5107
.pdfпозволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели. Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.
Пример. Найти
Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл ∫ ex dx ,
сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x
зависимостью: 2x + 3 = t , x = |
1 |
(t - 3). |
Дифференцируя это равенство, |
||
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
получим: (2x + 3)′ dx = (t )′ dt , 2dx = dt , |
откуда dx = |
1 |
dt . Подставив |
||
|
|||||
|
|
|
2 |
|
результат в данный интеграл, имеем:
|
|
|
|
|
2 x+3 |
dx = ∫ e |
t |
× |
1 |
|
= |
1 |
|
|
t |
dt = |
1 |
|
t |
+ C. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∫ e |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
∫ e |
|
e |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Возвращаясь к переменной x , находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e |
2 x+3 |
dx = |
1 |
e |
2 x+3 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для надежности проверяем результат дифференцированием: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 x+3 |
′ |
|
1 |
|
2 x+3 |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
1 |
|
2 x+3 |
|
|
|
|
|
2 x+3 |
|
|
|||||
|
|
e |
|
+ C |
= |
|
|
e |
|
|
(2x + 3) |
= |
|
|
e |
|
× 2 |
= e |
|
– |
верно. |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пусть u и v – |
две любые дифференцируемые функции от x , то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||
u = u(x) |
и v = v(x). |
Тогда дифференциал произведения u × v вычисляется |
по следующей формуле:
d (uv) = udv + vdu .
Отсюда, интегрируя обе части последнего равенства, находим:
∫ d (uv) = ∫ (udv + vdu),
или
41
u × v = ∫ udv + ∫ vdu ,
откуда |
|
∫ udv = u × v - ∫ vdu . |
(4) |
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Она сводит нахождение интеграла
∫ udv к нахождению интеграла ∫ vdu , и если функции u и v удается подобрать так, чтобы последний интеграл брался проще, чем исходный, то цель будет достигнута.
Пример. Найти ∫ xex dx .
Решение. Пусть u = x , dv = ex dx , тогда du = (x)′ dx = 1× dx = dx ,
v= ∫ ex dx = ex . По формуле (4) находим:
∫xex dx = xex - ∫ ex dx = xex - ex + C ,
∫ xex dx = (x -1)ex + C .
Пример. Найти ∫ x2 ln xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
Пусть |
|
|
u = ln x , |
|
dv = x2 dx , тогда |
du = (ln x)′ dx , |
||||||||||||||||||
v = ∫ x2 dx = |
x3 |
|
. По формуле (4) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x3 |
|
|
x |
3 |
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
x3 |
|
||
∫ x2 ln xdx = |
ln x - ∫ |
|
|
× |
dx = |
ln x - |
|
∫ x2dx = |
ln x - |
× |
+ C , |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
3 |
3 |
3 3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫ x |
|
ln xdx = ln x - |
|
× |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
§ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Важным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа.
1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Кпонятию определенного интеграла приводят задачи вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел, вычисление работы, массы неоднородных стержней, центров тяжести плоских фигур и дуг и т.д. Рассмотрим некоторые из них.
2. Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией назовем плоскую геометрическую |
|
фигуру, ограниченную двумя прямыми |
x = a и x = b (a < b), отрезком |
[a, b] оси OX и графиком некоторой |
непрерывной функции y = f (x), |
x [a, b] ( f (x) > 0). |
|
y |
y = f (x) |
x0 = a P1 x1 P2 x2 |
x n −1 |
Pn x n = b x |
|
Рис. 20 |
|
Найдем площадь S этой фигуры. Для этого:
1) разобьем отрезок [a, b] произвольно расположенными, но следующими друг за другом точками x0 = a , x1 , x2 ,..., xn = b ;
43
2) |
|
в |
каждом |
из |
|
полученных |
отрезков |
длины |
|||||||||||
xi = xi |
− xi−1 (i = |
|
= 1, 2,K, n) |
|
|
|
|
||||||||||||
1, n |
выберем |
|
произвольную |
точку |
|||||||||||||||
Pi (xi−1 £ Pi £ xi ) |
и вычислим значение |
функции в |
этих |
точках f (Pi ) |
|||||||||||||||
(i = |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
рассмотрим |
прямоугольники |
с |
основаниями Dxi |
и |
высотами |
|||||||||||||
f (Pi ) |
(i = 1, 2,..., n) |
и найдем их площади |
f (Pi )× Dxi |
(i = 1, 2,..., n). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Сложив эти числа, получим сумму S |
= ∑ f (Pi ) xi . Значение полученной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
суммы |
~ |
приближенно |
равно |
площади |
S |
криволинейной |
трапеции |
||||||||||||
S |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i = 1, 2,..., n), тем лучше будет |
|||||||
S ≈ ∑ f (Pi ) xi (чем мельче отрезки Dxi |
|||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это приближение); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
введем |
обозначение: λ = max {Dxi }. |
Для |
получения |
точного |
||||||||||||||
выражения площади S криволинейной трапеции надо перейти к пределу в |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
λ → 0 |
и n → ∞ |
, т.е. |
|
|
|
|
|
||||
полученной сумме S при |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(Pi ) xi . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = lim ∑ f |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Масса линейного неоднородного стержня |
|
|
|
||||||||||||
|
Рассмотрим стержень постоянного |
сечения длины b − a |
(отрезок |
||||||||||||||||
[a, b]). Если стержень однородный, т.е. плотность в каждой |
точке |
x |
|||||||||||||||||
которого постоянна и равна γ , то масса стержня |
M вычисляется |
по |
|||||||||||||||||
формуле M = γ ×(b - a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
стержень неоднородный |
и |
в |
каждой |
точке x |
известна |
||||||||||||
плотность f (x). |
Найдем массу |
M |
этого неоднородного стержня. Для |
||||||||||||||||
этого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
1) |
разобьем |
отрезок |
[a, b] |
на |
n |
отрезков точками |
||||||||
a = x0 < x1 < ... < xn = b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi = xi − xi−1 (i = |
|
) выберем |
|||||||
|
2) в каждом из полученных отрезков |
1, n |
||||||||||||
|
|
|
|
Î Dxi , |
i = |
|
|
|
вычислим плотность f (Pi ) |
|||||
произвольную точку |
Pi |
1, n |
и |
|||||||||||
(i = |
|
) |
|
|
что на каждом отрезке Dxi |
|||||||||
1, n |
в каждой точке |
Pi . Будем считать, |
||||||||||||
(i = 1, 2,K, n) плотность постоянна и равна |
f (Pi ). |
Тогда масса участка |
||||||||||||
Dxi приближенно равна f (Pi )× Dxi ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
) xi . Она приближенно равна массе M |
||||||||
|
3) составим сумму ∑ f (Pi |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неоднородного стержня; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4) для получения точного выражения массы M стержня перейдем к |
|||||||||||||
пределу при λ → 0, λ = max{ xi } и n → ∞ : |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
M = lim∑ f (Pi |
xi . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
λ →0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ i=1 |
|
|
|
|
|
|
4. Работа переменной силы на прямолинейном участке пути
Допустим, что некоторая сила f = f (x), направленная вдоль оси
OX , на отрезке [a, b] совершает работу (см. рис. 21). Если f = const , то работа A вычисляется по формуле A = f ×(b - a).
Определим работу A переменной силы f (x) на отрезке [a, b]:
f (x)
x
a |
x |
b |
Рис. 21
45
Для этого: разобьем отрезок [a, b] с помощью произвольно
расположенных, следующих друг за |
другом |
точек x0 |
= a , x1 , |
x2 , ..., |
|||||||||
xn = b . Это |
разбиение |
производим |
достаточно мелко, так, чтобы на |
||||||||||
|
xi = xi − xi−1 |
(i = |
|
) |
|
f (x) |
|
||||||
интервалах |
1, n |
величина |
практически не |
||||||||||
изменялась. |
Пусть |
она |
равняется |
f (Pi ), |
Pi Î Dxi , Dxi |
= xi - xi−1 |
|||||||
i = 1, 2,K, n |
( Pi – |
произвольно выбранные точки). Величина работы |
|||||||||||
силы f (Pi |
) на участке Dxi |
вычисляется по формуле: DAi |
= f (Pi |
)× Dxi . |
|||||||||
Определение. Предел n -ой интегральной суммы для функции |
|||||||||||||
y = f (x) |
на |
отрезке |
[a, b] при |
λ → 0 |
(λ = max{Dxi }) |
и |
n → ∞ |
называется определенным интегралом от функции y = f (x) в пределах
от a до b (обозначение ∫b |
f (x)dx ), т.е.: |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
f (P ) |
|
|
= |
b |
f (x)dx , |
|
lim |
x |
|
∫ |
||||
|
λ →0 ∑ |
i |
|
i |
|
|
||
|
n→∞ i=1 |
|
|
|
|
a |
|
|
где a – |
нижний предел интегрирования, |
|
|
|||||
b – |
верхний предел интегрирования, |
|
|
f (x)dx – подынтегральное выражение,
f (x) – подынтегральная функция.
Одним из геометрических смыслов определенного интеграла
является то, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции.
Физический смысл определенного интеграла. Здесь его возможности очень широки. В частности, можно определить массу стержня, работу силы на заданном отрезке пути и т.д.
46
5. Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла вытекают из основных свойств сумм и пределов:
1. Постоянный сомножитель можно вынести за знак определенного интеграла:
|
b |
b |
(x)dx , k = const . |
|
|
∫ k f (x)dx = k ∫ f |
|||
|
a |
a |
|
|
2. |
Определенный |
интеграл |
от |
алгебраической суммы двух |
функций |
f1 (x) и f2 (x), интегрируемых на [a, b], равен алгебраической |
|||
сумме определенных интегралов от этих функций, т.е. |
||||
|
b |
|
b |
b |
|
∫ [ f1 (x) ± f2 (x)]dx |
= ∫ f1 |
(x)dx ± ∫ f2 (x)dx . |
|
|
a |
|
a |
a |
Данное свойство распространяется и на сумму любого конечного числа интегрируемых функций.
3.Если отрезок интегрирования [a, b] разбит точкой c на два
отрезка [a, c] и [c, b], то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям:
|
∫b |
f (x)dx =∫c |
f (x)dx +∫b |
f (x)dx . |
|
a |
a |
c |
|
Точка c может находиться и вне отрезка [a, b]. |
||||
4. |
Интеграл с равными пределами интегрирования (a = b) равен |
|||
нулю, т.е. |
|
|
|
|
|
|
∫a |
f (x)dx = 0 . |
|
|
|
a |
|
|
5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:
∫b |
f (x)dx = −∫a |
f (x)dx . |
a |
b |
|
47
6.Теорема о среднем значении:
Если y = f (x) непрерывна на [a, b], то существует такая точка
c [a, b], что справедливо следующее равенство:
∫b |
f (x)dx = f (c)× (b - a). |
a |
|
Нетрудно понять геометрический смысл этого равенства: интеграл, стоящий слева есть площадь криволинейной трапеции. Произведение, стоящее в правой части равенства, - площадь равновеликого ей прямоугольника с высотой f (c) и основанием (b − a) (см. рис. 22).
y
y = f (x)
f (c)
a |
|
c |
b |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 22 |
|
Число f (c) = |
|
1 |
∫h |
f (x)dx называется |
средним значением |
|
|
||||
|
b - a a |
|
|
функции f (x) на отрезке [a, b].
7. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела:
x |
|
¢ |
= f (x). |
∫ |
f (t )dt |
|
|
a |
x |
|
|
48
6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Теорема. Если F (x) – |
одна из первообразных непрерывной на |
||||
отрезке [a, b]функции f (x), то |
справедлива следующая |
формула |
|||
Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = |
F (x) |
|
b |
= F (b) − F (a). |
(4.1) |
|
|||||
|
a |
||||
|
|
|
a
Доказательство. Доказательство проведем, используя свойство 7. обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом
∫x |
f (t )dt через функцию F (x), |
т.е. |
F (x) = ∫x |
f (t )dt . Тогда в силу |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
′ |
x |
′ |
= f (x). Следовательно, |
|
свойства 7 можно записать (F (x)) |
= ∫ f (t )dt |
||||
|
|
a |
x |
|
|
F (x) является одной из первообразных для интеграла ∫x |
f (t )dt . Так как, |
||||
|
|
|
|
a |
|
все первообразные отличаются на постоянную, то имеет место равенство
∫x |
f (t )dt = F (x) + C , a £ x ³ b , где C – некоторое число. Подставляя в |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это равенство |
значение |
x = a , |
имеем |
∫a |
f (t )dt = F (a)+ C |
|
|||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 = F (a) + C |
C = −F (a), т.е. |
для |
любого x [a, b] |
имеем |
|||||
∫x |
f (t )dt = F (x)− F (a). |
Полагая |
x = b , |
получаем соотношение |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx = F (b)− F (a). |
|
|
|
F (b)− F (a) = F (x) |
|
b |
||
∫ |
|
|
|
|
|||||
Обозначим |
разность |
|
a . |
||||||
|
|
|
|
|
|
a
49
Тогда формулу |
Ньютона-Лейбница можно записать в виде |
||
b |
|
|
|
∫ f (x)dx = F (x) |
|
b |
= F (b) − F (a). Теорема доказана. |
|
|||
|
a |
||
|
|
a
Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что вычислении определенного интеграла надо найти первообразную
для подынтегральной функции f (x) и вычислить разность F (b) − F (a).
Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.
2
Пример. Вычислить ∫ x2 dx .
1
|
Решение. |
|
Взяв |
неопределенный интеграл ∫ x2 dx = |
x3 |
+ C и |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
воспользовавшись формулой (4.1), решаем: |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|
8 |
|
1 |
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ x2 dx = |
|
|
|
= |
|
− |
1 |
= |
− |
= |
= 2 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
3 |
|
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2 1 .
3
7. Вычисление определенного интеграла заменой переменной
Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной. Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а определенный интеграл есть число.
Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем
50