5523
.pdf
|
f (x) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→x0 |
|
|
x→x0 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Вычислить предел lim |
|
x2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2x2 |
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
-1)′ |
|
||||||||||
|
Решение. lim |
|
|
x2 -1 |
= |
|
|
¥2 |
-1 |
|
|
= |
|
¥ |
= lim |
= |
||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
× ¥ |
|
+ 3 × ¥ |
|
|
¥ |
(2x2 |
+ 3x)¢ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
2 |
+ 3x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 ′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2x - 0 |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= lim |
|
|
) - |
(1) |
|
= lim |
= |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2x2 )¢ + (3x)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x |
→∞ |
4x + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= lim |
|
|
(2x)′ |
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(4x + 3)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ 4 |
+ 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование функций и построение их графиков
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.
Рекомендуемая схема исследования функции:
1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.
2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.
3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.
4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.
5.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
6.Найти точки пересечения графика с осями координат.
7.На основании результатов исследования построить эскиз графика.
Симметрия функции
Функция y = f (x)называется четной, если f (− x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Oy .
Пример. Функция y = x4 является четной, так как,
y(- x) = (- x)4 = x4 = y(x), следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy . (См. рис. 57)
60
y
y = x4
|
1 |
|
-1 0 |
1 |
x |
|
Рис.57 |
|
Функция y = f (x) называется |
нечетной, |
если f (− x) = − f (x). График |
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример. |
Функция |
y = x3 |
является |
нечетной, |
так |
как |
|
y(− x) = (− x)3 |
= −x3 = − y(x), следовательно, график этой функции симметричен |
||||||
относительно начала координат. (См. рис. 58) |
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
Рис.58
Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать только при x ³ 0 , а при x < 0 достроить по симметрии, то есть симметрично относительно оси Oy (начала координат).
Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число T , что f (x + T ) = f (x). Наименьшее из таких чисел T
называется периодом функции. График периодической функции достаточно построить на отрезке оси Ox длины периода T , а затем продолжить, сдвигая на k ×T , где k = ±1, ± 2,K по оси Ox .
Пример. Функция |
y = |
1 |
|
|
периодическая |
с периодом |
T = π , |
так как |
|||
sin2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
y(x + T ) = |
|
= |
|
= |
|
= y(x). |
График |
этой |
функции |
||
sin2 (x + T ) |
(− sin x)2 |
sin2 x |
изображен на рис. 59.
61
y
− 2π − |
3π |
|
− π |
− π |
0 |
π |
|
|
3π |
2π x |
π |
||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты графика функции |
||||||
Прямую L |
называют |
асимптотой |
графика |
функции y = f (x), если |
расстояние до точки M (x; y) кривой y = f (x) от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Прямая |
x = a является вертикальной асимптотой кривой |
y = f (x), |
если |
lim f (x) = ∞ . |
|
|
|
x→a |
y = b является горизонтальной асимптотой кривой |
y = f (x), |
|
Прямая |
если |
lim f (x) = b .
x→∞
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f (x), если существуют пределы:
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
f (x) |
|
|
и |
|
b = lim( f (x) − kx). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
||||||
|
Пример. Найти асимптоты кривой y = |
|
x2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
||
|
Решение. Данная функция определена в интервалах (− ∞;1) и (1;+∞). |
||||||||||||||||||||||||||
|
Так |
как |
lim |
x2 |
|
= |
12 |
|
= |
1 |
= ∞ , |
то |
прямая x = 1 |
есть |
вертикальная |
||||||||||||
x −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
1−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
асимптота данной кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Горизонтальных |
|
|
асимптот |
|
кривая |
не имеет, |
так |
как предел |
||||||||||||||||||
|
x2 |
∞ |
|
|
|
(x |
2 )′ |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= ∞ не является конечной величиной. |
|||||||||||
|
|
(x −1)′ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ x −1 |
|
∞ |
x→∞ |
|
|
|
x→∞ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :
62
k = lim |
f (x) |
= lim |
x2 |
= lim |
x |
|
= |
¥ |
= lim |
(x)′ |
= lim |
1 |
|
=1; |
||
x |
(x -1)x |
x -1 |
|
|
(x -1)¢ |
|
||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
x→∞ |
¥ |
x→∞ |
x→∞ |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
b = lim( f (x) - kx) = lim |
|
|
-1× x |
= lim |
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|||
|
|
|
-1 |
|
|
|
||||||||
x→∞ |
x→∞ x |
-1 |
|
x→∞ x |
|
|
|
|
||||||
Таким образом, существует наклонная асимптота y = x + 1. |
|
|
|
|||||||||||
|
Участки возрастания и убывания функции. |
|
|
|||||||||||
|
Точки минимума и максимума |
|
|
|
||||||||||
Функция y = f (x) |
называется возрастающей (убывающей) |
на |
интервале |
|||||||||||
(a;b), если |
для любых |
точек x1 , |
x2 (a;b) |
таких, что |
x1 < x2 , |
имеет место |
||||||||
неравенство: |
f (x1 ) < f (x2 ) ( f (x1 ) > f (x2 )). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дифференцируемая |
на |
интервале |
(a;b) |
функция |
y = f (x) |
возрастает |
||||||||
(убывает) на интервале (a;b), тогда и только тогда, когда для любого |
x (a;b): |
|||||||||||||
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) > 0 ( f |
(x) < 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x), |
Точка |
x0 называется точкой максимума (минимума) функции |
|||||||||||||
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) функция y = f (x) определена в некоторой ε - окрестности точки x0 ; |
||||||||||||||
2) для любого x из |
ε - |
окрестности точки x0 справедливо |
неравенство: |
|||||||||||
f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 )) (См. рис. 60 и 61). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
x0 −ε x |
x0 0 |
x0 +ε |
x |
|
т. max |
|
|
63
y
f (x)
f (x0 )
x0 −ε 0 |
x0 x x0 +ε |
x |
|
т. min |
|
Рис. 61
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
функции.
Необходимое условие экстремума: если |
x0 – точка экстремума функции |
||||
y = f (x), то в этой точке либо f |
′ |
|
|
|
|
(x0 ) = 0 , либо производная не существует. |
|||||
Достаточные |
условия |
экстремума: |
пусть |
функция |
y = f (x) |
дифференцируема и непрерывна в ε – окрестности критической точки x0 кроме, быть может, самой точки x0 , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку x0 , то x0 – точка максимума
(минимума) функции y = f (x).
Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции
y =
ось
x2
x −1.
Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая
R , кроме точки x = 1, то есть Находим первую производную:
|
x |
2 |
|
′ |
|
(x |
2 |
′ |
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
) × (x -1) - x |
|
× (x -1) |
|||||||
y¢ = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
2x × (x -1)- x2 ×1 |
= |
2x2 - 2x - x2 |
= |
||||||||||
|
(x -1)2 |
|||||||||||||
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
|
=
x2 - 2x
(x -1)2 .
Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:
y′ = 0 Û x2 |
- 2x = 0 или |
x(x − 2) = 0 , откуда x1 = 0 или x2 = 2. |
y′ не существует Û (x -1)2 = 0 , откуда x3 = 1. |
||
Используем |
достаточные |
условия экстремума. Наносим три критические |
точки x1 = 0 ; x2 = 2; x3 = 1 на область определения D функции y . Они разбивают область D на четыре интервала. Определяем знак функции y′ в каждом интервале.
64
|
y′ |
+ |
– |
– |
+ |
|
|
|
|
|
y |
0 |
1 |
|
2 |
x |
|
|
|
Так как x1 = 0 D и при переходе через эту точку |
|
y′ |
меняет знак плюс на |
||||||
минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y . |
|
|
|
|
|
||||
Так как x2 |
= 2 D и при переходе через эту точку |
|
y′ |
меняет знак минус на |
|||||
плюс, то x2 = 2 – |
точка минимума функции y . |
|
|
|
|
|
|||
Так как при любом |
x (− ∞;0) или |
x (2;+∞) |
|
y′ > 0 , то в интервалах |
|||||
(− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает. |
|
|
|
|
|||||
Так как при любом |
x (0;1) |
или x (1; 2) |
y′ < 0 , |
то в интервалах (0;1) и |
|||||
(1; 2) функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. |
|
|||||||
|
|
Точки перегиба |
|
|
|
|
|
||
График функции y = f (x) называется выпуклым вниз в интервале |
(a;b), |
||||||||
если он расположен ниже касательной, проведенной в |
любой точке x |
этого |
|||||||
интервала (См. рис. 62). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 62 |
|
|
||
|
a |
x 0 |
b |
x |
|
|
|
|
|
График функции y = f (x) называется выпуклым вверх в интервале |
(a;b), |
||||||||
если он расположен выше касательной, проведенной в |
любой точке x |
этого |
|||||||
интервала (См. рис. 63). |
|
|
|
|
|
|
|
|
y
a 0 |
x |
b |
x |
Рис. 63
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:
65
если |
′′ |
|
|
то график функции y = f (x) является |
||
f (x) < 0 в интервале (a;b), |
||||||
выпуклым вниз в этом интервале; если же |
′′ |
(a;b) график |
||||
f (x) > 0 , то в интервале |
||||||
функции y = f (x) – |
выпуклый вверх. |
|
|
|
||
Пусть функция |
y = f (x) дифференцируема в интервале (a;b) |
и x0 (a;b). |
||||
Точку (x0 ; f (x0 )) графика функции |
y = f (x) называют точкой перегиба этого |
|||||
графика, |
если существует такая ε – |
окрестность точки x0 оси Ox , в границах |
||||
которой |
график функции y = f (x) |
слева и справа от точки x0 |
имеет разные |
направления выпуклости (См. рис. 64).
y
a x0 −ε 0 x0 x0 +ε |
b |
x |
|
|
|
Рис. 64 |
|
|
|
|
|
Необходимое условие перегиба функции |
y = f (x) |
в точке x0 : |
если x0 |
– |
|
точка перегиба функции y = f (x) и функция |
y = f (x) |
имеет в некоторой ε |
– |
||
окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то |
′′ |
|
|||
f (x0 ) = 0 |
.
Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или
бесконечную определенного знака производную |
′′ |
а функция |
′′ |
f (x0 ), |
f (x) |
определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).
Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y = x3 − 3x + 1.
Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D = R .
Находим:
y′ = (x3 − 3x + 1)′ = 3x2 − 3 ; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x .
Используя необходимое условие перегиба, находим:
66
y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку перегиба. Используем достаточные условия перегиба:
Отметим точку x = 0 на области D и определим знаки y′′ слева и справа от точки x = 0 .
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 – |
|||||||||||
точка перегиба данной функции. |
|
′′ |
|
|
|
|
(− ∞;0) |
|
|
||
Так как для любого |
x < 0 |
|
то в интервале |
функция |
y |
||||||
y (x) < 0 , |
|||||||||||
выпукла вниз. |
|
|
′′ |
|
|
|
|
( 0;+∞) |
|
|
|
Так как для любого |
x > 0 |
|
то в интервале |
функция |
y |
||||||
y (x) > 0, |
выпукла вверх.
Основные требования к результатам исследования
ипостроения графика:
1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;
2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;
3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;
4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;
5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;
6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;
7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.
Пример. Построить график функции y = (x − 3)2 .
(x −1)3
Решение.
1. Областью определения D данной функции y является множество всех действительных чисел R , кроме x = 1, то есть D = R \ {1}.
67
2. Поскольку |
|
y(- x) = (- x - 3)2 = |
|
|
(x + 3)2 |
|
|
и |
|
|
|
y(- x) ¹ y(x) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- (x +1)3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(- x) ¹ -y(x), то функция |
|
|
|
|
|
(- x -1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
не является четной и нечетной, |
то |
есть данная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция y общего вида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. Находим асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Поскольку |
lim = (x - 3)2 |
= |
(1 - 3)2 = |
4 |
= ¥ , |
|
|
то |
|
|
x = 1 |
|
– |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
( |
x |
|
|
)3 |
|
|
( |
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вертикальной асимптоты графика данной функции y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = lim |
y(x) |
= lim |
|
|
(x - 3)2 |
= ¥ |
|
= lim |
|
|
((x - 3)2 )′ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
(x × (x -1)3 )¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x |
x→∞ |
x ×(x -1) |
|
¥ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × (x - 3)×1 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - 6 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)2 × (x -1 + |
3x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 1× (x - 3)3 + x ×3 × (x -1)2 ×1 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
2x - 6 |
|
|
|
|
= |
¥ |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x - 6)′ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
(x |
-1) |
× (4x |
|
-1) |
|
|
|
¥ |
|
x→∞ |
|
((x -1)2 × (4x -1))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
2 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ + ¥ |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
2 |
|
(x -1)×(4x -1) + (x -1)2 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - 3) |
|
|
¥ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
b = lim(y(x) - kx) = lim |
(x |
- |
1) |
- 0 × x |
|
|
= lim |
(x -1) |
|
= |
¥ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= lim |
((x - 3)2 )′ |
= lim |
2(x - 3) |
= |
|
¥ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
((x - 1)3 )¢ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
3(x - 1) |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
2 |
lim |
|
(x - 3)′ |
|
= |
2 |
lim |
|
|
1 |
|
|
= |
2 |
× |
1 |
|
= |
2 |
× 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
((x -1)2 )¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 x |
→∞ |
|
|
|
|
3 x→∞ 2(x -1) |
3 |
|
|
¥ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно y = 0 – уравнение горизонтальной асимптоты графика данной функции y .
4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
|
2 |
′ |
2 |
′ |
3 |
2 |
3 |
′ |
y¢ = |
(x - 3) |
|
= ((x - 3) |
) |
× (x -1) |
- (x - 3) |
× ((x -1) |
) = |
(x -1)3 |
|
|
|
((x -1)3 )2 |
|
|
68
= |
|
2(x - 3)× (x -1)3 - (x - 3)2 ×3(x -1)2 |
= |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
(x -1)6 |
|
|
|
|
|
= 2x2 - 8x + 6 - 3x2 +18x - 27 |
= |
- x2 +10x - 21 |
= |
|
|||
|
|
(x -1)4 |
|
|
(x -1)4 |
|
|
= − (x − 3)(x − 7) |
|
|
|
|
|
||
|
|
(x −1)4 |
|
|
|
находим y′ = 0 |
|
Используя необходимое условие |
экстремума, |
|
|||||
(x − 3)(x − 7) = 0, откуда x1 = 3 или x2 = 7 ; |
y′ не существует (x -1)4 |
= 0 , |
|||||
откуда x3 = 1. |
|
|
|
|
|
Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические
точки наносим на область определения |
D и определяем знак y′ в каждом из |
|||||||||
четырех интервалов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 1 |
3 |
7 |
′ |
|
(0 − 3)(0 − 7) |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (0) = − |
|
|
(0 −1)4 |
= − |
|
|
= −21 |
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
x1 |
= 3 D и при переходе через эту точку |
y′меняет знак минус на |
||||||||||||||
плюс, то x = 3 – |
точка минимума функции |
y , y(3) = (3 - 3)2 |
= |
0 |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||
8 |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
x2 |
= 7 D и при переходе через эту точку |
y′ |
меняет знак плюс на |
|||||||||||||
минус, то x = 7 – |
точка максимума функции y , y(7) = (7 - 3)2 |
= |
16 |
= |
2 |
. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 -1 |
216 |
27 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
)3 |
|
||||||
Так как при |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x < 1, 1 < x < 3, x > 7 y (x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1), (1;3), |
|||||||||||||||||
(7;+∞) функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как при |
3 < x < 7 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (x) > 0 , то в интервале ( 3;7) функция y монотонно |
возрастает.
5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.
′ |
|
− |
(x − 3)(x − 7) ′ |
|
y′′ = (y′) |
= |
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
= - ((x - 3)(x - 7))′(x -(1)4 - (x)- 3)(x - 7)((x -1)4 )′ = (x -1)4 2
69