3.y + z 2 − 2z = 0
3.21.
1.2x2 + 4 y2 + z 2 = 8
2.x2 − 2x + y2 − 1 = 0
3.y = 2 z − 3
3.22.
1.y 2 + 2x2 = 4z
2.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 3
3.z = 2 y +1
3.23.
1.3z + y2 = x − 3
2.y = − x + 4
3.x2 − 3y2 − z2 = 0
3.24.
1.x = 1 − y + 2
2.x2 − 2x − y2 + z2 = 1
3.2x2 + z2 = 4
3.25.
1.x2 + 2x + z2 = y − 4
2.3y2 + 4z2 = 1
3.2 y +1 + x2 = 0
3.26.
1.3x − 4 − z2 = 0
2.y2 + 2 y − z2 = 1
3.2z2 − y2 − x2 = 4
3.27.
1.− y + x2 − 2x = 1
2.z2 − 2 y2 + 2x2 = −1
3.3z2 + 4 y2 = 1
3.28.
1.2x + 4 + z2 = 2z
2.2 y2 + 3z2 = x
3.3y2 + z2 = 1
3.29.
1.z = − 3 x − 1
2.x2 + 4 y2 + 2z2 = 16
3.x2 − 2 y2 + 4 = 0
3.30.
1.x2 − 3y2 − 6z2 = 24
2.2 y + 1 + x2 = 1
3.x2 + 4z2 = 12
27
Задание 4
Построить тело, ограниченное поверхностями:
4.01. z = x2 |
+ y 2 , x = 4, |
y = 2, |
x = 0, y = 0, z = 0 |
||||||||||||||
4.02. y = |
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
x + z = 6, z = 0 |
|||||||
|
x, |
|
x , |
||||||||||||||
4.03. x2 + y2 |
= 4 y, |
z = 4 - x2 , |
z = 0 |
||||||||||||||
4.04. y = 0, |
|
|
z = 0, z = 3x, y = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
9 - x2 |
||||||||||||||
4.05. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 3, z = x2 + |
y2 |
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
4.06. y = 3 |
|
|
|
, y = 0, z = 0, x + 2z = 4 |
|||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||
4.07. z = |
|
, z = 0, |
y = 0, |
2x + y =1 |
|||||||||||||
1 - y |
|||||||||||||||||
4.08. x = y 2 , |
|
z = 0, |
3x + z = 3 |
|
|
|
|
|
4.09.y = 2x2 , z = 0, y + z = 4
4.10.x2 + y 2 + 4 y = 0, z = 4 - x2 , z = 0
4.11. |
y = − |
x |
, |
y = 0, |
z = 0, |
x − 2 y + z = 4 |
4.12. |
z = 9 - x2 , |
y = 0, |
z = 0, |
x + 3y = 3 |
4.13.x = 9 − z , x = 0, y = 0, z = 0, 2x − y = 6
4.14.3x + 2 y = 4, z = 4 - y 2 , x = 0, z = 0
4.15. y = 1 − z , x = 0, y = 0, z = 0, x + 4 y = 4
4.16.z = 4 - y 2 , x = 0, x = 4, z = 0
4.17.y = 3 z , x = 0, y = 0, z = 0, x + y − 3 = 0
4.18.z = 2 y 2 , x = 0, y = 0, z = 0, x + y -1, y ³ 0
4.19.y = −2 x, y = 0, z = 0, x + z = 2
4.20. y = -x2 , |
z = 0, |
y - z +1 = 0 |
|
|
|
|
|||||
4.21. x = y 2 , |
z = 0, 2x + z = 6 |
|
|
|
|
||||||
4.22. y = - |
|
|
y = 0, |
z = 0, |
x |
- |
y |
+ |
z |
= 1 |
|
x, |
|||||||||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
4.23.z = 4 - x2 , y = 0, z = 0, 2x + y = 4
4.24.x = 4 − z , x = 0, 2x − y = 4, z = 0, y = 0
4.25.z = 9 - y 2 , x = 0, z = 0, 3x + 2 y = 6
4.26. z = 4 - y 2 , x = 0, y = 0, |
z = 0, |
3x + 4 y = 12 |
||||
4.27. |
2 y = |
|
, |
x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y − 12 = 0 |
||
z |
||||||
4.28. |
z = 2 y 2 , |
2x + 3y -12 = 0, |
x = 0, |
y = 0, z = 0 |
4.29.z = 6 - y 2 , x = 0, x = 3, z = 0
4.30.y = x, y = 0, z = 0, x + z = 3
28
Литература
1.Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.
В. Беклемишев – М.: Наука, 1980г. – 335 с.
2.Ильин, В. А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э. Г. Позняк – М.:
Наука, 1988 – 223 с.
3.Данко П. Е., Высшая математика 1. Упражнения и задачи / П. Е. Данко, А.
Г. Попов, Т. Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1986 –304 с.
4.Селиванова Н.Х., Кривые и поверхности второго порядка / Н. Х.
Селиванова – Н. Новгород: ННГАСУ, 2010 – 42 с.
29