5839
.pdf20
Этой цели служит задача аппроксимации (приближения) функции: данную функцию y = f (x) требуется приближенно заменить (аппрокси-
мировать) некоторой функцией y = ϕ (x) так, чтобы отклонение значений
этих функций в заданной области было наименьшим. Функция y = ϕ (x)
при этом называется аппроксимирующей. Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi }, на-
зывается точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.
Интерполирование – один из основных видов точечной аппроксимации. Оно состоит в следующем: для заданной функции y = f (x) постро-
ить интерполянту y = ϕ (x), принимающую в заданных точках xi те же значения yi , что и функция y = f (x) , то есть ϕ (xi ) = yi , i = 0, n . При этом предполагают, что среди значений xi нет одинаковых, т.е. xi ¹ xk при
i ¹ k . Точки xi называют узлами интерполяции.
Интерполирующая функция ϕ (x) может быть построена сразу для всего рассматриваемого интервала изменения x или для отдельных его частей. В первом случае говорят о глобальной интерполяции, во втором случае – о кусочной (локальной) интерполяции.
2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Наибольшее распространение получило так называемое алгебраическое интерполирование, когда приближающая функция ищется среди
полиномов. |
|
|
|
Пусть функция y = F (x) |
задана таблицей |
||
|
|
|
|
|
x |
|
F (x) |
|
|
|
|
|
x0 |
|
y0 |
|
x1 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
xn |
|
y n |
Искомый интерполяционный полином LN (x) может быть записан следующим образом:
N |
N |
(x |
− xi |
) |
|
|
LN (x) = ∑ F (x j )∏ |
, |
|||||
(x j |
|
|
||||
j =1 |
i=1 |
− xi ) |
||||
|
j ¹i |
|
|
|
|
где LN (x) – |
называется интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. |
|||||
Рассмотрим |
еще одну форму того же |
полинома. |
Введем обозначение |
|||
N |
′ |
N |
N |
′ |
N |
|
|
(x) = ∑∏(x − xi ) . |
(x j ) = ∏(x j |
− xi ) , |
|||
ωN (x) = ∏(x − xi ) . Очевидно ωN |
ωN |
|||||
i =1 |
|
j =1 i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
j ¹i |
|
|
|
N |
(x |
− xi ) |
||
тогда ∏ |
||||
(x |
|
− x ) |
||
i =1 |
j |
|||
|
i |
|||
j ¹i |
|
|
|
ставить в виде:
= |
ωN (x) |
|
и, следовательно, |
′ |
|
||
|
(x j ) |
||
|
(x − x j )ωN |
N |
ωN (x) |
|
|
LN (x) = ∑ F (x j ) |
|
||
′ |
(x j ) |
||
j =1 |
|||
(x − x j )ωN |
полином можно пред-
.
2.3.Оценка остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа
Предположим, что функция F (x) имеет непрерывную производную порядка N . Рассмотрим функцию ϕ (z) = FN (z) − LN (z) − kω(z) . Константу
k для каждой точки |
|
x [x1, xN ] определим из условия ϕ (x) = 0 . Тогда |
|||||
k = |
F (x) − LN (x) |
|
. При таком выборе k функция ϕ (z) обращается в ноль в |
||||
ωN (x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
N + 1 точке x , x |
2 |
,..., x |
N |
, x . Легко показать, что ϕ N [ξ ] = 0 . Здесь ξ – неко- |
|||
|
1 |
|
|
|
торая точка, принадлежащая отрезку [ y1, y2 ].
22
y1 = min( x, x1 , x2 ,..., xN ), y2 = max( x, x1 , x2 ,..., xN ) . Поскольку LN (z) – поли-
ном степени N −1 (L(NN ) (z) = 0) , а ωN (z) – полином степени N с коэффи-
циентом |
1 |
|
при |
z N (ω ( N ) (x) = N!) , |
|
|
|
то |
из |
выражения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (z) = F |
(z) − L |
N |
(z) − kω(z) |
|
получаем |
ϕ ( N ) (ξ ) = F ( N ) (ξ ) − kN!. Так |
как |
||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ ( N ) (ξ ) = 0 , то |
k = |
F ( N ) (ξ ) |
. |
Поскольку ϕ (x) = F (x) − L |
|
|
(x) − kω(x) = 0 |
и |
|||||||||||||||||||||
|
N |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k = |
F ( N ) (ξ ) |
, окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
N! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) − L (x) = |
F ( N ) (ξ ) |
ω |
|
(x) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, |
что ξ |
в этом выражении, вообще говоря, зависит от точки |
x |
в |
|||||||||||||||||||||||||
которой рассматривается разность FN (x) − LN (x) . Следовательно, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
F ( N ) (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
FN (x) − LN (x) |
|
≤ |
x [y1 , y |
2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
ωN (x) |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правую часть называют остаточным членом полинома Лагранжа и обозначают RN (x) :
RN (x) = F ( N ) (ξ ) ωN (x) .
N!
2.4. Интерполяционный полином Ньютона
Предположим, что табличные аргументы равноотстоят друг от дру-
га, то есть xi+1 − xi = h = const , i = 0, n − 1. Расстояние между узлами ин-
терполяции h > 0 называется шагом таблицы. |
|
|
Конечные разности первого порядка – |
это разности между сосед- |
|
ними табличными значениями: |
|
|
y0 = y1 − y0 , y1 = y2 − y1 , …, |
yn−1 = yn − yn−1. |
(2.1) |
Конечные разности второго порядка – это разности вида
23 |
|
2 yi = yi+1 − yi , i = 0, n − 2 . |
(2.2) |
Конечные разности k − ого порядка имеют вид
k y = k −1y |
|
− |
k −1y |
, i = |
|
. |
|
i+1 |
0, n − k |
(2.3) |
|||||
i |
|
i |
|
|
|
|
Обычно конечные разности располагают в виде таблицы (табл. 1). По таблице конечных разностей часто удается находить наилучшую степень интерполяционного многочлена. Если разности k − ого порядка на ка- ком-то участке таблицы практически постоянны, то это значит, что здесь табличная функция наиболее близка к полиному k − ой степени.
|
|
Таблица конечных разностей |
|
Таблица 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f (x) |
|
y |
|
2 y |
… |
n y |
x0 |
y0 |
|
y0 |
|
2 y0 |
… |
n y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
|
y1 |
|
2 y1 |
… |
|
… |
… |
… |
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn−2 |
y n−2 |
|
yn−2 |
|
2 yn−2 |
|
|
xn−1 |
yn−1 |
|
yn−1 |
|
|
|
|
xn |
y n |
|
|
|
|
|
|
Первым интерполяционным многочленом Ньютона («интерполирование вперед») называется следующий многочлен:
P (x) = y |
0 |
+ |
y (x − x |
0 |
) + |
2 y0 (x − x |
0 |
)(x − x ) + .. + |
n |
|
h |
|
2!h2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
n
yn0 (x − x0 )...(x − xn −1 ).
n!h
Вторым интерполяционным многочленом Ньютона («интерполирование назад») называется следующий многочлен:
P (x) = y |
|
+ |
|
yn−1 (x − x |
|
) + |
2 yn−2 |
(x − x |
|
)(x − x |
|
−1 |
) + |
|
|
|||||||
n |
|
n |
|
|
h |
|
|
n |
|
2!h2 |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||
3 yn−3 |
(x − x |
|
)(x − x |
n−1 |
)(x − x |
n−2 |
) + ... + |
n y0 |
(x − x |
|
)(x − x |
n−1 |
)...(x − x ). |
|||||||||
3!h3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n!hn |
|
|
n |
|
|
1 |
24
Если ввести переменную t , такую, что t = x − x0 , то можно преобразовать h
выражения для полиномов Ньютона. Так первый интерполяционный полином Ньютона примет вид:
|
t(t − 1) |
2 |
t(t − 1)...(t − n + 1) n |
|
||
Pn = y0 + tDy0 + |
|
|
D y0 + ... + |
|
D y0 . |
(2.4) |
2! |
|
|
||||
|
|
|
n! |
|
||
График интерполяционного полинома y = Pn (x) проходит через за- |
||||||
данные точки, то есть значения полинома и данной функции |
y = f (x) в |
узлах интерполяции совпадают Pn (xi ) = f (xi ), i = 0, n . В точках отличных от узлов интерполяции значения полинома и функции будут отличаться, причем Rn (x) = f (x) − Pn (x) . Данная разность называется остаточным членом интерполяционной формулы и представляет собой погрешность интерполяции. Для оценки его значения применяют оценочную функцию Vn (x) , которая определяется следующей формулой:
|
Rn (x) ≤ Vn (x) , |
(2.5) |
||||||||||||
Vn (x) = M n+1 |
× |
h n+1 |
|
|
t(t - 1)...(t - n) |
|
, |
(2.6) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
(n + 1)! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M |
n+1 |
= max |
|
f (n+1) (x) |
|
. |
(2.7) |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
[a;b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оценки погрешности линейной интерполяции могут быть применимы формулы:
|
|
V1(x) = |
|
M 2h2 |
|
t(t -1) |
|
, |
|
(2.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M 2 |
= max |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
[x0 ;x1 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R (x) |
|
» |
1 |
|
D2 y |
0 |
|
, x Î[x |
0 |
; x |
]. |
(2.10) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Кроме оценки погрешности замены функции полиномом, необходимо проводить оценку погрешности вычислений. Таким образом, абсолютная погрешность приближенного значения функции будет складываться из суммы двух оценок = Vn (x) + v , где v − погрешность вычислений.
Пример. Пусть дана таблица значений функции y = ln x с верными значащими цифрами (табл. 2). Вычислить ln1,64 с помощью первого ин-
терполяционного многочлена Ньютона и оценить погрешность результата. Решение. Дополним исходную таблицу столбцами конечных разностей первого и второго порядка, произведя необходимые вычисления, со-
гласно формулам (2.1)-(2.3). Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что вторые разности практически постоянны, значит хорошее приближение может дать полином Ньютона второй степени. Выберем следующие узлы интерполяции: x0 = 1,6 , x1 = 1,7 , x2 = 1,8 .
|
Таблица значений функции и конечных разностей |
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|
x |
|
ln x |
y |
D2 y |
|
|
|
|
|
1,5 |
|
0,405 |
0,065 |
-0,004 |
|
|
|
|
|
1,6 |
|
0,470 |
0,061 |
-0,004 |
|
|
|
|
|
1,7 |
|
0,531 |
0,057 |
-0,003 |
|
|
|
|
|
1,8 |
|
0,588 |
0,054 |
|
|
|
|
|
|
1,9 |
|
0,642 |
|
|
|
|
|
|
|
Интерполируем на отрезке [1,6;1,8] по формуле (2.4) при n = 2 .
ln x » P (x) = 0,470 + t × 0,061 - |
t(t − 1) |
0,004, t = |
x − 1,6 |
. |
|
|
|||
2 |
2 |
0,1 |
|
|
|
|
По условию задачи x = 1,64 , значит t = 0,4 и
ln1,64 » 0,470 + 0,4 × 0,061 - 0,4(− 0,6) × 0,004 » 0,4949.
2
26
Оценим погрешность этой формулы. Поскольку ln′′′(x) £ 0,49 для
x [1,6;1,8], то берем M 3 = 0,49 ,
тогда V2 |
(1,64) = |
0,49 × (0,1)3 |
× |
|
0,4(0,4 - 1)× (0,4 - 2) |
|
= 0,32 ×10 −4 . |
|
|
|
|||||||
|
||||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Получилось, что погрешность интерполяции на порядок меньше |
погрешности таблицы 0,5 ×10 −3 , точность результата определяется точно-
стью табличных данных.
|
Найдем оценку точности |
приближения |
v , 0,4949 ≈ P2 (1,64), |
||||||||
|
P2 (1,64) - 0,4949 |
|
£ v . Считая число |
|
t = 0,4 |
точным, найдем абсолютные |
|||||
|
|
||||||||||
погрешности табличных данных по верным цифрам значений |
yi , у кото- |
||||||||||
рых они равны 0,0005, у первых разностей – 0,001, |
у вторых – 0,002. Тогда |
||||||||||
v = 0,0005 + 0,001× 0,4 + 0,002 × |
0,4 × 0,6 |
= 0,0012. |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
Суммарная оценка погрешности |
приближения |
составит: |
||||||||
|
ln1,64 - 0,4949 |
|
£ V2 (1,64) + v £ 0,0013 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Значит, получается, что число 0,4949 имеет только две верные значащие цифры. Однако, если привести искомое значение логарифма с пятью значащими цифрами, найденное, например, с помощью табличного процессора MS Excel, то получим ln1,64 ≈ 0,49470 и
0,49470 - 0,4949 = 0,0002 , то есть результат содержит три верные знача-
щие цифры. Это несоответствие произошло в силу завышения оценки вычислительных погрешностей конечных разностей. На самом же деле точность результата совпадает с точностью таблицы.
Пример. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, совпадающие с функцией f (x) = 3x , x Î[-1, 1], в точках x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1. Вычислить значение сеточной функции и оценить погрешность многочленной интерполяции в точке x = 0,5 .
27
Решение. Составим сеточную функцию и занесем ее в таблицу. Поскольку n = 2 , то необходимо построить интерполяционные многочлены
L2 (x) и N 2 (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = −1 |
|
|
|
|
x1 = 0 |
|
|
|
x2 = 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
y0 = 1/ 3 |
|
|
|
|
y1 = 1 |
|
|
|
y2 = 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x − x1 )(x − x2 ) |
|
|
|
|
|
(x − x0 )(x − x2 ) |
|||||||||||||||||
|
L2 (x) = y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||
|
(x |
0 |
− x )(x |
0 |
− x |
2 |
) |
(x − x |
0 |
)(x − x |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
+ y |
|
(x − x0 )(x − x1 ) |
= |
2 |
x2 + |
4 |
x + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 (x |
2 |
− x |
0 |
)(x |
2 |
− x ) 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверим условия интерполяции L2 (−1) = 1/ 3; L2 (0) = 1; L2 (1) = 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Для определения конечных разностей, входящих в интерполяцион- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ный многочлен Ньютона, удобно пользоваться таблицей конечных разно- |
стей, в которую конечная разность k-го порядка в узле xi |
определяется как |
||||||||||||||||||||||||||
(k ) yi = (k −1) yi +1 − |
(k −1) yi , k = 1,2,...; i = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-1 |
|
|
|
1/ 3 |
|
1 − 1/ 3 = 2 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
− 2 / 3 = 4 / 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 1 = 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
(x) = y |
0 |
+ Dy0 |
(x - x |
0 |
) + D2 y0 |
(x - x |
0 |
)(x - x ) = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1!h |
|
|
|
2!h2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
1 |
+ |
2 / 3 |
(x +1) + |
4 / 3 |
(x +1)(x - 0) = |
2 |
x2 + |
4 |
x +1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1×1 |
|
|
|
|
|
2!12 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
Здесь использованы конечные разности в узле |
x0 |
(подчеркнуты в |
таблице). Получен результат, подтверждающий теорему о единственности многочленной интерполяции, поскольку L2 (x) ≡ N 2 (x) .
28
Значение сеточной функции в точке x = 0,5 вычислим по интерпо-
ляционному многочлену y(0,5) ≈ L2 (0,5) = 1,8333 .
Верхняя оценка погрешности интерполяционного многочлена:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
f ¢¢¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (x ) - L (x ) |
|
£ |
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - x |
0 |
)(x - x )(x - x |
2 |
) |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f ¢¢¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
3x × ln3 3 |
|
= 31 × ln3 3 = 3,978; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
max |
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0,5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3,978 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
- |
|
× 0,25 + |
|
|
× 0,5 |
+1 |
£ |
|
|
|
(0,5 +1)(0,5 - 0)(0,5 -1) |
= 0,249. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Поскольку функция |
|
|
f (x) = 3x известна, то можно вычислить точное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
значение абсолютной погрешности в точке x = 0,5 : |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
- L (x ) |
|
30,5 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
- |
|
× 0,25 |
+ |
|
× 0,5 |
+1 |
= 0,1012, |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. верхняя оценка погрешности примерно в 2,5 раза превышает абсолют-
ную погрешность в точке x = 0,5 .
2.5.Приближение табличных функций методом наименьших квадратов
Пусть в результате экспериментов получена таблица с произвольным расположением аргументов. Аналитическое выражение табличной функции f (x) может быть неизвестным. На основе этой таблицы требует-
ся найти формулу y = p(x), приближенно описывающую зависимость ме-
жду экспериментальными данными таблицы.
Полученное для этой цели соотношение y = p(x) называется эмпи-
рической формулой, а функция p(x) – эмпирической функцией.
Возможным вариантом решения задачи является интерполирование. Однако этот способ, требующий обязательного совпадения значений
29
табличной и приближающей функций во всех табличных аргументах, в данном случае малопригоден. При большом количестве узлов он является неудобным и сложным, ибо потребует отыскания либо многочлена большой степени, либо другой громоздкой функции с «извилистым» графиком, проходящим через все табличные точки. В этой связи следует учесть замечание о том, что высокая степень интерполяционного многочлена не оправдана.
Кроме того, экспериментальные данные в силу ряда причин могут иметь трудно учитываемые случайные или систематические ошибки. В этих условиях интерполирование вообще становится сомнительным. Вместо того чтобы «сглаживать» случайные ошибки, интерполирующая функция включает в себя вместе с данными все их погрешности и может в результате оказаться слишком грубым приближением. Часто с помощью ка- кой-либо простой функции с проходящим около табличных точек графиком удается добиться эффекта сглаживания ошибок и получить более точное приближение.
По этим причинам впредь не будем требовать от функции p(x) обя-
зательного выполнения равенств p(xi ) = yi . Главное, чтобы она была дос-
таточно простой, учитывала характер табличной функции и в точках xi
имела близкие к yi , значения при всех i = 1, n .
Поиск эмпирической формулы начинается с определения класса функций, которые лучше всего отражают связь между табличными данными. Эффективным методом для этого являются графические соображения. На координатной плоскости отмечаются определяемые данной таблицей точки, а затем по характеру их расположения подбирается вид приближения из числа известных элементарных функций.
В перечень наиболее часто используемых классов функций входят, например, многочлены, тригонометрические функции у = sin kx, y = cos kx