7837
.pdf7.54. ∫ x × sin(1 - x2 )dx .
arctg2 x
7.57. ∫ 1 + x 2 dx .
dx
7.60. ∫ arccos 2 x × 1 - x 2
tg x
7.55. ∫ cos2 x dx.
7. 58. ∫ 3arcsin x dx .
1 - x 2
3x + arcsin x
. 7.61. ∫ 1 - x 2 dx .
7.63. ∫ |
dx |
|
. |
7.64. ∫ |
|
dx |
|
. |
||
|
|
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|||||
4x - 3 |
- x |
2 |
1 - 2 x - x 2 |
|||||||
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7.56. ∫ ctg x dx .
7.59. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
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|
. |
|
|
|
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4 - (2x + 3)2 |
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7.62. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
||
|
|
|
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|||||||
|
x 2 + 2x + 2 |
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7.65. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
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4x + x 2 |
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§3. |
Интегрирование по частям |
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В задачах 7.66-7.92 |
вычислить интегралы |
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7.66. |
∫ x × sin xdx . |
|
7.67. |
∫ x × cos 2x dx . |
7.68. |
∫ (5x + 6)× sin 3xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||
7.69. |
∫ |
x |
dx . |
|
7.70. |
∫ (3 - x )× e 2 x dx . |
7.71. |
∫ x × 2 − x dx . |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
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||||
7.72. |
∫ |
|
|
x |
|
dx . |
|
7.73. |
∫ |
|
x |
|
|
dx . |
7.74. |
∫ |
x × cos x |
dx . |
||||||||||||||||
sin 2 |
|
|
cos2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|||||||||||||||||
7.75. |
∫ |
x ×sin x |
dx . |
|
7.76. |
∫ ln xdx . |
|
|
|
7.77. |
∫ x × ln(x - 1)dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
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|
cos2 x |
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|||||||
7.78. ∫ |
ln |
x |
|
dx . |
|
7.79. |
∫ |
|
ln x |
dx . |
7.80. |
∫ ln (x 2 + 1)dx . |
||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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|
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|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||
7.81. |
∫ arcsin xdx . |
|
7.82. |
∫ |
arcsin x |
dx . |
7.83. |
∫ arctgxdx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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1 + x |
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|
||||||
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|||||||||||||||||||
7.84. |
∫ x arcctgxdx . |
|
7.85. |
∫ |
|
|
|
|
x |
dx . |
7.86. ∫ |
x |
dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
||||
7.87. |
∫ x 2 sin xdx . |
|
7.88. |
∫ ln 2 xdx . |
7.89. |
∫ x 2 × e − x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||
7.90. |
∫ x 2 × 2 x dx . |
|
7.91. |
∫ e x sin xdx . |
7.92. |
∫ e x cos xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||
7.93. Вычислить разность |
F (2) − F (1) , |
если F (x) - |
первообразная для |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функции x ln x . |
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|||||||||
7.94. Вычислить разность |
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|
π |
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|
, если |
F (x) |
- первообразная для |
|||||||||||||||||||||
F (2π ) - F |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3 |
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|
|
функции (x + 6)cos3x .
71
|
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|
§4. |
|
|
|
Интегрирование рациональных функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В задачах 7.95-7.115 вычислить интегралы |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.95. |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
7.96. |
|
|
|
|
dx . |
7.97. |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - |
|
|
x2 - |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
∫ |
|
(x − 4)dx |
|||||||||||||||||||||
7.98. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.99. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
(x + 2)(x + 3) |
|
(x + 1)(2x - 3) |
|
(x - 2)× (x - 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2x + 7)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.101. ∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
3x + 2x - 3 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
7.102. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
7.103. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ x - |
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - x |
|||||||||||||||||||||||||
7.104. ∫ |
|
x3 -1 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
7.106. ∫ |
|
|
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx . |
7.105. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x × (x +1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 - x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7.107. ∫ |
|
|
dx . |
7.108. |
|
|
dx . |
7.109. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 3 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 - x |
|
|
|
|
x 4 - x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.110. ∫ |
|
x ×(x2 +1). |
7.111. |
∫ |
|
. |
|
7.112. |
∫ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 - 1 |
x 3 - 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
113. ∫ |
x − 2 |
|
7.114. ∫ |
|
x − 2 |
|
|
|
dx . 7.115. ∫ |
|
|
x |
2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||
|
4 - |
|
|
x3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + x |
|
|
+ 4x 2 + 4x |
§5. Интегрирование тригонометрических функций
В задачах 7.116-7.133 вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.116. ∫ sin 3x ×sin 7x dx . |
7.117. |
∫ sin 2x × cos6x dx . |
7.118. ∫ cos |
x |
× cos |
x |
dx . |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|||
7.119. |
∫ sin3 x dx . |
7.120. ∫ cos5 x dx . |
7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx . |
||||||||||||||||||
7.122. |
∫ |
cos 3 x |
dx . |
7.123. |
∫ |
sin 3 x |
|
dx . |
7.124. ∫ ctg 3 xdx . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sin 2 x |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ tg |
4 |
|
|
|
∫ sin |
2 |
x |
7.127. ∫ cos |
2 |
|
x |
|||||||||
7.125. |
|
xdx . |
7.126. |
|
|
dx . |
|
|
|
dx . |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
7.128. ∫ cos 4 xdx . |
|
∫ |
|
dx |
7.130. ∫ |
dx |
|||||||
7.129. |
|
|
. |
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3sin x |
|
|
5 cos 2x |
||||
7.131. ∫ |
dx |
|
∫ |
|
dx |
7.133. ∫ |
|
dx |
|||||
|
. |
7.132. |
|
|
. |
|
. |
||||||
5cos x + 3 |
|
1 + sin x |
1 + sin x + cos x |
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
В задачах 7.134-7.150 вычислить интегралы
7.134.
7.137.
7.140.
7.143.
7.146.
7.149.
∫ x × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||
x + 5 |
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x - |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 x |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
∫ x3 × |
|
1 + x 2 dx . |
||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 - 1 |
7.135.
7.138.
7.141.
7.144.
7.147.
7.150.
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
||||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x + 1 |
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x × |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x - 1 |
1
∫ x + 3 x 2 dx .
∫ x ×(1+ x )3 dx .
∫ |
|
1 |
|
dx . |
x × |
|
|
||
|
||||
|
x2 + 1 |
1
7.136. ∫ - dx .
x 1
7.139. |
∫ |
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
∫ |
|
|
x 2 |
|||||||
7.142. |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x - 1 |
||||||
7.145. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
+ 3 x - 2 |
7.148. ∫ 9 - x 2 dx .
§7. Смешанные примеры
7.151. Найти ту первообразную от функции |
1 |
x |
, которая принимает |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
значение 3 при |
x = 2 . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|||||||||||
7.152. График первообразной |
F(x) для функции |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
проходит |
|||||||||||||
(x - 4)× |
|
|
|
|
||||||||||||||
x - 4 |
||||||||||||||||||
через точку A( 5 ; 0 ) . Найти |
F (8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В задачах 7.153-7.196 |
вычислить интегралы |
|
|
|
2 − 4x |
|
|
|||||||||||
7.153. ∫ (x + 1)× |
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx . |
||||||||||
x2 + 2x dx . |
7.154. ∫ x4 × 4 1 - 6x5 dx . 7.155. |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x -1 |
73
7.156.
7.159.
7.162.
7.165.
7.168.
7.171.
7.174.
7.177.
7.180.
7.183.
7.186.
7.189.
7.192.
7.195.
(2x + 3)dx
∫ x 2 - 4 .
xdx
∫ x 4 +1 .
dx
∫ e x × 1 - e− 2 x .
∫ 1 - xdx . x
x− 1
∫1 - x dx .
∫x ×sin 2 xdx .
x2 + 1
∫x3 − x2 dx .
∫ sin x × cos3x dx .
ln x
∫ x 3 dx .
2 x
∫ dx .
1 + 2 x
x 2
∫ dx .
8x3 + 27
∫ |
dx |
|
|
x × (1 |
+ x) . |
||
|
∫ sin2 |
x |
× cos2 |
x |
dx . |
|
|
2 |
||||
|
2 |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
∫ |
ex × (3 + e− x ) . |
dx
7.157. ∫ 1 + 9x 2 .
e x dx
7.160. ∫ e2 x + 4 .
dx
7.163. ∫ x × 3 - ln2 x .
7.166. ∫ |
|
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
x × (1 - x) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.169. ∫ |
|
|
|
|
arccos x |
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|||||||
7.172. ∫ x × tg 2 xdx . |
|||||||||||||||
7.175. ∫ |
|
|
x4 +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x3 - x 2 |
|||||||||||
7.178. |
∫ sin4 x × cos5 x dx . |
||||||||||||||
7.181. |
∫ |
|
|
|
|
tg x |
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cos x |
|||||||||
|
∫ |
1 + tg |
3 x |
||||||||||||
7.184. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
7.187. |
∫ |
x |
|
|
dx . |
|
(2 + x 2 )3 |
||||||
7.190. |
∫ |
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
||||
|
cos2 |
|
||||
|
|
|
x2 |
|
7.193. ∫ tg2 4xdx .
dx
7.196. ∫ 2 - 6x - 9x 2 .
dx
7.158. ∫ 2x2 + 9 .
7.161. ∫ e x × 1 - e x dx .
|
ln x dx |
7.164. ∫ |
x × (1 - ln2 x). |
7.167. ∫ x3 × 51 - 5x4 dx .
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
sin |
dx |
||||
7.170. ∫ |
|
x2 |
|
. |
|||
|
x3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.173. ∫ |
|
arctg x dx |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
7.176. ∫ |
sin 2x |
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
5 - cos 2x |
7.179. ∫ cos5x × cos x dx .
7.182. ∫ |
|
ln x |
dx . |
|
|
|
|||
|
|
|
x 2 |
|
7.185 ∫ |
|
2 x |
||
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
||
1 |
+ 4 x |
7.188 ∫ |
ln 2 x + 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.191. ∫ cos |
|
|
|
dx |
|
. |
||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
7.194. ∫ |
|
sin 5x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+ cos 5x |
||||||||||||
7.198. ∫ |
|
|
x − 1 |
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x - |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
7.199. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
7.200. ∫ |
|
x − 2 |
|
|
dx . |
7.201. ∫ tg 7 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− 2x |
− x 2 |
|
2x − x |
2 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Глава № 8
Определенный интеграл
§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и подведение функции под знак дифференциала
В задачах 8.1-8.12 вычислить интегралы
|
3 |
|
|
|
|
|
|
8.1. |
∫ 5x 2dx . |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
dt |
|
|
|
|
8.5. |
∫ |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
3t + |
4 |
||||||
|
−1 |
|
|
π
4dx
8.2.π∫ cos2 x .
6
5 dx
8.6.1∫ 3x - 2 .
|
4 |
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
8.3. |
∫ |
1 |
+ e |
4 dx . |
8.4. |
∫ xe − x 2 dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
0∫ |
|
|
|
|
|
1∫ |
|||
8.7. |
|
. |
8.8. |
|
. |
|||||
(2 x + 1)3 |
x 2 + x |
2 |
|
|
dx |
2 |
x + 3 |
|
e |
2 |
|
|
e3 |
|
dx |
|
|
8.9. ∫ |
|
|
. 8.10. ∫ |
dx . |
8.11. ∫ |
ln |
|
x dx |
. |
8.12. ∫ |
|
. |
|||
|
2 |
+ 5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 x |
0 x 2 + 4 |
1 |
|
|
x |
1 |
x × 1 + ln x |
|
§2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах 8.13-8.24 |
вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.13. ∫ |
|
|
|
|
dx . |
8.14. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
8.15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
+ x |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
2x + 1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
13 |
(x + 1) |
|
0 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8.16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
8.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
8.18. ∫ |
4 - x |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−11 |
|
x + 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ex -1dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
8.20. |
|
|
|
|
8.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x2 × |
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 1 + e x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e 4 |
1 + ln x |
|
|
|
|
(2 tg x − 7)dx |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8.22. ∫ |
|
|
dx . |
8.23. |
|
|
|
|
. |
8.24. |
∫ |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x − 9 sin |
2 |
x |
|
0 |
|
|
|
|
6 - x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах
1
8.25. ∫ x e− x dx .
0
1
8.28. ∫ arctg x dx
0
π
8.25-8.36 вычислить интегралы
π
8.26. 2∫ (x − 1) cos x dx .
0
|
e ln x dx |
|
||
. |
8.29. ∫ |
|
. |
|
x3 |
||||
|
1 |
|
4 |
xdx |
|
1 |
− 2 x dx . |
|
8.31. ∫ |
. |
8.32. ∫ x 2e |
|||
|
|||||
π sin2 3x |
0 |
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
8.27. π∫ (π − x) sin x dx .
0
|
π |
|
|
|
8.30. |
4 |
xdx |
. |
|
∫ |
||||
|
||||
|
0 cos2 x |
1
8.33. ∫ x2 arctg xdx .
0
2 |
x cos xdx |
|
2 |
− x dx . |
e |
(1 + ln x)2 dx . |
|
8.34. ∫ |
. |
8.35. ∫ x 2 2 |
8.36. ∫ |
||||
|
|||||||
π |
sin3 x |
1 |
|
1 |
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
§4. Несобственные интегралы
В задачах 8.37-8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами
интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:
∞ dx |
|
∞ dx |
∞ dx |
|||||||
8.37. ∫ |
|
|
. |
8.38. ∫ |
|
8.39. ∫ |
|
|
|
. |
|
2 |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
1 x |
|
1 |
1 |
|
x |
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∞ |
1 + x |
2 |
|
|
|
|
∞ |
xdx |
|
|
|
||||||||
8.40. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
8.41. |
∫ |
|
|
|
dx . |
|
8.42. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
(x |
− 1)5 |
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 x 2 + |
1 |
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
∞ ln xdx |
||||||||||||||
8.43. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
8.44. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
8.45. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
2 + |
1 |
|
2 + 2x + 3 |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
− ∞ x |
|
|
|
2 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
8.46. |
∫ e− 4 x dx . |
8.47. |
∫ xe − 2 x dx |
|
8.48. |
∫ |
e |
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
76
|
∞ |
|
|
||
8.49. |
∫ e−x3 x2 dx. |
||||
|
0 |
|
|
||
|
∞ |
xdx |
|||
|
∫ |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
8.52. |
(x2 − 3)3 . |
||||
2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
||||||
|
|
arctg xdx |
|
|
|
||||||||||||
8.50. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
8.51. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x 2 + |
1 |
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
e x |
|
ln3 x |
|
|||||||||
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
||||
8.53. ∫ |
|
|
. |
|
|
|
8.54. |
∫ |
|
|
|
. |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ 2x + 2 |
|||||||||
0 |
(x + 1) |
|
|
|
− ∞ x |
2 |
|
В задачах 8.55-8.63 вычислить интегралы от разрывных функций
(2 рода ) или установить их расходимость:
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|||||
8.55. |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
8.56. ∫ |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x − 1 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.58. |
4 |
|
dx |
. |
|
|
|
|
8.59. |
4 |
|
|
|
|
dx |
. |
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
x ln x |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 − cos2x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.61. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
8.62. |
0 |
e x dx |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x − |
1)2 |
∫ |
|
|||||||||||||||||
|
0 3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.57. |
∫ ln xdx . |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|||
|
0∫ |
|
|
|||||
8.60. |
|
|
|
|
. |
|||
(x − 1)2 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.63. |
e x dx |
. |
||||||
∫ |
||||||||
|
||||||||
|
0 |
|
|
x 2 |
§5. Приложения определённого интеграла
В задачах 8.64-8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
y = x2 |
+ x |
. |
y = 4x − x2 |
. |
y = x2 |
+ 1 |
. |
||
8.64. |
+ 1 |
8.65. |
y − x = 0 |
8.66. |
− x2 |
||||
y = x |
|
|
|
y = 3 |
|
|
y − sin x = 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y = x |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (x − 1) |
|
|
|
|
|||||||
8.67. |
|
y = |
2 |
|
|
. |
8.68. |
|
|
|
. |
8.69. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y = x + |
1 |
|
y = 2 2x |
||||||||||
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|||||
|
|
y = x |
2 |
|
|
|
|
y = cosx |
|
|
x3 |
||||||||
8.70. |
|
|
. |
8.71. |
|
|
π |
π . |
8.72. |
|
x |
= 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y + x2 = |
2x |
|
|
x + |
y = |
2 |
|
|
y |
= 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
|
|
|
|
|
|
|
|
y = tg x |
|||||
8.73. |
|
y = 0 . |
||||
|
|
x = π |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
y = |
|
. |
|||
8.76. |
4 − 3x |
|||||
|
|
y = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
8.79. |
lg x + lg y = 0 |
|||||
|
. |
|||||
|
|
y = 0 |
||||
|
|
x = 2 |
||||
|
|
y = x3 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
8.74. y = |
|
|
. |
|
x |
||||
|
|
|||
x = 2 |
|
|||
|
|
|
|
y + x 2 = 3x
8.77.y = 6 − 2x .
|
x = 0 |
|
|
y = (x − 1)2 |
|
|
x = 0 |
|
|
8.80. |
. |
|
y = 0 |
|
x = 5 |
|
y = 2− x
8.75.x − 2 y + 2 = 0 .
|
|
x − 2 = 0 |
|
|
|
|
y = e2x |
|
8.78. |
y = e−2x . |
|
|
x − 3 = 0 |
|
|
|
|
|
y = 4x − x 2 |
|
|
|
x = 0 |
8.81. |
|
|
|
. |
|
|
|
y = 1 |
|
|
y = 3 |
|
|
Взадачах 8.82-8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями
вполярных координатах ( ρ > 0 ):
8.82. |
ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . |
8.83. |
ρ = 2cosϕ . |
8.84. |
ρ = 2sinϕ . |
||||
8.85. |
ρ = cos2ϕ . |
8.86. |
ρ = 2sin2ϕ . |
8.87. |
ρ = 4cos3ϕ . |
||||
8.88. |
ρ = 1 + sinϕ . |
8.89. |
ρ = 2(1 − sinϕ ). |
8.90. |
ρ = |
|
(1 + cosϕ ). |
||
2 |
|||||||||
8.91. |
ρ = |
|
(1 + sin ϕ ). |
8.92. |
ρ 2 = 2 cosϕ . |
8.93. |
ρ 2 = 2 sin ϕ . |
||
2 |
В |
задачах |
|
8.94-8.102 |
вычислить площади фигур, |
ограниченных |
|||
линиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3cost |
. |
8.95. |
x = 2 + 2 cost |
. |
x = 2 cost |
. |
||
8.94. |
|
|
8.96. |
|
||||
y = 3sint |
|
|
y = 3 + 2sin t |
|
y = 4sin t |
|
x = 2 + 3cost |
. |
8.98. Астроидой |
|
8.97. |
+ 2sin t |
||
y = 3 |
|
|
x = t − sint
8.99. Одной аркой циклоиды = −
y t cost
x = cos3 t |
, t [0;2π ] . |
|
|
y = sin3 t |
|
и осью Ох .
78
x = t − sint |
|
y = |
1 |
( 0 < x < 2π ) . |
|
8.100.. Первой аркой циклоиды |
и прямой |
||||
|
|||||
y = t − cost |
|
2 |
|
x = 2 cost |
, y = 3 ( y ³ 3 ) |
8.102. |
x = 8cos3 t |
x = 1 ( x ³ 1 ) |
|
8.101. |
|
, |
|||
y = 6sin t |
|
|
y = 8sin |
3 t |
|
В задачах 8.103-8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:
y = 2x − x2 |
|
8.103. |
. |
|
y = 0 |
y − sin x = 0 |
|
|||
|
|
2 |
|
. |
8.104. |
y = |
x |
||
|
|
|
||
π |
|
|||
|
|
|
|
|
y = cos x |
|
|||
|
|
9 |
|
|
|
8.105. y = |
|
x |
2 . |
||
|
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 = |
3 |
|
|
2x − x2 − y = 0 |
y = ax − x2 , a > 0 |
|||||
|
|
|
|
x |
||||||||
|
2 |
|||||||||||
8.106. |
|
|
|
|
|
. 8.107. |
|
− 4x + y = 0 |
. 8.108. |
. |
||
|
2 |
+ y |
2 |
= |
1, (x > 0) |
2x2 |
|
y = 0 |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
y = ln x |
|
|
y = 2 . |
8.109. |
|
|
x = 2 |
|
xy = 4 |
|
|
|
x = 1 |
. |
8.110. |
|
x = 4 |
|
|
|
y = 0 |
|
y = 1 − x 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y − 2 |
|||
8.111. |
. |
||
|
x = 1 |
||
|
x = 0 |
||
|
В задачах 8.112-8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением
вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:
y 2 |
= 4 − x |
y = x3 |
|
||
8.112. |
. |
8.113. y = 0 . |
|
x = 0 |
x = 2 |
|
|
|
y = x2 − 2x + 1 |
|
|
|
y = 0 |
. 8.116. |
8.115. |
||
|
x = 2 |
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
y = 1 . |
8.119. |
8.118. |
||
|
x = 0 |
|
|
|
y = 2x − x2 |
|
|
y = 2 − x . |
|
|
|
x = 0 |
|
|
x + y = 2 |
|
|
y = x . |
|
|
|
y = 0 |
|
8.114.
8.117.
8.120.
|
y 2 = x3 |
|
|
y = 0, (y > 0) |
|
|
x = 1 |
|
|
y = arcsin x
y = arccos x
|
y = 0 |
|
x + y = 2 |
|
|
y = x . |
|
|
|
x = 0 |
|
.
.
79
y = e x |
|
|
|
y = 0 |
. |
8.121. |
|
x = 1 |
|
|
|
x = 0 |
|
y = |
x − 1 |
|
||||
|
y = 0 |
|||||
|
||||||
8.122. |
y = 1 . |
|||||
|
x = |
1 |
|
|
||
|
|
|||||
|
||||||
|
2 |
|
|
y 2 = x − 2 |
||
|
y = 0 |
|
|
||
8.123. |
|
. |
|
y = 1 |
|
|
y = x |
3 |
|
|
В задачах 8.124-8.132 вычислить длины дуг кривых:
8.124. |
y = |
2 − x2 |
от точки |
B (− 1 ; 1) до точки |
A(1 ; 1 ). |
||
8.125. |
y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью OX . |
||||||
8.126. |
y = e x между точками, для которых x = 0 |
и x = 1 . |
|||||
8.127. |
y = |
1 |
(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1 |
||||
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
и x = 0 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x = 3(t − sin t) |
, π ≤ t ≤ 2π . |
|
|
8.128. Циклоиды |
|
|
|
||||
|
|
|
|
y = 3(1 − cost) |
|
|
8.129.
8.130.
x = 4cos3 t |
, |
0 ≤ t ≤ |
π |
. |
|
|
|
Астроиды |
|
|
|
|
|||
y = 4sin3 t |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x = R(cos t + t sin t ) |
от t1 |
= 0 |
до t 2 = π . |
||
Эвольвенты окружности |
|
|
|
− t cos t ) |
|||
|
|
y = R(sin t |
|
|
|
8.131. |
Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ). |
||
8.132. |
Окружности ρ = 2 |
|
cosϕ между точками, для которых ϕ = 0 и |
3 |
ϕ = π .
4
Глава № 9
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
80