5153
.pdfГрадиентом grad z функции |
z = f ( x, y) в точкеM 0 (x0 , y0 ) |
|||
|
|
|
||
называется вектор с координатами { f / |
|
, f / |
}. |
|
x |
|
M 0 |
y |
M 0 |
|
|
|
9.Свойства градиента
1.Производная функции z = f (x, y) по направлению l равна
скалярному произведению градиента grad z и единичного вектора e = {cosα , cos β}, задающего направление l :
∂
¶l = grad z × e .
2.Модуль градиента grad z функции z = f (x, y) в данной точке –z
это «скорость» изменения функции в направлении вектора e наибольшего возрастания функции в данной точке, причем
|
∂ |
z |
|
=| grad z |= |
( f / )2 |
+ ( f / )2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|||||||
|
∂ e |
x |
y |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z = f (x, y) |
|||
в точке М0 (х0 , у0 ) |
отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен |
линии уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти градиент функции z =3x4 - xy + y3 в точке М(1,2).
Решение. Находим
f x/ = 12x3 − y , f x/ (x0 , y0 ) = f x/ (1,2) = 12 ×13 - 2 = 10 ,
f y/ = -x + 3 y 2 , f y/ (x0 , y0 ) = f y/ (1,2) = -1+ 3× 22 =11.
Следовательно, grad z(1,2) = {10, 11}.
20
§2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных
Если частные производные f x/ и f y/ функции z = f (x, y) сами
являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть
f |
// |
= ( f |
/ )/ |
, |
f |
// |
= ( f |
/ )/ |
, |
f |
// |
= ( f |
/ )/ |
, |
f |
// |
= ( f |
/ )/ . |
|
xx |
|
x x |
|
|
xy |
|
x y |
|
|
yx |
|
y x |
|
|
yy |
|
y y |
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если частные производные второго порядка функции
z = f (x, y) |
непрерывны |
в точке М0 (х0 , у0 ) , то |
в этой |
точке |
|
смешанные |
частные |
производные |
равны, |
то |
есть |
f xy// (x0 , y0 ) = f yx// (x0 , y0 ) .
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
z = 3x4 − xy + y3 .
Решение. Так как |
fx/ = 12x3 − y , |
f y/ = − x + 3 y2 , |
то |
|
|
f // = (12 x3 |
− y )/ |
= 36 x 2 , |
f // = (12x3 − y)/ |
= −1, |
|
xx |
x |
|
xy |
y |
|
f // = (− x + 3y2 )/ |
= −1, |
f // = (− x + 3y2 )/ |
= 6 y . |
||
yx |
x |
|
yy |
y |
|
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности
точки (х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума (минимума)
21
функции z = f (x, y) , если существует такая δ - окрестность точки
(х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) , выполнятся неравенство f (x, y) < f (x0 , y0 ) ( f (x, y) > f (x0 , y0 ) ).
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На |
рисунке 9: |
N1 – точка |
максимума, а |
N 2 – точка минимума |
|||||||||||||
функции |
|
z = f (x, y) . Максимум и минимум |
функции |
называются |
ее |
|||||||||||||
экстремумами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0 , у0 ) |
|||||||||||||||||
дифференцируемая |
функция |
z = f (x, y) имеет |
экстремум, то |
ее |
||||||||||||||
частные |
|
производные в этой |
точке |
равны |
нулю: |
|
f x/ (х0 , у0 ) = 0 , |
|||||||||||
f / (х |
0 |
, у |
0 |
) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Геометрически равенства |
f / (x |
0 |
, y |
0 |
) = 0 и |
f / |
(x |
0 |
, y |
0 |
) = 0 означают, |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,
изображающей функцию z = f (x, y) , параллельна плоскости Оху, так
как уравнение касательной плоскости есть z = z0 .
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы
одна из |
частных производных не существует. |
Например, функция |
|
z = 1 − |
|
имеет максимум в точке х = 0 , |
у = 0 (см. рис. 10), но |
х2 + у2 |
|||
не имеет в этой точке частных производных. |
|
22
Рис. 10
Точки, в которой частные производные первого порядка функции
z = f (x, y) |
равны нулю, то есть f / |
= 0 и |
f / |
= 0 , и точки, в которых |
|
x |
|
y |
|
хотя бы одна частная производная не существует, называются
критическими точками.
В критических точках функция z = f (x, y) может иметь экстремум,
а может и не иметь. Условия f / |
= 0 и |
f / |
= 0 являются необходимыми, |
x |
|
y |
|
но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например,
для функции z = x 2 − y 2 точка (0,0) является критической (в ней zx/ = 2x
и z y/ = −2 y обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 11).
Рис. 11
23
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой
окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z = f (x, y) имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно
причем |
f // (x |
, y |
) = A , |
f |
// (x |
0 |
, y |
) = B , |
f // (x |
, y |
) = C . |
||||
|
xx 0 |
0 |
|
|
xy |
0 |
|
|
|
yy 0 |
0 |
|
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D(x0 , y0 ) = |
|
A B |
|
= AC - B 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
|
Тогда:
1)если (x0 , y0 ) > 0 , то функция z = f (x, y) в точке (х0 , у0 )
имеет экстремум: максимум, если A < 0 , и минимум, если A > 0 ;
2)если (x0 , y0 ) < 0 , то функция z = f (x, y) в точке (х0 , у0 )
экстремума не имеет;
3)если (x0 , y0 ) = 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может
быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример. Найти точки экстремума функции z = 3x 2 y − x3 |
− y 4 . |
||||
Решение. 1) |
Найдем |
частные |
производные |
первого |
порядка: |
fx/ = 6xy − 3х2 , |
f y/ = 3x2 |
− 4 y3 . |
Точки, в |
которых |
частные |
производные не определены отсутствуют.
2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
6ху − 3х2 |
= 0, |
|
3х2 |
− 4 у3 |
= 0. |
|
|
|
Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М2 (0,0) .
3) Находим частные производные второго порядка данной функции:
f x//х
= 6 y − 6х , |
f // = 6х, |
f // = −12 y 2 . |
|
xy |
yy |
4) В точке М1 (6,3) имеем: A = 6 ×3 - 6 ×6 = -18, |
B = 6 × 6 = 36, |
C = -12 × 32 = -108 , отсюда D(6,3) = -18×(-108) - 362 |
= 648 > 0, то |
24
есть М1 (6,3) |
– точка экстремума. |
Так как |
A = −18 < 0 , |
то |
М1 (6,3) – |
||||||||||||
точка максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
точке |
М2 (0,0) : |
A = 0 , |
B = 0 , |
C = 0, |
отсюда |
(0,0) = 0 . |
||||||||||
Проведем |
дополнительное |
исследование. |
Значение |
|
функции |
||||||||||||
z = 3x 2 y − x3 |
− y 4 |
в точке М2 (0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из |
|||||||||||||||
окрестности |
|
точки |
М2 (0,0) |
|
такие, |
что |
х = 0 , |
тогда |
|||||||||
z(х = 0, у) = − y 4 |
< 0 , |
а |
теперь |
рассмотрим |
точки |
из |
той |
же |
|||||||||
окрестности, но с условием |
у = 0 , |
х < 0 : |
z(х < 0, у = 0) = − x3 |
> 0 . |
|||||||||||||
Таким |
образом, |
в |
любой |
окрестности |
точки |
|
М2 (0,0) |
функция |
|||||||||
z = 3x 2 y − x3 |
− y 4 |
принимает как отрицательные, так и положительные |
значения. Следовательно, в точке М2 (0,0) функция экстремума не имеет.
z
y
z = −x3
x
z = −y4
Рис. 12
25
2.Наибольшее и наименьшее значение функции
взамкнутой области
Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной области D . Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = f (x, y) :
1)Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;
2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y)
на границах области; 3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Пример. |
Найти наибольшее |
и |
наименьшее |
значение функции |
|||
z = x 2 y + ху2 |
+ ху в замкнутой области, ограниченной линиями: x = 1, |
||||||
x = 2 , у = −1,5, у = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
х |
|
|
|
|
|
Решение. Здесь z / |
= 2xy + y2 |
+ y , |
z/ = 2xy + x2 |
+ x. |
|||
|
|
|
х |
|
|
y |
|
1)Находим все критические точки:
2xy + y 2 |
+ y = 0, |
y(2x + y + 1) = 0, |
||
|
+ x = 0, |
|
+ 2 y + 1) |
= 0. |
2xy + x 2 |
x(x |
Решением системы являются точки (0,0) , (−1,0) , (0,−1) , (− 1 ,− 1). Ни
3 3
одна из найденных точек не принадлежит области D .
26
Рис. 13
2)Исследуем функцию z = x 2 y + ху2 + ху на границе области,
состоящей из участков АВ , ВС, СЕ и ЕА (см. рис. 13).
а)
z
3
В плоскости x = 1
A |
0 |
|
B |
− 3 |
-1 |
1 |
y |
2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
-1 |
|
Рис.14
27
Участок AB – отрезок вертикальной прямой x = 1 при - |
3 |
£ y £1 |
|
||
2 |
|
(см. рис. 13). При x = 1 функция z(y) = y 2 + 2 y является функцией одного
переменного |
|
y . |
|
Находим |
|
производную |
|
z¢ = (y 2 |
+ 2 y)′ = 2 y + 2 . |
|||||||||||||||||
Приравнивая |
ее к |
|
нулю 2 y + 2 = 0 , |
находим |
стационарную |
точку |
||||||||||||||||||||
y = -1Î - |
3 |
|
;1 |
. Значение функции |
z(y) = y 2 |
+ 2 y |
при |
y = −1 |
равно: |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z(-1) = (-1)2 |
+ 2 × (-1) =1 - 2 = -1, |
а значение функции |
z(y) на концах |
|||||||||||||||||||||||
отрезка - |
3 |
;1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
3 |
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
- |
|
|
|
= |
- |
|
|
+ |
2 × - |
|
= |
|
|
- 3 |
= - |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
z(1) =12 + 2 ×1 =1 + 2 = 3 .
Следовательно, наименьшее значение функции z на отрезке AB
равно − 1, а наибольшее |
3 , то есть zнаим. = −1, zнаиб. = 3 . (см. рис. 14). |
б) |
|
z |
(2;0,5;3,5) |
|
(1;1;3) |
y
1 |
1 |
B |
|
|
|
2 |
|
C |
0 |
1 |
2 |
Рис. 15
x
Участок BC – дуга гиперболы y = |
1 |
при 1 ≤ x ≤ 2 (см. рис. 13). При |
|
x |
|||
|
|
28
y = |
1 |
|
функция z(x) = x + |
1 |
+ 1 является функцией одного переменного x . |
|||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
Находим производную |
= |
x |
+ |
|
+ 1 |
= 1 − |
|
. Приравнивая ее к нулю |
||||||||||||||
x |
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 − |
1 |
|
= 0 , находим x |
= −1, |
|
x |
|
= 1, из которых только одна точка |
x |
|
= 1 |
|||||||||||
x2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
принадлежит отрезку [1;2] |
(см. рис. 15). Значение функции z(x) = x + |
1 |
+ 1 |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
при x = 1 равно: z(1) = 1 + |
1 |
+ 1 = 3, |
а |
значение z(x) на правом |
конце |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезка [1;2] равно z(2) = 2 + |
1 |
+ 1 = 3,5 . |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
Следовательно, наименьшее значение функции z на участке BC |
||||
равно 3 , а наибольшее 3,5 , |
то есть zнаим. = 3, zнаиб. = 3,5 . |
|||
в) |
|
|
z |
В плоскости |
|
|
|
|
3,5 |
x = 2 |
|
E |
0 |
C |
− 3 |
1 |
y |
2 |
2 |
|
− 4,5
Рис. 16
29