7478

	11
xn xn( t ) ,	yn yn( t ) ,	zn zn( t ) , 0≤t≤1	(7)
Для построения отсеков обвода каждый из n исходных			образующих

отрезков дополним собственной локальной системой координат Оnxnynzn, путем параллельного переноса начала базовой системы координат Оxyz в центр масс On соответствующего образующего отрезка. Получим уравнений образующих отрезков (7) в локальных системах Оnxnynzn,

						( t ) , 0≤t≤1.	(8)
xn	xn ( t ) , yn yn( t ),			zn zn
Используя преобразованные уравнения образующих отрезков, вычислим
их осевые Jxn, Jyn,	Jzn и	центробежные			Jxyn,	Jxzn, Jyzn	моменты инерции

относительно связанных с ними локальных систем координат Оnxnynzn. Это позволяет получить уравнения центральных эллипсоидов инерции образующих отрезков в общем виде, которые для отрезков прямых вырождаются в цилиндрические поверхности вращения. По цилиндрам, в отличие от эллипсоидов, нет возможности задать направление касательной к направляющей линии. Поэтому, только центры масс On образующих отрезков будут являться исходной информацией для проектирования направляющей линии. Эту информацию преобразуем в непрерывную, с помощью сплайнинтерполяции. Примем условие: локальные системы координат для построения текущих образующих отрезков будут совершать пространственнопараллельные перемещения вдоль направляющей линии, при этом текущая точка направляющей линии будет являться началом координат локальной системы координат. Выполним сечение каждой из цилиндрических поверхностей, являющихся носителями инерционных характеристик образующих, плоскостью параллельной плоскости Оxy базовой системы координат (рис. 2). Получим уравнения сечений. Сечения являются в общем

	Рисунок 2 – Направляющий отрезок с	Рисунок 3 – Проекция направляющего
		отрезка с сечением цилиндрической
	цилиндрической поверхностью
	вращения	поверхности вращения

ln 12 bn2 1 3 .

12

случае эллипсами. Преобразуем уравнения эллипсов от общего вида к каноническому и найдем значения их больших an и малых bn полуосей (рис. 3).

Выразим зависимость между длиной ln образующего отрезка и малой полуосью bn соответствующего этому образующему отрезку эллипса

(9)

По уравнениям эллипсов в общем виде вычислим углы наклона φn (азимутальные углы) больших полуосей an эллипсов к оси Ох базовой системы координат. Зенитные углы, являющиеся углами наклона образующих отрезков n к оси Оz, определим при помощи полуосей эллипсов через отношение вида

n arccos	bn an .	(10)
Используя интерполяцию, преобразуем дискретную информацию об
азимутальных углах φn образующих	отрезков и полуосях эллипсов	an, bn,

являющихся их образами на плоскости Оху, в непрерывную. Это позволяет поставить в соответствие каждой точке направляющей линии набор параметров am(t), bm(t), φm(t), где m – номер сегмента, 1 m n 1. По данным интерполяции, определив длины образующих отрезков, а также соответствующие им зенитные и азимутальные углы в каждой точке направляющей линии, запишем уравнения образующих отрезков формируемых сегментов в декартовых координатах через сферические координаты

xm t, (t) ( ) sin (t) cos m t ,

ym t, (t) ( ) sin (t) sin m t ,

(11)

zm t, (t) ( ) (t) .

В уравнениях (11) приняты следующие обозначения:

1

b t

t

(t) 3

12

, ( )

,

(t)

n

, (t) arccos

bn

, 0 1.

an t

2

2

a

t

bm (t)

n

Уравнения для линейчатых сегментов, образующих отсек линейчатой

полосы, в координатно-параметрической форме будут иметь вид

x

m

xDL (t) x

m

t, ,

y

m

y DL

(t) y

m

t, z

m

z DL (t) z

m

t, .

(12)

m

m

m

где xmDL (t) , ymDL (t) , zmDL (t)

– текущие координаты направляющей линии m-го

сегмента отсека, xm t, , ym t, ,

zm t, – уравнения образующих отрезков m-

го сегмента,

0 t 1,

0 1.

В

результате

изменения

параметров

t и τ

образующий отрезок будет непрерывно перемещаться вдоль направляющей линии, изменяя свою длину в зависимости от bm, а также непрерывно поворачиваясь относительно локальной системы координат в зависимости от am, bm, φm. Пример формообразования линейчатой полосы по каркасу из конечного числа образующих отрезков по предложенной модели представлен

Рисунок 4 – Обвод линейчатой полосы, образованный по каркасу из конечного числа образующих

13

на рисунке 4.

Рассмотрим геометрическую модель формообразования каналовых поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий. Исходными данными в предлагаемой модели является каркас из замкнутых плоских кривых линий, произвольным образом ориентированных в пространстве в базовой системе координат. Пусть

для примера линиями каркаса будут эллипсы. Требуется построить поверхность, содержащую линии заданного каркаса. На первоначальном этапе формообразования каналовой поверхности на основе масс-инерционных характеристик линий каркаса конструируется направляющая линия по геометрической модели, рассмотренной во второй главе. На втором этапе осуществляется заполнение поверхности непрерывным каркасом образующих линий, определяемых полученной направляющей линией, с применением моментов инерции, выступающих в качестве параметроносителей формы и положения образующих. При этом образующие располагаются в нормальных плоскостях трехгранников Френе направляющей линии. Каждую образующую с вектором касательной направляющей, дополним системой координат с осями параллельными базовой и вычислим угол α между большой полуосью эллипсоида инерции и линией I, образованной пересечением нормальной плоскости трехгранника Френе с плоскостью Oxz (рис. 5). Через угол α вычислим моменты инерции заданных сечений относительно линии I и перпендикулярной к ней линий II, также расположенной в нормальной

плоскости трехгранника Френе

JI J x cos 2	J y (sin )2	(13)
JII J x sin 2	,
	J y (cos )2

Рисунок 5 – Схема образования угла α и линий I, II

где J x , J y – главные осевые моменты инерции

сечений. Интерполируем значения моментов инерции (13) относительно этих осей вдоль направляющей линии между всеми заданными сечениями. В рассматриваемой геометрической модели формообразования поверхности

14

применяется график площадей сечений. Таким образом, в каждой точке направляющей линии получаем следующую числовую информацию: площадь сечения, ограниченного искомой образующей, и значения осевых моментов инерции площади относительно прямых I и II, расположенных в нормальных плоскостях трехгранника Френе направляющей. По выражениям, описывающим площади и моменты инерции для эллипса, составим систему уравнений, в которых в качестве неизвестных приняты длины полуосей эллипса a, b и угол α между большой полуосью эллипса и линией I

JIJII

S a b,
a b3 cos 2	a3	b (sin )2 ,	(14)
a b3 sin 2	a3	b cos 2

Решая систему для каждой точки направляющей, будем получать параметры, определяющие форму и положение образующей в нормальной плоскости трехгранника Френе направляющей в соответствии с графиком площадей.

Приведен пример конструирования каналовой поверхности, образованной на основе масс-инерционных характеристик образующих линий, имеющих переменную форму, с плавным переходом от одного сечения канала к другому. Для аналитического описания формы сечений канала в работе предложены уравнения суперэллипсов в параметрическом виде

x

a

sgn(cos )

cos

2 ni , y

i

b sgn(sin )

sin

2 ni

(15)

i

i

i

где ai и bi – полуоси суперэллипса; n – положительное число; sgn(cosω), sgn(sinω) – кусочно–постоянные функции с параметром 0≤ω≤2π.

Зависимость формы и положения искомых сечений канала в нормальной плоскости трехгранника Френе направляющей линии канала была получена через площади сечений и осевые моменты инерций с помощью системы уравнений

												S					2a				b					i ,					i	2
															i																		,
																					i i i				2							2
										3																								3
					1							i																1									i
J I								aibi3 i					,					i		(cos i )2										ai3bi i									,		i (sin i		)2 ,	(16)
			i
					2				2								2											2						2						2
					1			a b3			3	i												)2				1		a3b				3			i						)2 .
	J	II i												,					i (sin			i																,			i (cos	i
					2			i i i	2								2											2				i	i i	2						2

Пример результата конструирования обвода каналовой поверхности по образующим на основе их масс-инерционных характеристик представлен на рисунке 6.

15

а

б

Рисунок 6 – Пример обвода каналовой поверхности, а – каркасное представление промежуточными сечениями, б – результирующая поверхность

В результате решения задачи была получена параметрическая модель каналовой поверхности, которая обеспечивает конструктору возможность варьирования формой модели канала за счет изменений формы оси, формы семейства поперечных сечений и графика площадей.

Рассмотрено решение задачи профилирования образующих линии внешних динамических поверхностей соосных каналов в проточных частях агрегатов и машин на основе инерционных характеристик сечений каналов. Такие поверхности встречаются, например, в двухконтурном турбореактивном двигателе (рис. 7). Задача профилирования поверхности заключается в расчете координат точек, образующей внешней поверхности по данным о геометрии профиля внутреннего контура, площади канала на входе и условия постоянства площади проходного сечения канала.

Рисунок 7 – Двухконтурный турбореактивный двигатель

Введя расчетную схему (см. рис. 8), представим площадь сечения канала в виде боковой поверхности усеченного конуса

S (R r) L

(17)

с моментом инерции JOx относительно оси канала Ох

16

JOx = (S / 2)× R2 + r2 .			(18)
Из (17) и (18) выразим L
L = S / (π×		+ r).	(19)
	(2× JOx ) / S - r2

Для нахождения параметра JOx обратимся к схеме на рисунке 8, откуда

x	= (x +(x +l)) / 2	, y = ( (2× J	Ox	) / S - r 2	+ r) / 2 ,	(20)
с		с

где х=х(t) – абсцисса точки на профиле a,

l = (S / (π× (2× JOx ) / S - r 2 + r))2 - ( (2× JOx ) / S - r 2 - r)2 .

Производные от функций (20) определяют вектор касательной τ к профилю с:

= ( x = dxc / dt, y = dyc / dt).

Тогда представив образующую длиной L в виде вектора с проекциями Lx = l и

	Ly = R - r ,	запишем		через	скалярное
	произведение		векторов		условие
	перпендикулярности
	Lx × τx + Ly × τ y = 0.				(21)
Рисунок 8 – Схема профилирования	Решая уравнение (21), определим
образующей b по заданной образующей a параметр		JOx , через который				с
	помощью	уравнений		(17)	и	(19)

вычислим координаты точки, принадлежащей искомому профилю b. Полученные координаты точек поверхности b служат основой для создания программ, по которым на станках с ЧПУ изготавливают соответствующие детали.

Предложенная математическая модель и вычислительный алгоритм профилирования поверхности на основе определения моментов инерции сечений канала приняты к внедрению в АО «Омское моторостроительное конструкторское бюро» для конструирования поверхностей проточных частей агрегатов и машин.

Основные результаты и выводы

1. Получен вычислительный алгоритм определения кручения пространственной направляющей линии по ее модели – паре ортогональных проекций. Он развивает существующее исследование по восстановлению кривизны пространственной линии до получения ее кручения, что дает

17

конечное решение одной из обратных задач инженерной геометрии: восстановление геометрических инвариантов (ортов трехгранника Френе) и скалярных инвариантов (кривизны и кручения) кривой лини по ее ортогональным проекциям. Решение обратной задачи позволяет свести пространственную задачу конструирования направляющей линии динамической поверхности к плоской задаче.

2.Разработана геометрическая модель формообразования и конструирования направляющей линии на основе применения массинерционных характеристик линий каркаса моделируемой динамической поверхности. Модель позволяет решать задачу формообразования такой поверхности без предварительного задания направляющей линии и может быть рекомендована для конструирования поверхностей по заданным динамическим параметрам потока рабочего вещества, таким как расход потока, средняя по сечению потока скорость, мощность потока в сечении и др.

3.Разработана геометрическая модель формообразования и конструирования динамических линейчатых поверхностей по каркасам образующих отрезков, в которой в качестве параметроносителей выступают масс-инерционные характеристики образующих каркаса. Поскольку в модели объективно отсутствует закон изменения площадей, то она может быть рекомендована для конструирования поверхностей, обтекаемых рабочей средой.

4.Разработана геометрическая модель формообразования и конструирования динамических каналовых поверхностей по каркасам образующих, в которой в качестве параметроносителей выступают массинерционных характеристики линий каркаса. Она позволяет на этапе проектирования моделировать поверхность технического изделия во взаимосвязи с динамическими параметрами рабочего вещества, взаимодействующего с поверхностью

5.Выполнено практическое формообразование и конструирование динамических поверхностей, используемых в проточных частях агрегатов и машин, ограничивающих объем газового потока, по каркасу образующих линий на основе масс-инерционных характеристик образующих в виде математической модели и вычислительного алгоритма, принятых к внедрению.

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Корчагин, Д.С. Восстановление кривых второго порядка по ортогональным проекциям их опорных точек / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук //

18

Омский научный вестник. – 2011. – № 3 (103). – С. 5 – 9.

2.Корчагин, Д.С. Способ динамического проектирования направляющей линии/ Д.С. Корчагин // Вестник СибАДИ. – 2012. – Вып. 4 (26). – С. 72 – 78.

3.Корчагин, Д.С. Метод геометро-динамического формообразования линейчатых полос / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук // Вестник КузГТУ. – 2013. – Вып. 6 (100). – C. 89 – 92.

4.Корчагин, Д.С. Метод геометро-динамического формообразования нелинейчатых полос / Д.С. Корчагин // Омский научный вестник. – 2014. – № 3 (133). – C. 10 – 15.

Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:

5.Корчагин, Д.С. Реконструктивная геометрия кривой линии / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук // Прикладная геометрия. – 2011. – Вып. 13. – № 27. – C.

1– 11. – Режим доступа: www.apg.mai.ru/Volume13/Number27/pan1327.pdf.

6.Korchagin, D.S. Forming of variable section channel surfaces for transporting of operating mediums in products of oil and gas mechanical engineering/ D.S. Korchagin, K.L. Panchuk // Procedia Engineering. – 2015. – Vol. 113. – P. 203

– 209. – Режим доступа: www.ac.els-cdn.com/S1877705815015957/1-s2.0- S1877705815015957-main.pdf?_tid=d9839c14-e565-11e6-bcfb-00000aacb35d& acdnat=1485613808_ce0cd7646557d9734bfe2939f25ce8e4.

7.Корчагин, Д.С. Восстановление кривой по ее ортогональным проекциям / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук // Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий: сб. тр. междунар. науч.-метод. конф. – Алматы. –

2011. – С.71 – 80.

8.Корчагин, Д.С. О проекционных свойствах некоторых сплайнов, проявляющихся при восстановлении кривых / Д.С. Корчагин // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования – основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России: матер. Всерос. 65-й науч.-техн. конф. (с международным участием). – Омск: СибАДИ, 2011. – Кн. 2.– С. 247 – 251.

9.Корчагин, Д.С. Геометрическое моделирование каналовых поверхностей / Д.С. Корчагин // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования – основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России: матер. междунар. 66-й науч.-практ. конф. – Омск: СибАДИ, 2012. – Кн. 2. – С.

170– 174.

10.Корчагин, Д.С. Способ динамического проектирования кинематической поверхности/ Д.С. Корчагин // Информационно-телекоммуникационные

19

системы и технологии (ИТСиТ-2012): матер. Всерос. молодежной конф. – Кемерово: КузГТУ, 2012. – С. 223 – 224.

11.Корчагин, Д.С. Проектирование направляющей линии кинематической поверхности по дискретному набору ее образующих / Д.С. Корчагин // Россия молодая: передовые технологии – в промышленность!: сб. тр. V Всерос. науч.- техн. конф. с междунар. участием. – Омск: ОмГТУ, 2013. – № 1. – С. 51 – 52.

12.Корчагин, Д.С. Моделирование фрагментов линейчатых полос / Д.С. Корчагин // Математическое и компьютерное моделирование в решении задач строительства, техники, управления и образования: сб. тр. XVIII междунар. науч.-техн. конференции. – Пенза, 2013. – С. 24 – 28.

13.Корчагин, Д.С. Программа «Проектирование направляющей линии» / Д.С. Корчагин // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». – 2013. – № 11 (54). – С. 26 – 27. – Режим доступа: www.ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2013/11.doc.

14.Korchagin, D. S. Forming of the Spline Similar Linear Strip / D. S. Korchagin, K. L. Panchuk // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics, Innsbruck, Austria. – 2014. – P. 428 – 436.

15.Korchagin, D. S. Forming of the Spline Similar Linear Strip / D. S. Korchagin, K. L. Panchuk // Program and Abstract of ICGG 2014, The 16th International Conference on Geometry and Graphics. – Innsbruck, Austria, 2014. – P. 102 – 104.

16.Корчагин, Д.С. Программа «Вычисление кривизны и кручения пространственной кривой линии по ее ортогональным проекциям» / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». – 2014. – № 02 (57). – С. 21. – Режим доступа: www.ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2014/2.doc.

17.Корчагин, Д.С. Метод геометро-динамического формообразования каналовой поверхности по дискретному каркасу ее образующих / Д.С. Корчагин // 26-я Международная конференция GraphiCon2016: тр. Междунар.

конф. – 2016. – С. 280 – 283.

Свидетельства о регистрации электронных ресурсов:

18.Корчагин, Д.С. Проектирование направляющей линии / Д.С. Корчагин// Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19695 от 21.11.2013. - М.: ОФЭРНИО, 2013. – № 50201351113 от 27.11 2013.

19.Корчагин, Д.С. Вычисление кривизны и кручения пространственной кривой линии по ее ортогональным проекциям/ Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук//

Свидетельство

о

регистрации

электронного

ресурса

№ 19959 от 24.02.2014. – М.: ОФЭРНИО, 2014. – № 50201450175 от 25.02.2014.