7959

		20
		y		y		y		(23)
	grad y(x)		,		, ...,
		x1		x2		xn

служат, как известно, коэффициенты при линейных членах разложения функ-

ции у(х) в ряд Тейлора по степеням xi (i = 1, 2, ..., n), то соответствующие ком-

поненты вектора градиента могут быть получены как коэффициенты b1, b2, ..., bn линейной аппроксимации поверхности отклика вблизи исходной точки х1:

yˆ(x) b0 b1x1 b2 x2 ... bn xn .

(24)

Проведение эксперимента, вычисление коэффициентов линейной модели

и статистический анализ результатов проводят в соответствии с рекомендация-

ми, приведенными в п. 2.2;

2) вычисляются произведения bi xi, где xi – шаг варьирования параметра xi – при проведении ПФЭ, и фактор, для которого это произведение максималь-

но, принимается за базовый, т. е.

	max(bi xi ) bδ xδ ;	(25)
3)	для базового фактора выбирается шаг варьирования при крутом вос-
хождении λкв = хδ или вводится более мелкий;
4)	определяются размеры λкв по остальным	переменным процесса

хf (f ≠ 1). Поскольку при движении по градиенту варьируемые параметры долж-

ны изменяться пропорционально коэффициентам bf = у/						хf [компонентам век-
тора grad у(х)], то соответствующие находятся но формуле
λ fкв	bf x f				λкв ,	(26)
		bδ xδ

где λкв и хf всегда положительны, а коэффициент bf берется со своим знаком;

5) производятся так называемые мысленные опыты, которые заключают-

ся в вычислении «предсказанных» значений выхода yˆпрh (xh ) в определенных точках хh факторного пространства (рис. 5, а). Для этого независимые перемен-

ные линейной модели объекта изменяются с учетом (26) таким образом, чтобы

21

изображающая точка х совершала шаговое движение в направлении вектора grad у(х), полученного выше, занимая последовательно положения

x1, x2 , ..., xm .

Очевидно, f-координата h-ой точки будет

		xhf	x1 f h fкв ;				f 1, 2, ..., n,		(27)
	тогда
	yˆ			n		fкв			(28)
		b	h	b			,	h 1, 2, ..., m.
					f x f
	прh	0		f 1
	Вычисления по (28) можно упростить, заменив их выражением
	yˆпрh hyˆпр1 (h 1)b0 ,							h 1, 2, ..., m	(29)
	или еще более удобным рекуррентным соотношением
	yˆпрh yˆпрh 1			( yˆпр1 b0 ),				h 1, 2, ..., m;	(30)
	6) мысленные опыты продолжаются до тех пор, пока выполняется нера-
	венство
			yˆпрh (1 2) yмакс ,						(31)

где умакс – максимально возможный выход, определяемый из физических сооб-

ражений.

Если условие (31) нарушается при k ≤ 3, то шаг λкв следует уменьшить, и,

наоборот, когда k слишком велико, шаг надо увеличить. Таким образом, мыс-

ленные опыты помогают подобрать подходящий шаг λкв; 7) некоторые из мысленных опытов (обычно через каждые два-три мыс-

ленных шага) реализуются на объекте для проверки соответствия аппроксима-

ции объекта гиперплоскостью. Наблюдаемые значения уэк сравниваются с предсказанными yˆпр (рис. 5, б);

22

Рис. 5. Метод крутого восхождения:

а– иллюстрация движения к экстремуму; б – сравнение предсказанных y(x)

инаблюденных значений yэк (x).

8)точка х, где в реальном опыте получено максимальное значение выхо-

да, принимается за новую начальную точку, в окрестности которой снова про-

водятся ПФЭ и ДФЭ, и цикл крутого восхождения, описанный выше, повторя-

ется;

9) поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает нас к обла-

сти экстремума у (х), где крутизна поверхности отклика меньше, то для каждого последующего цикла выбирается равным или меньшим, чем для предыдущего;

10) поиск прекращается, когда все коэффициенты bi (i = 1, 2, ..., п) линей-

ной модели объекта получаются незначимыми. Это свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции.

2. Симплексный метод оптимизации.

Основной особенностью симплексного метода поиска является совмеще-

ние процессов изучения поверхности отклика и перемещения по ней. Это до-

стигается тем, что эксперименты ставят только в точках факторного простран-

ства, соответствующих вершинам симплексов; n-мерный симплекс – это выпук-

лая фигура, образованная п + 1 точками (вершинами). Так, на плоскости сим-

плексом является треугольник, в трехмерном пространстве – тетраэдр и т. д.

23

Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны.

В основе использования симплекса для целей оптимизации лежит следу-

ющее его важное свойство: из любого симплекса можно, отбросив одну из вер-

шин и использовав оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всего лишь одну точку. Путем последовательного отбрасывания вершин можно осу-

ществлять перемещение симплекса в факторном пространстве, причем это пе-

ремещение будет происходить с каждым экспериментом.

Если произвести эксперимент в вершинах симплекса, то очевидно, что направление максимального подъема поверхности отклика, определенное на основании сделанных измерений, будет проходить из центра симплекса через грань, противолежащую вершине с минимальным значением выхода y. Поэтому для продвижения к экстремуму естественно перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения отклика, путем отбрасывания вершины с минимальным выходом y и построения регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным отоб-

ражением отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным откликом и построения нового симплекса повторяется, в результате чего фор-

мируется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к точке экстремума (рис. 6).

Симплексный метод оптимизации осуществляется в следующей последо-

вательности:

1) из априорных сведений о процессе задается шаг варьирования

хi (i = 1, 2, ..., п) по каждому фактору хi;

2)задается размер симплекса ρ, т. е. расстояние между двумя вершинами

вединицах (шагах) варьирования соответствующих факторов;

3)производится ориентация первоначального симплекса. Для этого одна

из вершин C10 помещается в исходную точку х1. Положение остальных вершин начального симплекса определяется с помощью векторов

24

	C0			x			ρ( p x , q x				, ..., q x );
		2				1		1		2				n
	C30 x1						ρ(q x1, p x2 , ..., q xn );
																								(32)
	C0					x ρ(q x , q x , ...,							p x ),
		n 1					1	1			2					n
где
		1				n 1			,				1							1 .				(33)
p								n 1			q						n 1
	n											n
			2											2
Для двухфакторной задачи координаты вершин																		C 0	,		C 0	,	C 0	начального
																		1			2		3

симплекса при ρ = 1 приведены в табл. 4. Положение начального симплекса в факторном пространстве для этого случая дано на рис 7;

4) реализуется эксперимент в вершинах симплекса, т. е при значениях ва-

рьируемых		параметров		хi, соответствующих		координатам вершин
C1, C2, ..., Cn +1		Наблюденные значения выхода в соответствующих точках будем
обозначать уli, где l – номер симплекса, a i – номер вершины.
						Таблица 4
				Координаты вершин симплекса
	Вершина				Ось
				x1		x2
	C 0			x11		x12
	1
	C20			x11+p x1		x12+q x2
	C 0			x11+q x1		x12+p x2
	3

Рис. 6. Оптимизация симплексным методом.

25

Рис. 7. Определение координат вершин регулярного симплекса.

5) точка Clf, в которой наблюдается минимальный отклик, т. е. выполня-

ется условие ylf min yli , отбрасывается и находится вершина C(l +1) f следую-

i

щего симплекса – зеркальное отображение Clf относительно оставшейся грани. Координаты хi (i = 1, 2, ..., п) точки Clf обозначим xlfi, тогда для C(l +1) f будем иметь

x		2	(x	x	x		x	) x ,	i 1, 2, ..., n.	(34)
(l 1) fi		n	l1i	l 2i	l ( f 1)i		l (n 1)i	lfi
Если в результате эксперимента в двух вершинах симплекса окажется
одинаковое минимальное значение выхода, т. е.
					yif	ylh min yli ,				(35)
							i

то решение о дальнейшем движении симплекса принимается случайным обра-

зом (например, бросанием монеты);

6) производится эксперимент в вершине C(l + 1)f нового симплекса C(l + 1)1 C(l + 1)2, C(l + 1)3, …, C(l + 1)(n +1) и его результаты y(l +1)i сопоставляются со значениями выхода в остальных вершинах. Затем повторяется процедура отбрасывания вершины с минимальным выходом.

Если значение выхода y(l +1)f во вновь определенной вершине снова ока-

жется минимальным, то осуществляют возврат к исходному симплексу и от-

брасывание вершины со следующим по порядку минимальности значением вы-

хода;

7) критерием выхода в район оптимума служит прекращение поступа-

тельного движения симплекса. Он начинает вращение вокруг одной из вершин

26

(т. е. одна и та же точка встречается более чем в п + 1 последовательных сим-

плексах). Подобная ситуация может возникнуть в двух случаях:

а) более высокий отклик в указанной точке получился в результате вли-

яния ошибок эксперимента. В этом случае повторный эксперимент проясняет картину, и поиск точки экстремума продолжается в прежней последователь-

ности;

б) если повторный эксперимент в сомнительной точке вновь даст самое большое значение отклика, то, очевидно, данная вершина находится в непо-

средственной близости от точки экстремума и поиск прекращается.

Для n = 3 и п = 7 эксперименты в вершинах регулярного симплекса обра-

зуют при соответствующей ориентации план, совпадающий с ДФЭ типов 23 1 и

27 - 4; отсюда следует, что по данным этих экспериментов легко могут быть вы-

числены коэффициенты линейной модели.

Симплексный метод оптимизации целесообразно применять в ситуациях,

когда дисперсия помехи велика и нет априорной информации о характере по-

верхности отклика.

2.4 Планирование эксперимента второго порядка

Планированием эксперимента второго порядка называется такое плани-

рование, которое позволяет получить математическую модель исследуемого объекта в виде полного полинома второго порядка

	n				n			n
yˆ b	b x					b x x	f	b x2			(36)
0	i	1	i i		i, f 1	if i		i	1	ii i

i f

и аппроксимация ее плоскостью не обеспечивает требуемую точность.

Планы второго порядка отличаются от линейных тем, что факторы варьи-

руются на нескольких уровнях, как минимум на трех.

Экспериментальные планы второго порядка являются, как правило, ком-

позиционными, т. е. состоящими из нескольких блоков, реализуемых последо-

вательно: а) ПФЭ или ДФЭ; б) центральные точки, расположенные в начале ко-

27

ординат факторного пространства безразмерных переменных; в) так называе-

мые звездные точки, координаты которых соответственно равны нулю, за ис-

ключением одной, которая принимает значения +α и –α, где α – звездное плечо.

Экспериментальные планы второго порядка могут быть классифицирова-

ны с точки зрения заложенных в них критериев оптимальности. Выбор соответ-

ствующего плана решается исследователем до проведения эксперимента

Ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП).

В ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга.

Преимущество такого планирования заключается в простоте вычисления коэффициентов модели методом наименьших квадратов

В табл. 5 приведены параметры ортогонального плана, где α – звездное плечо; NФ – число точек ПФЭ (ДФЭ); N0, Nα – числа центральных и звездных точек соответственно; N – общее число точек.

Звездные точки определяются значением α, характеризующим уровень варьирования одной из переменных при нулевых значениях других перемен-

ных. Значение α рассчитывается из условия ортогональности столбцов матрицы планирования.

Таблица 5

Параметры ортогонального плана

n	α	NФ	Nα	N0	N
2	1,0	4	4	1	9
3	1,215	8	6	1	15
4	1,414	16	8	1	25

Матрица планирования для п = 3 приведена в табл. 6. Ортогонализация

столбцов х0 и xi2 проводится путем преобразования

x 2			1	N			x 2
	x2			x2		x2		x2	0,73.	(37)
i	i		N g 1		gi	i	i	i

28

Таблица 6

Ортогональный центральный композиционный план для n = 3

	Параметры плана	N	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
			x0	x1	x2	x3	x2	x2	x2	x1x2	x1x3	x2x3
							1	2	3
		1	+1	–1	–1	–1	0,27	0,27	0,27	+1	+1	+1
		2	+1	+1	–1	–1	0,27	0,27	0,27	–1	–1	+1
		3	+1	–1	+1	–1	0,27	0,27	0,27	–1	–1	–1
	Полный факторный	4	+1	+1	+1	–1	0,27	0,27	0,27	+1	–1	–1
	эксперимент	5	+1	–1	–1	+1	0,27	0,27	0,27	+1	–1	–1
		6	+1	–1	+1	+1	0,27	0,27	0,27	–1	+1	–1
		7	+1	–1	+1	+1	0,27	0,27	0,27	–1	–1	+1
		8	+1	+1	+1	+1	0,27	0,27	0,27	+1	+1	+1
		9	+1	–1,215	0	0	0,75	–0,73	–0,73	0	0	0
		10	+1	–1,215	0	0	0,75	–0,73	–0,73	0	0	0
	Звездные точки	11	+1	0	–1,215	0	–0,73	0,75	–0,73	0	0	0
		12	+1	0	+1,215	0	–0,73	–0,73	0,75	0	0	0
		13	+1	0	0	–1,215	–0,73	–0,73	0,75	0	0	0
		14	+1	0	0	+1,215	–0,73	–0,73	0,75	0	0	0
	Центральная точка	15	+1	0	0	0	–0,73	–0,73	–0,73	0	0	0

Проведение эксперимента.

Точно так же как и при проведении ПФЭ, из-за случайного характера из-

менения выходной величины y в каждой точке xg приходится проделывать т параллельных опытов и результаты наблюдений усреднять

yˆg	1	m	(38)
		ygi .
	m i 1

Рандомизация порядка проведения опытов в каждой серии испытаний проводится по специальной методике.

Вычисление коэффициентов уравнения регрессии.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии определяются по формуле

					N
					zgi yg
			b		g 1				.	(39)
			i			N
						zgi2
					g 1
Свободный член уравнения регрессии после преобразования переменных
(перехода от	x1	к	x2 ) должен быть скорректирован по формуле
	i		i
							n
			b	b			b x 2.			(40)
			0скор	0		i 1		ii i

29

Статистический анализ полученных результатов.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t-крите-

рию Стьюдента, как описано в п. 2.2. Дисперсия коэффициентов вычисляется по формулам

	s2 (b )		s2 ( y)	;	(41)
			N
	i
			m sgl2
			g 1
s2 (b	) s2		n	(b )(x 2 )2.
		(b ) s2			(42)
0скор		0	i 1	ii
Проверка адекватности уравнения регрессии производится так же, как
описано в п. 2.2.
Ротатабельное центральное композиционное планирование (РЦКП).
Критерием оптимальности в РЦКП является условие
σ2 ( y) const при R const,					(43)

где R – радиус-вектор в факторном пространстве.

Дисперсия (точность) предсказания выхода по найденному уравнению регрессии постоянна в различных направлениях факторного пространства в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования.

Кроме того, при РЦКП обеспечивается равная точность предсказания вы-

хода внутри области планирования. В табл. 7 даны характеристики РЦКП для каждого n = 2, 3, 4. Звездные точки для каждого значения п вычислены при условии выполнения критерия ротатабельности.

Таблица 7

Параметры РЦКП

n	α	NФ	Nα	N0	N
2	1,414	4	4	5	13
3	1,682	8	6	6	20
4	2,000	16	8	7	31

В табл. 8 приведена матрица РЦКП для трехфазной задачи.