8531

Рис. 33. Расчет и

Затем составим сетевой граф проекта (рис. 34), вычислим его

ожидаемое время, используя метод критического пути (рис. 35).

Рис. 35. Вычисление критического пути и стандартного отклонения

51

Критический путь для данного проекта включает работы A, E, H, I, J

(рис. 36). Длина критического пути равна сумме продолжительностей этих задач 6+3+4+2+2=17. Значит, ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

		C	5
	2
			F
A		D
		G		J
1	E	4	7	8
B		H	I
	3		6

Рис. 36. Сетевой граф проекта

Предполагая, что распределение времени выполнения проекта является нормальным, мы можем определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель. Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее значение равно сумме значений дисперсий времен выполнения работ, лежащих на критическом пути:

Находим стандартное отклонение: . Учитывая это значение, находим значение вероятности завершения проекта за 20 недель

().

Для этого сначала найдем значение аргумента функции Лапласа:

52

Затем по таблице нормального распределения (см. приложение)

находим значение функции Лапласа от данного аргумента. Значение находим на пересечении строки 1,8 и столбца 0,02. Получаем 0,4656.

Следовательно, искомая вероятность того, что время выполнения проекта не превысит 20 недель, то есть вероятность того, что проект завершится за 20 недель при ожидаемом сроке завершения 17 недель,

составит

.

2.3.Пример решения задачи методом минимизации затрат с применением метода PERT/COST

Пример 1. Проект внедрения нового программного обеспечения состоит из восьми работ (табл. 7). Данные приведены в неделях. Указана взаимосвязь работ, нормальное время и стоимость их выполнения, а также критическое время выполнения и критическая стоимость.

Т а б л и ц а 7

Проект внедрения программного обеспечения

	Работа	Предшественники	Нормальное	Критическое	Нормальная	Критическая
			время, нед.	время, нед	стоимость	стоимость
	A	-	3	1	900	1700
	B	-	6	2	2000	4000
	C	A	2	1	500	1000
	D	B, C	5	3	1800	2400
	E	D	4	3	1500	1850
	F	E	3	1	3000	3900
	G	B, C	9	4	8000	9800
	H	F, G	3	2	1000	2000

53

Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ? Какие работы являются критическими? Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности? С

какими минимальными дополнительными затратами можно выполнить проект за 16 недель?

Рис. 37. Расчет критического пути при нормальном времени

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод CPM. Результаты приведены на рис. 37.

Видно, что при нормальной продолжительности работ критический путь составляет 6+5+4+3+3=21 неделю. На нем находятся работы B, D, E, F, H

(рис. 38).

54

C

A

D E

S

B G F

H

Рис. 38. Вершинный сетевой граф проекта

Чтобы определить затраты на выполнение проекта просуммируем данные в пятом столбце исходной таблицы. В результате получаем 18 700

рублей.

Для определения минимальных дополнительных издержек,

необходимых для снижения продолжительности проекта до 16 недель,

построим модель линейного программирования. На основании исходных данных нарисуем стрелочный граф проекта (рис. 39).

				H	7
		2
	A
			6
1		C
					F
			G
	B				5
		3	4
		D			E

Рис. 39. Стрелочный граф проекта

55

Теперь мы можем определить удельные затраты на сокращение продолжительности работ. Получаем результаты, представленные на рис. 40. На рис. 41 представлены формулы расчета.

Рис. 40. Расчет удельных затрат (результаты)

Рис. 41. Расчет удельных затрат (формулы)
Обозначим - время наступления события		(событие-узел отражает
факт завершения всех работ, входящих в данный узел);			- величина
сокращения времени работы	. Тогда	модель	линейного

56

программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжительности проекта с 21 до 16 недель, имеет вид:

.

Воспользуемся процедурой «Поиск решения». На рабочем листе

Excel определим ячейки для переменных задачи, зададим формулу целевой функции и ограничения. После выполнения процедуры «Поиск решения» получим результаты, представленные на рис. 42.

Рис. 42. Расчет минимальных затрат на сокращение времени проекта

57

Данные результаты позволяют сделать выводы о том, что минимальные затраты, необходимые для сокращения продолжительности проекта с 21 до 16 недель составят 2260 рублей. При этом продолжительности работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сократятся на 1

неделю, а работы (3, 4) на 2 недели.

Пример 2. Рассмотрим другой подход к определению затрат на выполнение проекта и снижению его стоимости. Будем опять предполагать, что работы проекта можно выполнить либо в стандартные,

либо в минимальные сроки, но не в промежутках между ними. В табл. 8

представлен перечень и взаимосвязь работ проекта подготовки строительной площадки для начала основных работ (сроки указаны в днях). Необходимо минимизировать общее время выполнения проекта с наименьшими дополнительными затратами.

Т а б л и ц а 8

Проект подготовки строительной площадки

Работа	Предшественники		Нормальное		Критическое		Нормальная		Критическая
			время			время	стоимость		стоимость
A		-		3		2	800		1400
B		-		2		1	1200		1900
C		A		5		3	2000		2800
D		B		5		3	1500		2300
E		C, D		6		4	1800		2800
F		C, D		2		1	600		1000
G		F		2		1	500		1000
Найдем		критический		путь		при	условии	критической

продолжительности работ проекта. Для начала построим сетевой граф

проекта (рис. 43).

58

A		2		C	E		6
1			D	4		F	G
	B

3	5

Рис. 43. Сетевой граф проекта

Перенесем данные задачи на рабочий лист Excel и выполним необходимые расчеты по методу CPM (рис. 44-45).

Рис. 44. Результаты расчета критического пути

Рис. 45. Формулы для проверки расчета критического пути

Итак, минимальное время, за которое может быть завершен проект составляет 9 дней. Стоимость проекта составляет:

1400(A)+1900(B)+2800(C)+2300(D)+2800(E)+1000(F)+1000(G)=13200.

59

Критический путь . Мы видим, что работы не лежат на критическом пути. Посмотрим, нельзя ли выполнить их в стандартные сроки без увеличения общего времени выполнения проекта (9

дней). Выполнение этих работ в стандартное время дает экономию: 700

(B), 800 (D), 400 (F), 500 (G). Поэтому порядок рассмотрения, которое проводят в порядке убывания, будет: D, B, G, F. Для этого необходимо в табличной модели задачи последовательно менять ссылки на ячейки продолжительности соответствующих работ с критической на нормальную.

Работа D. Изменение критического времени на нормальное приведет к изменению критического пути и увеличению сроков проекта (работа D

становится критической).

Работа B. Увеличение продолжительности с критической на нормальную возможно (продолжительность проекта не меняется). При этом работа становится критической и появляется второй критический путь . Но работы A и C по-прежнему должны выполняться в критические сроки, иначе изменится критический путь.

Работа G. Увеличение продолжительности с 1 до 2 дней возможно.

Критический путь остается без изменений.

Работа F. Увеличение продолжительности с 1 до 2 дней возможно.

Критический путь остается без изменений.

Делаем вывод. Работы A, C, D, E должны выполняться в минимальное время (критическое). Работы B, F, G должны выполняться в стандартное время (нормальное). Общая стоимость проекта составит:

1400(A)+1200(B)+2800(C)+2300(D)+2800(E)+600(F)+500(G)=11600.

Так нам удалось минимизировать общее время выполнения проекта,

снизив при этом стоимость дополнительных затрат.

60