7783
.pdf7.87. |
∫ x 2 sin xdx . |
7.88. |
∫ ln 2 xdx . |
7.89. |
∫ x 2 × e − x dx . |
|||
7.90. |
∫ x 2 × 2 x dx . |
7.91. |
∫ e x sin xdx . |
7.92. |
∫ e x cos xdx . |
|||
7.93. Вычислить разность |
F (2) − F (1) , |
если |
F (x) - |
первообразная для |
||||
функции x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.94. Вычислить разность |
|
π |
|
, если F (x) |
- первообразная для |
|||
F (2π ) - F |
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
функции (x + 6)cos3x .
§4. Интегрирование рациональных функций
В задачах 7.95-7.115 вычислить интегралы
|
∫ |
|
x |
|
|
dx . |
|
|
∫ |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.95. |
|
|
|
7.96. |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x - |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||
7.98. |
|
|
|
|
|
. |
7.99. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x + 2)(x + 3) |
(x + 1)(2x - 3) |
||||||||||||||||||||||||||||
7.101. ∫ |
(2 x + 7)dx |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x dx |
||||||||||||||||||||
x 2 + x − 2 . |
7.102. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
2 x 2 − 3x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
7.104. ∫ |
|
|
x |
3 |
-1 |
dx . |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
7.105. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 - x |
|
|
|
|
|
|
× (x +1) |
||||||||||||||||||
7.107. ∫ |
|
|
|
x |
3 |
+ 1 |
|
|
|
|
∫ |
x 2 + x + 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
7.108. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
- x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.110. ∫ |
|
x × (x2 +1). |
7.111. |
∫ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x3 - 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
113. ∫ |
x − 2 |
dx . 7.114. ∫ |
|
x − 2 |
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x4 -1 |
|
+ 2x2 + x |
x4
7.97. ∫ dx . x2 - 2
. 7.100.
7.103.
7.106.
7.109.
(x − 4)dx
∫ (x - 2)× (x - 3) .
∫ 3x2 + 2x - 3dx . x3 - x
x + 2
∫ x3 + xdx .
x + 1
∫ x4 - x2 dx .
x dx
7.112. ∫ x3 - 1 .
x 2 + 4
7.115. ∫ x 4 + x3 + 4x 2 + 4x dx .
§5. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|||
В задачах 7.116-7.133 вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
7.116. ∫ sin 3x ×sin 7x dx . |
7.117. ∫ sin 2x × cos6x dx . |
7.118. ∫ cos |
x |
× cos |
x |
dx . |
|
|
|||||
|
|
3 |
2 |
|
||
7.119. ∫ sin3 x dx . |
7.120. ∫ cos5 x dx . |
7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx . |
71
7.122. |
∫ |
cos 3 x |
dx . |
7.123. |
∫ |
|
sin 3 x |
|
dx . |
7.124. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|||||||||||
|
∫ tg |
4 |
|
|
|
|
∫ sin |
2 |
x |
|
|||||||||||
7.125. |
|
xdx . |
7.126. |
|
|
|
dx . |
7.127. |
|||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.128. ∫ cos 4 xdx . |
7.129. |
∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
7.130. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin x |
|
|||||||||
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
∫ |
|
|
dx |
|
||||||||||
7.131. |
|
. |
7.132. |
|
. |
7.133. |
|||||||||||||||
5cos x + 3 |
1 + sin x |
∫ctg3 xdx .
∫cos2 x dx . 2
dx
∫ 5 cos 2x .
dx
∫ 1 + sin x + cos x .
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
В задачах 7.134-7.150 вычислить интегралы
7.134. ∫ x × x + 5dx .
7.137. |
∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
||||||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.140. |
∫ |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
dx . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2x − |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.143. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.146. |
∫ x3 × |
1 + x 2 dx . |
7.149. ∫ |
|
1 |
|
dx . |
x × |
|
|
||
|
||||
|
x2 -1 |
7.135. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
7.136. |
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x -1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.138. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
7.139. |
∫ |
|
|
|
x + 2 |
dx . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
∫ |
|
|
|
|
x 2 |
||||||||||||||||||||
7.141. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.142. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||
|
x × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 1 |
|||||||||||||||||||||||||
7.144. |
∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
7.145. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 3 x 2 |
|
1 |
+ 3 x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
×(1+ |
|
|
|
)3 dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7.147. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.148. |
∫ |
|
9 - x 2 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.150. ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Смешанные примеры
7.151. Найти ту первообразную от функции |
1 |
x , которая принимает |
||||||
|
||||||||
значение 3 при x = 2 . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.152. График первообразной |
F (x) |
|
|
|
x + 3 |
|||
для функции |
|
|
|
проходит |
||||
(x - 4)× |
|
|
||||||
x - 4 |
||||||||
через точку A( 5 ; 0 ) . Найти |
F (8). |
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 7.153-7.196 вычислить интегралы
72
7.153.
7.156.
7.159.
7.162.
7.165.
7.168.
7.171.
7.174.
7.177.
7.180.
7.183.
7.186.
7.189.
7.192.
7.195.
∫ (x + 1)× x2 + 2x dx
∫ |
(2 x + 3)dx |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 − 4 |
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 4 +1 |
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
x |
× 1 - e |
− 2 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
1 - xdx |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x− 1
∫1 - x dx .
∫x ×sin 2 xdx .
x2 + 1
∫x3 - x2 dx .
∫ sin x × cos3x dx .
ln x
∫ x3 dx .
2 x
∫ dx .
1 + 2 x
x 2
∫ dx .
8x3 + 27
∫ |
dx |
|
|
x × (1 |
+ x) . |
||
|
∫ sin2 |
x |
× cos2 |
x |
dx . |
|
|
2 |
||||
|
2 |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
∫ |
ex × (3 + e− x ) . |
. 7.154. ∫ x4 × 41 - 6x5 dx .
dx
7.157. ∫ 1 + 9x 2 .
e x dx
7.160. ∫ e2 x + 4 .
dx
7.163. ∫ x × 3 - ln2 x .
dx
7.166. ∫ × ( - ) . x 1 x
7.169. ∫ |
arccos x |
dx . |
|
||
|
1 − x 2 |
7.172. ∫ x × tg 2 xdx .
x4 +1
7.175. ∫ x3 - x 2 dx .
7.178. ∫ sin4 x × cos5 x dx .
7.181. ∫ |
|
tg x |
|
dx . |
|
|
|
|
|||
cos x |
|||||
|
|
|
|
7.184. ∫ 1 + tg3 x dx . cos2 x
7.187. |
∫ |
x |
|
|
dx . |
|
(2 + x 2 )3 |
||||||
7.190. |
∫ |
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
||||
|
cos2 |
|
||||
|
|
|
x2 |
|
7.193. ∫ tg2 4xdx .
dx
7.196. ∫ 2 - 6x - 9x 2 .
7.155. ∫ |
|
2 − 4x |
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
7x -1 |
|||
7.158. ∫ |
|
|
dx |
|||
|
. |
|||||
2x2 + 9 |
7.161. ∫ e x × 1 - e x dx .
|
ln x dx |
7.164. ∫ |
x × (1 - ln2 x). |
7.167. ∫ x3 × 51 - 5x4 dx .
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
sin |
dx |
||||
7.170. ∫ |
|
x2 |
|
. |
|||
|
x3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.173. ∫ |
|
arctg x dx |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
7.176. ∫ |
sin 2x |
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
5 - cos 2x |
7.179. ∫ cos5x × cos x dx .
7.182. ∫ |
|
ln x |
dx . |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
x 2 |
||
7.185 ∫ |
|
|
2 x |
|||
|
|
|
|
dx . |
||
1 |
|
|
||||
|
+ 4 x |
|||||
7.188 ∫ |
|
ln |
2 x + 2 |
|||
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
7.191. ∫ cos |
|
|
|
dx |
|
. |
||||||
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
7.194. ∫ |
|
sin 5x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+ cos5x |
||||||||||
7.198. ∫ |
|
|
x − 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x - 1 |
73
7.199. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
7.200. ∫ |
|
x − 2 |
|
|
dx . |
7.201. ∫ tg 7 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- 2x |
- x 2 |
|
2x - x |
2 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Глава № 8
Определенный интеграл
§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и подведение функции под знак дифференциала
В задачах 8.1-8.12 вычислить интегралы
|
3 |
|
|
|
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|
8.1. |
∫ 5x2dx . |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
dt |
|
|
|
|
8.5. |
∫ |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
3t + |
4 |
||||||
|
−1 |
|
|
π
4dx
8.2.π∫ cos2 x .
6
5 dx
8.6.1∫ 3x - 2 .
|
4 |
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
||
8.3. |
∫ |
1 |
+ e 4 |
dx . |
8.4. |
∫ xe − x 2 dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
2 |
dx |
||
|
0∫ |
|
|
|
|
1∫ |
|||||
8.7. |
|
. |
8.8. |
|
. |
||||||
(2 x + 1)3 |
x 2 + x |
2 |
|
|
dx |
2 |
x + 3 |
|
e |
2 |
|
|
e |
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.9. ∫ |
|
|
|
. 8.10. ∫ |
dx . |
8.11. ∫ |
ln |
|
x dx |
. |
8.12. ∫ |
|
. |
|||
|
2 |
+ 5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 x |
0 x 2 + 4 |
1 |
|
|
x |
1 |
x × 1 + ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Замена переменной в определённом интеграле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
В задачах 8.13-8.24 |
вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.13. ∫ |
|
|
|
dx . |
8.14. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
8.15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
+ |
|
2x + 1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
5 − 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13 |
(x + 1) |
|
0 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8.16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
8.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
8.18. ∫ |
4 - x |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−11 |
|
x + 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 8 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e x -1dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
8.20. |
|
|
|
|
8.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x2 × |
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 1 + e x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e 4 |
1 + ln x |
|
|
|
|
(2 tg x − 7)dx . |
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8.22. ∫ |
|
|
dx . |
8.23. |
|
|
|
8.24. |
∫ |
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x − 9 sin |
2 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
6 - x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах
1
8.25. ∫ x e− x dx .
0
1
8.28. ∫ arctg x dx
0
π
8.25-8.36 вычислить интегралы
π
8.26. 2∫ (x − 1) cos x dx .
0
|
e ln x dx |
|
||
. |
8.29. ∫ |
|
. |
|
x3 |
||||
|
1 |
|
8.27. π∫ (π − x) sin x dx .
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
8.30. |
4 |
xdx |
. |
|
∫ |
||||
|
||||
|
0 cos2 x |
4xdx
8.31.π∫ sin2 3x .
6
π
2 x cos xdx |
||
8.34. ∫ |
|
. |
|
||
π |
sin3 x |
|
4 |
|
|
1 |
− 2 x dx . |
1 |
|
|
8.32. ∫ x2e |
8.33. ∫ x2 arctg xdx . |
|||
0 |
|
|
0 |
|
2 |
|
− x dx . |
e |
(1+ ln x)2 dx . |
8.35. ∫ x 2 2 |
8.36. ∫ |
|||
1 |
|
|
1 |
|
§4. Несобственные интегралы
В задачах 8.37-8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами
интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:
|
∞ dx |
|
|
|
|||||
8.37. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
1 x |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
||
8.40. |
2∫ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||
|
(x − 1)5 |
||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
||
8.43. |
∫ |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
− ∞ x 2 + |
1 |
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.46. |
∫ e− 4 x dx . |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.49. |
∫ e−x3 x2 dx. |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ dx |
|
|
|
|
|
|
|
∞ dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.38. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.39. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ 1 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
xdx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8.41. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
8.42. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 2 + |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
∞ ln xdx |
||||||||||||||||||||||||
8.44. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
8.45. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2x + |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
2 x2 + |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8.47. |
∫ xe − 2 x dx |
|
|
|
8.48. |
∫ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
||||||||||||||||||
|
|
arctg xdx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8.50. ∫ |
|
|
. |
8.51. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x 2 + 1 |
|
|
|
|
e x |
|
|
|
ln3 x |
75
∞ |
xdx |
|
|
|
∞ |
dx |
|
∞ |
|
dx |
|
||
8.52. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
8.53. ∫ |
. |
8.54. ∫ |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
(x2 − |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
+ 2x + 2 |
||||||||
2 |
|
3) |
|
|
0 |
(x + 1) |
− ∞ x |
2 |
|
В задачах 8.55-8.63 вычислить интегралы от разрывных функций
(2 рода ) или установить их расходимость:
3dx
8.55.∫ .
0 9 − x 2
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.58. |
4 |
|
|
dx |
. |
|
|
|||
|
∫ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 x ln x |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
||
8.61. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x − |
1)2 |
||||||||
|
0 3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
||
8.56. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
x − 1 |
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.59. |
4 |
|
|
|
|
dx |
. |
|||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
1 − cos2x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x dx |
|
|
|
|
||||
8.62. ∫ |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
−1 |
|
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.57. |
∫ ln xdx . |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|||
|
0∫ |
|
|
|||||
8.60. |
|
|
|
|
. |
|||
(x − 1)2 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.63. |
e x dx |
. |
||||||
∫ |
||||||||
|
||||||||
|
0 |
|
|
x 2 |
§5. Приложения определённого интеграла
В задачах 8.64-8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
y = x2 + x
8.64. .
y = x + 1
|
y − sin x = 0 |
||||
8.67. |
|
|
|
2 |
|
|
y = |
x |
|||
|
|
|
|||
|
π |
||||
|
|
|
|
|
|
8.70. |
|
y = x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y + x2 = 2x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
y = tg x |
|
|||
8.73. |
|
y = 0 . |
|||
|
|||||
|
|
x = |
π |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
.
.
y = 4x − x2
8.65. .
y − x = 0
y = (x − 1)2
8.68. .
y = x + 1
|
y = cosx |
|||||
8.71. |
|
π |
|
π . |
||
|
= |
|||||
|
x + |
2 |
y |
2 |
||
|
|
|
|
|||
|
y = x3 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.74. |
y = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x = 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8.66. |
y = x2 + 1 |
. |
||||||
|
|
3 − x2 |
||||||
|
y = |
|
||||||
|
|
y = x 2 |
|
|||||
8.69. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = 2 2x |
|
||||||
|
y = |
|
|
|
|
|||
|
|
x3 |
|
|||||
8.72. |
|
x = 3 |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
y = 0 |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2− x |
|||||
8.75. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 y + 2 = 0 . |
||||||||
|
|
x − 2 = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
|
y = |
x |
|
|
|
8.76. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 4 − 3x . |
||||||
|
|
y = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
8.79. |
lg x + lg y = 0 |
|||||
|
. |
|||||
|
|
y = 0 |
||||
|
|
x = 2 |
||||
|
|
|
y + x 2 = 3x |
|
y = e2 x |
||
8.77. |
|
|
8.78. |
|
|
y = 6 − 2x . |
y = e−2 x . |
||||
|
|
x = 0 |
|
x − 3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (x − 1)2 |
|
y = 4x − x 2 |
||
|
|
x = 0 |
|
|
x = 0 |
8.80. |
|
8.81. |
|
||
|
. |
|
. |
||
|
|
y = 0 |
|
|
y = 1 |
|
|
x = 5 |
|
|
y = 3 |
|
|
|
|
Взадачах 8.82-8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями
вполярных координатах ( ρ > 0 ):
8.82. |
ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . |
8.83. |
ρ = 2cosϕ . |
8.84. |
ρ = 2sinϕ . |
||||
8.85. |
ρ = cos2ϕ . |
8.86. |
ρ = 2sin2ϕ . |
8.87. |
ρ = 4cos3ϕ . |
||||
8.88. |
ρ = 1 + sinϕ . |
8.89. |
ρ = 2(1 − sinϕ ). |
8.90. |
ρ = |
|
(1 + cosϕ ). |
||
2 |
|||||||||
8.91. |
ρ = |
|
(1 + sinϕ ). |
8.92. |
ρ 2 = 2 cosϕ . |
8.93. |
ρ 2 = 2 sinϕ . |
||
2 |
|||||||||
|
В задачах 8.94-8.102 вычислить площади |
фигур, ограниченных |
|||||||
линиями: |
|
|
|
|
|
|
8.94. |
x = 3cost |
. |
|
|
|
|
|
||
|
y = 3sin t |
|
|
|
8.97. |
x = 2 + 3cos t |
. |
||
|
+ 2sin t |
|||
|
y = 3 |
|
x = 2 + 2cost |
. |
|
x = 2cost |
. |
||
8.95. |
|
8.96. |
4sin t |
|||
y = 3 + 2sin t |
|
|
y = |
|
||
8.98. Астроидой |
x = cos3 t |
t Î[0;2π ] . |
|
|||
|
|
, |
|
|||
|
y |
= sin3 t |
|
|
|
8.99. Одной аркой циклоиды x = t − sin t |
и осью |
Ох . |
|
|
|
|
||||
|
|
y = 1 − cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.100.. |
Первой аркой циклоиды |
x = t − sin t |
и прямой |
y = |
1 |
|
( 0 < x < 2π ) . |
|||
|
||||||||||
|
|
|
y = 1 − cost |
|
|
2 |
|
|
||
8.101. |
x = 2cost |
, y = 3 ( y ³ 3 ) |
x = 8cos3 t |
x = 1 |
( x ³ 1 ) |
|
||||
|
8.102. |
|
, |
|
||||||
|
y = 6sin t |
|
y |
= 8sin3 t |
|
|
|
|
|
В задачах 8.103-8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением
вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:
77
8.103. |
y = 2x − x2 |
|
|
. |
|
|
|
y = 0 |
y − sin x = 0 |
|
|||
|
|
2 |
|
. |
8.104. |
y = |
x |
||
|
|
|
||
π |
|
|||
|
|
|
|
|
y = cos x |
|
|||
|
|
9 |
|
|
|
8.105. y = |
|
x |
2 . |
||
|
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 = |
3 |
|
|
|
2x − x2 − y = 0 |
|
y = ax − x2 , a > 0 |
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
2 |
. 8.107. |
. 8.108. |
|||||||||||
8.106. |
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + y = 0 |
|
. |
||||
|
2 |
+ y |
2 |
= |
1, (x > 0) |
|
2x2 |
|
|
y = 0 |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln x |
|
|
y = 2 . |
8.109. |
|
|
x = 2 |
|
xy = 4 |
|
|
|
x = 1 |
. |
8.110. |
|
x = 4 |
|
|
|
y = 0 |
|
y = 1 − x 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y − 2 |
|||
8.111. |
. |
||
|
x = 1 |
||
|
x = 0 |
||
|
В задачах 8.112-8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:
|
y 2 |
= 4 − x |
y = x3 |
8.112. |
|
||
|
. |
8.113. y = 0 . |
|
|
|
x = 0 |
x = 2 |
|
|
|
|
|
y = x2 − |
|
8.115. |
|
y = |
|
||
|
|
x = |
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
y = 1 |
8.118. |
||
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
y = e x |
|
|
|
|
8.121. |
y = 0 |
|
|
. |
|
|
x = 1 |
=x 0
2x + 1
0 |
. 8.116. |
2 |
|
. 8.119.
8.122.
y = 2x − x2 |
|
|
y = 2 − x . |
|
|
|
x = 0 |
|
|
x + y = 2 |
|
|
y = x . |
|
|
|
y = 0 |
|
y = x − 1y = 0
|
y = 1 . |
|||
|
|
1 |
|
|
|
x = |
|
||
|
||||
|
2 |
|
8.114.
8.117.
8.120.
8.123.
|
y 2 = x3 |
|
|
|
|
y = 0, (y > 0) |
||
|
x = 1 |
|
|
|
|
y = arcsin x |
||
|
= arccos x |
|
y |
||
|
y = 0 |
|
|
||
x + y = 2 |
||
|
y = x . |
|
|
||
|
x = 0 |
|
|
|
|
y 2 = x − 2 |
||
|
y = 0 |
|
|
||
|
|
. |
|
y = 1 |
|
|
y = x |
3 |
|
|
.
.
В задачах 8.124-8.132 вычислить длины дуг кривых:
|
|
|
|
8.124. |
y = 2 − x2 от точки B (− 1 ; 1) до точки A(1 ; 1 ). |
||
8.125. |
y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью OX . |
78
8.126. |
y = e x между точками, для которых x = 0 и x = 1 . |
|||||
8.127. |
y = |
1 |
(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1 |
|||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
и x = 0 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
x = 3(t - sin t) |
, π ≤ t ≤ 2π . |
|
8.128. Циклоиды |
|
- cost) |
||||
|
|
|
|
y = 3(1 |
|
8.129.
8.130.
|
x = 4cos3 t |
, 0 ≤ t ≤ |
π |
|
Астроиды |
|
3 t |
. |
|
|
y = 4sin |
|
4 |
|
x = R(cos t + t sin t ) |
от t1 = 0 до t 2 = π . |
Эвольвенты окружности |
|
|
|
y = R(sin t - t cos t ) |
|
8.131. Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ).
8.132. Окружности ρ = 23 cosϕ между точками, для которых ϕ = 0 и ϕ = π .
4
Глава № 9
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
|
|
|
|
|
|
|
|
§1. Область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В задачах |
9.1-9.12 найти и изобразить на координатной плоскости xOy |
|||||||||||||||||||||||||
области определения функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9.1. z = |
x + 2 y |
|
. |
|
|
|
9.2. z = |
|
1 |
. |
|
9.3. |
z = |
|
|
1 |
|
. |
|
|||||||
x - y |
x2 |
- y2 |
x |
2 |
+ 4 y2 - |
4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. 9.5. z = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.4. z = |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
1 − x2 |
1 − y2 |
. |
|
|
|
z = ln x + |
|
|
|
|
||||||||
x |
y |
|
1 - x - y |
|
|
9.6. |
|
|
|
y . |
9.7. z = |
1 |
- ln(x × y). |
|
||
|
x - 2 |
9.10. z = y + arcsin (x + 2).
|
|
ln(x 2 |
× y ) |
|
( |
- x |
2 |
- y |
2 ) |
|||||||
9.8. |
z = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
9.9. z = |
ln 1 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y - x |
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.11. z = |
1 + y2 |
. |
|
9.12. z = ln(y 2 − 4 x + 8). |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
79
§2. Линии уровня функции нескольких переменных
В задачах 9.13-9.24 написать уравнения линий уровня функции
z = f ( x ; y ) и построить их:
|
z = |
|
. |
|
z = |
|
x |
. |
|
|
||||
9.13. |
y − x2 |
9.14. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
z = |
y |
|
|
z = x × |
|
|
|
|
. |
||||
9.17. |
|
. 9.18. |
|
y - 1 |
||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.21. |
z = y 2 - x . |
9.22. |
z = |
y |
. |
|||||||||
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
9.15. |
z = |
y - x2 |
. |
9.16. z = x 2 × y + y . |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
9.19. |
z = x × y + y . |
9.20. |
z = |
|
|
- y . |
||||||
x |
||||||||||||
9.23. |
z = |
x |
2 |
. |
|
9.24. |
z = |
2 y |
. |
|||
y |
2 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
§3. Частные производные
В задачах 9.25-9.42 найти частные производные первого порядка :
9.25. |
z = x − y . |
|
|
|
9.26. |
z = x 2 + 3x × y - y 3 . |
|||||||||||
9.28. |
z = |
|
x × y |
|
|
. |
9.29. |
z = x × tg(y + 1) . |
|||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.31. |
z = x × ln y + arcsin y . |
9.32. |
z = arctg |
y |
. |
|
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
9.34. |
z = ysin x . |
|
|
|
9.35. |
z = (5x3 × y 2 + 1 )4 . |
|||||||||||
|
|
y |
|
|
z = ln(x + |
|
). |
||||||||||
9.37. |
z = x × ln |
. |
9.38. |
x2 + y2 |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.40. |
u = x × y + y × z + x × z . |
9.41. |
|
y |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u = x z |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.27. z = u + v . v u
9.30. z = 2 y . sin x
9.33. z = x y .
y
9.36.z = e x .
9.39.u = x × y × z .
9.42.u = x y z .
|
В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка |
z′′ |
z |
′′ |
, |
z′′ |
|||||
|
xx , |
|
yy |
xy : |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
9.43. |
z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 . |
9.44. |
z = |
|
(x 2 + y 2 )3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
80