7663

	7.93. Вычислить разность	F (2) − F (1),	если F (x) - первообразная для
	функции x ln x .	π
	7.94. Вычислить разность			если	F (x) - первообразная для
		F (2π ) - F	,
		3

функции (x + 6)cos3x .

§4. Интегрирование рациональных функций

Взадачах 7.95-7.115 вычислить интегралы

7.95.

∫

x

dx .

7.96.

∫

x2

dx .

x -

x + 2

3

∫

dx

∫

dx

7.98.

(x + 2)(x + 3)

.

7.99.

(x + 1)(2x - 3)

.

7.101. ∫

(2x + 7)dx .

7.102.

∫

x dx

.

x2 + x - 2

2x 2 - 3x - 2

7.104. ∫

x3 -1

dx .

7.105.

∫

dx

.

x × (x +1)2

x3 - x

7.107. ∫

x

3

+ 1

∫

x 2

+ x + 1

dx .

7.108.

dx .

3

x

4 - x

x

- x

dx

dx

7.110. ∫

x × (x 2 +1).

7.111.

∫

.

x3 - 1

7.113. ∫

x − 2

dx . 7.114. ∫

x − 2

dx .

x3

+ 2x2 + x

x4 - 1

∫

x 4

7.97.

dx .

x2 - 2

∫

(x − 4)dx

7.100.

(x - 2)× (x - 3)

.

∫

3x2 + 2x - 3

7.103.

dx .

x3 - x

7.106.

∫

x + 2

dx .

x3 + x

7.109.

∫

x + 1

dx .

x 4 - x 2

7.112.

∫

x dx

.

x3 - 1

7.115. ∫

x

2 + 4

dx .

x 4 + x 3

+ 4x 2 + 4x

§5. Интегрирование тригонометрических функций

Взадачах 7.116−7.133 вычислить интегралы.

7.116. ∫ sin 3x × sin 7x dx .

7.117.

∫ sin 2x × cos6x dx .

7.118. ∫ cos

x

× cos

x

dx .

2

3

7.119. ∫ sin3 x dx .

7.120. ∫ cos5 x dx .

7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx .

7.122. ∫

cos3 x

dx .

7.123. ∫

sin 3 x

dx .

7.124. ∫ ctg 3 xdx .

sin 2 x

cos x

7.125. ∫ tg 4 xdx .

7.126.

∫ sin 2

x

dx .

7.127. ∫ cos2

x

dx .

2

2

	∫ cos 4 xdx .					∫				dx			7.130. ∫			dx
7.128.					7.129.						.						.
									3sin x						5 cos 2x
	∫	dx				∫				dx			7.133. ∫			dx
7.131.				.	7.132.							.						.
		5cos x + 3					1			+ sin x				1		+ sin x + cos x

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Взадачах 7.134−7.150 вычислить интегралы.

7.134.

7.137.

7.140.

7.143.

7.146.

7.149.

∫ x × x + 5dx .

∫

x

dx .

1 +

x

∫

x − 1

dx .

2x − 1

∫

1

dx .

4 x +

x

∫ x3 × 1 + x 2 dx .

1

∫ x × x2 -1dx .

7.135.

∫

1

dx .

7.136.

∫

1

dx .

1 +

x

x −1

1

7.138.

∫

dx .

7.139.

∫

x + 2

dx .

1

+

x + 1

x

∫

1

∫

x 2

7.141.

dx .

7.142.

dx .

x ×

x - 1

x - 1

7.144.

∫

1

dx .

7.145.

∫

1

dx .

x

+ 3 x 2

1

+ 3 x − 2

× (1+

)3 dx .

7.147.

∫

7.148.

∫

9 - x 2 dx .

x

x

7.150.

∫

1

dx .

×

x

x2 + 1

§ 7. Смешанные задания

7.151. Найти ту первообразную от функции 1 x , которая принимает зна-

чение 3 при	x = 2 .	2
			x + 3
7.152. График первообразной		F (x) для функции				проходит
			(x - 4)×
				x - 4
через точку	A( 5 ; 0 ). Найти	F (8).

В задачах 7.153−7.196

7.153. ∫ (x + 1)× x2 + 2x dx .

7.156. ∫ (2x + 3)dx . x 2 - 4

вычислить интегралы.

2 − 4x

7.154. ∫ x4 × 4 1 - 6x5 dx .

7.155. ∫

dx .

7x − 1

7.157. ∫

dx

7.158. ∫

dx

.

.

1

+ 9x 2

2x2 + 9

xdx

7.159. ∫ x4 +1 .

7.162. ∫

dx

.

x

e

× 1 - e

− 2 x

7.165. ∫

1 - xdx

.

x

7.168. ∫

x − 1

dx .

1 - x

7.171.

∫ x ×sin 2 xdx .

7.174.

∫

x2 + 1

dx .

x3 - x2

7.177.

∫ sin x × cos3x dx .

7.180.

∫

ln x

dx .

x3

7.183.

∫

2 x

dx .

1 + 2 x

7.186.

∫

x 2

dx .

8x3 + 27

7.189.

∫

dx

.

x × (1 + x)

7.192. ∫ sin2				x	× cos2		x			dx .
		2				2
				dx
7.195.	∫	e x × (3 + e− x ).
7.199.	∫			dx					.
		1 - 2x
						- x 2

7.160.

7.163.

7.166.

7.169.

7.172.

7.175.

e x dx

∫ e2 x + 4 .

dx

∫ x × 3 - ln2 x .

dx

∫ x × (1 - x) .

∫	arccos x	dx .
	1 − x 2

∫x × tg 2 xdx .

∫x 4 +1 dx . x3 - x 2

7.161. ∫ e x × 1 - e x dx .

	ln x dx
7.164. ∫	x × (1 - ln2 x).

7.167. ∫ x3 × 51 - 5x4 dx .

		1
	sin		dx
7.170. ∫		x2				.
		x3
7.173. ∫	arctg x dx			.
	x2
7.176. ∫	sin 2x				dx .
	5 - cos 2x

7.178.

∫ sin4 x × cos5 x dx .

7.179. ∫ cos5x × cos x dx .

tg x

7.181.

∫

dx .

7.182. ∫

ln x

dx .

cos x

x 2

7.184.

∫

1 + tg3 x

dx .

7.185. ∫

2 x

dx .

1 + 4 x

cos2 x

∫

x

7.188. ∫

ln 2 x + 2

7.187.

dx .

dx .

(2 + x 2 )3

x

7.190.

∫

x

dx.

7.191. ∫ cos

dx

.

x

cos2 x2

x

7.193.

∫ tg2 4xdx.

7.194. ∫

sin 5x

dx .

5

+ cos5x

7.196. ∫

dx

7.198. ∫

x − 1

.

dx .

2x -

1

2 - 6x

- 9x 2

7.200. ∫

x − 2

dx .

7.201. ∫ tg 7 x dx

2x - x

2

Глава 8

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла

иподведение функции под знак дифференциала

Взадачах 8.1-8.12 вычислить интегралы.

π

	3								4		dx
8.1.	∫ 5x 2dx .							8.2.	∫			.
	2								π cos2 x
									6
	7				dt				5		dx
	∫								∫
8.5.							.	8.6.					.
	−1				3t +	4			1	3x - 2
	2				dx				2		x + 3
8.9.	∫							. 8.10.	∫					dx .
	1 x			2	+ 5x + 4				0 x 2 + 4

	4			+ e		x				4				2 dx .
8.3.	∫	1				4 dx .				8.4. ∫ xe − x
	0									0
	1			dx						2		dx
8.7.	∫								.	8.8. ∫					.
		(2 x +				1)3
	0									1 x 2			+ x
	e		ln	2	x dx					e3				dx
8.11.	∫							.		8.12. ∫							.
					x							x ×		1 + ln x
	1									1

§ 2. Замена переменной в определённом интеграле

	В задачах 8.13-8.24														вычислить интегралы.
	4				1											4								1
8.13.	∫									dx .					8.14.		∫													dx .
	0 1 + x															0 1						+			2x + 1
	13				(x + 1)											0								dx
8.16.	∫										dx .				8.17. ∫													.
	0 3 2x +									1						−1					1 +			3 x + 1
																ln 2
	2				3					dx
8.19.	∫													.	8.20.		∫						e x - 1dx .
								x2 ×			x2 + 4
	2															0
																	π					(2 tg x − 7)dx
	e 4
																4
					1 + ln x
8.22.	∫											dx .			8.23.		∫														.
	1							x									0 cos2 x − 9sin2 x

1 x dx

8.15.∫ 5 − 4x .−1

1

8.18. ∫ 4 - x 2 dx .

0

	ln 8		dx
	8.21. ∫				.
		1 + e x
	ln 3

3x

8.24.∫ dx .

0 6 - x

§ 3. Интегрирование по частям в определённом интеграле

	В задачах 8.25−8.36		вычислить интегралы
					π
	1
		− x dx .		2		(x − 1)cos xdx .			π		(π− x)sin xdx .
8.25.	∫ x e		8.26.		∫			8.27.	∫
	0			0					0
										π
	1			e ln x dx
									4			xdx
8.28.	∫ arctg x dx .		8.29.	∫			.	8.30.		∫			.
						x3
	0			1						0 cos2 x

		π
		4		xdx
	8.31.	∫			.
		π sin2 3x
		6
		π
		2 xcos xdx
	8.34.	∫				.
		π		sin3 x
		4

1

8.32. ∫ x2e− 2 x dx .

0

2

8.35. ∫ x 2 2− x dx .

1

1

8.33. ∫ x2 arctg xdx .

0

8.36. ∫e (1+ ln x)2 dx .

1

§4. Несобственные интегралы

Взадачах 8.37−8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами

интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:

	∞ dx
8.37.	∫						.
						2
	1 x
	∞					dx
8.40.	∫									.
	2 (x − 1)5
	∞					dx
8.43.	∫								.
	− ∞ x2 +							1
	∞				− 4 x dx .
8.46.	∫ e
	0
	∞				−x3 x2 dx .
8.49.	∫ e
	0

∞xdx

8.52.∫ .

2 (x2 − 3)3

	∞ dx													∞ dx
8.38.	∫				.								8.39.	∫												.
			x
	1													1								x
	∞	1 + x				2								∞						xdx
8.41.	∫							dx .					8.42.	∫																.
				x 5																	2			+
	1													0 x														1
	∞				dx									∞ ln xdx
8.44.	∫											.	8.45.	∫																	.
						2x +
	2 x2 +									3				2								x
	∞													∞							−
																										x
8.47.	∫ xe − 2 x dx												8.48.	∫			e												dx .
																								x
	0													1
	∞													∞
				arctg xdx																					dx
8.50.	∫										.		8.51.	∫																		.
	0				x 2 + 1									e x												ln 3 x
	∞			dx										∞														dx
8.53.	∫						.						8.54.	∫																			.
						2
	0	(x + 1)												− ∞ x 2												+ 2x + 2

В задачах 8.55−8.63 вычислить интегралы от разрывных функций

(2 рода ) или установить их расходимость:

	3				dx					2					xdx
8.55.	∫							.	8.56.	∫							.
	0				9 − x 2					1					x − 1
		1								π
	4				dx					4					dx
8.58.		∫				.			8.59.	∫								.
	0			x ln x						0	1			− cos2x

1

8.57. ∫ ln xdx .

0

2 dx

8.60.∫ (x − 1)2 .0

1 1

	2		dx			0	e x dx		1 e x dx
	8.61. ∫				.	8.62. ∫		.	8.63. ∫		.
			(x − 1)2				x3			x 2
	0 3					−1			0

§5. Приложения определённого интеграла

Взадачах 8.64−8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

8.64.	y = x 2 + x,
	y = x + 1.
	y − sin x = 0,
8.67.		2
	y =		x.
		π

y = x 2 ,

y + x 2 = 2x.

y = tg x,

			π
	8.73.	x =		,
			3
		y =	0.
		y =
					x ,
	8.76.	y =					,
				4 − 3x
		y = 0.
		y = x 2 ,
			+ lg y = 0,
	8.79.	lg x
		y = 0,

x = 2.

y = 4 x − x 2 ,

8.65.

y − x = 0.

y = (x − 1)2 ,

8.68.

y = x + 1.

	y = cos x,
	8.71.	π		π
	x +		y =		.
		2		2

y = x 3 ,

8.74. x = 2,

y = 1 .x

y + x 2 = 3x,

8.77.x = 0,

y = 6 − 2x.

y = (x − 1)2 , 8.80. x = 0,

y = 0,

x = 5.

y = x 2 + 1,

y = 3 − x 2 .

y = x 2 ,

y = 22x.

y = x3 ,

8.72.x = 3,y = 0.

y = 2− x ,

8.75.x − 2 = 0,

x − 2 y + 2 = 0.

y = e2 x ,

8.78. x = 3,

y = e− 2 x .

y = 4x − x 2 ,

x = 0,

8.81.

y 1,

=

y 3.=

Взадачах 8.82−8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями

вполярных координатах ( ρ > 0 ):

8.82. ρ = 3φ, 0 ≤ φ ≤ 2 π .

8.83.

ρ = 2cos φ.

8.84.

ρ = 2sin φ .

8.85.

ρ = 2cos2φ.

8.86.

ρ = 2sin 2φ.

8.87.

ρ = 4cos3φ.

8.88.

ρ = 1 + sin φ.

8.89.

ρ = 2(1 − sin φ) .

8.90.

ρ =

(1 + cos φ) .

2

8.91.

ρ =

(1 + sin φ) .

8.92.

ρ2 = 2cos φ.

8.93.

ρ2 = 2sin φ.

2

В задачах 8.94−8.102 вычислить площади фигур, ограниченных лини-

ями:

8.94.

x = 3cost,

8.95.

x = 2 + 2cost,

x = 2 cost,

= 3sin t.

8.96.

.

y

y = 3 + 2sin t.

y =

4sin t.

8.97.

x = 2

+ 3cost,

x = cos3 t,

t Î[0;2 π].

= 3

+ 2sin t.

8.98. Астроидой

y

y = sin

3 t,

x = t − sin t,	и осью Ох.
8.99. Одной аркой циклоиды
y = t − cos t
x = t − sin t,	и прямой y =	1		< x < 2 π ).
8.100. Первой аркой циклоиды			( 0
y = t − cos t		2

x = 2cos t,	( y ³ 3 ).	x = 8cos	3 t,	( x ³ 1 ).
8.101.		8.102.
y = 6sin t,		y = 8sin	3 t,

В задачах 8.103−8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:

8.103. y = 2 x − x	2			2
		,	8.104. y =		x,
				π
y = 0.			y − sin t = 0.

	9		2
y =		x		,
	2 π2
8.105.
y = cos x.

8.106.

8.109.

x2 + y 2

y = 3 x.2

y = ln x,

=

y 2,

=

x 2.

= 1 (x > 0),	y = 2x − x 2	,	y = ax − x 2		a > 0,
8.107.			8.108.	y = 0.
	y = 4 x − 2 x	2 .

xy = 4,	y = 1 − x 2 ,
x = 1,	x = y − 2,
8.110.	8.111.	x = 1,
x = 4,
		x = 0.
y = 0.

В задачах 8.112−8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:

8.112.	y 2 = 4 − x,
	x = 0.
	y = (x − 1)2	,
8.115.
	y = 0,
	x = 2.
	y = sin x,
8.118.
	y = 1,

=

x 0.

y = e x	,
y = 0,
8.121.
x = 0,
x = 1.

	y = x3 ,					y 2 = x3 ,
8.113.	y = 0,				8.114.	y = 0(y > 0),
	x = 2.					x = 1.
	y = 2x − x2			,		y = arcsin x,
8.116.					8.117.		= arccos x,
	y = 2 − x,					y
							= 0.
	x = 0.					y
	x + y = 2,					x + y = 2,
8.119.					8.120.		= x, .
	y = x,					y
							= 0.
	y = 0.					x
	y =					y 2	= x − 2,
		x − 1,
8.122.	y = 0,				8.123.	y	= 0,
	y = 1,					y = 1,
								3	.
	x = 0,5.					y = x

В задачах 8.124−8.132 вычислить длины дуг кривых:

8.124. y = 2 − x2 от точки B (− 1 ; 1) до точки A(1 ; 1 ).

8.125.	y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью ОХ.
8.126.	y = e x между точками, для которых x = 0 и x = 1 .
8.127.	y =	1	(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1
	2

и x = 0 .

x = 3(t − sin t),	π ≤ t ≤ 2 π .
8.128. Циклоиды
y = 3(t - cost),

x = 4 cos3 t,
8.129. Астроиды	3 t,
y = 4sin

8.130. Эвольвенты окружности

0 £ t £ π .

4
x = R(cost + t sin t),	от t1 = 0 до t2 = π .
y = R(sin t - cost),

8.131. Кардиоиды ρ = 3(1 + cosφ) .

8.132. Окружности ρ = 23 cosφ между точками, для которых φ = 0 и φ = π

4

Глава 9

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Область определения функции

Взадачах 9.1-9.12 найти и изобразить на координатной плоскости xOy

области определения функций:

9.1. z =

x + 2 y

.

9.2.

z =

1

.

9.3.

z =

1

.

x − y

x2

- y2

x2

+ 4 y2 -

4

9.4. z =

+

+

. 9.5. z =

1 - x2 +

1 - y2 .

9.6.

z = ln x +

.

x

y

1 - x - y

y

9.7. z =

1

- ln(x × y).

9.8. z =

ln(x 2 × y

).

9.9.

z =

ln(1 - x 2 - y 2 ).

x - 2

y - x

y

9.10. z = y + arcsin (x + 2).

9.11.

z =

1 + y2

.

9.12. z = ln(y 2 - 4 x + 8).

sin x

§ 2. Линии уровня функции нескольких переменных

В задачах 9.13−9.24				написать			уравнения линий			уровня функции
z = f ( x ;	y ) и построить их:
				z =	x	.	9.15. z =	y - x2	.
9.13. z =		y - x2 . 9.14.								9.16. z = x 2 × y + y .
					y			x2

	9.17.	z =	y	. 9.18.	z = x ×					.	9.19.	z = x × y + y .				9.20.	z =				- y .
							y - 1												x
			x
	9.21.	z = y 2 - x .			9.22.	z =		y	.		9.23.	z =	x	2	.	9.24.	z =	2 y		.
													y	2
								x 3										x

§3. Частные производные

Взадачах 9.25−9.42 найти частные производные первого порядка :

9.25.

z = x − y .

9.26.

z = x 2 + 3x × y - y 3 .

9.27.

z =

u

+

v

.

v

u

9.28.

z =

x × y

.

9.29.

z = x × tg(y + 1).

9.30.

z =

2 y

.

x

2 + y2

sin x

9.31.

z = x × ln y + arcsin y .

9.32.

z = arctg

y

.

9.33.

z = x y .

x

z = (5x3 × y 2 + 1 )4 .

y

z = y sin x .

9.34.

9.35.

9.36.

z = e x .

y

z = ln(x +

).

9.37.

z = x × ln

.

9.38.

x2 + y 2

9.39.

u = x × y × z .

x

y

u = x y z .

u = x × y + y × z + x × z .

9.40.

9.41.

u = x z .

9.42.

В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка z

′′

, z′′

, z′′

:

xx

yy

xy

1

.

9.43.

z = x 3 + x × y 2 - 5x × y 3 .

9.44.

z =

(x 2 + y 2 )3

3

z = ln(x +

).

z = arctg

x + y

.

9.45.

x2 + y 2

9.46.

1 - xy

9.47.

z = y ln x .

9.48.

z = arcsin (xy ).

В задачах 9.49−9.52 найти смешанные производные указанного по-

рядка от заданных функций:

	9.49.	¶3 z		от z = sin(x × y)	.	9.50.	¶3 z			от z = exy 2 .
		¶x¶y	2				¶x	2	¶y