8203
.pdfПример. Найти производную от |
функции |
|
z ln( x2 2 y) |
в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
М(1;2) по направлению вектора a 3i 4 j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. |
Направление |
задано координатами |
вектора a , |
поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся формулой (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f / |
|
2x |
|
|
|
, |
f |
/ (x , y |
) f / (1,2) |
|
|
2 1 |
|
|
0,4 , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x2 2 y |
|
|
|
x 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
12 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f / |
|
|
2 |
|
, |
|
|
f / ( x , y |
|
|
) |
f / (1,2) |
|
2 |
|
|
|
0,4 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
x2 |
2 y |
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
12 2 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z |
(1,2) 0,4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0,08. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
( 4)2 |
|
|
|
32 |
|
( 4)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим понятие градиента функции z f (x, y) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Градиентом grad z |
функции |
|
z f (x, y) |
в |
|
|
точке M 0 x0 , y0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
называется вектор с координатами { fx/ |
|
M |
, f y/ |
M |
}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Свойства градиента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. Производная |
функции |
z f (x, y) |
по |
|
направлению l |
равна |
||||||||||||||||||||||||||||
скалярному |
|
произведению |
градиента |
|
grad z |
|
и |
единичного |
вектора |
|||||||||||||||||||||||||
e {cos , cos }, задающего направление l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
grad z e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Модуль градиента grad z функции z f (x, y) в данной точке – это
«скорость» изменения функции в направлении вектора e наибольшего
20
возрастания функции в данной точке, причем
z |
|
|
|
|
|||
| grad z | |
|
f x/ 2 f y/ 2 . |
|||||
|
|
|
|||||
e |
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z f (x, y) в |
||||
точке М 0 (х0 , у0 ) |
отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен линии |
уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти градиент функции z 3x4 xy y3 в точке М(1,2).
Решение. Находим
fx/ 12x3 y , fx/ (x0 , y0 ) fx/ (1,2) 12 13 2 10 , f y/ x 3y2 , f y/ (x0 , y0 ) f y/ (1,2) 1 3 22 11.
Следовательно, grad z(1,2) {10, 11}.
§2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Частные производные высших порядков.
Экстремумы функции двух переменных
Если частные производные f x/ и f y/ функции z f (x, y) сами являются
дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка,
то есть
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / . |
|
xx |
|
x x |
|
|
xy |
|
x y |
|
|
yx |
|
y x |
|
|
yy |
|
y y |
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.
21
Теорема. |
|
Если |
частные |
производные |
второго |
порядка |
функции |
|||||||
z f (x, y) непрерывны в точке |
М 0 (х0 , у0 ) , то в этой точке смешанные |
|||||||||||||
частные производные равны, то есть f // |
(x , y |
0 |
) f // (x , y |
0 |
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
xy |
0 |
|
yx 0 |
|
|
|
|
||
Пример. |
Найти |
частные |
производные |
второго |
порядка |
функции |
||||||||
z 3x4 xy y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как |
f / 12x3 |
y , |
f / |
x 3y2 , |
то |
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
// |
12x3 y / |
36x2 , |
|
|
f // 12x3 |
y / |
1 |
, |
|||||
|
xx |
|
x |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
y |
|
|
f // x 3y2 / |
1, |
|
f |
// x 3y2 / |
6 y . |
|||||||||
yx |
|
|
x |
|
|
|
|
yy |
|
|
y |
|
|
|
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных |
||||||||||||||
аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. |
|
|||||||||||||
Пусть функция |
z f (x, y) |
определена в некоторой окрестности точки |
(х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума (минимума) функции z f (x, y) , если существует такая - окрестность точки (х0 , у0 ) , что во всех
ее точках (х, у) , |
отличных от (х0 , у0 ) , выполнятся неравенство |
f (x, y) f (x0 , y0 ) |
( f (x, y) f (x0 , y0 ) ). |
Рис. 9
22
На рисунке 9: N1 – точка максимума, а N 2 – точка минимума функции z f (x, y) . Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0 , у0 )
дифференцируемая функция z f (x, y) |
имеет экстремум, |
|
то ее частные |
||||||||||
производные в этой точке равны нулю: |
f |
/ (х , у |
0 |
) 0 , |
f |
/ (х |
0 |
, у |
0 |
) 0 . |
|||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
у |
|
|
||||
Геометрически равенства f / (x , y |
0 |
) 0 и |
|
f / (x |
0 |
, y |
0 |
) 0 означают, что в |
|||||
x 0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,
изображающей функцию z f (x, y) , параллельна плоскости Оху , так как
уравнение касательной плоскости есть z z0 .
Замечание. Функция может иметь |
экстремум в точках, где хотя бы одна из |
|||
|
|
|
|
|
частных производных не |
существует. |
Например, функция z 1 |
х2 у 2 |
|
имеет максимум в точке |
х 0, у 0 (см. рис. 10), но не имеет в этой точке |
|||
частных производных. |
|
|
|
|
Рис. 10
Точки, |
в которой частные |
производные первого порядка функции |
||
z f (x, y) |
равны нулю, то есть f / |
0 и |
f / |
0 , и точки, в которых хотя бы |
|
x |
|
y |
|
одна частная производная не существует, называются критическими точками.
23
В критических точках функция |
z f (x, y) может иметь экстремум, а |
||
может и не иметь. Условия f / |
0 и |
f / |
0 являются необходимыми, но не |
x |
|
y |
|
достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для
функции |
z x 2 y 2 точка (0,0) является критической (в ней |
z / |
2x и |
|
|
|
|
x |
|
z / |
2 y |
обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой |
||
y |
|
|
|
|
точке нет (см. рис. 11).
Рис. 11
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z f (x, y) имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем
f // (x , y |
) A, |
f // (x |
, y |
) B , |
f // (x |
, y |
) C . |
|||||
xx 0 0 |
|
xy 0 |
0 |
|
|
|
|
yy |
0 |
|
0 |
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC B2 . |
||||||
|
|
|
(x |
, y |
) |
A B |
||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда:
1)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )
имеет экстремум: максимум, если A 0, и минимум, если A 0;
24
2)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )
экстремума не имеет;
3)если (x0 , y0 ) 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может быть,
может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
|
Пример. Найти точки экстремума функции z 3x2 y x3 y 4 . |
||
|
Решение. |
1) |
Найдем частные производные первого порядка: |
f / |
6xy 3х2 , |
f / |
3x2 4 y3 . Точки, в которых частные производные не |
x |
|
y |
|
определены отсутствуют.
2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
6ху 3х2 0,
3х2 4 у3 0.
Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М 2 (0,0) . |
|
|
|
|
||||
3) Находим |
частные производные второго порядка данной функции: |
|||||||
f // 6y 6х , |
f // 6х , |
f // 12y2 . |
|
|
|
|
||
xх |
|
xy |
yy |
|
|
|
|
|
4) В |
точке |
М 1 (6,3) |
имеем: |
A 6 3 6 6 18, |
B 6 6 36, |
|||
C 12 32 |
108 , отсюда |
(6,3) 18 ( 108) 362 |
648 0, |
то |
есть |
|||
М1 (6,3) – точка |
экстремума. Так |
как A 18 0, то |
М1 (6,3) |
– |
точка |
|||
максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке М 2 (0,0) : A 0, B 0, C 0, отсюда (0,0) 0 . Проведем |
||||||||
дополнительное исследование. |
Значение функции z 3x2 y x3 y 4 |
в точке |
М 2 (0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из окрестности точки М 2 (0,0) такие,
что х 0, тогда z(х 0, у) y 4 0 , а теперь рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием у 0 , х 0: z(х 0, у 0) x3 0 . Таким образом, в любой окрестности точки М 2 (0,0) функция z 3x2 y x3 y 4
25
принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в
точке М 2 (0,0) функция экстремума не имеет.
z
y
z x3
x
z y4
Рис. 12
2.Наибольшее и наименьшее значение функции
взамкнутой области
Пусть функция z f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной области D . Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках,
расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) :
1) Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и
вычислить значения функции в них;
26
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y) на
границах области;
3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее и наименьшее. |
|
|
|
|||
Пример. |
|
Найти |
наибольшее и |
|
наименьшее значение функции |
|
z x2 y ху 2 |
ху в замкнутой области, |
ограниченной линиями: x 1, |
x 2, |
|||
у 1,5, у |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х |
|
|
|
|
|
Решение. Здесь z / |
2xy y2 y , |
z / |
2xy x2 x . |
|
||
|
|
х |
|
y |
|
|
1)Находим все критические точки:
2xy y 2 |
y 0, |
y(2x y 1) 0, |
||
|
|
|
|
|
2xy x 2 |
x 0, |
x(x |
2 y 1) |
0. |
Решением системы являются точки (0,0) , ( 1,0) , (0, 1) , ( 13 , 13). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
Рис. 13
27
2) Исследуем функцию z x2 y ху 2 ху на границе области,
состоящей из участков АВ , ВС, СЕ и ЕА (см. рис. 13).
а)
z
3
В плоскости x 1
|
A |
0 |
|
B |
|
3 |
-1 |
1 |
y |
2 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Участок |
AB –отрезок вертикальной прямой |
x 1 при |
|
|
3 |
y 1 (см. |
|||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рис. |
13). |
При |
x 1 |
функция z y y2 2 y |
является функцией одного |
|||||||||||
переменного y . Находим производную z y2 |
|
2y 2 . Приравнивая ее к |
||||||||||||||
2y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
нулю |
2 y 2 0 , |
находим |
стационарную |
|
точку |
y 1 |
|
;1 |
. Значение |
|||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции |
z y y2 |
2 y |
при |
y 1 равно: |
z 1 1 2 2 1 1 2 1, а |
|||||||||||
значение функции z y |
на концах отрезка |
|
3 |
;1 : |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
3 |
|
|
3 2 |
|
3 |
9 |
|
3 |
, |
||
z |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
4 |
|
4 |
|
||
|
z 1 12 2 1 1 2 3. |
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, наименьшее значение функции |
z на отрезке AB равно |
||||||||||||
1, а наибольшее 3 , то есть zнаим. |
1, |
zнаиб. |
3 . (см. рис. 14). |
||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2;0,5;3,5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1;1;3 |
|
|
|
|
|
|
y
1 |
1 |
B |
|
|
2 |
C |
|
0 |
1 |
2 |
Рис. 15
x
Участок BC – дуга гиперболы |
y |
1 |
при 1 x 2 (см. рис. 13). При |
|
x |
||||
|
|
|
1 |
|
функция z x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
x |
|
|
1 |
|
является |
функцией одного переменного |
x . |
||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим |
производную |
z |
|
|
1 |
|
. |
Приравнивая |
ее к |
нулю |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 , |
находим |
|
x 1, |
|
x |
|
1 |
, |
из |
которых |
только |
одна |
точка |
x |
|
1 |
|||||||||||
x2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
принадлежит отрезку 1;2 |
(см. рис. 15). Значение функции |
z x x |
1 |
1 |
при |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 1 |
|
равно: z 1 1 |
|
1 |
1 3, а значение |
z x |
на правом конце отрезка 1;2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29