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c |
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ln |
x |
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x |
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x |
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R |
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2a |
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a |
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a |
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a |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В случае а < 0, так что а |
|
а |
|
, радикал преобразуется к виду: |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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p |
2 |
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|||||||||||
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a x |
2 |
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q |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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px |
a |
x |
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k |
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2 |
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31
|
p |
|
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|
обозначив x |
t , получим |
|
at 2 k 2 . |
|||
|
||||||
2 |
|
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Вычисляемый интеграл преобразуется к табличному
|
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dx |
|
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dt |
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dt |
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||
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|
|||||
ax2 bx c |
at 2 k 2 |
k 2 at 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
при условии, что знак перед k 2 положительный.
Тогда, выполняя замену а t U , получим:
|
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
1 |
|
|
|
arcsin |
U |
C |
1 |
|
|
|
arcsin |
|
a |
|
x C . |
||||||||||||
|
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|
|
|
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||||||||||
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|
|
k |
|
|
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|
|
|
|
k |
|
|||||||||||
k 2 at 2 |
|
|
a |
|
|
k 2 U 2 |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интеграл вида: |
|
|
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|
Ax B |
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dx |
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|||||||||||
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|
|
ax2 |
|
bx с |
|
|
|
|
|
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|
вычисляется с помощью преобразований, аналогичных тем, которые ранее рассмотрены в вычислении интеграла I2:
|
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A |
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Ab |
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Ax B |
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|
(2a x b) B |
|
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|||||||||||||
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|
|
|
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|
2a |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
2a |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||
|
ax |
2 |
bx с |
|
|
|
ax |
2 |
bx с |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|||||||||||
|
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A |
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|
2ax b dx |
|
|
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|
Ab |
|
|
|
dx |
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
B |
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
|
ax2 bx с |
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
2a ax2 |
bx с |
Выполняя в первом из полученных интегралов подстановку ax2 bx C t ,
получим 2ax b dx dt .
Тогда
A 2ax b dx |
|
|
A dt A |
|
|
A |
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|
|
|
|
||||||||||
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|
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|
2 |
bx с R . |
||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
t R |
|
|
ax |
|
|||
2a |
|
|
|
2a |
|
|
|
a |
a |
|
|||||||||||
ax2 bx с |
t |
|
Второй интеграл был рассмотрен (см. I3).
Пример 7.4. Найти интеграл |
|
|
2x 3 |
dx |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
2x2 8x 1 |
||||||
|
|
32
Вычисляя производную подкоренного выражения 2a b 2x2 8x 1 , находим,
что 2ax b 4x 8 . Подставляя найденное значение в интеграл, последний запишется
в виде:
|
|
|
|
|
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2 |
4x 8 4 3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x 3 |
|
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|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
4x 8 |
|
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dx |
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dx |
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dx |
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dx |
7 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
2 |
8x |
1 |
|
2x |
2 |
8x |
1 |
|
2x |
2 |
|
|
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2x |
2 |
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8x 1 |
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|
8x 1 |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
7 |
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|
|
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|
|
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|
|
|
dx |
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|
|
|
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|
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|
|
7 |
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|
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|
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|
|
|
dx |
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|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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||||
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|
||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
7 |
|
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|
|
dV |
|
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7 |
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7 |
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2x2 8x 1 |
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2x2 8x 1 |
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ln |
V |
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V 2 |
|
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C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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V 2 |
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7 |
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2 |
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|
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|
|
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7 |
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x2 8x 1 |
|
|
ln |
x 2 |
|
|
|
|
|
x2 4x |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 7.5. |
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
2 |
|
|
6x 9 |
|
|
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|
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|
В вычисляемом интеграле а < 0. Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
2 |
6x 6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
6x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6x 6 |
|
|
dx 3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
3x2 6x 9 |
|
|
3(x 1)2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Производя замену t 3x2 |
6x 9 |
в первом и втором (x 1) U интеграле, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
arcsin |
|
3 |
U C . |
|||||||
запишем: |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 6x 9 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
3U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
33
|
|
2x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
3x2 6x 9 |
|
|
|
C . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
|
3 arcsin |
|
(x 1) |
|||||
|
|
|
3 |
2 |
|||||||||
3x2 6x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a x b n |
||||
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R |
|
x, |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c x d |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл |
|
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m1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
n1 |
,...,x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
x, x |
|
|
dx , где R- рациональная функция своих аргументов, т.е. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi – рациональное число. ni
Пусть k – наименьшее общее кратное (НОК) чисел n1 , n2 ,...,n . Выполняя подстановку x t k , получим dx k t k 1 dt , что каждая дробная степень х выразится
через целую степень t. Подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию аргумента t.
В интеграле вида:
|
|
|
|
|
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|
|
m1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
a x b n1 |
a x b n |
||||||||||||
|
R x, |
|
|
|
|
,..., |
|
|
dx |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
c x |
d |
c x d |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняя подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a x b |
t k , |
где |
k НОК n , |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
c x d |
i 1 |
|
подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Приемы интегрирования рациональных функций описаны в § 6.
Пример 8.1. Найти интеграл |
|
6 |
x |
|
|
dx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
1 3 x |
||||||
В рассматриваемом интеграле n1 6, |
|
n2 |
3 ; поэтому k = 6. Выполняем |
подстановку x t 6 , тогда dx 6t 5dt и, следовательно,
34
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
6t 5 dt 6 |
|
|
|
|
|
|
dt 6 |
|
t 4 |
t 2 |
1 |
1 |
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 x 3 |
|
|
|
|
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t 5 |
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t 3 |
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6 |
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t arctgt |
C |
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5 |
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3 |
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Переходя к «старой» переменной, получим: |
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6 |
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6 |
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5 |
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3 |
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1 |
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1 |
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x |
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dx |
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x 6 |
2x 6 |
6x 6 |
6arctg x 6 |
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C . |
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1 3 |
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5 |
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x |
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Пример 8.2. |
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Найти интеграл |
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dx |
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1 |
2x |
2 |
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|
1 2x 3 |
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В подынтегральной функции n1 2, n2 |
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3 , поэтому k НОК 2,3 т.е. k = 6. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заменяя 1-2х = t6, получим 2dx 6t5dt . |
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Интеграл запишется в виде: |
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dx |
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3t 5 dt |
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t 2 dt |
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t 2 dt |
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1 |
|||||||||||||
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3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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1 2x 3 1 2x 2 |
|
t 3 t 4 |
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1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
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|
t |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
t |
2 |
|
3t 3ln |
|
t 1 |
|
C . |
|
|
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
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|||
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dx |
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3 |
1 2x |
1 |
|
3 1 |
2x |
|
1 |
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1 |
2x |
1 |
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3ln |
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1 |
C = |
|||||||||||||||||||||||||||
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3 |
|
6 |
|
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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1 2x 3 1 2x 2 |
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32 3 1 2x 36 1 2x 3ln 61 2x 1 C .
§9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Вэтом параграфе рассматриваются способы интегрирования рациональных функций sin x и cos x, т.е. интегралы виды:
R sin x, cos x dx
35
Подстановка tg 2x t , которую называют универсальной, рационализирует
рассматриваемый интеграл, т.е. сводит его к интегралу от рациональной функции аргумента t.
Из тригонометрии известно, что
|
2 tg |
x |
|
|
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1 tg |
2 |
x |
|
||
sin x |
2 |
|
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и cos x |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 tg |
2 |
|
x |
|
|
1 tg |
2 |
x |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
Тогда в соответствии с подстановкой получим:
sinx |
|
2t |
, |
cosx |
1 t 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t 2 |
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражая из подстановки t tg |
x |
, х как функцию от t, получим: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
arctgt arctg tg |
x |
или |
|
x |
arctgt , |
x 2arctgt |
тогда dx |
2 dt |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 t 2 |
Пример 9.1. Найти интеграл sindxx .
В соответствии с подстановкой t tg 2x интеграл запишется в виде:
|
dx |
|
1 t 2 |
|
2 |
dt |
dt |
ln |
|
t |
|
C . |
|
|
|||||||||||
sin x |
2t |
1 t 2 |
t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда
|
dx |
ln |
|
tg |
x |
|
C ln |
|
1 cos x |
|
C ln |
|
1 |
ctg x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin x |
2 |
|
sin x |
sin x |
|
|
|
|||
ln |
cosec x ctg x |
|
C |
||
Пример 9.2. Найти интеграл |
|
dx |
. |
||
cos x |
Выполним тождественные преобразования:
36
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
dx |
|
d |
x |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
sin |
x |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x |
|
dV |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
Обозначая V |
|
x |
, получим |
|
|
|
|
|
. |
|||||
2 |
|
|
|
sin V |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Первообразная последнего интеграла найдена в примере 9.1. Запишем её:
|
dV |
ln |
tg |
V |
|
|
|||
sin V |
2 |
Искомый интеграл равен:
|
dx |
ln |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
tg |
|
||
cos x |
4 |
|||||
|
|
|
Пример 9.3. Найти интеграл
C .
x
C .
2
dx .
3sinx 4cosx
Выполняя универсальную подстановку, получим:
|
dx |
|
1 t 2 |
2dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
3 2t 4 1 t 2 |
|
|
3t 2 1 t 2 |
|
|
|
. |
3sinx 4cosx |
1 t 2 |
2t 2 |
3t 2 |
Нахождение последнего интеграла описано в § 7 (см. I1).
Интеграл запишем в виде:
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dV |
|
|
1 |
|
4 |
ln |
4V 5 |
|
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
3 |
2 |
|
9 |
|
|
2 |
|
2 |
|
5 |
2 |
2 |
2 5 |
4V 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
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1 |
|
V |
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4 |
|
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16 |
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|
4 |
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||||||||||
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|
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|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
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|
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|||||
|
|
1 |
ln |
|
16t 8 |
|
|
C |
1 |
ln |
|
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
16t 32 |
|
5 |
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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|
|
|
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|
Тогда
37
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
1 |
ln |
2 |
2 |
|
|
C . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3sin x 4cos x |
5 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
2 |
|
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|
Основные случаи применения частных подстановок
а. В интеграле
sinm x cosn x dx , где m или n – нечетное положительное целое число.
Допустим, что m 2k 1, тогда
sin2k 1x cosn x dx cosn x sin2k x sinx dx cosn x 1 cos2 x k sinx dx .
Выполняя замену cosx t , получим -sin x dx dt , sin xdx dt.
Интеграл запишется
cosn x 1 cos2 x k sinx dx t n 1 t 2 k dt , а это есть интеграл от
рациональной функции.
Пример 9.4. Найти интеграл 3sin2 x cos3 x dx .
Показатель |
степени |
|
косинуса нечетное число. Выполняя подстановку |
||||||||
sin x t, |
cos x dx dt , получим: |
|
|
||||||||
sin23 x cos2 |
x cosx dx sin23 x 1 sin2 x cosx dx t |
23 1 t 2 dt |
|||||||||
2 |
8 |
3 |
|
5 |
|
3 |
|
11 |
|
||
t |
3 dt t |
3 dt |
|
t |
|
3 |
|
|
|
t 3 C |
|
5 |
|
11 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
3 sin 2 x cos3 x dx 53 sin x 53 113 (sin x)113 C .
б. В интеграле
sinm x cosn x dx , где m и n –четные неотрицательные числа.
Применение тригонометрических формул
38
sin2 ax |
1 cos2ax |
, |
cos2 bx |
1 cos2bx |
позволяет понизить степень синуса и |
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
косинуса, в конечном счете, свести рассматриваемый интеграл к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.
Пример 9.5. Найти интеграл sin4 x cos2 x dx .
Применяя тождественные преобразования, получим:
|
4 |
|
2 |
|
1 cos 2x 2 |
|
1 cos 2x |
|
||
sin |
|
x cos |
|
x dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 1 2 cos 2x cos2 2x 1 cos 2x dx
18 1 cos 2x cos2 2x cos3 2x dx
|
1 |
dx |
1 |
cos 2x dx |
1 |
|
1 cos 4x |
dx |
1 |
cos 2x 1 sin 2 2x dx |
|||||||||||||||||||||||||
8 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
x |
1 |
|
sin 2x |
1 |
x |
|
1 |
|
|
sin 4x |
1 |
sin 2x |
1 |
cos 2x sin 2 |
2x dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
8 |
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
16 4 |
|
16 |
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||
Выполняя замену |
sin 2x t , |
|
|
cos 2x 2dx dt |
|
|
|
в последнем интеграле, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
cos2x sin2 2x dx |
1 |
t 2dt |
1 |
|
t 3 |
C . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
16 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
sin4 x cos2 x dx |
1 |
x |
1 |
|
sin4x |
1 |
|
|
sin3 2x C . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
64 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 9.6. |
Найти интеграл cos2 x dx . |
|
Преобразуем интеграл к виду:
cos2 x dx 1 cos2 2xdx 12 dx 12 cos2x dx .
Тогда
cos2 x dx 12 x 14 sin2x C .
в. В интегралах вида:
39
cosm x sin n x dx ; cosm x cosn x dx ; sinm x sin n x dx
применяются следующие формулы (m ≠ n):
sin m x cos n x dx 12 sin m n x sin m n x ,
cos m x cos n x dx |
1 |
cos m n x cos m n x , |
(15) |
|
2 |
||||
|
|
|
sin m x sin n x dx 12 cos m n x cos m n x .
Например, подставляя в интеграл и интегрируя, получим:
cos m x sin n x dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
sin m n x sin m n x dx |
|
|||||||
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos m n x |
|
1 |
|
cos m n x |
|
C |
|
|
|
|
|
m n |
|||||||
|
|
2 |
|
m n |
2 |
|
|
||||
Два других интеграла находятся аналогично. |
|||||||||||
|
Пример 9.7. Найти интеграл |
sin4x sin6x dx . |
Выполняя тождественное преобразование по формуле (15), получим:
sin4x sin6x dx 12 cos2x dx 12 cos10x dx 14 sin2x 201 sin10x C .
§10. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим интегралы вида:
R x, a2 x2 dx , R x, a2 x2 dx и R x, x2 a2 dx .
Для приведения интегралов от иррациональной функции к рациональной
функции используются подстановки:
для первого интеграла x acost или x asin t ,
для второго x a tg t x a ctgt и